chuyên đề hình học vi phân được soạn thảo và kiểm tra bởi rất nhiều sinh viên và giảng viên, được xuất phát từ đại học sư phạm thành phố hồ chí minh. Đặc biệt hoàn toàn là file word nên dễ dàng chỉnh sữa và sao chép và nghiên cứu .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN BÀI TIỂU LUẬN GVHD: NGUYỄN HÀ THANH NHÓM 3B TOÁN K35 Danh sách sinh viên làm tiểu luận hình học nhóm 3B - khoa toán khóa K35: NIÊN KHÓA 2011-2012 Dương Thị Mỹ Nguyệt Lê Thị Hồng Nhung Dương Thị Tuyết Như Nguyễn Huỳnh Như Nguyễn Thị Thu Oanh 10 NHÓM 3B Tống Thị Kim Oanh Lê Thanh Phong Nguyễn Quang Phú Phạm Chí Thành Hà Thị Thu Thủy Page Lời nói đầu Hình học phân nhánh chủ yếu quan trọng toán học Ở trường phổ thông hình học dạy học theo quan điểm hình học Euclide Trong vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh cầu, quan hệ so sánh vật thể hình học thực phép dời hình Ở bậc dại học,đại số tuyến tính hình học giải tích đối tượng xét đến vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh bậc tổng quát Các quan hệ so sánh xét phép biến đổi tuyến tính affin Đối với hình học đại số, phương pháp phân loại nghiên cứu đường, mặt siêu mặt bậc hay tổng quát cho bậc Và phép biến đỏi dùng phép biến đổi đa thức song hữu tỉ Tất quan điểm nói phát triển ngữ cảnh hình học vi phân, vật thể cấu tạo từ mảnh tham số hóa Và phương pháp nghiên cứu chủ yếu hình học vi phân sử dụng phép tính vi tích phân không gian Euclide kết hợp vớic phương pháp topo, topo đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân, để tìm tính chất đối tượng hình học Trong tiểu luận trình bày mảng kiến thức nhỏ hình học vi phân kiến thức đường cong số tính chất chúng Bài tiểu luận gồm chưong sau: Chương 1: Nhắc lại só kiến thức hàm véctơ số phép toán hàm véctơ Chương 2: Nghiên cứu lý thuyết đường cong không gian Euclide-n chiều đường biểu diễn giải tích đường cong Chương 3,4,5,6: Một số tính chất đường cong độ dài cung, độ cong , độ xoắn, tiếp tuyến, mặt phẳng mật tiếp đường cong… Chương 7: Những kiến thức tam diện Frenet Chương 8: Một số tập đường cong tài liệu hình học vi phân Dorcamo Chương 9,10: Một số tập ứng dụng chủ yếu hình học vi phân toán học ngành khoa học khác NHÓM 3B Page Chúng em vô cảm ơn TS Nguyễn Hà Thanh cung cấp cho kiến thức tài liệu quý báu để hoàn thành tiểu luận Mặc dù có hiều cố gắng việc biên soạn tiểu luận không tránh khỏi sai sót, mong nhận được ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để tiểu luận hoàn thi MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN n-CHIỀU VÀ HÀM VÉCTƠ Lí thuyết .8 Không gian .8 Các khái niệm Các định lý Các phép toán hàm véctơ Đạo hàm công thức tính đạo hàm hàm véctơ 10 Bài tập 11 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐƯỜNG CONG 23 Lý thuyết 23 1.1 Tham số hoá đường cong .23 1.2 Đường tham số quy 26 1.3 Đường tham số tương đương .27 1.4 Đường tham số tự nhiên .29 1.5 Biểu diễn giải tích cuả đường cong 33 1.51 Đường cong phẳng 33 1.51a Biểu diễn tham số 34 1.51b Biểu diễn tường minh 34 1.51c Biểu diễn ẩn 35 1.52 Đường cong không gian 36 1.52a Biểu diễn tham số 36 1.52b Biểu diễn tường minh 37 1.52c Biểu diễn ẩn 37 Bài tập 37 CHƯƠNG 3: ĐỘ DÀI CUNG 58 Lý thuyết 58 Bài tập 59 NHÓM 3B Page CHƯƠNG 4: TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG PHÁP TUYẾN 64 Lý thuyết 64 1.1 Tiếp tuyến pháp tuyến 64 1.2 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến 67 1.21 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong có biểu diễn dạng tham số 67 1.22 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong có biểu diễn dạng tường minh 68 1.23 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong có biểu diễn dạng ẩn .69 Bài tập 71 CHƯƠNG 5: MẶT PHẲNG MẬT