Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường docx

Thật ra tham số hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ.. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đườ

Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài giảng này được ra đời Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng như các đồng nghiệp.

Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006

Tác giả

1 Lý thuyết đường 1

1.1 Đường tham số 1

1.1.1 Định nghĩa đường tham số 1

1.1.2 Đường tham số chính quy Độ dài cung 4

1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R3 7

1.2.1 Độ cong 7

1.2.2 Trường mục tiêu Frénet 9

1.2.3 Độ xoắn Công thức Frénet 10

1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn 13

1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R3 15

1.3 Đường tham số trong R2 (Đường tham số phẳng) 17

1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng 19

1.3.2 Đường tròn mật tiếp 20

1.3.3 Đường túc bế và đường thân khai 21

1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng 23

1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu 24

1.4.2 Định lý bốn đỉnh 29

Lý thuyết đường

1.1 Đường tham số

Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân Do đómột cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúnghoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi

1.1.1 Định nghĩa đường tham số

Định nghĩa 1 Cho ánh xạ

với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực ) Gọi C = c(I) ⊂ Rn, ảnh của toàn bộ tập

I Khi đó (C, c) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số

hóa c và tham số t C được gọi là vết của đường tham số.

Nếu c là hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ thì tương ứng ta nói C là đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞

Giả sử c(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t)), thì c khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ) có nghĩa

là các hàm thành phần

xi : I −→ R

khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ).

Nếu c là khả vi thì vector c0(t) := (x01(t), x02(t), , x0n(t)) ∈ Rn, gọi là vector tiếp

xúc hay vector vận tốc của C tại c(t) (hay của c tại t).

Chú ý.

1 Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu

là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết Từ đây trở đi chúng ta chỉxét các đường tham số khả vi Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ

bỏ đi từ khả vi

2 Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số ta

có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết Thật ra tham số

hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói

về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ Đây là lý do đa sốcác tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó Chúng tacũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này Nhiều tài liệu sử dụng thuậtngữ cung tham số thay vì đường tham số

3 Khái niệm đường cong trong chương này sẽ được hiểu là vết của một đườngtham số nào đó Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng

hơn (xem Nhận xét ??, Chương II).

4 Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C ⊂ Rn có thể có nhiều tham sốhóa khác nhau Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau

Ví dụ 1 Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f (x) với miền xác định

Ví dụ 2 Đường tham số (với tham số hóa)

c(t) = p + tv ∈ Rn,

là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v

Ví dụ 3 Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng

c(t) = (r cos t, r sin t),

Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc Đường nằm trên mặt trụ x2+ y2 = a2 với

độ dốc 2πb Tham số t chính là góc giữa trục x với đường thẳng nối O với hình chiếu của c(t) lên mặt phẳng Oxy.

là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x2+ y2 = 1 Chúng xác định hai

đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dàikhác nhau

Ví dụ 10 Hai ánh xạ c, r : R −→ R2, xác định bởi

c(t) = (t, t), r(t) = (t3, t3);

là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y Chúng xác định hai đường

tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau Hai đường cong này

mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khácnhau Đường cong thứ nhất mô tả chuyển động đều trên đường thẳng Đường cong

tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t < 0), vận tốc tức thời bằng không tại t = 0, và sau đó (với t > 0) chuyển động nhanh dần

1.1.2 Đường tham số chính quy Độ dài cung

Định nghĩa 2 Cho đường tham số c : I −→ Rn Nếu c0(t) 6= 0 thì t (hay c(t)) gọi

là điểm chính quy còn những điểm mà c0(t) = 0 gọi là điểm kỳ dị Với mỗi t ∈ I

mà c0(t) 6= 0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua c(t) với vector chỉ phương c0(t) là tiếp tuyến của c tại t.

Đường tham số c : I −→ Rn gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm đều là

điểm chính qui, tức là c0(t) 6= 0 với mọi t ∈ I.

Định nghĩa 3 Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ Rn, từ

điểm t0 đến t, với t0, t ∈ I, được định nghĩa là số

Định nghĩa 4 Đường tham số chính qui c : I −→ Rn, (n = 2, 3) với |c(t)| = 1, ∀t

gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vịhay đường tham số với tham số hóa tự nhiên Tham số độ dài cung thường được

Định nghĩa 5 Hai đường tham số c : I −→ Rn, r : J −→ Rn gọi là tương đương

nếu tồn tại vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ.

Nhận xét.

1 Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương đương với nó thì r cũng chính qui Nếu ϕ0 < 0, thì c0 và r0 ngược chiều nhau

Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng.

