Đang tải... (xem toàn văn)
Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguy ễ n Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguy ễ n Thành An.. Học phần.[r]
(1)TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC
Tài liệu hỗ trợ mơn HÌNH VI PHÂN
Trích giảng tập thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực Nguyễn Thành An
Học phần
(2)MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt tham số
Cho Ulà tập mở ¡2, hàm véctơ
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a là mặt tham số r ánh xạ khả vi
trên U Khi r U( ) giá mặt tham số
Hai mặt tham số r U: ®¡3, :r U~ ~ ®¡3là tương đương tồn vi phơi j:U ®U~ cho ~
0
r =r j, ký hiệu r :r~ Nếu hai mặt tham sốtương đương với giá chúng trùng 2. Mặt đơn
Cho mặt ( )S có tham số hóa r, r đơn ánh ( )S mặt đơn 3. Mặt qui
Cho mặt ( )S có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a Khi M =r u v( 0, 0) điểm qui
mặt ( )S hai véctơ r'u(u v0, 0), 'r v(u v0, 0) độc lập tuyến tính Nếu mặt ( )S qui điểm M =r u v( ), , với ( )u v, ỴU ( )S mặt qui Điểm khơng qui điểm kỳ dị
Tính qui mặt ( )S khơng phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh) Nếu điểm M =r u v( 0, 0) là điểm qui mặt ( )S phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện điểm M x y z( 0, 0, 0)nhận r'u(u v0, 0), 'r v(u v0, 0) làm cặp véctơ chỉphương có
dạng ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- -
-=
Đường thẳng vng góc với mặt phẳng tiếp xúc điểm M =r u v( 0, 0) là pháp tuyến có phương trình x x0 y y0 z z0
a b c
- = - =
với a b c, , tính ( ) ( )
( 00 00) ( 00 00)
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
y u v z u v
a
y u v z u v
= ,
( ) ( )
( 00 00) ( 00 00)
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
z u v x u v
b
z u v x u v
= , ( ) ( )
( 00 00) ( 00 00)
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
x u v y u v
c
x u v y u v
= , không gian sinh
( 0) ( 0) 'u , , 'v ,
r u v r u v điểm M =r u v( 0, 0) không gian tiếp xúc với mặt ( )S điểm M , ký hiệu TM( )S Khi ( ) ( )
( ) M M S
T S T S
Ỵ
= U tập tất không gian tiếp xúc 4. Đường mặt
(3)Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a ( )x đường Ucó tham số
( ) ( )
u u t
v v t
ì = ï í
=
ùợ , tẻI qua r cho ta ng cong ( ) ( )x Ì S có ( ) ( ( ) ( ))
3 :
, I
t t r u t v t
j
j
®
= ¡ a
Ta khảo sát trường hợp đặc biệt sau
Trường hợp v=v0tương ứng với đường ( ) ( )
r
u u t
v v x
ỡ =
ù ắắđ
=
ïỵ có j( )t =(u t v( ), 0) Ta nói họ tham số thứ mặt ( )S Các tiếp tuyến đường tham số thứ có phương
( ) 'u , r u v
Trường hợp u =u0tương ứng với đường
( ) ( )
0 r
u u
v v t x
=
ỡù ắắđ =
ïỵ có j( )t =(u v t0, ( )) Ta nói họ tham số thứ hai mặt ( )S Các tiếp tuyến đường tham số thứ hai có phương
( ) 'v , r u v
5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị mặt định hướng Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a , theo hai mặt tham số hóa gọi
tương đương tồn vi phơi j:U ®U~ cho r =r~0j Như ta biết
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
'u 'v ' '
u v
J
d u d v
du dv
r r r r
d u d v
dv du
Ù = Ù
14243
, J >0 ( )S mặt định hướng
Cho mặt ( )S định hướng ta ln có
~ ~
~ ~
' ' ' '
' '
' '
u v u v
u v
u v
r r r r
r r
r r
Ù = Ù
Ù Ù Tại điểm M =r u v( ), ta có
một véctơ đơn vị ( ), ' ' ' ' u v
u v r r n u v
r r Ù =
Ù véctơ pháp tuyến đơn vị ( )S 6. Dạng toàn phương thứ
Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a Xét dạng tồn phương
( )
( ) : M
(4)( ) ( )2 ( )2
u u v v
I a =E a + Fa a +G a với E F G, , xác định E=(r'u( )u v, )2, ( ) ( )
'u , 'v ,
F =r u v r u v , G=(r'v( )u v, )2
Đối với dạng toàn phương thứ ta thường quen nhìn dạng
( ) ( )2 ( )2
2
I a =E du + Fdudv+G dv
7. Cơng thức tính độ dài cung mặt Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a đường cong ( )x có tham số
( )t r u t v t( ( ) ( ), ),t [ ]a b,
j = Ỵ Khi cơng thức tính độ dài cung mặt
( )2 ( )2