TIẾP 82 Lí thuyết 82 a) Đường cong song quy mặt phẳng mật tiếp .82 a.1 Định nghĩa a.2 Định lí b) Ý nghĩa hình học 83 Bài tập 84 CHƯƠNG 6: ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN 88 Lý thuyết 88 a) Độ cong .88 b) Độ xoắn .90 Bài tập 100 CHƯƠNG 7: TAM DIỆN FRENET .107 Tam diện frenet đường tham số 107 Sự thay đổi tam diện frenet qua phép biến đổi tham số 113 Đường cong định hướng tam diện frenet đường cong định hướng .114 CHƯƠNG 8: ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT 116 Sự biến đổi tam diện frenet qua phép dời hình .116 Định lí 118 Định lí tồn .119 CHƯƠNG 9: BÀI TẬP BỔ SUNG 123 CHƯƠNG 10: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN 149 TÀI LIỆU THAM KHẢO .166 NHÓM 3B Page CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN n – CHIỀU VÀ HÀM VECTƠ Phép tính vi phân công cụ chủ yếu hình học vi phân Trong đề mục ta nhắc lại số khái niệm, định lý phép tính vi phân không gian nghiên cứu tính chất hàm vectơ LÝ THUYẾT: I KHÔNG GIAN Với n số tự nhiên, đặt: Mỗi phần tử thứ tự n số thực, Trên Khi Cho tập mở Hàm Hàm NHÓM 3B thành phần thứ ta xác định hai phép toán cộng nhân: không gian vectơ CÁC KHÁI NIỆM với , hàm vectơ gọi liên tục hàm liên tục gọi liên tục liên tục điểm thuộc Page Hàm gọi khả vi hàm khả vi Hàm gọi khả vi Hàm gọi thuộc lớp khả vi điểm thuộc hàm có đạo hàm riêng liên tục đến cấp CÁC ĐỊNH LÝ: a) Định lý 1: (Biểu thức tính đạo hàm nhờ đạo hàm riêng) Cho khả vi tồn đạo hàm riêng Khi ta có: b) Định lý 2: (Tiêu chuẩn khả vi) Cho đạo hàm riêng Nếu tất tồn tập mở chứa liên tục hàm khả vi c) Định lý 3: (Định lý hàm ẩn địa phương) Cho tập mở khả vi liên tục cho và cho: NHÓM 3B Giả sử Khi tồn lân cận để Page Ở hàm khả vi gọi hàm ẩn xác định phương trình d) Định lý 4: (Định lý hàm ngược địa phương) Cho tập mở khả vi liên tục Khi tồn lân cận mở cho vi phôi lớp Tức tồn hàm ngược gọi hàm ngược địa phương CÁC PHÉP TOÁN: Lấy hai hàm vectơ hàm số thực (vô hướng): Ta định nghĩa: +) Phép cộng: NHÓM 3B điểm qui Page lân cận điểm +) Phép nhân với hàm vô hướng: +) Tích vô hướng hai hàm vectơ: Với +) Tích có hướng hai hàm vectơ: CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ: +) +) +) +) NHÓM 3B Page BÀI TẬP: II Bài 1: Cho hàm vectơ khả vi hàm khả vi a với Chứng minh kết sau đây: b c d e Chứng minh: Không tính tổng quát ta giả sử: a Ta có: NHÓM 3B Page 10 Do phương trình (2) nghiệm với nên không tương đương Chứng minh tương tự cho trường hợp lại Bài 16: Cho đường tròn tham số không qua gốc Giả sử điểm vết gần với gốc tọa độ Hãy chứng minh vectơ trực giao với vectơ Giải : Đặt Theo giả thuyết Do không qua gốc tọa độ nên Từ ( ) ta có NHÓM 3B Page 177 Suy vectơ trực giao với vectơ Bài 17: Cho đường tham số trực giao với vectơ cố định Giả sử Chứng minh với Giải : Theo giả thuyết ta có Do trực giao với nên Từ ( ) ta có Vậy với , trực giao với Bài 18: NHÓM 3B Page 178 , trực giao với trực giao với với Trong chứng minh pháp diện cung quy định qua điểm cố nằm mặt cầu Giải Giả sử có tham số hóa gọi a điểm cố định mà pháp diện qua Khi vectơ phương mặt phẳng pháp diện điểm Vì mặt phẳng pháp diện vuông góc với Như NHÓM 3B nằm mặt cầu tâm a bán kính r Page 179 nên ta có Bài 19: Trong cho cung có tham số hóa Tìm điều kiện a b để cung phẳng điều kiện viết phương trình tổng quát mặt phẳng chứa Giải Ta có Để cung phẳng Để tìm phương trình tổng quát mặt phẳng chứa * Nếu b = ta cần tìm A, B, C, D thỏa hệ sau NHÓM 3B Page 180 ta cần tìm A, B, C, D cho Khi mặt phẳng chứa * Nếu a ta cần tìm A, B, C, D thỏa hệ sau Khi mặt phẳng chứa NHÓM 3B là Page 181 CHƯƠNG 10: MỘT SỐ ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN Trong phần trước tìm hiểu định nghĩa, tính chất đường môn hình học vi