Hình vi phân pptx

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3 ¡ Tp. Hồ chí minh – 8/2008 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt tham số. Cho U là tập mở trong 2 ¡ , hàm véctơ ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi trên U . Khi đó ( ) r U là giá của mặt tham số. Hai mặt tham số ~ ~ 3 3 : , :r U r U® ® ¡ ¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~ : U U j ® sao cho ~ 0 r r j = , ký hiệu ~ r r : . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. 2. Mặt đơn. Cho mặt ( ) S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( ) S là mặt đơn. 3. Mặt chính qui. Cho mặt ( ) S có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a . Khi đó ( ) 0 0 , M r u v = là điểm chính qui của mặt ( ) S nếu hai véctơ ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( ) S chính qui tại mọi điểm ( ) , M r u v = , với ( ) , u v U Î thì ( ) S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. Tính chính qui của mặt ( ) S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). Nếu tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là điểm chính qui của mặt ( ) S thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm ( ) 0 0 0 , , M x y z nhận ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v làm cặp véctơ chỉ phương có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là pháp tuyến có phương trình 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = với , , a b c được tính bởi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v y u v z u v a y u v z u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v z u v x u v b z u v x u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v x u v y u v c x u v y u v = , hơn nữa không gian sinh bởi ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v tại điểm ( ) 0 0 , M r u v = là không gian tiếp xúc với mặt ( ) S tại điểm M , ký hiệu ( ) M T S . Khi đó ( ) ( ) ( ) M M S T S T S Î = U là tập tất cả các không gian tiếp xúc. 4. Đường trên mặt. Phaàn 1 3 Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và ( ) x là đường trong U có tham số ( ) ( ) u u t v v t ì = ï í = ï î , t I Î qua r cho ta đường cong ( ) ( ) S x Ì có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 : , I t t r u t v t j j ® = ¡ a . Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. Trường hợp 1. 0 v v = tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u t v v x ì = ï ¾¾® í = ï î có ( ) ( ) ( ) 0 , t u t v j = . Ta nói đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( ) S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là ( ) ' , u r u v . Trường hợp 2. 0 u u = tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u v v t x = ì ï ¾¾® í = ï î có ( ) ( ) ( ) 0 , t u v t j = . Ta nói đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( ) S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là ( ) ' , v r u v . 5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~ : U U j ® sao cho ~ 0 r r j = . Như ta đã biết ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ' ' ' ' u v u v J d u d v du dv r r r r d u d v dv du Ù = Ù 14243 , nếu 0 J > thì ( ) S là mặt định hướng được. Cho mặt ( ) S định hướng ta luôn có ~ ~ ~ ~ ' ' ' ' ' ' ' ' u v u v u v u v r r r r r r r r Ù Ù = Ù Ù . Tại mọi điểm ( ) , M r u v = ta luôn có một véctơ đơn vị ( ) ' ' , ' ' u v u v r r n u v r r Ù = Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( ) S . 6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a . Xét dạng toàn phương ( ) ( ) : , M I T S a I a a a ® = ¡ a . Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v I a E a Fa a G a = + + với , , E F G được xác định bởi ( ) ( ) 2 ' , u E r u v = , ( ) ( ) ' , . ' , u v F r u v r u v = , ( ) ( ) 2 ' , v G r u v = . Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 I a E du Fdudv G dv = + + . 