Si Sea goa REET ONT CAT HOCHONTO ANE
k Linu: i
yy hi ồ cadỢ ene aeag z Ộ2 er len Ae 7 RY Lae ia
tof SOO hoo? Capp hp AN TOM TAT 24 D4 1 G 29 ee Đây là tập đáp án tóm tắt của tập để 99 của cùng tác giả Đối với các bài tập mừng, E
tự nhau tác giả chỉ viết lời giải một bài tương đối chỉ tiết, các bài còn lại người học dựa vào
đó tự trình bày Trong khi giải các bài tập tác giả thường chỉ dùng các phương pháp phổ
thông nhất, người học có thể sử dụng các phương pháp khác (đôi khi hữu hiệu hơn) Sau
một bài tập ta có thể nêu các cách đặt câu hỏi khác đi so với đầu bài, và (khi có thể) sẽ đưa
ra cách mở rộng bài hiện có
Bail Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chỉ Ổ7 G1 - 015
Ộ(0,2 01
1 Tắnh định thức của ma trận B với 8= = A
phắ trực tiếp dạng giá trị:
2 Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?
|aỦ =4Ữ14 x > \e-2Ẩ
3 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của phần tử 4,;; tổng các phần tử của dòng 1; tổng các phần tử |
của cột 2 '
l J
4 Lap bang I/O néu ma tran téng cau 1a XỢ = (200 400)
5 Lap bang I/O nếu cầu cuối cùn của ngành 1 là 120 và tổng cầu của ngành 2 là 400
6 Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là x' = ( 0 10) 7 Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của n
phải tăng bao nhiêu?
Giải
gành 1 lên 1 đơn vị thì tổng cung của ngành 2
1 Ta c6: B= 2A -Ỉ|g|= 1 1 Pegg paid = 4M =34l4 = 26,2 - 0,2.0,15) 2 Mệnh đề đó là sai vì ln có: A(ỂE-4)'+g=(E~-ay!Ủ E=(E-A)!
nén hai vé bang nhau
3 + Phần tử a,;=0,15 là lượng giá trị sản
sản phẩm ngành 2
+ Tổng các phần tử dong l: a¡,+a,; =0,25 là lượng giá trị sản phẩm ngành I cần thiết để
ngành 1 và ngành 2 mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm
+ Tổng các phân tử Cột 2: ai;+a;;= 0,25 là lượn
để ngành 2 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm
4 Áp dụng công thức: xi = ay X ; V(Ữ) có:
*11 = 4 1X} = 0,1.200 = 20; x5) = a9 = 0,2.200 = 40
Tương tự tắnh: X17 =60; x)=
~A(E = Aye B=(ặ~ A E- A"!
phẩm ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị 8 giá trị sản phẩm của 2 ngành cần thiết
40 Ta nhận được bảng I/O sau:
|
Trang 2
ATT ARIFON THE GC
1
Mintoan tinh teak LOH OGMONG OAN-KINH Le DUR Bund
2 400 40 40 320 5 Ta có hệ phương trình: Xi =aijẢi +2X2 +xị # Í Xị =01X +015.400+120 _ '[Xị=200 *2 =09)X1+492X2 +X2 400=0,2.X)+ 0,1.400 + x2 x2 =320
6 Ta sử dụng công thức: X =(EỞ A)!x (*)
0,1 15 9 Ở0,1ậ
A ẹ (E-A)= ồ
02 01 -0,2 0,9
Ấ (09 045
Khi đó: |E Ở A|= 0,78 và (E~ 4)Ợ = 0,2 0,9
1 ềES 092025
Ta lai cé: (E- A)! oo = ỞỞ_(E- A)Ỗ =ỞỞ ặ-At ) sale 0,9
: : Xx, 0,9 00,2510) (13,4 =P ee
ke vào (*)có: X= a = tai 09 Yio} = (ian là ma trận tổng cầu cần tìm
7 Đây là câu hỏi về ý nghĩa kinh tế của phần tử c;¡ trong ma trận hệ số chi phắ toàn bộ
0,2 ;
` @=(EỞA)"1 Ta có: C21 Ở 0,256 : Ý nghĩa kinh tế: c;, chỉ ra mức tăng tổng cung của ngành 2 đảm bảo cho ngành 1 tăng cầu cuối cùng lên 1 đơn vị
Bài 2 Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần tuý với giả thiết sau đây:
* Ngành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng 20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản phẩm ngành 3 * Ngành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng 10 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 1; 10 tỷ sản phẩm ngành 3 * Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ sản phẩm của mình; 8 tỷ sản phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm ngành 2
1 Lập bảng I/O với các giả thiết trên
2 Tìm ma trận hệ số kỹ thuật A và giải thắch ý nghĩa kinh tế của: - Một phan tir cha A
- Mot cot bat ky cla A ;
- Mot ddng bat ky cha A Ẽ ,
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A
3- Tìm ma trận Leontiev (EỞ 4) và ma trận nghịch đảo Ể=(E~Ở 4) Hãy giải thắch ý
nghĩa kinh tế của:
Trang 3
JEUCONSTHL CAG HOGMONTOAN
~- Một cột bất kỳ của C
~ Một dòng bất kỳ của C
- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của C
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của C
4 Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác định lượng giá trị chuyển dịch từ ngành 2
sang ngành 3 -
5 Cho mia trận cầu cuối cùng là xỖ=(20 20 10); hãy xác định ma trận tổng cung X
6 Với ma trận A đã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung của các ngành 2,3 lần lượt là 80 tỷ, 60 tỷ; và cầu cuối cùng của ngành 1 là 132 tỷ
Giải
1 Theo giả thiết thì: x,;=20, xạ/=10, xạ/=10, X,=100
X;;=10, xẤ=10, x;=10, X;=50
Xị=8, x;;=l6, x;;=8, X;=40 Phương trình dịng 1 có dạng:
gt Ổ
X= X11 +2 + X13 + xị 100 =204+10+8 4+ x o> x =62 Tương tự xác định được: x;=14, x,=12 Ta có bang I/O sau:
100 50 40 ẤX + *ị 2 Áp dụng công thức: ay = M2) ẤP 20/100 10/50 8/40 052: 0,2 0.2 Khi đó: A=] 10/100 10/50 16/40|=|01 02 0,4 10/100 10/50 8/40 01 0,2 0,2
+ Ý nghĩa của một phần tử: a;; = 0,4 là lượng giá trị sản phẩm của ngành 2 cung cấp cho
ngành 3 để ngành đó làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm
+ Xét cột 2 của A: Là ma trận tổng cung của các ngành để ngành 2 làm ra 1 đơn vị giá trị
sản phẩm
+ Xét dòng 3 của A: Ma trận giá trị sản phẩm của ngành 3 cung cấp cho cả 3 ngành để mỗi
ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm
+ Tổng các phần tử dòng 1 của A là 0,6 ~ lượng giá trị sản phẩm mà ngành 1 cung cấp cho
ca 3 ngành để mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm
+ Tổng các phần tử của cột 1 của A là 0,4 Ở lượng giá trị sản phẩm của 3 ngành cung cấp
cho ngành 1 để ngành đó làm ra | don vi gid tri sản phẩm
Trang 4
;Ủ*4 138 0,49 0,59
=Ể-A)}=|0/29 1,53 0,84
0,24 0,44 1,53
+ Phần tử c;;= 0,84 là mức cung của ngành 2 đảm bảo cho ngành 3 làm ra 1 đơn vị giá trị cầu cuối cùng
+ Xét cột 2 của C: Là ma trận tổng cung của các ngành để ngành 2 lăm ra 1 đơn vị giá trị
sản phẩm cầu cuối cùng
+ Xét dòng 3 của C: Ma trận giá trị sản phẩm của ngành 3 phải có để cả 3 ngành để mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm cầu cuối cùng
+ Tổng các phần tử dòng 1 của C là 2,46 Ở lượng giá trị sản phẩm mà ngành 1 phải có để
mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm cầu cuối cùng
+ Tổng các phần tử của cột 1 của C là 1,91-lượng giá trị sản phẩm của 3 ngành phải có để
ngành 1 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm sản phẩm cuối cùng
4 Ta có: x3 = a;+X2 = 0,4.600 = 240
5 Ap dung cong thức có:
128 0,49 0/59/20) / 43,3 X =Cx=| 0,29 1,53 0,84 | 20 |=| 44.8
0,24 0,44 153/107 (28,9
'6 Theo giả thiết x,=132, X;=80, X;=60 ta có hệ:
X¡=0,2X1+0,2.80+0,2.60+132 X¡=200 80 =0,LX, +0,2.80+0,4.60+ x2 <> 4x2 = 20 60=<0,LX¡ +0,2.80+0,2.60+ x3 xs= 12
Người đọc tự lập bảng I/O
J, Bài 3 Cho mô hình thị trường 2 hàng hoá:
- =18-3p, + p2 xi =l2+pi~2P2
Qo =-2+ Py Q.2 =-2+3p2
1 Hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2 Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng cho thị trường thì p,, p; phải thoả mãn điều kiện gì?