phân Trong phần tìm hiểu số ứng dụng quan trọng hình học vi phân toán học khoa học Trong vật lí học, hình học vi phân có ba ứng dụng là: I Hình học vi phân công cụ việc nghiên cứu thuyết tương đối tổng quát Einstein Theo lý thuyết này, vũ trụ đa tạp trơn trang bị với metric giảRiemann, cho phép miêu tả độ cong không thời gian Áp dụng độ cong không thời gian việc thiếu việc xác định vị trí vệ tinh nhân tạo quay xung quanh Trái Đất hệ GPS Hình học vi phân công cụ thiếu nghiên cứu thấu kính hấp dẫn lỗ đen • Độ cong không thời gian o Không gian phẳng: o Không gian cong: o Không thời gian bốn chiều phẳng: NHÓM 3B Page 182 o Không thời gian bốn chiều cong: o Bốn chiều không thời gian cong đều: o Không thời gian cong cùa Einstein NHÓM 3B Page 183 o Hình ảnh độ cong vật lí: Các dạng vi phân có ích nghiên cứu điện từ học NHÓM 3B Page 184 Hình học vi phân áp dụng học Lagrange học Hamilton Đặc biệt đa tạp Symplectic dùng để nghiên cứu hệ Hamilton NHÓM 3B Page 185 II III Trong kinh tế học, hình học vi phân có ứng dụng lĩnh vực kinh tế lượng Trong tin học Áp dụng hình học vi phân vào mô hình hình học (bao gồm đồ họa máy tính) thiết kế hình học máy tính làm đơn giản hóa đối tượng hình học NHÓM 3B Page 186 Trong trực quan máy tính (computer vision), hình học vi phân sử dụng để phân tích hình dạng NHÓM 3B Page 187 IV Trong kĩ thuật, áp dụng để giải vấn đề xử lý tín hiệu số lý thuyết đàn hồi V Trong xác suất, thống kê, lý thuyết thông tin, giải thích nhiều cấu trúc khác đa tạp Riemann, công cụ chủ yếu hình học thông tin (information geometry), đặc biệt thông qua metric thông tin Fisher NHÓM 3B Page 188 Trong địa chất cấu tạo, hình học vi phân sử dụng để phân tích miêu tả cấu trúc địa tầng NHÓM 3B Page 189 NHÓM 3B Page 190 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hà Thanh, Lí thuyết đường cong Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, Nhà xuất giáo dục, 2001 Dorcamo, Differential geometry of curves and surfaces, Englewood cliffs,1976 Đỗ Ngọc Diệp Nông Quốc Chinh, Hình học vi phân NHÓM 3B Page 191 [...]... tham số Ta nói tham số tương đương nếu tồn tại vi phôi nghĩa là: biến Ví dụ: 1 Cho hai đường tham số: Thì NHÓM 3B là hai đường tham số tương đương vì tồn tại ánh xạ: Page 30 là hai đường sao cho Rõ ràng khả vi trên và ánh xạ ngược cũng là hàm khả vi trên Nên là một vi phôi Và Vậy là hai đường tham số tương đương 2 Cho hai đường tham số: Hai đường tham số vi phôi không tương đương Giả sử chúng tương... Vậy là hai đường tham số tương đương 2 Cho hai đường tham số: Hai đường tham số vi phôi không tương đương Giả sử chúng tương đương Khi đó tồn tại sao cho Dễ thấy rằng hàm số Vậy không khả vi tại nên không là vi phôi (mâu thuẫn) không tương đương Ghi chú: 1 Quan hệ tương đương như định nghĩa trên là một quan hệ tương đương (theo nghĩa đại số), tức là nó có tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu 2 Một... thấy rằng đường tham số tự nhiên khả vi (trơn) là chính qui, vì Mệnh đề 1.6: ( cách tìm đường tham số tương đương với ) Với đường tham số chính qui bất kỳ, luôn tồn tại một đường tham số tự nhiên tương đương với nó Chứng minh Cho NHÓM 3B là một đường tham số tự nhiên, Page 32 , và: Vì mở nên hàm và hàm số tăng nghiêm ngặt trên Vì vậy ảnh của nó là một khoảng là một vi phôi Vì Nên tương đương với Mặt... và Ta có: Ta có: NHÓM 3B Suy ra: Page 12 Bài 3: Xác định kết quả sau đây có đúng không? a b Giải: Các kết quả trên không đúng Xét hàm vectơ có , suy ra Ta có: và Ta có: và Bài 5: Cho hàm vectơ khả vi trên Rõ ràng là Chứng minh rằng: a b c d NHÓM 3B Rõ ràng có phương không đổi Nếu và thì Page 13 nằm trong một mặt phẳng e Nếu và thì nằm trên một đường thẳng Chứng minh: a Ta có: với (đpcm) b