7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và đường cong ( ) x có tham số ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , , t r u t v t t a b j = Î . Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' ' ' b t t t t a l E u Fu v G v dt = + + ò , với , , E F G được xác định như trên. 8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và hai đường cong ( ) 1 x có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ' ' ' ' ' u v t r u t v t t r u r v j j = = + ( ) 2 x có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ' ' ' ' ' u v t r u t v t t r u r v j j = = + ( 1 2 1 2 , , , u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ). Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( ) 1 x và ( ) 2 x là · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' os ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' Eu u F u v u v Gv v c E u Fu v G v E u Fu v G v x x + + + = + + + + . Trong trường hợp đặc biệt. Nếu ( ) 1 x có ( ) ( ) ( ) 1 0 , t r u t v j = , ( ) 2 x có ( ) ( ) ( ) 2 0 , t r u v t j = thì ( ) 1 ' ' ' u t t r u j = , ( ) 2 ' ' ' v t t r v j = . Khi đó · ( ) 1, 2 os F c EG x x = . 9. Ánh xạ Weingarten. Xét ánh xạ ( ) ( ) : M M h T S T S ® thỏa mãn ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' h u u u h v v v r h r n r h r n ì ¾¾® = - ï í ¾¾® = - ï î và ( ) ( ) ( ) : ' ' ' ' ' ' h u u v v u u v v u u v v M S a T a a r a r a a n a n a n a n Î = + ¾¾® = - + - = - - . ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( ) S ). Khi đó [ ] det h là độ cong Gauss của ( ) S và các giá trị riêng của ma trận [ ] h gọi là độ cong chính. Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu 0 A I l - = . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 5 10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a Ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , . . M M II T S T S a b I a b h a b a h b ® = = a là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó ( ) ( ) ( ) , . . II a a a h a h a a = = là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v II a L a Ma a N a = + + , với , , L M N được tính bởi ( ) ( ) ' , ' , u u L n u v r u v = - , ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' , ' , ' , u v v u M n u v r u v n u v r u v = - = - , ( ) ( ) ' , ' , v v N n u v r u v = - . Nếu mặt ( ) S có tham số hóa dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , r u v x u v y u v z u v = thì , , L M N được tính 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uu uu uu u u u v v v x y z L x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uv uv uv u u u v v v x y z M x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' vv vv vv u u u v v v x y z N x y z EG F x y z = - 11. Độ cong pháp dạng. Lấy ( ) : ' ' M u u v v a T S a a r a r Î = + . Độ cong pháp dạng của ( ) S tại điểm M theo phương a được ký hiệu ( ) M K a và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 u u v v M u u v v L a Ma a N a II a K a I a E a Fa a G a + + = = + + . Lưu ý. ( ) ( ) M M K a K a l = 12. Phương chính. Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( ) S , ( ) , 0 M a T S a Î ¹ . Ta nói a là phương chính của mặt ( ) S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay ( ) h a a l = với l là độ cong chính. Thấy rằng ( ) ( ) ( ) : ' , ' , M u u v v a T S a a r u v a r u v Î = + ta sẽ xác định , u v a a dựa vào định thức 2 2 0 v u v u a a a a E F G L M N - = . Khi đó 2 2 LN M K EG F - = - là độ cong Gauss, ( ) 2 2 2 EN GL FM H EG F + - = - là độ cong trung bình. 6 Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt ( ) S ta có thể dựa vào phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 EG F EN LG MF LN M l l - - + - + - = để ý rằng 1 2 1 2 . , 2 K H l l l l + = = . 