' ' ' '
b
t t t t
a
l =ò E u + Fu v +G v dt, với , , E F G xác định 8. Cơng thức góc hai đường cong mặt
Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a hai đường cong
( )x1 có j1( )t =r u t v t( 1( ) ( ), ), 'j 1( )t =r'u1u'1+r'v1v'1 ( )x2 có j2( )t =r u t v t( 2( ) ( ), ), 'j 2( )t =r'u2u'2+r'v2v'2 (u u v v1, 2, ,1 2 lấy đạo hàm theo biến t)
Khi cơng thức tính góc đường cong ( )x1 ( )x2
·
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1
1, 2 2 2 2
1 1 2 2
' ' ' ' ' ' ' '
os
' ' ' ' ' ' ' '
Eu u F u v u v Gv v
c
E u Fu v G v E u Fu v G v
x x = + + +
+ + + +
Trong trường hợp đặc biệt
Nếu ( )x1 có j1( )t =r u t v( ( ), 0), ( )x2 có j2( )t =r u v t( 0, ( )) j'1( )t =r u'u 't, ( )
2
' t r v'v 't
j = Khi cos( )·1, 2 F EG x x = 9. Ánh xạ Weingarten
Xét ánh xạ h T: M ( )S ®TM ( )S thỏa mãn ( ) ( )
' ' '
' ' '
h
u u u
h
v v v
r h r n
r h r n
ỡ ắắđ = -ù
ớ
ắắđ = -ùợ
v aẻTM S( ):a=a ru 'u+a rv 'vắắhđ =a au(-n'u)+av(-n'v)= -a nu 'u-a nv 'v
ta gọi ánh xạ h xác định ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng ( )S ) Khi [ ]
det h độ cong Gauss ( )S giá trị riêng ma trận [ ]h gọi độ cong
Nhận xét h ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h khơng phụ thuộc vào tham số Ma trận ánh xạ tuyến tính h ma trận cấp 2, llà giá trị riêng ma trận h
0
(5)10.Dạng toàn phương thứ hai Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡ a
Ánh xạ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
:
, ,
M M
II T S T S
a b I a b h a b a h b
®
= =
a dạng song tuyến tính đối xứng Khi
( ), ( ) ( )
II a a =a h a =h a a dạng tồn phương thứ hai có cơng thức dạng
( ) ( )2 ( )2
2
u u v v
II a = L a + Ma a +N a , với L M N, , tính L= -n'u( ) ( )u v r, 'u u v, ,
( ) ( ) ( ) ( )
'u , 'v , 'v , 'u ,
M = -n u v r u v = -n u v r u v , N = -n'v( ) ( )u v r, 'v u v,
Nếu mặt ( )S có tham số hóa dạng r u v( ), =(x u v( ) ( ) ( ), ,y u v z u v, , , ) L M N, , tính
2
'' '' ''
' ' '
' ' '
uu uu uu
u u u
v v v
x y z
L x y z
EG F x y z
=
- ,
'' '' ''
' ' '
' ' '
uv uv uv
u u u
v v v
x y z
M x y z
EG F x y z
=
- ,
2
'' '' ''
' ' '
' ' '
vv vv vv
u u u
v v v
x y z
N x y z
EG F
x y z
=
-11.Độ cong pháp dạng
Lấy aỴTM ( )S :a=a ru 'u+a rv 'v Độ cong pháp dạng ( )S điểm M theo phương a ký hiệu KM ( )a ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2
2
u u v v
M
u u v v
L a Ma a N a
II a
K a
I a E a Fa a G a
+ + = =
+ +
Lưu ý KM( )l =a KM( )a 12.Phương
Giả sử h ánh xạ Weingarten ca mt ( )S , aẻTM( )S ,aạ0 Ta nói alà phương mặt ( )S a véctơ riêng ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h a( )=la với llà độ cong
Thấy aỴTM ( )S :a =a ru 'u( )u v, +a rv 'v( )u v, ta xác định a au, v dựa vào định thức
2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-=
Khi
2
2
LN M
K
EG F
-=
- độ cong Gauss, ( 2) 2
EN GL FM H
EG F
+
-=
(6)Lưu ý Việc tính độ cong mặt ( )S ta dựa vào phương trình
( 2) ( ) ( 2)
2
EG-F l - EN+LG- MF l+ LN -M = để ý ,2
2
K =l l H = l l+
13.Phân loại điểm mặt
Cho mặt ( )S qui có tham số hóa
( ) ( )
3 :
, ,
r U
u v r u v
®¡
a độ cong Gauss điểm
( ) ( ),
A=r u v Ỵ S có cơng thức
2
2
LN M
K
EG F
-=
- , độcong tương ứng l l1,
Nếu K >0 A là điểm Eliptic Nếu K<0 A là điểm Hyperbolic Nếu K =0 A điểm Parabolic
Nếu l1 =l2 A là điểm rốn Nếu l1=l2 ¹0 A là điểm cầu Nếu l1=l2 =0thì A điểm dẹt
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài Viết phương trình tham số hóa mặt trịn xoay sau ¡3 a) Mặt Elipxoit tròn xoay
b) Mặt Hyperboloit tầng tròn xoay c) Mặt Hyperboloit tầng tròn xoay d) Mặt Paraboloit tròn xoay
Giải
a) Phương trình Elipxoit trịn xoay quay quanh trục ( )0x có dạng
2 2
2 2
x y z
a + b +b =
Đặt
2
2
2
2
2 cos
sin
x y
u
a b
z u
b
ì
= + ïï
í
ï = ïỵ
Khi ta
.cos cos cos sin sin
x a u v
y b u v
z b u
= ì ï = í ï = î
Do phương trình tham số hóa mặt Elipxot trịn xoay quay quanh trục ( )0x ( ) (, cos cos , cos cos , sin )
r u v = a u v b u v b u