3 Xác định giá và lượng cân bằng
Giải
1 Ta tắnh đạo hàm riêng của các hàm cầu theo giá chéo (giá của mặt hàng khác):
ah =1>0-có Ở là khi giá mặt hàng 1 là p, không đổi và giá hang 2.1a p, tang lên thì cầu hàng 1 tăng thì hàng 2 là hàng thay thế của hàng 1
Tương tự xét hàm cầu hàng 2 có:
Ở =1 >0- có nghĩa là khi giá mặt hang 2 là p; không đổi và giá hàng 1 là p, tăng lên thì
1
cỗ lịng 2 tăng thì hàng ae tha thế của hàng =
Kế TH ấn NA An Hà NT
Trang 5Kết luân Hai mặt hàng trong mơ hình là hai mặt hàng thay thế nhau
2 Ta có hệ:
siti -2+p,>0 2 >2
@2>0 |-2+3p;>0 |p>2/3
3 Điều kiện cân bằng thị trường: -
ie = Qsi M Ở Đ ee =6
Q42=Qs2 |-PitSp2=14 |m=4
Thay kết quả nhận được vào các hàm cung (hoặc các hàm cầu) ta nhận được các lượng cân
bằng ự
Kết luân Vectơ giá cân bằng P'=(6,4); vectơ lượng cân bằng QỢ=(4,10) Bài 4 Cho mơ hình thị trường 2 hàng hoá:
a =60-2p, +0,5p2 & PM =90+0,5pỞ 72
QO.) =-12+2p, QO, =-20+2p2
(Các câu hỏi tương tự như bài 3) '
Giải tương tự bài 3 ta có kết quả: PỢ = (20,40); @` = (28,60)
Bài 5 Cho mơ hình thị trường một hàng hoá:
l3 =a-bp
Q; =-c+dp (a,b,c,d >0)
1 Nêu ý nghĩa kinh tế của a,b,d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp 'được
(mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng
2 Xác định trạng thái cân bằng l
3 Phân tắch sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a,b,c,d thay đổi
4 Giả sử Nhà nước đánh thuế một đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ) Hãy cho biết số
% chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất
1 Xét hàm cầu: @Ấ =aỞbp
Ta có: @z(0)= a >0 - như vậy a là lượng cầu khi giá p = 0 hay a chắnh là cầu tối đa (hoặc
cầu tiém nang) Dao hàm đ; =-b <0 hay b cho biết lượng giảm của cầu khi giá tăng lên 1 đơn vị Mặt khác: Ấ>0 p<a/b Ký hiệu: pmạy =a/b đây chắnh là mức giá tối đa đối với người tiêu dùng- theo nghĩa là người tiêu dùng chỉ tham gia thị trường khi mức giá
thấp hơn pẤẤẤ từ mức giá lớn hơn hoặc bằng p, cầu triệt tiêu
Xét hàm cung: @; =Ởc + đp
Khi đó: @; =# >0 hay d cho biết mức tăng lên của cung khi giá p tăng lên 1 đơn vi Mat khác: Q;>0ẹ p>c/d Ký hiệu: pmịa =c/đ' đây chắnh là mức giá tối thiểu đối với
người sản xuất- theo nghĩa là người sản xuất chỉ cung hàng hoá cho thị trường khi giá hàng
cao hon praia, khi giá hang Nho hơn nae bằng Pain thi Sines sản xuất kế: bỏ thị trường
Trang 6Về mặt kinh tế thì trường chỉ tồn tại ở mức giá p thoả mãn:
Pmin <P <Pmax Ở Pmax > Pmin ẹệ Ạ!d <aÍb ẹ ad > be ẹ adỞbe>0Ở (*)
a+c
2 Điều kiện can bang: Qg = iéu kién c g: Og =O, > prs bed >0
> > : ề ad-be
Thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) có: Qồ = ` >0 a8 (8
3 Câu hỏi dạng này Kinh tế toán gọi là các câu hỏi phân tắch tắnh so sánh một mơ hình- có nghĩa là phân tắch kết quả của mơ hình khi các tham số của mơ hình thay đổi
Trong mơ hình này ta sử dụng giá cân bằng P` và lượng cân bằng QỢ Xét giá cân bằng như một hàm nhiều biến đối với các tham số:
*_ đ+ẠC P= Fe = flasbrend) = b,c,d Khi đó có:
ap* = 1 > 0 -nghĩa là khi cầu tối đa của người tiêu dùng tăng (các tham số khác 5 len a Ad :
da b+d :
không đổi) giá cân bằng tăng
: * 1
- Ộ5 : = > 0- khi e tăng (các tham số khác không đổi) giá cân bằng tăng Nếu
giải thắch đầy đủ hơn thì: trong trường hợp này đường cầu không đổi (hành vi tiêu dùng
'không đổi); giá tối thiểu đối với người sản xuất mịn =c/đ tăng- đường cung giảm độ dốc
hay đuối one hàng giảm đi sẽ kéo theo tăng mức giá cân bằng
_Ở = = <0- khi b tăng (các tham số khác không đổi) thì giá cân bằng giảm
= '(b+4)?
vì trong trường hợp này đường cung không đổi nhưng đường cầu dốc hơn
: ap" ee Ở <0 khi d tăng (các tham số khác khơng đổi) thì giá cân bằng giảm
E1 (b+đ)?
vì trong trường hợp này đường cầu không đổi nhưng đường cung dốc hơn
Trong thực tế để giải thắch rõ hơn người ta cần có minh hoạ đồ thị (tham khảo giáo trình kinh tế vi mô) Đối với QỢ ta cũng phân tắch tương tự
4 Khi có thuế thì có nhiều cách phân tắch, trong tình huống này ta tiệm cận 8g Sau:
Rõ ràng khi khi khơng có thuế thì giá hàng hố mà người mua trả cũng chắnh là giá mà người sản xuất thực nhận Khi có thuế thì giá người mua trả cao hơn giá người bán thực nhận một lượng chắnh bằng thuế (vì người bán thay mặt người mua nộp lại khoản thuế cho
Chắnh phủ)
Ta ký hiệu: pạ- là giá người mua phải trả cho khi mua một đơn vị hàng
p,- 14 giá người bán được nhận khi bán một đơn vị hàng
Khi đó có: pg = p, +t (1)
()
Điều kiện cân bằng: n 25 Ha (Ps +f)=-c+đp;
Trang 7EMON-LOANKIN XE VÌ) U TY.) a+c-bi > Ds = sa (2) Thay (2) vào (1) có: HT @)
Như vậy, từ (2) và (3) ta nhận thấy khi có thuế người sản xuất bán với giá thấp hơn và người tiêu dùng phải trả giá cao hơn
bt
Ký hiệu: A, = p`Ở py = 7 là mức thiệt của người bán tắnh trên một đơn vị sản phẩm +
Ag=Pa-p`= Ấ là mức thiệt của người mua tắnh trên một đơn vị sản phẩm
+ a
Ta ln có: A; + AƯ =/ là khoản thu của Chắnh phủ từ một đơn vị sản phẩm So sánh hai
đại lượng A;, A;có thể biết được đối tượng nào (người bán hay người mua) chịu thuế nhiều hơn
Trong trường hợp có thuế thì lượng cân bằng thị trường:
ad Ở bc Ở bát
ử'0)=ửƯ0a)=0,()=ỞỞ ỞỞ (4)
Rõ ràng ln có: @Ợ > Q () hay lượng cân bằng khi có thuế sẽ thấp hơn lượng cân bằng
khi khơng có thuế ễ
Bổ sung Giả sử có mơ hình thị trường cụ thể:
Qqg =51-3p _ =-10+6p
Dựa vào các công thức (2) và (3) ta có: As =t/3~33%t; Ap =2t/3 = 66%t
Điều này có nghĩa là trong trường hợp này người bán chịu 33% thuế và sini mua chiu
66% thuế
Bai 6 (Cao hoc KTQD 2007-2 diém) Cho ham cung S, ham cdu D vé mot loai hang hoá:
ậ=01p2+ãp~-10;0=-5
pa
5 với p là giá hàng hoá
1 Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết phương
trình cân bằng thị trường
2 Xác định hàm dư cầu và khảo sát tắnh đơn điệu của hàm này Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá cân bằng trong khoảng (3,5)
Giải 1 Ta có hệ: 2 s>o_ =) 50 |1 +5p-10>0 = p<-51,92;p >1,92 ẹp>2 (1) D>0 ù pel >0 p>2
Diéu kién can bang thi trudng:
Trang 8
2 Hầm dư cầu (khái niệm không chắnh thống-ắt sử dụng trong kinh tế vắ mô) là hiệu giữa
hàm cầu và hàm cung Ta có hàm dư cầu:
f(p)= p-s=Ở-o,p" ~ập+10 xác định và liên tục khi có (1)- tức p > 2 p-
Lại có:
f'(p)= is sẻ Ở~0,2pỞ5<0 với mọi p>2 hay hàm dư cầu là hàm nghịch biến
p= i
của giá p
Mặt khác lại có:
#@) =~ 01.3? Ở5.3+10=44,1>0
Z#@) - 2-01 ~5.5+10~~0,8 <0
Khi đó, theo định lý về giá trị trung gian của một hàm liên tục thì phương trình f(p) =0 có duy nhất một nghiệm trong khoảng (3,5); hay mô hình đã cho có giá cân bằng duy nhất
thuộc khoảng trên
Bài 7 Cho mơ hình NKT:
Y=C+1,+G,
ae (1,,G),a > 0;0< 5 <1)
Trong d6: Y-thu nhap quéc dan;C-tiéu diing;, 14 dau tu; Gy 18 chi tiéu chắnh phủ 1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của a,b