2 Nếu ϕ0 > 0, thì c0 và r0 cùng chiều Trong trường hợp này ta nói c và r là

tương đương cùng hướng

3 Cho đường tham số chính qui c : [a, b] −→ Rn Khi đó ta có thể định nghĩa

độ dài của đường tham số c là số

L(c) =

Z b a

|c0(t)|dt.

Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c : [a, b] −→ Rn và r : [c, d] −→ Rn

là tương đương thì L(c) = L(r) Thật vậy,

L(c) =

Z b a

|c0(t)|dt =

Z b a

|(r ◦ ϕ)0(t)|dt

Z b a

|(r0(ϕ(t))|.|ϕ0(t)|dt =

Z d c

|(r0(τ )|dτ

Ví dụ 11 Cho c : I −→ Rn là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung

với I = (a, b) Ta xác định đường tham số r : (−b, −a) −→ Rn, r(−s) = c(s) Khi

đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r0(−s)| = |c0(s)|, nhưng r0(−s) = −c0(s).

Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau

Chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.1.1 Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham

số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó

Chứng minh Giả sử c : I −→ Rn là đường tham số với tham số không nhấtthiết là độ dài cung Xét hàm

−1

| = 1 Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c.

Ví dụ 12 Cho đường tham số

c(t) = (a cos t, a sin t, bt); t ∈ R, a > 0, b 6= 0.

Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0 đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c.

Ta có

L(c|[0,1]) =

Z 1 0

|c0(t)|dt =

Z 1 0

1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R3

Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R3.

1.2.1 Độ cong.

Định nghĩa 6 Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R3 Số

không âm |c00(s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s) Khi đó ta có hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c.

Ý nghĩa hình học của độ cong Gọi θ là góc giữa c0(s) và c0(s + 4s) (tính bằng

radian) thì

k(s) = lim

4s→0

θ

4s

Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số.

trong đó  → 0 khi 4s → 0 Từ đây,

lim

→0

lim4s→0|c00(s) + | = |c00(s)| = k(s).

Do đó có thể nói độ cong k(s) đo sự thay đổi của góc giữa các tiếp tuyến tại s và tiếp tuyến tại s + 4s Nó cho thấy độ “tách” khỏi tiếp tuyến tại s của đường cong.

Nhận xét.

1 Nếu đường tham số là đường thẳng c(s) = vs + p thì hàm độ cong bằng không Ngược lại, nếu đường tham số có k(s) = 0, ∀s ∈ I thì dễ dàng chứng minh được rằng đường có tham số hóa dạng c(s) = vs + p, nghĩa là đường là

đường thẳng (hoặc một phần của đường thẳng)

2 Nếu đảo ngược hướng của đường thì dễ thấy vector tiếp xúc đổi hướng còn

vector c00(s) không thay đổi Từ đây suy ra vector c00(s) và hàm độ cong là

các bất biến (không thay đổi) không phụ thuộc vào hướng của đường

1.2.2 Trường mục tiêu Frénet.

Định nghĩa 7 Cho đường tham số c : I −→ R3 Nếu tại t ∈ I hệ gồm hai vector

{c0(t), c00(t)} độc lập tuyến tính thì t (hay c(t)) được gọi là điểm song chính qui.

Đường tham số mà mọi điểm đều là điểm song chính qui được gọi là đường tham

số song chính qui

Nhận xét Dễ thấy rằng một đường tham số r tương đương với một đường tham

số song chính qui c thi r cũng là song chính qui.

Cho đường tham số song chính qui với tham số là độ dài cung c : I −→ R3 Do

|c0(s)| = 1, nên suy ra c00(s).c0(s) = 0 Nói cách khác c0(s) ⊥ c00(s) Chúng ta đặt

Như vậy, chúng ta có các hàm vector t, n, b : I −→ R3 Tại mỗi s ∈ I (chính xác là

tại mỗi c(s) ∈ c(I)) chúng ta có một mục tiêu trực chuẩn {c(s); t(s), n(s), b(s)} Chúng ta gọi {t, n, b} là trường mục tiêu Frénet dọc đường cong c Chúng ta còn

có các khái niệm sau:

1 Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương n(s) gọi là pháp tuyến chính.

2 Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương b(s) gọi là trùng pháp tuyến.

3 Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương t(s), n(s) gọi là mặt phẳng mật tiếp Như vậy mặt phẳng mật tiếp tại c(s) nhận vector trùng pháp b(s)

làm vector pháp

t(

Tiếp tuy

của đường tại s.

1.2.3 Độ xoắn Công thức Frénet

Cho c : I −→ R3là đường cong song chính qui với trường mục tiêu Frénet {t, n, b}.