Phương trình Elipxoit trịn xoay quay quanh trục ( )0y có dạng
2 2
2 2
x y z
a +b + a = Tương tự cho ta phương trình tham số hóa mặt Elipxoit trịn xoay quay quanh trục
( )0y r u v( ) (, = a.cos cos , cos cos , sinu v b u v a u) b) Phương trình Hyperboloit tầng trịn xoay có dạng
2 2
2 2
x y z
a -b + a =
(7)Đặt
2
2
2
2
2 os
sin
x y
c u
a b
z u
a
ì
= -ïï
í
ï = ïỵ
Khi ta
.cos os .sin
x a u chv
y b c shv
z a u
= ì ï = í ï = ỵ
Do phương trình tham số hóa
của Hyperboloit tầng trịn xoay r u v( ) (, = a.cos u chv b, cos u shv a, sinu) c) Phương trình Hyperboloit tầng trịn xoay có dạng
2 2
2 2
x y z
a -b -b =
Đặt
2
2
2
2
2
x y ch u
a b z sh u
a ì
=
-ïï í
ï =
ïỵ
Khi ta
x a chu chv
y b chu shv
z b shu
= ì ï = í ï = ỵ
Do phương trình tham số hóa
Hyperboloit tầng tròn xoay r u v( ) (, = a chu chv b chu shv a shu , , ) d) Phương trình Parabolit trịn xoay có dạng x2+ y2 =2pz
Đặt
2
os c sin
y u
z u
p
x u
v v
ì ï ïï í ï == ỵ
=
ï ï
Khi phương trình tham số hóa Paraboloit trịn xoay
( )
.c , sin , ,
2 os
r u v u v u v u p
ỉ
= ỗ ữ
ố ứ
Bi Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p] hai hàm véctơ r U: ® ÌI ¡3, :r U~ ~ = ®U ¡3 xác định
công thức
( ) (( ) ( ) )
( ) ~ ~ ~ ~
~ ~
, cos cos , cos sin ,sin , cos cos , cos sin ,sin
r u v u v u v u
r u v v u v u v
ì = + +
ï
í ỉỉ ư ỉ ư ư
= + +
ù ỗốỗố ữứ ỗố ữứ ữứ ợ
a) Chứng minh rvà r~là mặt tham số hóa v r U( )= ỗ ữr U~ổ ử~
ố ø
b) rvà r~ có tương đương khơng? Vì sao? Giải
a) Dễ dàng kiểm tra r, r~ ánh xạ khả vi hàm cos, sinulà hàm số sơ cấp Do U =U~nờn r U( )= ỗ ữr U~ổ ử~
(8)b) Giả sử r r~ tương đương tức tồn phép biến đổi tham số j:U~ ®U cho ~r=r0j
Khi j vi phơi bảo tồn hướng từ U~lên Utức detJj >0 với
1
2
~ ~
~ ~
u v J
u v
j
j j
j j
æ ả ả
ỗả ả ữ
ỗ ữ
=
ỗ ả ả ữ
ỗả ả ÷
è ø
Ta lại có r u v~ổỗ ~ ~, ửữ=( )r0j ổỗu v~ ~, ửữr u v~ổỗ~ ~, ữử=rỗổj1ỗổu v~ ~, ửữ,j2ổỗu v~ ~, ö÷ö÷
è ø è ø è ø è è ø è øø
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~
2 cos cos os , os ,
2 cos sin os , sin ,
sin sin ,
v u c u v c u v
v u c u v u v
u u v
j j
j j
j
ìỉ + =ổ + ổ ửử ổ
ỗ ữ ç ÷ ç ÷
ïè ø çè è ø÷ø è ø ï
ï ỉ ư
ïỉ ổ ổ
ớỗ + ữ =ỗ + ỗ ữữ ỗ ữ ố ứ ố ố ứứ ố ứ ù
ù ổ ử =
ù ỗ ữ ố ứ ùợ
Suy
~ ~ ~
1
~ ~ ~
2 ,
,
u v v
u v u
j j
ỡ ổ ử = ỗ ữ ùù ố ứ
ổ ù ỗ ữ= ù ố ứ ợ
Do ú 1
1 Jj = ỗổ ửữ
ố ứ có detJj = - <1 0(mâu thuẫn)
Vậy ta có điều cần chứng minh
Bài Cho Umở ¡, mặt ( )S có r U: ®¡3 xác định r u v( ), =(u v u, , 2-v2), với ( )u v, ỴU
a) Chứng minh rlà tham số hóa qui
b) Tìm giao tuyến mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm A=r( )0,1 với mặt ( )S Giải
a) Xét điểm tùy ý A=r u v( ), ỴU
Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta r'u( ) (u v, = 1, 0, 2u r), 'v( ) (u v, = 0,1, 2- v) Suy (r'uÙr'v)( ) (u v, = -2 , ,1u v )
Theo ta lại (r'uÙr'v)( )u v, = 4u2+4v2+ ¹ "1 0, ( )u v, ÎU Do véctơ r'u( )u v r, , 'v( )u v, độc lập tuyến tính
Vậy rlà tham số hóa qui hay ( )S mặt qui
b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p A=r( ) ( )0,1 Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- -
-= (3.1), đó
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0,1 , , 0,1, ' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 ' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1
u u u
v v v
A r x y z
x y z
x y z
ì = = = -ï
= = =
í
ï = = =
-ỵ
(9)Thế vào (3.1) ta
1
1 0
0
x y- z+
=
hay 2y+ - =z Do phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p 2y+ - =z Lấy ( ) ( )
2
, , ,
x u
M x y z r u v y v
z u v
ì = ï Ỵ Ûí =
ï = -ỵ
Khi mặt ( )S :z= x2- y2
Từđó cho ta
2
2
z x y y z ì = -í
+ - =
ỵ suy
1
2
1
2
x y
y z
x y
y z
éì + - = í
ê + - = ỵ
ê
êì - + = êí + - = êỵ
ë
Do giao tuyến mặt phẳng tiếp xúc ( )p với ( )S cặp đường thẳng có phương trình
2
1
2
x y y z x y
y z éì + - =
í
ê + - = ỵ
ê
êì - + = êí + - = êỵ
ë