2 Xác định trạng thái cân bằng (YỢ, CỖ) bang qui tac Cramer
3 Có ý kiến cho rằng khi lạ và Gạ cùng tăng 1 don vi thi thu nhập Y tăng 2 đơn vị; ý kiến đó đúng hay sai?
Ẽ 4 Phân tắch sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi Giải
1 Xét hàm: C=a+bY; cho Y = 0 có: C(0) = a >0 hay a là tiêu dùng khi khơng có thu
nhập-ta gọi a là tiêu dùng tự định Mặt khác, có: C'= ở >0 vậy b cho biết mức tăng của C
khi thu nhập Y tăng 1 đơn vị Ở hay b là MPC (marginal propensity to consume) 2 Ta viết mô hình thành dạng hệ Cramer:
Z -C=Ip+G
-bY+C=a *
Ln có: D=1Ởb >0; Dy = lạ +Gg +a;Đẹ =a + b(Iạ + Gạ)
Và có: : :
ầ* = Dy/D;C* =Dc/D
3 Ý kiến đó là sai vì:
Trang 9
= mm >0- hay khi các yếu tố khác không đổi mà tiêu dùng tự định a tăng thì thu
nhập cân bằng tăng
ôYỢ _ lạ+Gạ+a
abby
can bang tang
Bài 8 Cho mô hình NKT:
Y=C+1,+G,
C=z+/ử(Y-T) (z>0;0< ử<])
ể.& ( (z>0;0<6<]1)
Trong đó: Y-Thu nhập; C-Tiêu dùng; T-Thuế; Iạ- Đầu tư; Gạ-Chi tiêu chắnh phủ
1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của ụ, ử, 7, ,
2 Xác định trạng thái cân bằng (Y", C ,T') bằng qui tắc Cramer
3 Phân tắch sự biến động của trạng thái cân bằng khi Z, 8,Z,ổ thay đồi
1 Ta có: ụ - tiêu dùng tự định; ử- là MPC đối với thu nhập khả dụng; 7- thu ngân sách khi thu nhập Y = 0 hay là lượng thuế thu được không dựa vào thu nhập; ổ - thuế đánh trên
một đơn vị thu nhập-hay thuế suất
2 Mô hình quy về dạng:
Y -C =I ott Go
-BY+C+fT= ad SOOT = *y
>0- hay khi các yếu tố khác không đổi mà MPC = b tăng thì thu nhập
(Trong khi trình bày có thể chỉ cần tắnh thu nhập cân bằng YỢ bằng quy tắc Cramer)
Ta có: YỢ = Py ằ= fy + Ip +Go Dp Ổpape
Nhận thấy, theo giả thiết thì mẫu số của Y* luôn dương; nên ta cần có thêm điều kiện (1)
3 Ta ln có:
oy* _oy*_ay* l1 :
lg 8G) da 1-8+ửô
dy 1-B+B5 05 1-ử+/ửô (Tự giải thắch ý nghĩa kinh tế)
Chỉ có đạo hàm:
với: Ủ~ ửỮ + lạ +GỂạ >0 (1)
Trang 10ae
aB 1-B+ fd
Từ mơ hình ta ln có: 7Ợ =7 + đỲỢ
trong kinh tế ln có: ỲƯ" +02: -T*>0@Y*-y-6Yầ* >0 (2) Dua vao (2) ta c6:
or*
la -6)Y"- rÌ là khó nhận biết dấu
ặ Witte; tas ứ c¡ ee joe Dk vee Oe
cân bằng YỢ tăng
Bài 9 Cho mơ hình:
Y=C+lạ+G
C=a+bỂ-Te) (a>0:0<b<])
G=gY (0<g<l;b+g<l)
Trong đó: Y-Thu nhập; C-Tiêu dùng; Tạ-Thuế, I,- Dau tư; G-Chi tiêu chắnh phủ
1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của a,b,g
2 Xác định trạng thái cân bằng (YỖ, CỖ,GỖ) bằng qui tắc Cramer
3 Phân tắch sự biến động của trạng thái cân bằng khi a,b,g thay đổi
Giải 4 :
1 Ta có: a-tiêu dùng tự định; b= MPC; g-suất chỉ tiêu chắnh phủ
en ; D=l-g-b - 3 Dy =lạ+aỞbTọ De =(a-bTo)(1- g) +b Dg = g(Io + 4-7) 3 Khi đó: y* - lọ a= bTp : 1-b-g
Phân tắch ảnh của các tham số tới YỢ thì phải tắnh các đạo hàm riêng của hàm số trên (tự
làm)
Bài 10 Cho mơ hình thu nhập quốc dân:
Y=C+Ip+Gp
C =150+0,8(Y -7) T=0,2Y
Trong đó: Y-Thu nhập; C-Tiêu dùng; T-Thuế; Iạ- Đầu tư; Gạ-Chỉ tiêu chắnh chì
1 Tìm trạng thái cân bằng khi Iạ= 200; Gạ= 900
2 Do suy thoái kinh tế nên MPC đối với thu nhập sau thuế chỉ còn là 0,7 Gia sit 1, = 200 thi
GƯ phải là bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân
Giải
= Ặ(4,b, ụ, lạ,T)
Trang 11
Yat 36 =1100 | ầ*=3472,2
0,8Ỳ +C+0,87= 150 ẹ 4CỢ=2372,2
-02Y + 7 = 0 T* = 694,4
2 Theo giả thiết có MPC = 0,7 và I,= 200 thì mơ hình có đạng:
Y -C =200+Ểg -0,7ầ+C+0,7T= 150 -02_ +7 = 0 Áp dụng quy tắc Cramer có: y.350+Gụ 0,44
Để ổn định thu nhập quốc dân phải có:
ae ee = 3472,2 <> Gy =1177,77
Bai 11 (Cao hoc KTQD-2006-2 diém)
Cho mơ hình thu nhập quốc dan: Ổ
Y=C+l+Gụ
C=h+bf v F Z
1=ag+aIYỞaƯRo, với: 4,đ;>0 (Vi);a +bị <1
Trong đó: Y-Thu nhập;C-Tiêu dùng;I- Dau tu;G,-Chi tiêu chắnh phủ; Rạ-lãi suất
1 Xác định Y, C ở trạng thái cân bằng Ề
2 Cho bạ = 200, b, = 0,7, a= 100, a,= 0,2, a;= 10, Rạ= 7,Gạ= 500; khi tăng chỉ tiêu chắnh phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng bao nhiêu %?
Giải 1 Mơ hình có dạng: Y -C-I= G ỘbY+C = bp -aYầ +ỳ=agỞasR có: D=l-aiỞb >0
Dy =ag +b +Go Ởa2Ro >0
c =bq(I~aI)+ bị(ag Ở aaRo + Gạ) > 0
2.Khi đócó: Y* = #0 *Óo+Ểo-đ2Ro
l-a-)
Thay bạ= 200;ồb,= 0,7; ao= 100; a,= 0,2; a;= 10; Gạ= 500; Rạ= 7 vào YỢ nhận được:
Y'=7200
Trang 12(Câu hỏi ở đây là câu hỏi về hệ số co giãn riêng; nhưng thắ sinh vẫn có thể làm hai
cách)
C, Gy tăng 1% tức là mức chỉ tiêu chắnh phủ mới là G =1,01Gp =1,01.500 = 505 Khi d6
thu nhap quéc dan mdi la: ầ =7350; nhu vay số % tăng lên của thu nhập quốc dân là:
P-r' P 100 7350 Ở 7300 hố
C, Ap dung công thức hệ số co giãn riêng của YỢ theo Gụ dạng:
_ Ểạ ÔFỢ _ Ểạ Ở 1 500 1 _
Êy*/dạ y" 0Gp_ y*1Ởa,-b 730004
Bài 12 Cho mơ hình:
Y=C+lI+G+NX
C=20+0,75ầ, G=20+0,1Y
WẤ=(-ĐY_ (0<:<)
Trong đó: Y-Thu nhập; C-Tiêu dùng; I- Đầu tư; G-Chi tiêu chắnh phủ; NX- xuất khẩu ròng; YƯ thu nhập khả dụng
1 Cho biết ý nghĩa kinh tế của t?
2 Cho I= 50; NX = 30; tìm t để cân đối được ngân sách
- 3: Có ý kiến cho rằng dau tu I không ảnh hưởng tới ngân sách; ý kiến đó đúng hay sai? ia =
1 Ta ln có:
fƯ=(1~ĐỲ ỦY~T=(=0Y ỦT =1 - =t
Ỉ
hay t là mức thuế tăng lên khi thu nhập tăng 1 đơn vị vậy t là thuế suất ,2 Áp dụng quy tắc Cramer có:
y*= I+NX +40
0,75t + 0,15
Khi I= 50; NX = 30 có: YỶ =ỞỞ120 0,75: +0,15 Ở vàT*=tY',G'=20 + 0,1Y" Điều kiện ngân
sách cân đối là: NS=7Ợ-GỢ=0Ạẹ!=1/714%
3 Trong trường hợp chưa biết I và NX thì:
NS =T*-Gt= (Ở0,)(1+ NX +40) - 151-3 0,75t + 0,15
a Khi t = 0,1 thì ngân sách không phụ thuộc I va NX ;
: b Khi ằ#0,1 thi ngan sch c6 ph thuộc I và NX; muốn biết mối phụ thuộc đó cụ thể thế
|
Í nào cần xét dấu các đạo hàm riêng của NS theo các biến I và NX (tuy nhiên đầu bài không
ị
yêu cầu)
Bài 13 Cho mơ hình:
Trang 13ầ =C+Ig+Go+Xo-M (1) C=0,8Y, (2) M =0,2Y, (3) Yz=(1-)ầ (4)
Trong đó: Y-Thu nhập, C-Tiéu ding, M-nhap khdu; I,, G,, X,, Y,, t lan luot 1a dau tu, chi
tiêu chắnh phủ, xuất khẩu, thu nhập khả dụng, thuế suất
1 Có ý kiến cho rằng khi I,,t khơng đổi thì tăng Gạ lên 1 đơn vị và giảm nhập khẩu Xọ một đơn vị thì thu nhập cân bằng YỢ không đổi; ý kiến đó đúng hay sai? ,
2 Gia sit l= 300, G,= 400, X, = 288, t = 0,2 thì nền kinh tế có thặng dư hay thâm hụt ngân -
sách; thặng dư hay thâm hụt thương mại? =2 ⁄2SZ 0 - AK = BR Se
3 Cho I,= 300, X,= 288, t = 0,2 thi Gọ phải là bao nhiêu để thu nhập cân bằng là 2500 Cho
biết trong trường hợp này nếu Gọ tăng thêm 1% thì nhập khẩu M thay đổi thế nào?
Giải
1 Thay (4) vào (2) và (3), ta nhận được hệ Cramer đối với Y, C, M Áp dụng quy tắc
Cramer ta có: , Io + Go +X y* 220 0 0 | 0,6/ + 0,4 đi 6YẢ.- @f 2n s1 Dễ thấy: ôGỂy ôXạ 0,6 +0,4
Hay tốc độ biến thiên LÔNG của YỢ theo Gạ và Xạ bằng nhau, nên ý kiến đưa ra là ý ae
đúng
2 Khi Iạ= 300, Gạ= 400, Xạ= 288, t = 0,2 thì có: YỢ= 1900 Mặt khác có:
TỖ = 0,2Y" = 0,2.1900 = 380 và NS = TỢ- Gạ= 380 Ở 400 < 0; như vậy có thâm hụt ngân
sách Từ (3) ta lại có: :
M* =0,2(1-1)ầ* =0,2.0,8.1900 = 304 > Xo
Như vậy nền kinh tế nhập siêu
3 Khi Ij= 300, Xạ= 288, t = 0,2 thì: Ữ Ấ2c 0,52 c CŨ Ở 2500 Ủ Gụ= 112 bộ A Gạ=712 và có: i =0167 s = 400 Go AM _ 712 0,16 = a, = ee sa 0,547 M!G0 j@Gy 400 0,52
Bài 15 Cho mơ hình thị trường một hàng hoá:
Hoon (0<z<))
D=0Ip#M?4? (8<0;0<y<1;ửz0)
Trang 14
Trong đó: S,D là các hàm cung và hàm Đấu của hàng A; p-giá hàng A, M là thu nhập khả
dụng, q giá hàng B eee
1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của @ ?
2 Hai hàng hoá nêu trong mơ hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?
3 Tìm mối liên hệ giữa đ,y,ử để khi p, M, q thay đổi cùng một tỷ lệ thì cầu D không đổi
4 Giả sử A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tắch ảnh hưởng của M, của q tới giá
cân bằng
5 Phân tắch ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng
Giải
dS
1 Ta có: ặs/p =e
v4
_2 Xét hàm câu: D=0,1p2M7a?