Do |b(s)| = 1, ta suy ra b(s) ⊥ b0(s) Mặt khác

b0(s) = (t(s) ∧ n(s))0 = t0(s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n0(s) = t(s) ∧ n0(s).

Từ đây ta suy ra b0(s) ⊥ t(s) và do đó b0(s)cùng phương với n(s) Như vậy có

hàm số τ : I −→ R sao cho với mọi s ∈ I

b0(s) = −τ (s).n(s).

Ta gọi τ (s) là độ xoắn của đường tại s (hay tại c(s)) và gọi τ là hàm độ xoắn của

có độ cong) và xoắn nó (ta có độ xoắn)

Ý nghĩa hình học của độ xoắn Nếu gọi θ là góc giữa b(s) và b(s + 4s) (tính

bằng radian) thì đây cũng là góc giữa mặt phẳng mật tiếp tại s và mặt phẳng mật tiếp tại s + 4s Khi đó

|τ (s)| = lim

4s→0

θ

4s

Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh cho trường hợp độ cong

Do đó có thể nói độ xoắn τ (s) đo sự thay đổi của góc giữa các trùng pháp tuyến (hay mặt phẳng mật tiếp) tại s và trùng pháp tuyến (hay mặt phẳng mật tiếp) tại s + 4s Nó cho thấy độ “tách” khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s của đường cong.

Bổ đề 1.2.1 Cho đường tham số chính qui với tham số độ dài cung c : I −→ R3,

với k(s) > 0, ∀s ∈ I Khi đó hàm độ xoắn τ = 0 khi và chỉ khi c là một đường

cong phẳng, nghĩa là vết của nó nằm trên một mặt phẳng

Chứng minh Giả sử τ = 0 Theo công thức Frénet b0 = 0 Ta suy ra b = a (const.) với |a| = 1 Do b.t = 0, tức là a.c0 = 0, ta suy ra a.c = λ (const.) Chọn

(hoặc là một phần của đường tròn).

Chứng minh Xét hàm vector γ : I −→ R3, xác định bởi:

k trong mặt phẳng Π.

Mệnh đề 1.2.3 ( Áp dụng của công thức Frénet.) Cho c : I −→ R3 là đường

tham số chính qui với tham số độ dài cung Nếu C nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r > 0 thì

Do đó, k = 1

|c.n| ≥

1

r .

1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn

Cho c : I −→ R3 là đường tham số song chính qui với tham số bất kỳ t và

c(t) = c(s(t)), ∀t ∈ I.

Để các khái niệm trường mục tiêu Frénet, độ cong độ xoắn mang ý nghĩa trực

quan về mặt hình học, chúng ta sẽ định nghĩa độ cong k(t), độ xoắn τ (t), trường

mục tiêu Frénet {t(t), n(t), b(t)} của c tại t chính là các độ cong k(s(t)), độ xoắn

τ (s(t)), trường mục tiêu Frénet {t(s(t)), n(s(t)), b(s(t))}của c tại s(t) Như vậy,

chúng ta có các định nghĩa:

k(t) := k(s(t)),

τ (t) := τ (s(t)),

t(t) := t(s(t)), n(t) := n(s(t)), b(t)} := b(s(t)).

Bổ đề 1.2.4 Với các ký hiệu như trên, chúng ta có

Bổ đề 1.2.5 Ta có các công thức sau đối với đường tham số bất kỳ

1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R3

Định lý 1.2.6 Với các hàm khả vi k(s) > 0 và τ (s), s ∈ I, cho trước, tồn tại một

đường tham số song chính qui c : I −→ R3 sao cho s là độ dài cung, k là hàm độ cong và τ là hàm độ xoắn của c Hơn nữa hai đường tham số song chính qui như

thế sai khác với nhau một phép dời thuận

Chứng minh Chứng minh sự tồn tại liên quan đến định lý tồn tại và duy nhất

nghiệm của phương trình vi phân thường Chúng ta chấp nhận sự tồn tại và chỉtrình bày chứng minh tính duy nhất sai khác phép dời thuận

Chú ý rằng độ dài cung, độ cong và độ xoắn là các bất biến đối với phép dời thuận

Ví dụ, giả sử ϕ : R3 −→ R3 là một phép dời thuận, khi đó ta có

Z b a

... class="text_page_counter">Trang 18

1. 2.5 Định lý cho đường tham số R3

Định lý 1. 2.6 Với hàm khả vi k(s) > τ (s), s ∈...

Hình 1. 3: Độ cong đo tách khỏi tiếp tuyến đường tham số.

trong  → 4s... vào hướng đường

1. 2.2 Trường mục tiêu Frénet.

Định nghĩa Cho đường tham