Bài Trong ¡3với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho ( )P :y =0,z =ax2 a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ( )P quay quanh trục 0z b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc điểm tùy ý mặt tròn xoay Giải
a) Quay ( )
2
:
0
x z
P a
y
ì = ï í ï = ỵ
quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( )S có phương trình x2 y2 1z a
+ = b) Phương trình tham số hóa mặt ( )S r u v( ), =(ucos , sin ,v u v au2)
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm A=r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- -
-= (4.1)
Với A=r u v( 0, 0) (= x y z0, 0, 0)=(u0cosv u0, 0sinv au0, 02)
( 0) ( ) ( 0 0)
'u , ' , ' , 'u u u cos ,sin , r u v = x y z = v v au
(10)Bài Cho f hàm trơn tập mở U Ì¡2và mặt ( )S có tham số hóa r U: ®¡3 xác định r u v( ), =(u v f u v, , ( ), ), với ( )u v, ỴU
a) Tìm dạng thứ nhất, thứ hai r
b) Tính độ cong Gauss Kcủa ( )S điểm tùy ý Giải
a) Dạng thứ r có dạng I a( )=E a( )u 2+2Fa au v +G a( )v (5.1) Với E=(r'u( )u v, )2 = +1 ( )f 'u 2, F =r'u( ) ( )u v r, 'v u v, = f ' 'u f v
( )
( )2 ( )2
'v , 'v
G= r u v = + f
Thế vào (5.1) ta I a( )= +ëé1 ( ) ( )f 'u 2ûù au 2+2 'f u f 'va au v + +éë1 ( ) ( )f 'v 2ùû av Dạng thứ hai r có dạng II a( )= L a( )u 2+2Ma au v +N a( )v 2(5.2) Với
( ) ( )
2 2
'' '' ''
''
' ' '
1 ' '
' ' '
uu uu uu
u
u u u
u v
v v v
x y z
f
L x y z
EG F x y z f f
= =
- + +
( ) ( )
2 2
'' '' ''
''
' ' '
1 ' '
' ' '
uv uv uv
uv
u u u
u v
v v v
x y z
f
M x y z
EG F f f
x y z
= =
- + +
( ) ( )
2 2
'' '' ''
''
' ' '
1 ' '
' ' '
vv vv vv
vv
u u u
u v
v v v
x y z
f
N x y z
EG F x y z f f
= =
- + +
Thế vào (5.2) ta ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
2
2
1
'' '' ''
1 ' '
u u uv u v v v
u v
II a f a f a a f a
f f
= + +
+ +
b) Độ cong Gauss điểm tùy ý tính theo công thức
2
2
LN M K
EG F -=
- theo câu a) ta
được ( )
( ) ( )
2
'' '' ''
1 ' '
u v uv
u v
f f f
K
f f
-=
+ +
Bài Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p] mặt xuyến ( )S có r U: ®¡3 xác định cơng thức ( ) (, ( cos )cos , cos( )sin ,sin )
r u v = + u v + u v u
a) Xác định đường tọa độ r u v( , 0) (, r u v0, ) r
b) Lập phương trình tổng quát mặt phẳng tiếp xúc điểm ( )0, , ,
A=r B= ỗrổp ö÷
è ø
(11)a) Với v=v0tương ứng với đường ( ) ( )
r
u u t
v v x
ỡ =
ù ắắđ
=
ùợ Với điểm MỴ( )x cho ta
( )
( )
0
0
0 cos cos
sin cos
2 cos sin suy
sin sin
x u v
x v y v
y u v
z u
z u
ì = +
- =
ï ì
= +
í í - =
ỵ ï =
ỵ
Do họ tham số v=v0là đường thẳng có phương trình sin cos 0 sin
x v y v
z u
- = ì
í - =
ỵ Khi
0
v thay đổi đường thẳng tạo thành lưới tọa độ thứ Với u =u0tương ứng với đường
( ) ( )
0 r
u u
v v t x
=
ỡù ắắđ =
ùợ Với điểm MỴ( )x cho ta
( )
( )
0
0
0
2 cos cos cos sin sin
x u v
y u v
z u
ì = + ï
= + í
ï = î
suy ( )
2
2
0
0
2 cos sin
x y u
z u
ì + = + ï
í
- =
ïỵ Do họ tham số u =u0là
đường tròn giao mặt phẳng z-sinu0 =0 mặt trụ Khi u0thay đổi đường thẳng tạo thành lưới tọa độ thứ hai
b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )pA điểm A=r( ) ( )0,0 Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
' 0, ' 0, ' 0, 0 ' 0, ' 0, ' 0,
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- -
-= (6.1) với
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0, 0, 3, 0, ' 0, 0, 0,1 ' 0, 0,3,
u
v x y z r
r
ì =
ï
= í
ï = ỵ
Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng x- =3
Tương tựphương trình mặt phẵng tiếp xúc( )pB điểm , ( )
B=rổỗp ửữẻ S
ố ứ l x+ - =z
Bài Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p]Ì¡2 mặt giả cầu ( )S có r U: ®¡3 xác định cơng thức ( ), sin cos , sin sin , cos ln tan
2 u r u v =ỗổa u v a u v aổỗ u+ ửữửữ
ố ứ
ố ø
a) Xác định dạng thứ nhất, thứ hai mặt ( )S
b) Tính độcong Gauss, độ cong trung bình, độ cong ( )S c) Xác định điểm Hyperbolic, Eliptic Parabolic ( )S Giải
(12)Thế vào (7.1) cho ta I a( )=a2cotan u a2 ( )u 2+a2sin2u a( )v
Dạng thứ hai mặt ( )S có dạng II a( )= L a( )u 2+2Ma au v +N a( )v 2(7.2) Với L= -n'u( ) ( )u v r, 'u u v, = -acot an , u M = -n'u( ) ( )u v r, 'v u v, =0