Nhan thấy: = =60(01p2M74?~}) cùng dấu với ử Do vậy: | ân 3<)ẬÃ $5
a Khi ử > 0 thì hai mặt hàng thay thế nhau ể
b khi ử <0 thì hai mặt hàng bổ sung nhau
3 Giả sử tỷ lệ tăng của các biến là 4(2^ > l), ta có:
D(Ap,AM, Aq) = D(p,M,q) ẹ 2?*7!? =1Ừ 8+y+ụ=0
4 (Ở đây dùng hàm ẩn là hợp lý hơn là tắnh trực tiếp)
Ta xét trường hợp ử < 0 và ký hiệu giá cân bằng là p' thì có:
0,3(p") = 0,1(p")? Mg? <> F(p*,M,q) =0,3(p")* -0,1(p*)FM7q? =0 (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm p* = g(M,q); áp dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn có:
ôp` Ẽ_ôF/ôM Ỉ 01y(pồ)2M?!4ồ =0
ơM _ ơF/ảpỢ 03a(pồ)ỘỢ!~01ử(pồ)ÌM7ạ?
*
Tương tự: # =- ae <0
ôF /ôp
5 Lưu ý muốn phân tắch ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng thì có thể dùng hàm
cung hoặc hàm cầu, nhưng ta thường dùng hàm cung là hàm không chứa M là hàm
cung :
Tacé: Q* =S* =0,3(p*)ệ; trong dé: p* = g(M,q) Khi dé dao ham riéng toan phan:
20Ợ _ as" ap" AN cole
không đổi) thì QỢ tăng
ơM ap aM 7 q khơng đổi) thì Q tăng
Bài 16 Hàm cung (ậ) và hàm cầu (D) của hàng A có đạng:
S =0,7p-150
D=0,3M -0,5p +120
Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập khả dụng
Trang 15
2 Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tắch tác động của thuế tới mức
giá cân bằng
Giải
1 Điều kién can bang: S = D
hay nếu ký hiệu giá cân bằng là p' thì có:
0;7pỢỞ150 = 0,3 Ở0,5pỢ+120
nhận thấy giá cân bằng là hàm của M-nên lượng cân bằng phải là hàm của M Tóm lại, ý
kiến đưa ra là ý kiến sai
2 Thuế suất là t thì thu nhập khả dung My =(1-1)M véi te (0,1); và điều kiện cân bằng
là: 0;7pỢ~150 = 0,3(1Ởr)M ~0,5p +120 F(p*,M,t) =1,2p* +0,3(ằ-1)M-270=0 (1) Hệ thức (1) xác định an ham p* = g(M,1), khi đó: ap" _ _OF 10M _ 03(1~¡) _ aM aF lopỢ b2 ôp _ôF!lâi _ ~03M a = AF /ap* 12
Bai 17 Cau vé hang A la: D=200p~ồ; thi trudng hang A chi cé hai hing cung véi céc
<0
hàm cung tương ứng là: Ế = 5 p> &S5 =4 ps %
1 Lập mơ hình thị trường hàng A
2 Thị trường đó có tồn tại trạng thái cân bằng không?
1 Mơ hình thị trường hàng A dạng:
D=200pỢ95
S=S, +S =5p 4.4075 (p>0)
2 Điều kiện cân bằng:
D=SỦD~ậ=0Ủ Ặ(p)=5pệẾ + 4p%75 _ 200 p-5 = 0 oy
Ham f(p) lién tuc khi p>0; va có:
kể Ở +3p~?5 4100p" > 0 vp > 0 - f(p) là hàm đồng biến
Mặt khác có: hộ < 0 và f(16) = 2 >0 nên phương trình (*) có duy nhất I nghiệm
p` e(116) Ta lại có: D(p")=S(p*) > 0, nên thị trường hàng A có trạng thái cân bằng
4 Bài 18ồ Cho mô hình thị trường hàng A dang:
[2a=D(p.%) (Dp <0,Dyy > 0) =S(p,T) (Sp>0,S7m <0)
Trang 16
1 Phân tắch ảnh hưởng của YƯ,Tụ tới giá cân bằng; giải thắch ý nghĩa kinh tế của các kết quả
nhận được
2 Dùng hàm cung phân tắch ảnh hưởng của Yạ tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tắch
ảnh hưởng của Tụ tới lượng cân bằng
Giải 1 Đặt giá cân bằng là p' thì có: 8835
D(p",ầo) = S(pỢ,Tu) ẹ F(Ợ,Yo,Tạ) = D(y`,fg)~ S(p`,7ạ) =0 (1)
Hệ thức (1) xác dinh dn ham pỎ = g(ầ,7p) (2) Theo quy tắc đạo hàm của hàm ẩn:
ậpỢ _ _ôF/ôfạ Ở_ Dị ke Tw cát git $e AP Cw oY, 0 OF / Op ` _p vẽ ị pe tang ye âp"_ =Ở ôF/đỉ _Ởs Sy : Ỷ 0, Ui 2c [z2 8% ôr/@p" ẤP ae i, pn oO
2 Ta ln có: ghia of di! ro
ở, @` = DựỢ r1) 20" _ aD ap" 2 Ep-7 P`=gzỂTp) 25 ap" = ] Q" =S(p",T) ao" _ 8 0n Ị ỘÌÈ=zỂ.ệ) 'Ì8f ap ah
Ấ Bài 19 Cho mơ hình thị trường 1 hàng hoá:
p=180-0,503
Ổ|p =30+202
1 Xác định trạng thái cân bằng
2 Giả sử Chắnh phủ đánh một lượng thuế là t trên một đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t là
bao nhiêu thì tổng thuế thu được là cực đại
3 Phải chăng khi thuế tăng 1% thì giá cân bằng tang 1%?
Giải
1 Trạng thái cân bằng là nghiệm của hệ;
p=180~0,59Ợ Ẽ [o*~ Jem
2
p=30+20? pỢ=150
2 Khi có thuế t thì trạng thái cẩn bằng mới là nghiệm của hệ:
Ps +t=180-0,50? Ở
p; =30+20?
Trang 17
150-ằ =
Tổng thuế thu được: 7 =/ạ =/ ae) Wyse Ở max ch 3 aut
5 aỘ
Nhận thay T đạt lớn nhất cùng với 2,51*hay xét: f(t) =/7(150-f) > max
: TC : SO: :
Ta ln có: Ặ'() =0 ẹ 300/-3/=0ẹ>Ư =100
#Ợ00)<0
Vậy lượng thuế thu được đạt cuc dai tai t'=100 | cao
3 Khi có thuế giá cân bằng thị trường là giá người mua: | ỘỞ _
B= py +t=150-21 > ee ce?
l t dp 750
CÓ: #@z/;Ư==-Ở=l-
BD dt 750 Ở 4/'
Bài 20 Gọi p là giá hàng A; q là giá hàng B; M là thu nhập; T là thuế Mô hình thị trường
hàng A có dạng: ;
Dg = 08M p05 9
<1- vậy khi tăng t lên 1% thì ử tăng chưa tới 1%
SƯ=5,4p03r~0/05
1 Cho biết quan hệ giữa hai hàng hoá A và B
2 Phân tắch tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A
3 Lượng cung SẤ thay đổi thế nào khi giá hàng A tăng 7% và thuế cũng tang 7%?
Giải
1 Ta có: oa = 0,1.0,8.14%4 p-59-09 ` 0 -hai mặt hàng thay thế nhau 2 Sử dụng đạo hàm của hàm ẩn (tham khảo bài giải của bài 15)
3 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của hàm hợp:
sạ =ÊS41pTp+8S Ấ1/7? = 03.7% + (~0,05).7% =1/75%
Bai 21 Hàm cầu vẻ ngô có dạng: D =200-50p C6 50 cơ sở giống hệt nhau cùng trồng ngô với hàm chi phắ tại mỗi cơ sở là: 7Ể = 4? (với q là sản lượng) Hãy xác định lượng cung tối ưu của mỗi cơ sở và giá cân bằng thị trường :
Giai Ham cung cia thi trudng 1a: S = 50q, nén ta cé mo hinh thi trudng ngo 1a:
D=200-50p
ậ =50q
Giá cân bằng pỢ =4 ~g Khi đó hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp:
r= (4=9)q-ằ" Ở max
z'=4-4q=0ềẹq` =1; z'()=-4<0
Trang 18Bai.22 Cho mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân:
SỢỂ)+TỢ)= IY)+Gạ
với giả thiết: SỮ,TỮ,ly >0;Sỳ +TỮ >lỮ (@ệ)
Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G,- chỉ tiêu chắnh phủ
1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của giả thiết (*)
2 Hãy phân tắch ảnh hưởng của chỉ tiêu chắnh phủ tới thu nhập cân bằng Giải
1 Giả thiết: Sy,7Ữ,ỉy > 0 - cho biết tiết kiệm S, thuế T, đầu tư I tăng khi thu nhập Y tăng
Giả thiết: Sỹ + 7Ữ > ỉy cho biết tốc độ tăng của nguồn S(Y)+T(Y) theo Y phải lớn hơn tốc độ tăng của đầu tư I(Y) vì một phần cịn dành cho chỉ tiêu chắnh phủ
2 Nếu thu nhập cân bằng là YỢ thì có:
SỢỂỢ)+TỢ)) = 1 )+ Gạ Ủ FỢỂỢ,Gạ)= SỂỢ)+T7ỂỢ)~ 1Ể") ỞGạ =0 (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm YỢ = g(Gạ) Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:
dYỢ _ _ôF/!ôGạ _ 1 oe
4G) aF/aY* Sy+T-ly
hay G tăng thì YỢ tăng Ấ/ Bài 23` Cho mô hình:
Y=C(ầY)+1(r)+Go
ter +Lứ)= Mạ
với giả thiết: 0 <Cy <1;1; <0;k >0; <0
Trong đó: r-lãi suất; C(Y)-hàm tiêu dùng; I(r)- hàm đầu tư, Gạ- chỉ tiêu Chắnh phủ; Mụạ-
lượng cung tiền :