13. Phân loại điểm trên mặt. Cho mặt ( ) S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3 : , , r U u v r u v ® ¡ a và độ cong Gauss tại điểm ( ) ( ) , A r u v S = Î có công thức 2 2 LN M K EG F - = - , độ cong chính tương ứng là 1 2 , l l . Nếu 0 K > thì A là điểm Eliptic. Nếu 0 K < thì A là điểm Hyperbolic. Nếu 0 K = thì A là điểm Parabolic. Nếu 1 2 l l = thì A là điểm rốn. Nếu 1 2 0 l l = ¹ thì A là điểm cầu. Nếu 1 2 0 l l = = thì A là điểm dẹt. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong 3 ¡ . a) Mặt Elipxoit tròn xoay. b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. d) Mặt Paraboloit tròn xoay. Giải. a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 x có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b + + = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin x y u a b z u b ì = + ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được .cos .cos .cos .sin .sin x a u v y b u v z b u = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 x là ( ) ( ) , .cos .cos , .cos .cos , .sin r u v a u v b u v b u = . Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( ) 0 y có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a + + = . Tương tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( ) 0 y là ( ) ( ) , .cos .cos , .cos .cos , .sin r u v a u v b u v a u = . b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a - + = . Phaàn 2 7 Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 os sin x y c u a b z u a ì = - ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được .cos . . os. .sin x a u chv y b c shv z a u = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là ( ) ( ) , .cos . , .cos . , .sin r u v a u chv b u shv a u = . c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b - - = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 x y ch u a b z sh u a ì = - ï ï í ï = ï î . Khi đó ta được . . . . . x a chu chv y b chu shv z b shu = ì ï = í ï = î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là ( ) ( ) , . . , . . , . r u v a chu chv b chu shv a shu = . d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng 2 2 2 x y pz + = . Đặt 2 1 2 os .c .sin y u z u p x u v v ì ï ï ï í ï = = î = ï ï . Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là ( ) 2 1 .c , sin ,, 2 os .r u v u v u v u p æ ö = ç ÷ è ø . Bài 2. Cho [ ] [ ] 0,2 0,2 U p p = ´ và hai hàm véctơ ~ ~ 3 3 : , :r U I r U U® Ì = ® ¡ ¡ xác định bởi công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin r u v u v u v u r u v v u v u v ì = + + ï í æ ö æ ö æ ö = + + ï ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø î a) Chứng minh rằng r và ~ r là các mặt tham số hóa và ( ) ~ ~ r U r U æ ö = ç ÷ è ø . b) r và ~ r có tương đương không? Vì sao? Giải. a) Dễ dàng kiểm tra được r , ~ r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm os, sin c u là các hàm số sơ cấp. Do ~ U U = nên ( ) ~ ~ r U r U æ ö = ç ÷ è ø . 8 b) Gi s r v ~ r tng ng tc l tn ti phộp bin i tham s ~ : U U j đ sao cho ~ 0 r r j = . Khi ú j l vi phụi bo ton hng t ~ U lờn U tc l det 0 J j > vi 1 1 2 2 ~ ~ ~ ~ u v J u v j j j j j ổ ử ả ả ỗ ữ ả ả ỗ ữ = ỗ ữ ả ả ỗ ữ ả ả ố ứ . Ta li cú ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 0 , , , , , , r u v r u v r u v r u v u v j j j ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 ~ ~ ~ 1 2 cos cos 2 os , os , 2 cos sin 2 os , sin , sin sin , v u c u v c u v v u c u v u v u u v j j j j j ỡ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử + = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ù ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ù ù ổ ử ù ổ ử ổ ử ổ ử + = + ớ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ù ù ổ ử = ù ỗ ữ ố ứ ù ợ . Suy ra ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ 2 , , u v v u v u j j ỡ ổ ử = ỗ ữ ù ù ố ứ ớ ổ ử ù = ỗ ữ ù ố ứ ợ Do ú 1 1 1 0 J j ổ ử = ỗ ữ ố ứ cú det 1 0 J j = - < (mõu thun). Vy ta cú iu cn chng minh. Bi 