( ) ( )
' , ' , sin
2
v v
N = -n u v r u v = a u
Thế vào (7.2) cho ta ( ) ( cot an )( )2 sin ( )2
u v
II a = -a u a + ỗổ a uửữ a
ố ứ
b) Độ cong Gauss tính theo cơng thức
2
2
LN M
K
EG F
-=
- theo câu a) ta tính
1 K
a
= - Độ cong trung bình tính theo cơng thức
( 2)
2 EN LG FM H
EG F
+
-=
- theo câu a) ta tính
cot an sin
2
a
H = ổỗ- u+ uư÷
è ø
Độ cong l mặt ( )S điểm tùy ý nghiệm phương trình
( 2) ( ) ( 2)
2
EG-F l - EN +LG- MF l+ LN -M = (7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho ta phương trình a c u2 os l2-a(sinu-cos cot anu u)l-c uos =0 điều kiện cosu¹0
Với
2
2
sin a
u
D = > u¹0,p p, cho ta nghiệm
( )
( )
1
2
sin cos cot an
sin cos
sin cos cot an
sin cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l l
é - +
ê ê = ê ê
-
-ê ê = êë
Vậy độ cong mặt
( )
( )
1
2
sin cos cot an
sin cos
sin cos cot an
sin cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l l
é - +
ê ê = ê ê
-
-ê ê = êë
0, , 2 , ,
u ¹ p p p p
c) Vì K
a
= - < với ( )u v, ỴU nên điểm mặt ( )S điểm Hyperbolic Bài Cho mặt trịn xoay ( )S có tham số hóa r u v( ), =(j( )u cos ,v j( )u cos ,u x( )u ), với j x, hàm biến trơn thỏa j >0,( ) ( )j' 2+ x' ¹0
(13)Giải
a) Dạng thứ có cơng thức dạng I a( )= E a( )u 2+2Fa au v +G a( )v 2(8.1) Ta lại có r'u( )u v, =(j'cos , 'cosv j u-j( )u sin , 'u x ), r'u( )u v, = -( j( )u sin , 0, 0v ) Suy E =(r'u( )u v, )2=(j'cosv)2+(j'cosu-j( )u sinu)2+( )x'
( ) ( ) ( )
'u , 'v , ' sin cos
F =r u v r u v = -j j u v v, G=(r'v( )u v, )2=(j( )u sinv)2 Thế vào (8.1) ta I a( ) (=ëé j'cosv)2+(j'cosu-j( )u sinv)2+( )x' 2ûù( )au 2+
( )
( )
2 -j j' u sin cosv v a au v +(j( )u sinv)2( )av
Dạng thứ hai có cơng thức dạng II a( )=L a( )u 2+2Ma au v+ N a( )v 2(8.2) Hơn r''u( )u v, =(j''cos , ''cosvj u-j' sin( u+cosu) ( )-j u cos , ''u x )
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
''uv , 'sin , 0, , ''v , sin , 0,
r u v = -j v r u v = -j u v
Suy M =0,N =0 vào (8.2) cho ta II a( )=L a( )u 2, với Lđược tính b) Độcong Gauss tính theo cơng thức
2
2
LN M
K
EG F
-=
- theo câu a) ta K =0
Bài Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p]Ì¡2 mặt xuyến ( )S có r U: ®¡3 xác định cơng thức ( ) (, ( cos )cos , cos( )sin ,sin )
r u v = + u v + u v u , với ( )u v, ỴU
a) Xác định dạng thứ nhất, thứ hai ( )S
b) Tìm phương chính, độcong Gauss độ cong ( )S c) Xác định điểm Hyperbolic, Eliptic Parabolic ( )S d) Trên ( )S có điểm rốn không? Tại sao?
Giải
a) Dạng thứ có cơng thức dạng I a( )= E a( )u 2+2Fa au v +G a( )v (9.1) Với E=(r'u( )u v, )2 =1,F =r'u( ) ( )u v r, 'v u v, =0,G=(r'v( )u v, )2 =(2 cos+ u)2
Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng thứ I a( )=( )au 2+(2+c uos )2( )av Dạng thứ hai có cơng thức dạng II a( )=L a( )u 2+2Ma au v+ N a( )v (9.2)
Với r''u( ) (u v, = -cos cos , cos sin , sinu v - u v - u r), ''uv( ) (u v, = sin sin , sin cos , 0u v - u v )
( ) ( ( ) ( ) )
''v , cos cos , cos sin ,
r u v = - + u v - + u v nên theo cơng thức tính L M N, , cho ta
1, 0, 2cos cos
(14)b) Độ cong Gauss tính theo công thức
2
2
LN M
K
EG F
-=
- theo kết câu a) ta
cos
K = u
Theo lý thuyết ta biết độ cong mặt ( )S nghiệm phương trình
( 2) ( ) ( 2)
2
EG-F l - EN +LG- MF l+ LN -M = theo kết câu a) cho ta phương
trình (2+cosu)l2-(2 cosu+2)l+cosu =0 suy
1 cos cos
u u l
l
= é ê ê =
+ ë
Do độ cong
của mặt ( )S điểm
cos cos
u u l
l
= é ê ê =
+ ë
Gọi phương mặt ( )S điểm a =a ru 'u( )u v, +a rv 'v( )u v, (9.3) Dựa vào
( )2 ( )2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-= kết quảcâu a) ta a au v =0
Trường hợp au =0 suy a = -( av(2 cos+ u)sin ,v av(2 cos+ u)cos , 0v ) nên ta chọn phương điểm a= - +( (2 cosu)sin , cosv ( + u)cos , 0v )
Trường hợp av =0 suy a = -( ausin cos ,u v -ausin sin ,u v aucosu) nên ta chọn phương điểm bất ký a= -( sin cos , sin sin , cosu v - u v u)
c) Nếu cos ,
2 K > Û u > ẻ -u ổỗ p p ửữ