1 Cho biết trong mơ hình trên thì hàm cầu tiền là hàm nào?
2 Phân tắch ảnh hưởng của Gạ, Mạ tới thu nhập cân bằng Giải
1 Điều kiện cân bằng trong thị trường tiền tệ là cung tiền bằng câu tiền; cầu tiền theo gia thiét 14 My nên hàm cung tiền là: kỲ + r(r)- hàm này gồm hai số hạng, một số hạng tỷ lệ
thuận với thu nhập quốc dân Y và một số hạng nghịch biến với lãi suất
2 Gọi thu nhập cân bằng là (Yồ,r) thì YỢ = g(Gạ,A4ạ);zỢ =h(Gạ, Mạ) và có: -
oe =Y* -C(ầ*)-1(r*) -Gp =0(1)
F2Ể},rỢ,Gg,Mq)= kYỢ+Lự")-Mạ=0 Ở (2)
Lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) va (2) theo G,: ề
Trang 19Ta có định thức Jacobi: Ộ-ể+~) -7- k Be r l= =(I-C) L's + KlỖ <0 1 a
0 Es 1 Ấ<0 oer Oo i wi G, on (các yếu tố khác khôn y khi Gạ tăng (các y 8
D=
đổi) thì YỢ tăng :
ia Cos)icl Ừ) or fe == 50 hay khi Gạ tăng (các yếu tố khác Ẩ
0 ôG_ L|
không đổi) thì r tăng
Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) va (2) theo M, sé tìm được hai đạo hàm phân tắch
tắnh so sánh còn lại :
Bài 24 Cho hàm tổng chỉ phắ: C = @ ~5@ẼỢ +14@+75; với Q là sản lượng (Q > 0)
1 Tìm hàm VC; AVC Xác định FC
2 Tìm hệ số co giãn của C theo Q tại mức Q = 10 và giải thắch ý nghĩa kinh tế của nó
3Ợ Tìm các hàm MC và AC; chứng minh rằng MC cắt AC tại điểm mà AC đạt cực tiểu
1 Ta có: FC =TC(0) =75; /C(Q) = TC(Ó) - FC = Q3 -5Q? +14Q.`
Khi đó có: Arc@ =ử?-50+14
2 Ta c6 TC(10)=715; lai c6; MC(Q) = TC'(Q) = 307 -100 +14 -Ừ MC(10) = 214
Khi đó: 1 ` #rC!0 = Freq) CQ) = a4 9 ve 214x~2,99
Ý nghĩa kinh tế: Tại mức Q = 10 mà ta tăng Q lên 1% thì tổng chi phắ tăng lên xấp xỉ
2,99%
3 Ta có: Ac@-= TP) = 9? 59 +144
AC(@)=20- 5-0 (1)
Vế trái của (1) là hàm số liên tục khi Q > 0 và có:
AC"(Q) =2+ A >0 VQ>0- vé trai của (1) đồng biến khi Q>0 Mặt khác lại có:
AC'(1) <0
LimAC'(Q) = +0
Q>+0
Từ các kết quả trên ta kết luận hàm AC(Q) đạt cực tiểu tại một điểm Q > 0 thoả mãn:
Trang 20
75 20" a = (2) (ory Xét: AC(Q) = MC(Q) = O? ~SQ+14+ 7 230? ~100+14 20? ~50~ =0 75 ử20- 52 By 0ẹ20-5-Ở=0 ở ở? (3)
Để ý đến (2) thì (3) có nghiệm là QẼ hay MC(Q) cắt AC(Q) tại điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu
(Ta cũng có thể dùng máy tắnh để tắnh gần đúng Q')
J Bài 25 (Quan hệ giữa hàm tổng và các hàm suy dẫn)
Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn đó là hàm tổng chỉ phắ, hàm tổng man thu, ) -
1 Hãy viết hàm cận biên M(); hàm trung bình A()
M(x) A(x)Ợ
3 Chứng tỏ rằng, khi A(x) dat cuc tri tai xỢ thi M(xỔ) = A(xỖ)
4 Hãy nêu qui tắc chung để vẽ các đường A(x) va M(x) lén cing mot hé truc toa do khi
A(x) c6 cực trị
5, Có kết luận gì về hệ số co giãn của T theo x tại điểm mà A(x) đạt cực trị ,
Giải
1, Hàm cận biên A⁄(z) = 7'(x); hàm trung bình A(x) = 8 (x>0)
MO) = `8 =ặr/x - hệ số co giãn của hàm T(x)
AC) L&R) = idx
3 và 4 Ta có: ;Á(z) -78) (x>0)
| A(x)= LQ T(x)
x
Khi A(x) đạt cực trị tại x thì:
2 Giải thắch ý nghĩa của tỷ số:
2 Ta có:
Te )
6 i
A'(x") =0 T'(x")x" -T(x")=00 =T'(x") @ A(x*)= M(x")
a Néu A(x) đạt cực tiểu tại xỢ thi:
+ Khi x< xỢ có: A(+)<0ẹT'GỦ)xỞT(@)<40T'G)<f0) = M(x)< A(x) (1)
Hệ thức (1) chứng tỏ khi x < xỢ thì đồ thị của đường M(x) thấp hon dé thi cla A(x)
+Khi x>xỢ có: 4(x)>0 ẹT7Ể)x-TỂỦ)>0ẹ T{x)>ỞỞ ch, ẹM()> ea (2) Hệ thức (2) chứng tổ khi x > xỢ thì đồ thị của đường M(x) cao hon d6 thi cia A(x)
b Nếu A(x) đạt cực đại tại xỢ thì:
+ Khi x<x` có: 4(x)>0ềẹT'()x-TỂỦ) >0 ẹ T'(x)>Ở^
PO) 6 M(z)> A(x) @)
Hệ thức E13) ching | Ấ3 x <x" thi đồ BỊ của đường M(x) Ề cao hơn đồ is của aie)
Trang 21
+Khi x>xỢ có: A(x) <0 T(x)xỞT(z)<0>7'Ủ)< ma ẹ M(x) < A(x) (4
Hệ thức (4) chứng tỏ khi x > xỢ thì đồ thị của đường M(x) cao hơn đồ thị của A(x).-ỞỞ
* *
5.Ta có: Ấ=ỞỞT'@Ợ)= M6 Tu]
me TỰ) A(x)
Bài 26 Cho hàm doanh thu trung bình 4ệ = 60 -3Q Tim ham MR; ching minh rang AR
và MR có cùng tung độ gốc, nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR
Giải : :
Ta có: 4R(Q) = = Ạ TR(Q) = 0.AR(Q) = 600 - 30? -Ừ MR(Q) =TR'(Q) = 60-60
Các đường AR(Q) và MR(Q) có cùng tung độ gốc vì: A⁄#(0) = 4R(0) = 60 Độ dốc của
MR(Q) la MR'(Q) =-6, d6 déc cia AR(Q) la AR'(Q) =-3; hay do déc cia MR(Q) gấp đôi độ dốc của AR(Q) ( chỉ gấp đôi mà không lớn hơn)
Bài 27 Xác định hiệu AR-MR trong hai trường hợp cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền
Giải Ta ln có: 7#(Q) = p.Q
a Khi công ty là cơng ty cạnh tranh nó phải chấp nhận giá thị trường hay giá p=const, do vay: TR'(Q) = MR(Q) = p va AR(Q)=p Trong trường hợp này MR(Q)=AR(Q)=p=hằng số-
là các đường thẳng song song OQ : nas
b Khi công ty là cơng ty độc quyền thì công ty sẽ điều tiết cả lượng bán và giá bán; giả
thiết có thể cho dạng hàm cầu xuôi @ = f(p) 1a ham nghịch biến theo p hay có fỖ(p) <0;
hoặc dạng hàm cầu ngược p = Ặ~Ì(ử) có go = /Q,<0
Xét hàm cầu ngược dạng p=g(Q)=AR(Q) thì có:
TR(Q) = g(Q).O Ởể TR(Q) = g'(0).0 + g(Q) MR(Ó) = g'(Q)0+ AR(G)
ẹ AR(O@)- MR(O@)=-g'(0)@>0 YQ>0
~⁄ Bài 28
a Cho y = f(x); hy trinh bày khái niệm hệ số co giãn của y theo x (kắ hiệu là S
b Hãy viết công thức hệ số co giãn cho các trường hợp sau:
1 Cho y = f(u) và u = g(x); tắnh ,,2
2s Cho y =u +v vau=u(x), v= v(x); tắnh ặ,Ấ?
3 Cho y =u - v và u = u(x), v = v(x); tắnh 8Ấ? 4 Cho y = uv và u = u(x), v = v(x); tinh ĐC 5 Cho y = u/v và u = u(x), v= v(x); tinh ặ,Ấ?
Giải
a Khi y = f(x) thi ặy/x= S5 Ấấp ery cho biết số % biến động của y khi x tăng 3 y & ỞỞ ylầỞỞ A(x)
1% b
1 Hệ số co giãn của hàm hợp: y =f(u); u =
Trang 22
~/Bai 29
"3 Cho y =u- vvau=u(t), v= v(); tắnh zẤ? 4
+
Ta ln có: `- = oe (quy tắc đạo hàm của hàm hợp) Khi đó có: lụ dx _x#_ x 4% du _ u dy x du
ee y du nu = Ạy/yFulx
dy du raul
2: eae ỞỞ oe cé:
_xd_ x valk hi v x4 \_ MU Ấ Su,
Sylx ya ut+yv a a Ấ+ v dx Ấ+ ule + u+y v2
3 Lập luận tương tự có:
Uu *
y = u(x) - V(X) > Ey/x Soe a ov) x
4 y=u(x).V(X) > by/x = Eu/x + Ey/x
3 YS > Ey/x = Ey) x Ở Ey/x
a Cho y = f(t), voi t là biến thời gian Hãy trình bày khái niệm nhịp tăng trưởng của y theo t (kắ hiệu là 7,)
b Hãy viết công thức nhịp tăng trưởng cho các trường hợp sau:
1 Cho y = f(u) va u = g(t); tinh r,?
2 Cho y =u + v vàu =u(0, v = v(t); tắnh zẤ?
4 Cho y =uv va u = u(t), v= v(t); tinh r,? 5, Cho y = u/v va u = u(t), v = v(t); tắnh re?
1 dy
2 y=/(Ởy=ỞỞ/700=Ở au Ặ0Ẽ `Ẽy&
b
1 Nhịp tăng trưởng của hàm hợp:
dy dụ di Do có: y=Ặ(u)u= u(t) >= sỉ = - lw _laddu ud lẩu = CÁC y at Lot (ee u dt ne dy dụ adv = t) thi: Ở=Ở+Ở; né 2 y = u(t) + v(t) at 7 a nén:
lidy ule *) P41 u (24) v (i) u v
=Ởể Ở+Ở |=Ở] -Ở + ỞỞ|=ỞỞrẤ+ ty
ydt Ộutv\dt dt) u+v\udt) utv\vdt) uty uty Bằng cách lập luận tương tự ta sẽ có các công thức sau:
3 y = u(Đ - v() thì: rẤ meaty Ởr, 2
u-v u-v
Trang 23
Bài 30 Cho doanh thu là hàm của sản lượng R = f(Q); sản lượng là hàm của lao động
Q=g(L)
1 Phân tắch ảnh hưởng của L tới R
2 Viết biểu thức hệ số co giãn ep)
Giải 1 Áp dụng đạo hàm hàm hợp có: S - 4 29 Ở "(0 g0) dR dQadl 2 Áp dụng cách tắnh hệ số co giãn của hàm hợp có: ER/L = ER/QEQ/L
Bài 31 Lượng cầu về hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:
k
D ==y 1073 0)
P
1 Hệ số co giãn của Dạ có phụ thuộc vào gid p hay không?
eee 24
2 Với n= 1; hãy tinh Dy =
dp?