3. Cho U m trong Ă , mt ( ) S cú 3 : r U đ Ă xỏc nh bi ( ) ( ) 2 2 , , , r u v u v u v = - , vi mi ( ) , u v U ẻ . a) Chng minh r l tham s húa chớnh qui. b) Tỡm giao tuyn gia mt phng tip xỳc ( ) p ti im ( ) 0,1 A r = vi mt ( ) S . Gii. a) Xột ti im tựy ý ( ) , A r u v U = ẻ . Ly o hm theo bin , u v cho ta ( ) ( ) ( ) ( ) ' , 1,0,2 , ' , 0,1, 2 u v r u v u r u v v = = - . Suy ra ( ) ( ) ( ) ' ' , 2 ,2 ,1 u v r r u v u v = - Theo trờn ta li c ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' , 4 4 1 0, , u v r r u v u v u v U = + + ạ " ẻ . Do ú 2 vộct ( ) ( ) ' , , ' , u v r u v r u v c lp tuyn tớnh. Vy r l tham s húa chớnh qui hay ( ) S l mt chớnh qui. b) Phng trỡnh mt phng tip xỳc ( ) p ti ( ) ( ) 0,1 A r S = ẻ cú dng l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 u u u v v v x x y y z z x y z x y z - - - = (3.1), trong ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0,1 , , 0,1, 1 ' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0 ' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2 u u u v v v A r x y z x y z x y z ỡ = = = - ù = = = ớ ù = = = - ợ . 9 Thế vào (3.1) ta được 1 1 1 0 0 0 0 1 2 x y z- + = - hay 2 1 0 y z + - = . Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( ) p là 2 1 0 y z + - = . Lấy ( ) ( ) 2 2 , , , x u M x y z r u v y v z u v ì = ï Î Û = í ï = - î . Khi đó mặt ( ) 2 2 : S z x y = - . Từ đó cho ta 2 2 2 1 0 z x y y z ì = - í + - = î suy ra 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - = ì í ê + - = î ê ê - + = ì ê í + - = ê î ë Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( ) p với ( ) S là cặp đường thẳng có phương trình 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - = ì í ê + - = î ê ê - + = ì ê í + - = ê î ë . Bài 4. Trong 3 ¡ với mục tiêu trực chuẩn 0 xyz cho ( ) 2 : 0, P y z ax = = a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( ) P quay quanh trục 0 z . b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay. Giải. a) Quay ( ) 2 1 : 0 x z P a y ì = ï í ï = î quanh trục 0 z cho ta mặt tròn xoay ( ) S có phương trình 2 2 1 x y z a + = . b) Phương trình tham số hóa của mặt ( ) S là ( ) ( ) 2 , cos , sin , r u v u v u v au = . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( ) p tại điểm ( ) ( ) 0 0 , A r u v S = Î có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (4.1). Với ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , cos , sin , A r u v x y z u v u v au = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' cos ,sin ,2 u u u u r u v x y z v v au = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' sin , cos ,0 v v v v r u v x y z u v u v= = - . Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng ( ) p là ( ) ( ) 2 2 3 0 0 0 0 0 0 2 cos 2 sin 0 au v x au v y u z au + - - = . 10 Bi 5. Cho f l hm trn trờn tp m 2 U è Ă v mt ( ) S cú tham s húa 3 : r U đ Ă xỏc nh bi ( ) ( ) ( ) , , , , r u v u v f u v = , vi mi ( ) , u v U ẻ . a) Tỡm dng c bn th nht, th hai ca r . b) Tớnh cong Gauss K ca ( ) S ti mt im tựy ý. Gii. a) Dng c bn th nht ca r cú dng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v I a E a Fa a G a = + + (5.1) Vi ( ) ( ) ( ) 2 2 ' , 1 ' u u E r u v f= = + , ( ) ( ) ' , ' , ' . ' u v u v F r u v r u v f f = = ( ) ( ) ( ) 2 2 ' , 1 ' v v G r u v f= = + . Th vo (5.1) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ' 2 ' ' 1 ' u u u v u v v v I a f a f f a a f a ộ ự ộ ự = + + + + ở ỷ ở ỷ . Dng c bn th hai ca r cú dng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 u u v v II a L a Ma a N a = + + (5.2). Vi ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' uu uu uu u u u u u v v v v x y z f L x y z EG F f f x y z = = - + + ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' uv uv uv uv u u u u v v v v x y z f M x y z EG F f f x y z = = - + + ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' '' 