ố ø điểm A= r u v( ), thỏa u 2, p p
ỉ Ỵ -ỗ ữ
ố ứ l
im Eliptic
Nếu cos
2 , K < u< ẻỗu ổp p ửữ
ố ø điểm A=r u v( ), thỏa
3 , 2 uẻỗổp p ửữ
ố ø
điểm Hyperbolic
Nếu cos ,
2
K = Û u = Û = +u p kp kẻÂ thỡ ti mi im A=r u v( ), thỏa
2 ,
u= +p kp kẻÂ l im Parabolic
d) Gi s mt ( )S có điểm rốn tức 1 2 cos cos
u u l =l Û =
+ (vơ lí) Vậy mặt ( )S khơng có
(15)Bài 10 Cho mặt ( )S ¡3 tham số hóa cho dạng thứ có dạng ( ) ( )2 ( )2
u v
I a = a +G a Chứng minh độ cong Gauss ( )S cho
1 2
uu
K G
G
ỉ = - ỗ ữ
ố ứ
Gii Như ta biết độ cong Gauss điểm tùy ý tính theo cơng thức
1 1
E G
K
v v u u
EG EG EG
æ ả ổ ả ả ổ ả ửử = ỗ ỗ ữ+ ỗ ữữ ả ố ả ứ ả ố ¶ ø
è ø
Theo giả thiết ta có E=1 nên ( )
1
2
1
1 1 1
2
2
uu
uu u
G G
K G G
u u G G
G G
G
ổ ỗ ÷ ỉ ¶ ỉ ¶ ưư ỉ è ø = - ỗ ỗ ữữ= ỗ- + ữ=
-ả è ¶ ø è ø
è ø
Bài 11 Mặt ¡3gọi mặt tối tiểu độ cong trung bình triệt tiêu điểm Chứng minh mặt ( )S có tham số hóa r u v( ), a ch u.cos , v a chu.sin ,v u
a a
ỉ
= çè ÷ø mặt tối tiểu Giải Độ cong trung bình điểm có cơng thức
( 2)
2
EN LG FM H
EG F
+
-=
- (11.1) Ta lại có r'u( )u v, shu.cos ,v shu.sin ,1v
a a
ổ
= ỗố ø÷, r'v( )u v, a ch u.sin , v a chu.cos , 0v
a a
ỉ
= -ỗ ữ
ố ứ
( ) 1
''u , u.cos , u.sin ,
r u v ch v ch v
a a a a
ổ
= ỗố ứữ, r''uv( )u v, shu.sin ,v shu.cos , 0v
a a
ổ
= -ỗ ữ
ố ứ
( )
''v , u.cos , u.sin ,
r u v a ch v a ch v
a a
ỉ
= -ỗ - ữ
ố ứ
Suy
2
2 1, 0,
u u
E sh F G a ch
a a
ổ ổ
=ỗ ữ + = = ỗ ữ ố ứ ố ứ v
2
, 0, a
L M N
a a
= - = =
Thế vào (11.1) ta H =0 tức mặt ( )S mặt tối tiểu
Bài 12 Cho mặt tham số hóa ( )S ¡3 có r u v( ) (, = ucos , sin ,v u v u+v) a) Xác định dạng thứ nhất, thứhai độ cong Gauss ( )S b) Tìm độcong phương ( )S điểm A( )0,
Giải
a) Dạng thứ có cơng thức dạng I a( )= E a( )u 2+2Fa au v +G a( )v (12.1) Với E=(r'u( )u v, )2 =2,F =r'u( ) ( )u v r, 'v u v, =1,G=(r'v( )u v, )2 =u2+1
(16)Với r''u( ) (u v, = 0, 0, , '') r uv( ) (u v, = -sin , cos , , ''v v ) r v( ) (u v, = -ucos ,v -usin , 0v ) nên theo cơng thức tính ,L M N, cho ta
2
1
0, ,
2
u
L M N
u u
= = - =
-+ +
Thế vào (12.2) công thức dạng thứ hai ( ) ( )2
2
2
2 u v v
u
II a a a a
u u
= -
-+ +
b) Theo lý thuyết ta biết độ cong mặt ( )S điểm A=r( )0, nghiệm phương trình (EG-F2)l2-(EN+LG-2MF)l+(LN -M2)=0 (12.3)
Tại điểm A=r( )0,0 cho ta E =2,F =1,G=1 L=0,M = -1,N =0 Thế vào (12.3) cho ta phương trình l2+2l- =1 suy
2
1
1
l l
é = - + ê
= -êë
Gọi phương mặt ( )S điểm A=r( )0, a=a ru ' 0, 0u( )+a rv ' 0, 0v( ) (12.4) Với r' 0,0u( ) (= 1,0,1 , ' 0,0) r v( ) (= 0,0,1), điểm A=r( )0,0 ta E=2,F =1,G=1
0, 1,
L= M = - N = dựa vào
( )2 ( )2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-= ta 2( ) ( )au 2- av =0
Suy 2
v u
v u
a a
a a
é = ê
= -êë
Trường hợp av = 2au suy phương a=(au, 0, 1( + 2)au) nên ta chọn phương a=(1, 0,1+ 2)
Trường hợp av = - 2au suy phương a=(au, 0, 1( - 2)au) nên ta chọn phương a=(1, 0,1- 2)
Bài 13 Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc ( )p với mặt ( )S : z x f y x
ổ = ỗ ữ
è ø qua
điểm cốđịnh
Giải Đặt
x u
y v
v
z u f
u
ì ï = ïï = í
ï ỉ ư ï = ỗ ữ ù ố ứ ợ
cho ta tham số hóa mặt ( )S r u v( ), u v u f, , v u
ổ ổ ửử
=ỗ ỗ ữữ ố ứ
(17)Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- -
-= (13.1)
Với ( )
0 0 0
0
, , , , v
x y z u v u f
u
ỉ ỉ ưư = çç ç ÷÷÷ è ø
è ø, ( ) ( )
0 0
0
0 0
'u , ' , ' , 'u u u 1, 0, v v ' v
r u v x y z f f
u u u
ổ ổ ổ ửử = =ỗỗ ç ÷- ç ÷÷÷ è ø è ø
è ø
( ) ( )
0
0 'v , ' , ' , 'v v v 0,1, ' v
r u v x y z f
u
ỉ ỉ ưư = = çç ç ÷÷÷ è ø è ø
Thế vào (13.1) cho ta 0 0
0 0
' '
v v v v
f f x f y z
u u u u
é ỉ ỉ ứ
- - + =
ờ ỗ ữ ỗ ữỳ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ø
ë û Dễ thấy mặt phẳng tiếp
xúc ( )p qua điểm cốđịnh
Bài 14 Cho mặt ( )S có phương trình tham số
( )
3
3
3
2 2
sin os
x u v
y u c v
z a u
ì = ï ï = í ï
ï = -ỵ
Chứng minh tổng bình
phương đoạn chắn tạo mặt phẳng tiếp xúc ( )p ( )S với trục tọa độ khơng đổi, với aỴ¡
Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v