và giải thắch ý nghĩa kinh tế của các kết quả đạt được
P
D4 dp kắp"
2 Khin=1 06: D4 = kp"! - Di, =(-l)kp* <0 > Dt, =2kp > >0 Vp>0
Đây là tình huống kinh tế mà giá tăng lên cầu giảm và tốc độ giảm của cầu theo giá tăng khi giá tăng (hoặc nói đơn giản: giá tăng cầu giảm với nhịp tăng) : é
Bai 32 Dân số của một quốc gia la: H = Hy? (Ao,a>0); tổng tiêu dùng của quốc
gia này la: C= CuỢ (Co, >0); trong đó t là biến thời gian
1 Giải thắch ý nghĩa của Hạ,Cọ
2 Tìm nhịp tăng trưởng của ge dùng tắnh trên đầu người của quốc gia trên
Giải
1 Xét H(t) = Ho2Ỏ > H(0) = Hạ2Ộỷ = Hạ > 0- vậy Hạ là dân số vào thời điểm gốc
Tương tự xét: C(t) =CoeỎ > C(0) = Coe? = Cy >0- Vay'C, là tiêu dùng vào thời điểm gốc
2 Từ #0) = Hy2Ợ ry = 1 41 H dt mạ
Tương tự có: Te= =b Tiêu dùng tắnh trên đầu người là C/H; khi đó áp dụng công thức nhịp
tăng trưởng của một thương có:
lạỢ J =Ởn <0- hé số co giãn không phụ thuộc giá
-Ho2%.a 1n2 = aln2
Trang 24
Bai 33 Cho G = G(t), S = S(t) lần lượt là các hàm xuất khẩu hàng hoá và dịch vu của Việt
nam; biết nhịp tăng trưởng của xuất khẩu hàng hoá ro = a (a > 0), nhịp tăng trưởng của xuất khẩu dịch vụ rạ= b (b > 0) Hãy viết biểu thức của nhịp tăng trưởng của tổng xuất khẩu
X(t)= G(t) + S(t)
Giải
Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng của một tổng có: L
oN yg 5.1.9, 1`
G()+ se ệ G(t)+ Sự) Ế Git)+SQ ` GỂ)+S()
Bài 34 Cho xuất khẩu của Việt nam là: X()= XgeỘỘ (Xạ,a>0); nhập khẩu của Việt
nam Ia: M=Mge (Mo,b>0)
1 Giải thắch ý nghĩa kinh tế của Xọ, Mụ, a, b
2 Tìm nhịp tăng trưởng của xuất khẩu ròng EX(t) = X(t) - M(t)
3ồ Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hãy cho biết diễn biến của cán cân
thương mại trong tương lai
Giải
1 Lập luận tương tự các bài tập đã có thì:
Xp - xuất khẩu vào thời điểm gốc; Mụ - nhập khẩu vào thời điểm gốc; va cé: ry =a,ry =
ya Ap dụng công thức nhịp tăng trưởng của một hiệu có:
: X(t) M(t) -_ 0 _, MO
XỂ)- Mạ) X X= Mo Ỏ X)- MO _ *@-MỂ)
3 Theo giả thiết có thâm hụt thương mại vào thời điểm gốc nên có: Mẹ > X, (1) Khi đó có 2 tình huống xảy ra:
a Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu không vượt quá nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì
| thâm hụt thương mại duy trì vĩnh viễn Thật vậy:
| i aa) +f Xo {ee - *o > MoeỢ > Xoe% Vi>0
2 a (2) bt zat Vt>0 ev 2e" Wt>0
b Nếu nhịp tăng trưởng của xuất khẩu lớn hơn nhịp tăng trưởng của nhập khẩu thì sẽ có
một thời điểm EX = 0 và sau thời điểm đó EX > 0 Thật vậy:
X(t) =M(0) & XoeỎ = MeỎ > ef! = (3)
0
Do có giả thiết (1) và a > b nên phương trình (3) có 1 nghiệm dương duy nhất:
tx _ 10(Mo/ Xo)
a-b
Dễ thấy khi ằ >Ợ + #()> Mq)e EX() >0
Bài 35 _ Một nhóm dân cư có thu nhập Y và phân bổ thu nhập này cho tiêu dùng C và tiết
kiệm Sdạng: Y = C(Y) + S(Y)
1 Gọi khuynh hướng tiêu dùng biên MPC=a@ (Ủ >0) và khuynh hướng tiết kiệm biên
MPS = lã >0; eran: Ủ+ử=l
rey =
Trang 25
Ổầ +900
2 Chơ hàm tiêu dùng dạng: ong CỂ)=10000+ CO) =
Hãy xác định Ủ, ổ và giải thắch ý nghĩa kinh tế của các kết quả đạt được
1.Ta có: Y = C(Y)+ S() Ở>1= C) + S'(Y) = MPC(Y) + MPSỢ) = ụ + 8
2 Khi C(Y)=10000+ Ỷ thì C(Y)= a 2ồ (Y+9000)
Khi Y=2000 thì: z = C2000) = 0,000668; ử =1 z
Bài 36 Cho hàm tổng chi phi:
C(Q)=9? -497 +18000+150 (ử>0)
Hàm cầu về sản phẩm ciia cong ty 1a: Q7 =9000- p
1 Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (la ham cua p)
2 Tim MR va MC theo Q
3.Tìm QỢ để lợi nhuận đạt cực đại
1 Xét ham cfu: Qz = 9000Ở p <> p=9000-Qj ; ta có điều kiện: 0 < p <9000
Hàm tổng doanh thu có thể viết dưới dạng hàm của Q và hàm của p như sau;
TR = p.Qq = p(9000 ~ p)
TR = p.Qy = (9000-Q7)Oq
2 Xét TR(Q) = (9000 -Q)Q > MR(Q) = 9000-20
TC(Q)= 0? - 49Ợ +18000+150 (Q>0)-> MC(Q)=307 -80 +1800: -
3 Hàm lợi nhuận: z(Ó) = _0 + 302 +7200@ -150 Ở max
Q>0
Điều kiện cần: Z "(@)= =-30? +6@+7200=0 ẹ Qo =50
Điều kiện di: 2"(Q) = -60 + 6 > 2"(50) <0
Vậy lợi nhuận lớn nhất khi lượng cung là Q'=50
Bài 37 Cho hàm lợi nhuận:
m=-Q? +397 +72009-150 (Q>0) 1 Tắnh Z(0) và giải thắch ý nghĩa kinh tế
2 Tìm mức sản lượng Q` mà tại đó lợi nhuận đạt cực đại
Giải
1 Ta ln có: z(@)=7R(@) - TC(Ĩ) = TR(Q) - VC(@)- FC Ở> z(0)=ỞFC <0- hay là
khoản lỗ ròng khi sản lượng bán ra là 0 và khoản lỗ đó bằng chỉ phắ cố định
2 Đây chắnh là bài 36
Bai 38 Cho hàm sản xuất ngắn han:
Q=-2P +102
trong đó: Q-sản lượng, L-số đơn vị lao động sử dụng
Trang 26
1 Tìm tập xác định thực tế (có tắnh kinh tế) của hàm trên
2 Tìm hàm sản phẩm trung bình AP (Average product) và hàm sản phẩm biên MP
(marginal product) Chứng minh rằng AP = MP tại mức sản lượng Q mà AP đạt cực đại
3 Tìm mức sử dụng lao động LỢ tại đó Q đạt lớn nhất
4 Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giải thắch ý tay kinh tế Giải 1 Xét hàm sản xuất: Q 22 +102 Tập xác định thực tế: L>0 2 L>O l62s= =P on oS ese (*) 2 Ta ln có: AP, ==~Ở212 +10r Ễ 3 MP, = 40 _ 954201 aL (*) Khi đó: AP, = MP, @ 412 -30L =0@ 1" =7,5
Mặt khác có: 4P/ =-F 1410-060 =7,5 vàcó 4P/ =-4/3 <0 nên AP, đạt cực đại tại chắnh L'=7,5 1a điểm mà AP, cắt MP,
3 Xét O =-22 + 10S ne
ey =
Điều kiện cần: @ =~2/7 +207.= 0> =10 Điều kiện đủ: @" = -4Ƒ + 20 > Q"(10) <0
Vậy sản lượng đạt cực đại tại Z =10
4 Áp dụng công thức: ặo¡r = saỢ =l,5 - tại mức sử dụng lao động L = 5 nếu ta tăng L lên 1% thì Q tăng xấp xỉ 1,5%
Bài 32 Xét công ty cạnh tranh với một đầu vào duy nhất là lao động (L) với giá tiền công là
wọ , chỉ phắ cố định là FC, giá bán sản phẩm trên thị trường là pụ
1 Hãy viết biểu thức hàm sản xuất, hàm doanh thu, hàm lợi nhuận của công ty
2 Cho biết điều kiện cần của cực đại lợi nhuận; giải thắch ý nghĩa kinh tế của điều kiện này
3 Hãy chỉ ra điều kiện đủ 5
4Ẽ Phân tắch ảnh hưởng của pạ, W; ,EC tới tổng lợi nhuận tối ưu zỢ
Giải
1 Ta có hàm sản xuất: Q=f(L); hàm doanh thu TR=p,Q=p,f(L); hàm TC=w,L+EC; khi đó
hàm lợi nhuận có dạng:
lá sả ae DƯ FC
Trang 27
2 Xét: 2(L) = po f (L)Ởwol Ở FC > max
Điều kiện cần:
m'(L) =0 <> pof"(L) Ở wo = 0 > pof'(L) = & poMP, = wo
Giả sử nghiệm của (1) là LỢ
Ý nghĩa của (1) mức sử dụng lao động LỢ muốn mang lại cực đại lợi nhuận cho công ty cạnh tranh phải là mức mà tại đó giá thị trường của sản phẩm cận biên bằng giá thuê lao
động
Điều kiện đử: z"(Ợ)< 0 ẹ pạ/"(#) <0
4 Đây là câu hỏi khó-phải sử dụng đạo hàm riêng toàn phần
Tại LỢ phải có:
alos =m
LỢ = g(p9, Wp)
Khi d6: 2ồ = 2(L") = po f(L")Ở WoL" - FC = 2(pp,wo,FC) (3)
Như vậy ta muốn phân tắch ảnh hưởng của pạ, wạ, EC tới lợi nhuận tối ưu ta phải tắnh các đạo hàm riêng toàn phần theo các biến trên
*
Ta có: a =Ì- hay khi các yếu tố khác không đổi, chắ phắ cố định FC tăng lên bao nhiêu
(1)
(2)
thi lợi nhuận giảm đi bấy nhiêu
ôzỢ og ip oak (1) * `:
A 2 =f(L")+ po fe a ee =e [pos't2")- mol (04) =0 -hay khi PO po
po {
các yếu tố khác không đổi, giá thị cas của sản phẩm tăng 1 đơn vị thì lợi nhuận tối ưu
tăng một lượng là Qồ đơn vi
ôzỢ ; Pol (L) h = pof (L) dea Ooo) 1ồ - wy = 1" +S |p f'(2") Ở wo |= ÍÝ - hay khi các yếu tố Wo dg : Ừ, O Lor pee )-Wo Ễ &- ay khi cdc y su) khác không đổi, giá thuê lao động wạ tăng 1 đơn vị thì lợi nhuận tối ưu giảm một lượng L` Bài 40 Một công ty có hàm tổng doanh thu 7R=58@-0,5? và hàm tổng chắ phắ
3
1c = ặ3.59? +970 + FC
1 Cho FC = 4, tìm mức cung QỢ để lợi nhuận đạt cực đại
2 Phân tắch ảnh hưởng của FC tới Q' và zỢ
Giải
1 Khi FC = 4 ta xét:
ở
OS a +8Q7 -399-4 ỞỈ max
Điều kiện cân: uy +16ử~39 =0 ẹ Q, =3:Q) =13
Điều kiện di: 2"(Q) =-20 +16
Trang 28
Khi đó: ZỢ(3) >0 Ở> z(Q) đạt cực tiểu tại Ó,=3
Z"(13)<0Ở>z(Ó@) đạt cực đại tại Q,=13
3
2 Ta xét: z(0)=Ở~SỞ +80? -39Q- FC > max
cea +16Q-39 =0 ử¡ =3;0; =13
2o"
Lập luận tương tự câu 1 thì Qồ= 13 khơng phụ thuộc FC, do Vậy: AFG =0 Sử dụng ngay
_ ox" sup
Bài 41 Hàm cầu ngược và hàm chỉ phắ của một nhà độc quyền là:
p=200-0Q
c=g?