1 ' ' ' 1 ' ' ' ' ' vv vv vv vv u u u u v v v v x y z f N x y z EG F f f x y z = = - + + Th vo (5.2) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 '' 2 '' '' 1 ' ' u u uv u v v v u v II a f a f a a f a f f = + + + + . b) cong Gauss ti mt im tựy ý c tớnh theo cụng thc 2 2 LN M K EG F - = - theo cõu a) ta c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' 1 ' ' u v uv u v f f f K f f - = + + . Bi 6. Cho [ ] [ ] 0,2 0,2 U p p = v mt xuyn ( ) S cú 3 : r U đ Ă xỏc nh bi cụng thc ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin r u v u v u v u = + + a) Xỏc nh cỏc ng ta ( ) ( ) 0 0 , , , r u v r u v ca r . b) Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc mt phng tip xỳc ti 2 im ( ) 0,0 , ,0 2 A r B r p ổ ử = = ỗ ữ ố ứ . Gii. [...]... đường tiệm cận của mặt sau đây 2 2 2 a) x = u 2 + v, y = u 3 + uv, z = u 4 + u 2v 3 b) z = xy 2 ỉ x c) z = a ç + ÷ èy xø Lời kết ! Hình vi phân là mơn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính tốn tốt mà tài liệu tiếng vi t vi t về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh Vì thời gian hồn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên khơng tránh những sai xót mong nhận... có í(p ) Ç ( 0 y ) = B 0, a 2u0 cos v0 , 0 ï ỉ ï 2 2 2 ï(p ) Ç ( 0 z ) = C ç 0,0, a a - u0 è ỵ ( ( ) ) ( Do đó u cầu của bài tốn tương đương với vi c ) 1 2 ư ÷ ø tính OA2 + OB 2 + OC 2 = u0 2 a 4 sin 2 v0 + u0 2 a 4cos 2 v0 + a 6 - a 4u0 2 = a 6 Bài 15 Vi t phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) và pháp tuyến của mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ( v cos u, v sin u , ku ) tại một điểm bất kỳ,... a2 + u 2 Suy ra góc giữa hai đường cong ( C1 ) , ( C2 ) tại điểm A = ( 0,0 ) là cosf = 1 - a2 1 + a2 ( ) Bài 19 Cho mặt ( S ) có dạng tồn phương cơ bản thứ nhất I = ( au ) + u 2 + a 2 ( av ) Tìm chu vi 2 2 1 2 ì ïu = ± av của tam giác cong trên ( S ) xác định bởi í 2 ïv = 1 ỵ Giải Xét hệ trục tọa độ ( 0uv ) cho ta cách xác định các đỉnh của tam giác ABC Ta thấy rằng u = 1 2 1 av giao với đường u... 0,1] AC í 2 ïv = t ỵ 1 Áp dụng cơng thức tính độ dài cung ta được l » = ò E ( u ') + 2 Fu ' v '+ G ( v ') dt = AC 2 2 0 1 ( ) a 2 7 t + 2 dt = a 2 6 0 =ò Tương tự ta cũng có l » = AB 7 10 a Do vậy chu vi tam giác là l » + l AC + lBC = a » » AB 6 3 Phần 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI { } Bài 1 Chứng minh rằng ánh xạ r : U = ( u , v ) Ỵ ¡ 2 | u > 0, v > 0 ® ¡ 3 là tham 2 2 ( u, v ) a r ( u , v ) = u , uv, v số hóa... cong Gauss K = - j '' j Bài 5 Cho mặt ( S ) có tham số hóa r ( u, v ) = ( u sin v, u cos v, v ) ì0 £ u £ sin v a) Tính diện tích của tam giác cong trên ( S ) xác định bởi í ỵ0 £ v £ v0 b) Tính chu vi của tam giác này c) Tìm các góc của tam giác Bài 6 Tìm những đường cong giao với đường v = const tạo thành một góc khơng đổi f trên mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = (u cos v, u sin v, a ln (u... lại có í(p ) Ç ( 0 y ) = B ( 0,3v0 ,0 ) Do đó VABCD = xA xB xC = 3u0 3v0 = a 3 điều 6 6 u0v0 2 ï 3 ï(p ) Ç ( 0 z ) = C ỉ 0,0, 3a ư ç ÷ ï u0v0 ø è ỵ này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD khơng phụ thuộc vào vi c chọn điểm M = r ( u0 , v0 ) Ỵ ( S ) ỉ u 2 + v2 ư Bài 17 Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷ 2 ø è Giải Lấy đạo hàm theo biến u , v ta có r 'u ( u, v ) . KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh vi n thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG. ữ ù ố ứ ợ . Do ú yờu cu ca bi toỏn tng ng vi vic tớnh 2 2 2 2 4 2 2 4 2 6 4 2 6 0 0 0 0 0 sin os OA OB OC u a v u a c v a a u a + + = + + - = . Bi 15. Vit phng trỡnh mt phng tip xỳc ( ) p . Lưu ý. Vi c tính độ cong chính của mặt ( ) S ta có thể dựa vào phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 EG F EN LG MF LN M l l - - + - + - = để ý rằng 1 2 1 2 . , 2 K H l l l l + = = . 13. Phân