- -
-= (14.1)
Với ( ) ( )
3
3 3 2 2
0, 0, 0 sin 0, os 0,
x y z =ổỗu v u c v a -u ư÷
è ø
( ) ( ) 3 ( 2)12
0 0 0 0
'u , ' , ' , 'u u u sin ,3 os ,
r u v = x y z =ỗổ u v u c v - u a -u ö÷
è ø
( ) ( ) ( 3 )
0 0 0 0
'v , ' , ' , 'v v v sin cos , os sin , r u v = x y z = u v v - u c v v
Thế vào (14.1) cho ta ( ) ( )
1
4 2 2 2 2
0 0 0 0
9u a u cos v sinv x 9u a u cosv sin v y
ỉ ổ
- +
-ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø
(18)Ta lại có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
0
2
0
1
2 2 2
0 sin , 0,
0 0, cos ,
0 0, 0,
x A a u v
y B a u v
z C a a u
p p p
ì
ï Ç = ï
ï Ç = í
ï
ỉ
ï Ç =
-ỗ ữ
ù ố ứ
ợ
Do u cầu tốn tương đương với việc
tính OA2+OB2+OC2 =u a02 4sin2v0+u a c02 os2v0+a6-a u4 02=a6
Bài 15 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p pháp tuyến mặt ( )S có tham số hóa ( ) (, cos , sin , )
r u v = v u v u ku điểm bất kỳ, với kỴ¡
Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- -
-= (15.1)
Với (x y z0, 0, 0) (= v0cosu v0, 0sinu ku0, 0), r'u(u v0, 0) (= x' , ' , 'u y u z u) (= -v0sinu v0, 0cosu k0, )
( 0) ( ) ( 0 )
'u , ' , ' , 'v v v cos ,sin ,
r u v = x y z = u u
Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( )p (-ksinu0) (x+ kcosu0)y-v z0 +kv u0 0 =0 Phương trình pháp tuyến điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng x x0 y y0 z z0
a b c
- = - =
(15.1)
Với ( ) ( )
( 0) ( 0) 0
0
0 0
cos
' , ' ,
sin
sin
' , ' ,
u u
v v
v u k
y u v z u v
a k u
u
y u v z u v
= = =
-( ) ( )
( 0) ( 0) 0
0
0 0
sin
' , ' ,
cos cos
' , ' ,
u u
v v
k v u
z u v x u v
b k u
u
z u v z u v
-= = =
( ) ( )
( 0) ( 0) 0 0
0
0 0
sin cos
' , ' ,
cos sin
' , ' ,
u u
v v
v u v u
x u v y u v
c v
u u
x u v y u v
-= = =
-Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến 0 0
0 0
cos sin
sin cos
x v u y v u z ku
k u k u v
- = - =
-
Bài 16 Chứng minh thể tích tứ diện tạo từ mặt phẳng tọa độ mặt phẳng tiếp xúc ( )p mặt ( )S có phương trình tham số hóa ( )
3 , , ,a r u v u v
uv
ổ
= ỗ ữ
(19)Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S có dạng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
' , ' , ' ,
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- -
-= (17.1)
Với ( ) ( )
3
0 0 0 0
0
, , , , , a
M r u v x y z u v u v
ổ
= = = ỗ ÷
è ø, ( ) ( )
3
0
0
'u , ' , ' , 'u u u 1, 0, a r u v x y z
u v
ổ
= =ỗ - ữ
ố ứ
( 0) ( ) 32
0 'v , ' , ' , 'v v v 0,1, a r u v x y z
u v
ổ
= =ỗ - ữ
ố ø
Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p
3 3
2
0 0 0
3
a a a
x y z
u v +u v + -u v =
Ta lại có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , 0, 0 0,3 , 0, 0,
x A u
y B v
a z C u v p p p ì ï Ç = ï ï Ç = í ï ỉ ï ầ = ỗ ữ ù ố ứ ợ
.Do
3
3
0
0
1
3
6
ABCD A B C
a
V x x x u v a
u v
= = = điều
này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm M =r u v( 0, 0) ( )Ỵ S Bài 17 Xây dựng ánh xạ Weingarten mặt ( )S có tham số hóa ( )
2
, , ,
2
u v
r u v = ỗổu v + ửữ
è ø
Giải Lấy đạo hàm theo biến ,u vta có r'u( ) (u v, = 1,0,u r), 'v( ) (u v, = 0,1,v) Suy ( )
2 2 2
' '
, , ,
' ' 1 1 1
u u
u u
r r u v
n u v
r r u v u v u v
ỉ
Ù
= = -ỗ - ữ
ố + + + + + + ø
Nên ( )
( ) ( ) ( )
2
3 3
2 2 2 2 2 2
1
' , , ,
1 1
u
v uv u
n u v
u v u v u v
ổ ỗ - - - ữ = ç ÷ ç + + + + + + ÷ è ø ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2 2 2 2
1
' , , ,
1 1
v
uv u v
n u v
u v u v u v
ổ
ỗ - - - ữ
= ỗ ữ
ỗ + + + + + + ÷
è ø
Xây dựng ánh xạ h T: M( )S ®TM( )S thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
3 3
1
'u h 'u v , uv , u
r n
æ
ỗ + ữ
(20)( ) ( ) ( )
2
3 3
2 2 2 2 2 2
1
' ' , ,
1 1
h
v v
uv u v
r n
u v u v u v
ổ
ỗ - + ữ
ắắđ- = ỗ ữ
ỗ + + + + + + ÷
è ø
Khi ( ) ( )
( ) ( )
2
3
2 2 2 2
2
3
2 2 2 2
1 ' ' ' 1 ' ' ' 1
u u v
v u v
v uv
n r r
u v u v
uv v
n r r
u v u v
ì- = + -ï ï + + + + ï í + ï- = - + ï + + + + ïỵ
Suy ma trận phép biến đổi ( ) ( )
( ) ( )
2
3
2 2 2 2
2
3
2 2 2 2
1
1
1
1
v uv
u v u v
A
uv u
u v u v