trong đó: P-giá; Q-sản lượng
1 Tìm mức sản lượng và mức giá cho lợi nhuận cực đại
2 Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận
3 Giả sử Chắnh phủ đánh một lượng thuế t với mỗi sản phẩm bán ra Tìm mức cung tối đa
hoá lợi nhuận; sản lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi?
Giải
-_Ấ 1Hàm lợi nhuận: z(ử) = 2000~ @? -> max với: 0< Q <200
ỘTa có kết quả: @Ợ =50; pỢ =150
2 Thuế: ca ca, TT, en 20 OF apr OF pape 0-1
3 Khi có thuế ta có hai cách tiệm cận: a Thuế làm thay đổi hàm cầu:
p+t=200-Q = p=200-Q-1-ỪTR = pQ =2009-10-9?
Ham lgi nhuan: 2(Q) = 2009-19-20 > max
Điều kiện cẩn: Z'(G)= 200 Ở:~4ử =0 cỪ Q* = 209=f
thoả mãn điều kiện đủ
b Coi thuế làm tăng chỉ phắ hay hàm chỉ phi mới có dang:
C(Q) =O? +10 > (Q) = (2000 - 9?) - (Q? +Q) Ở max cũng có kết quả tương
tu
Xét @Ợ= ey ~ == - < 0- hay thuế tăng lượng cung tối ưư giảm
Bài 42 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu bién MR = 1800-1,807
1 Cho biết nếu tại mức sản lượng Q = 10 mà doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức cầu sẽ
biến động như thế nào?
2 Nếu doanh nghiệp định giá bán là p = 50 thì tổng doanh thu là cái nhiêu?
DERE SRE ert rence ee errs ee AACS ini dea
roan 3220223920229
Trang 29
3 Nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng cung từ 10 lên 20 thì tổng doanh thu tăng lên bao
nhiêu?
Giải
1 Muốn trả lời được câu hỏi này ta cần có hàm cầu ngược Ta ln có:
TR(Q) = pQẹp a a AR(Q) > p= ARQ) là hàm cầu ngược Theo giải thiết họ
hàm tổng doanh thu dạng:
TR(Q) = | MR(Q)dQ = { (1800 -1,807)dQ=18000-0,603+C ()
@)
Ta luôn có: 0 =7R(0) = C; hay hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:
TR(Q) = 18000 Ở0,6@Ỳ ỞỈ 4R(Ó) = 1800 Ở 0,602 Vậy có hàm cầu ngược:
ap
p=1800-0,69? ở 2o Ừ @ =-1,2 9
Ta có: so,Ấ =-2.29 - 2! (2) Ổ
Qdp Qdp/dQ
Khi Q =10 có: p =1740 và do vậy thay vào (2) nhận được:
p40_p_ 1 _1240 1 ;
ặQ/ p= Qdp QdpldQ 10 (-1,2)10 =y
2 Tac6: p= 1800 -0,697 nên khi p=50 có: 50 =1800 ~0,607 ẹg`x54 Tổng doanh
thu TR=Q* x px2700
3 Mức tăng lên của tổng doanh thu:
20 TR(20) - TR(10) = TRO} = [MR(Q)dQ =18000 - 0,603 ts = 13800 10 "
Bài 43 Cho hàm lợi nhuận bac hai: 2(Q) = ho? +jQ+k (Q20)
Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thoả n mãn đồng
thời các điều kiện kinh tế sau:
a Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm
b Lợi nhuận Z(@) đạt cực đại tai QỖ> 0
Giải
Ta phải có: z(0)< 0 <>&<0 (1)
Mặt khác: z(@)=2h@+ j=0 và do theo giả thiết h khác khơng nên có nghiệm:
Q* = - > 0 khi jh < 0 (2) Để hàm lợi nhuận đạt cực đại tại QẼ phải có 2"(Q") <0 Ta cé:
zỢ=2h <Ủh<0 (3); kết hợp với (2) thì có: j>o
Hơn nữa vẻ mat kinh té thi Igi nhuận cực đại phải dương:
~/2+4nk @ ;
2h
z(QỢ)= >0ẹ/?-4hk>0 Ở (4)
Trang 30
Tóm lại các hệ số j, h, k thoả mãn cụm điều kiện sau:
k<0
J>0
h<0
7?Ở4hk >0
b
Bài 44 Cho hàm số: y=a-ỞỞ (a,b,c > 0;x 20)
c+x
1.Tìm 1z ; xác định giao của y với oy; khảo sát tắnh tăng giảm ; tắnh lồi lõm của y; vẽ
x+Ủ
đồ thị của y
2 Nếu ta dùng hàm số trên làm hàm tiêu dùng (với x là thu nhập; y là lượng tiêu dùng) thì
các hệ số a,b,c phải thoả mãn thêm điều kiện gì? giải thắch tắnh hợp lý về mặt kinh tế của nó
Giải
b
1 Ta có: limy = lim (aỞỞỞ)=a- hay y = a là tiệm cận ngang của đường cong trên
xoo+o X>Ẩệ c+x
.khi xỞ> + Ta lại có: y(0)=a st là tung độ giao điểm của đường cong đã cho với trục
c tung Mặt khác: = b y= z>0 Vx>0-~> hàm số luôn đồng biến (x+c) ._ =2b a sé y= 7 <0 Vx>0-Ở> hàm đã cho lồi (c+x) (Tu vé dé thi)
2 Để hàm số trên có thể dùng làm hàm tiêu dùng ta cần có điều kiện là: z x >0 (*) Khi
e
đó tắnh hợp lý về mặt kinh tế được giải thắch như sau:
+ Điều kiện (*) chỉ ra tiêu dùng tự định (tiêu dùng khi thu nhập x = 0 luôn dương)
+ y >0- hàm số đồng biến theo x, hay thu nhập x tăng thì tiêu dùng tăng Thêm vào đó có
<0 thì tốc độ tăng của y theo x giảm- có nghĩa là thu nhập tăng thì tiêu dùng tăng nhưng
tốc độ tăng này giảm dần khi x tăng Hơn nữa, từ limy = lim (a ae Bay =a ta thấy khi
xe Ừ+o xX->Ẩệẹ c+x
thu nhập x ở mức rất rất cao thì tiêu dùng có xu thế bão hoà
Bai 45 Cho hàm chi phắ của.công ty phụ thuộc vào sản lượng Q dạng:
C(Q)=aQ? +bQ+c (a>0;Q> S a
1 Cho biết các điều kiện đối với a, b, c dé ham C(Q) 1a ham chi phi hgp ly vé mat kinh té;
lap ham AC va MC
Trang 31
3 Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận có cực đại
Giải
1 Theo giả thiết ta chỉ xét một nửa Parabol quay bề lõm vẻ phắa trên ứng với @> =
a
Tinh hop ly về mặt kinh tế của hàm chỉ phắ là:
+ Khi sản lượng Q =0 thì chỉ phắ ln dương (do chỉ fe cố định) + Khi sản lượng Q tăng thì chỉ phắ tăng
Ta có : C(ử)=2a0+b >0 VỌ> = khi đó muốn C(O) 8éng bid VỢ >0 ta phải có: :
a>0
$0620 Mat khéc: C(0)=c>0 Tém lai cdc điều kiện đối với các hệ số là;
2a
a>0;b20;c>0
Ta có: AC(Q) = = 40+b+ (>0)
MC(Q) =C'(Q)=2aQ+b
2 Ham doanh thu: Ổ
TR(Q) = pQ = p(Q)O > AR(Q) = p; MR(Q) =TR(Ó) = p(Q) + Op'(Q) = AR(Q) + Op'(Q)
3 Hàm lợi nhuận:
Z(Ó) = p(Q)O~ aQỢ ~bQỞc Ở> max
Điều kiện cần:
ZỢ(O) = p(Q)+ Qp' (Q)-2aQ-b=0 = p(Q)+ Op'(Q) =2aQ +b => MR(Q) = MC(Q) (1)
c6 nghiém QỖ> 0 va: z"(@`) < 0 ẹ MR'(Q* )<MC(Q")
Bài 46 Tìm hàm tổng chỉ phắ, hàm chỉ phắ biên trong các trường hợp sau:
a C'(Q) = MC(Q) = 1507 +80 +3; FC =100 b = MC =3Qe%2: FC =30 ce = MC=2e%2 rc =90 a Họ hàm tổng chỉ phắ có dạng: TC(Q) = [ MC(Q)dQ = | (150? +80 +3)dQ =5Q? +40? +30+C () Mặt khác có: (@
100 = FC = TC(0) = C > C =100 -hay hàm chi phắ thoả mãn đầu bài có
dang:
TC(Q) = 5Q? +49? +39 +100
b Họ hàm tổng chỉ phắ có dang:
TC(Q) = | MC(Q)dQ = [3Q.e*2a9 (1)
Trang 321 =3Q Ở du =3dQ;v = fe%2dQ = 2eồ52 khi 46 ho ham chi phi cé dang:
TC(Q) = 6QeỎ2 Ở 6fe%52a0 = 6Qe%2 -12e%2 40 (2)
Thay Q = 0 vào (2) có:
30=TC(0)=-12+C, vậy có C = 42 Ở hay hàm chỉ phắ thoả mãn đầu bài là:
TC(Q) = 6Qe2 Ở 1262 4+ 42