é + - ù ê ú ê + + + + ú ê ú = ê - + ú ê ú ê + + + + ú ë û
Do h ánh xạ Weingarten
Bài 18 Cho mặt ( )S có dạng tồn phương thứ I =au2+(u2+b2)av2 Tính góc giao điểm đường cong ( )C1 :u+ =v 0,( )C2 : u- =v
Giải Gọi A=( ) ( )C1 Ç C2 có tọa độ nghiệm hệ ( )0, 0 u v A u v + = ì Û = í - = ỵ
Dạng tham số ( )1 1 : u t C
v t
= ì í =
-ỵ ( )
1
1 : u t C v t = ì í = ỵ
Áp dụng cơng thức tính góc hai đường cong ( ) ( )C1 , C2 cho ta
2 2 os a u c a u
f = - -+ +
Suy góc hai đường cong ( ) ( )C1 , C2 điểm A=( )0,
2 os a c a f =
-+
Bài 19 Cho mặt ( )S có dạng tồn phương thứ I =( )au 2+(u2+a2)( )av Tìm chu vi tam giác cong ( )S xác định
2 u av v ì = ± ï í ï = ỵ
Giải Xét hệ trục tọa độ ( )0uv cho ta cách xác định đỉnh tam giác ABC Ta thấy
2
u= av giao với đường 2
u= - av cho ta điểm A=( )0, Tương tựđường
2
u= av giao với đường v=1 cho ta điểm ,1 a C = ỗổ ửữ
(21)Tương tựđường 2
u= - av giao với đường v =1 cho ta điểm ,1 a B= -ổỗ ửữ
ố ứ
Khi ú:
»:
1
u t
BC v
= ì í =
ỵ , 2, a a tỴ -éê ùú
ë û
Áp dụng cơng thức tính độdài cung ta » ( ) ( )
2
2
2
' ' ' '
a a
BC
a a
l E u Fu v G v dt dt a
-
-= ò + + =ò =
»: u 12at2 AC
v t
ì = ï í ù = ợ
, tẻ[ ]0,1
p dng cơng thức tính độdài cung ta » ( ) ( )
2
0
' ' ' '
AC
l =ò E u + Fu v +G v dt =
( )
1
0
7
2
a
t dt a
=ò + =
Tương tự ta có » AB
l = a Do chu vi tam giác » » » 10 AB AC BC
l +l +l = a
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài Chứng minh ánh xạ {( ) }
( ) ( ) ( )
2
2
: , | 0,
, , , ,
r U u v u v
u v r u v u uv v
= Ỵ > > ®
=
¡ ¡
a
tham
số hóa mặt ¡3
Bài Xét tham số hóa ( )u v, ar u v( ), mặt ( )S ¡3 Chứng minh véctơ
( ): ' '
M u u v v
aỴT S a =a r +a r xác định phương ( )S M =r u v( ),
2
0
v u v u
a a a a
E F G
L M N
-= , với E F G L M N, , ; , , hệ số dạng toàn phương thứ nhất, thứ hai
Bài Chứng minh điểm thuộc ( )S ¡3 điểm rốn ( )S có
(22)i) Trong tham số hóa ( )u v, ar u v( ), mặt ( )S lân cận điểm M , giá trị M hệ số dạng thứ hai tỉ lệ với dạng thứ i.e. L M N
E = F = G
ii) H2= K
Bài Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa r u v( ), =(j( )u cos ,v j( )u sin ,v f( )u ) với ( ) ( )2
' '
j + f = Chứng minh độ cong Gauss K j'' j
= - Bài Cho mặt ( )S có tham số hóa r u v( ) (, = usin , cos ,v u v v)
a) Tính diện tích tam giác cong ( )S xác định
0
0 sin
0
u v
v v
£ £ ì
í £ £ ỵ
b) Tính chu vi tam giác c) Tìm góc tam giác
Bài Tìm những đường cong giao với đường v=const tạo thành góc khơng đổi f mặt ( )S có tham số hóa r u v( ), =(ucos , sin , lnv u v a (u+ u2-a2))
Bài Tìm dạng tồn phương thứ mặt có tham số hóa a) r u v( ) (, = Rcos cos , cos sin , sinu v R u v R u)
b) r u v( ) (, = acos cos , cos sin , sinu v a u v c u)
c) ( ), sin cos , sin sin , ln tan cos u
r u v =ỗổa u v a u v aổỗ + uư÷ư÷
è ø
è ø
Bài Tìm dạng tồn phương thứ hai mặt xyz=a3
Bài Cho mặt ( )S có tham số hóa r u v( ), =(c( ) ( )u ,m u cos ,j m( )u sinj), với m( )u >0 a) Tìm dạng tồn phương thứ hai mặt ( )S
b) Tính độ cong Gauss điểm tùy ý mặt ( )S c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt ( )
2
2
lna a u
u a a u
u
c = ổỗỗ + - - - ửữữ
è ø,
( )u u m =
d) Tính độ cong trung bình mặt ( )S
e) Tìm phương trình m m= ( )u trường hợp c( )u =uđể H =0tại điểm mặt Bài 10 Tìm độ cong mặt ( ), ( ),
2 2
a b uv
(23)Bài 11 Véctơ ar là phương tiệm cận II a( )=0 Một đường thẳng mặt tiệm cận tiếp tuyến điểm có phương tiệm cận Đường tiệm xác định KM( )av =0 hay
phương trình L du( )2+2Mdudv+N dv( )2 =0 Tìm đường tiệm cận mặt sau
a) , , 2
3
x=u +v y=u +uv z=u + u v
b) z =xy2
c) z a x y
y x
ổ
= ỗ + ữ
è ø
Lời kết !
Hình vi phân mơn học khó, địi hỏi người học phải có trừu tượng có kỷnăng tính tốn tốt mà tài liệu tiếng việt viết Hình Học Vi Phân ít, chủ yếu tài liệu tiếng anh Vì thời gian hồn thành tài liệu hỗ trợ gấp nên khơng tránh sai xót mong nhận ý kiến đóng góp bạn
Mọi ý kiến đóng góp bạn gởi vềtheo địa mail thanhansp@gmail.com Xin chân thành cám ơn!