c Ho ham tổng chỉ phắ có dạng:
TC(Q) = | MC(Q)dO = {2e?2aQ =104 e724 (0,29) = 100972 +c (1)
Thay Q =0 vào (1) có: Ề
90 = ƑC =7C(0)=10+Ạ ẹCẠ =80 Hàm chi phi thoả mãn đầu bài có dạng:
7C(@) =10e929 + s0
Bai 47 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:
S'(Y) = MPS(ầ) =0,3-0,1ầ~5
Hãy tìm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng không khi thu nhập Y = 81 $
Họ hàm tiết kiệm có dạng:
SỂ) =[S'()đY = f(0,3 =0,1Y~)aY =0,3Y -0,2ầ'/2 4.0 (1)
y Thay Y = 81 vao (1) cé:
0 = S(81) = 0,3.81Ở0,2V81+C = C =-22,5 Hàm tiết kiệm thoả mãn đầu bài có dạng:
SỂ)=0,3Y ~0,2Y!!2 ~22,5
Bài 48 Tìm các hàm tổng doanh thu R(Q) trong các trường hợp sau:
#'(0)=280-eồ39
b #(2)=10(1+0)2
Giải (Ta luôn thừa nhận giả thiết biên là TR(0)=0)
a Họ hàm tổng doanh thu có dạng: TR(Q) = [MR(Q)4Q = [(280Ởe3)4O = 140? - se R240 (ly = Thay Q=0 vao (1) ms 0=7#(0)=-Ở+CeC= 2D 5
Ham tổng doanh thu thoả mãn đâu bài là:
Trang 33
0=T7R(0)=-10+C &C=10
Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu bài là:
Bài 42 Tìm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dân nếu khuynh hướng nhập
khẩu biên là Ả⁄'(Y) =0,1 và M = 20 khi Y =0
Giải
Họ hàm nhập khẩu có dạng: f
M(Y) =| M'(Y)aY = f0,ldầ =0,1ầ +C (1) Thay Y =0 vào (1) có:
20 =M(0) =C hay hàm nhập khẩu thoả mãn đầu bài có đạng:
M(Y)=0,1Y+20
Bài 50 Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y=100 $ và khuynh hướng tiêu dùng biên là:
C'(Y) = MPC(ầ) =0,8+0,1ầ
1.Tim ham tiéu ding
2 Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $
3 Tắnh hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập Y = 200 $, giải thắch ý nghĩa kinh tế của nó
Giải
1 Họ hàm tiêu dùng có dạng: ;
C(ầ) = J MPC(Y)aY = { (0,8 + 0,1Y)aầ =0,8ầ +0,2ầ'/2 4.0 (i)
Thay Y = 100 vào (1) có:
100 = C(100) =80+2+C & C=18
Hàm tiêu dùng thoả mãn đầu bài có dang:
C(Y) = 0,8ầ + 0,2ầ!/? +18
2 Mức tăng lên của tiêu dùng là:
200 200
C(200)~C(00)=C| n0" = JMPCỂ)4Y.= [ (08+01Y~95)áV=60+2(5 : 100 tọo 100
3 Khi Y = 200 có C(200)=178+24/2 và C/(200) = 0,8+-P:L 2/2
Ta có:
Y ấy) c
Ec/y = CarỖ tại Y=200 có: ec/y ~ 0,924
Tại mức thu nhập Y = 200 nếu thu nhập tăng 1% thì tiêu dùng tăng xấp xỉ 0,924%
[ 1
Bài 51 Cho hàm đầu tư 7(/) = 123 (trong đó t là biến thời gian)
1 Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25
2 Xác định tổng lượng vốn tắch luỹ được trong khoảng thời gian / 6 [1,10]
Trang 34
1 Ta có họ hàm vốn dạng: ,
K@)=[1@)# =[(2/1/3)&=9ệ3+Ể Ở @)
Thay t = 0 vào (1) có:
25=K(0)=CỦC=25
Hàm vốn thoả mãn dau bai la: K(f) =914/3 +25
2 Lượng vốn tắch luỹ được trong khoảng thời gian [1,10] là: 0
ASK K(0)-KQ)= Kứ) ~192,89 I0 10 ey [1ứ)& =9'3 10 'w 1
Bai 52 (Cao hoc KTQD 2006-1,5 điểm) Y là thu nhập, S là tiết kiệm Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S = -7,42 khi thu nhập Y = 5
1 Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm biên là MPS = Y-0,4
2 Kể từ mức thu nhập đương nào trở nên sẽ có tiết kiệm dương?
Giải :
1 Họ hàm tiết kiệm có dạng:
2
SỂ)=[MPS()aV = [ý ~0,4)ảy =ÍỞ ~0,AY+C (1) T
2 / ^~ TS z Ẽ.bx+
Thay Y=5 vào (1) thì theo giả thiết có: heen ears ore
È ~ 1,42 = S(5) = 25/2-0,4.5+C.> C=-17,92/ rive Ww TT
Vậy họ hàm tiết kiệm có dạng: ⁄ặ22)- s(10) z JzỌ 4v
Sơ =Ở-0,4ầ -17, _ Y-17,92 CORFE ee a
el 2 , :(X -4ềvỳs
2 Ta xét hệ: Reet
l Y>0 ` eee
2 ẹY>6,4
YỘ/2Ở0,4Y -17,92 >0
Bài 53 Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm chi phắ biên:
MC(Q) = 207 Ở120+25 với Q là sản lượng
1 Xác định mức tăng lên của tổng chỉ phắ, khi doanh nghiệp tăng sản lượng từ Q =5 lên
Q=10 don vi
2 Cho giá thị trường của sản phẩm của doanh nghiệp là p = 39 va FC = 20 Hãy xác định
lượng cung cho lợi nhuận cực đại
3ồ Cho p tăng 1 đơn vị ; hãy xác định mức tăng của lượng cung tối ưu Qồ và lợi nhuận tối
ưu ZỢ 4 +
4' Cho p tăng 1%, hãy xác định số % biến động của QỢ và ZỢ
Giải
1 Mức tăng của chỉ phắ là:
Trang 3510 10 TC (10) - TC(5) = TC(Q) c = [MC(Q)dQ = { (20? -120 + 25)dQ = 258,83 5 5 22 2 Với FC = 20 ta có hàm tổng chỉ phắ có dạng: TC(Q) = 50ồ Ở6Q? +250 +20 va TR(Q) =39Q; khi đó: z(0)= -20' +6Q7 +14Q-20Ở max Ẽ Q>0 m'(Q) =-207 +120 +14=0 ẹ Q*=7 m"(Q)=-40 +12 > 2"(7) <0 -
Kết luân Lợi nhuận đạt cực dai khi QỖ= 7 và khi đó zỢ = z(7) =143,33
3 Đây là một câu khó, phải sử dụng lý thuyết hàm ẩn Thắ sinh đi thi được sử dụng các công thức đã có Sau đây là chứng minh cho trường hợp tổng quát cho trường hợp công ty cạnh tranh- hay giá p = constant Khi đó:
Z(ử) = pQ~TC(Q) > max
Điều kiện cần: z'(ử) = p~TC(@) =0 (1)
Giả sử nghiệm của (1) là Qồ hay có: p-TC'(Q*)=0 ` @)
Điều kiện đủ: zỢ(@Ợ) =-TC"(Q") <0 TC"(Q") >0 h @)
Để phân tắch tĩnh so sánh ta phải coi (2) xác định ẩn một hàm p=p(Q)) hay có:
ie Q*)= p-TC'(Q")=0
p= p(Q")
Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn:
4QỢ ôF/áp _ 1 1
dp aFlagỖ -TC"Q") TC(QỢ)
Như vậy, nếu giá thị trường p tăng lên thì người sản xuất quyết định cung một lượng lớn hơn
Ta lại có:
É = pQ" ~TC(Q")(4)
ở =ử0) 6)
Lấy đạo hàm toàn phần (4) theo p có:
>0 do có (3) dx* dnx*dQ* = =p- d0 ` Ấx đTCdQỢ Ộ+0 '- =ử +(p-ỞỞ)ỘSỘ=@ do có (2) x địC d0Ợ: se dp dQ* đp dp dQỢ dp dQỢ 4p r fae ie +) doỢ 1 ax : *
Trong bài này có: TC'(@`) = TCf(7) =16; nên có: =Ở va =Q =7
dp 16 dp
Trang 36
pdx _ 39
cig -SỞ x7 21,9
"Ip 9ồ dp 143,33
Bai 54 Mot doanh nghiép cé ham doanh thu bién,; MR =960-0,15Q7 Hay tim téng
doanh thu néu doanh nghiép dinh gid ban san phẩm p = 715
Giải
MR(Q) = 960 Ở 0,150 Ở> TR(Ó) = 9600 =0 ,05ử? > AR(Q) = 960-0,05Q7; khi đó hàm
cầu ngược của công ty là: ụ = 960 Ở 0, ,0507
Q>0
Thay p = 715 vao ham cdu nguge c6: 715 =960-0,0507 <> Q* = 70
Khi đó tổng doanh thu là: 7# = pQ* =715x70 = 50050
Bai 55
a Cho biết lãi đơn gộp 0,9% tháng Hãy cho biết:
1 FV của 3 triệu VND của thời điểm hiện tại sau 3 năm?
2 PV của 5 triệu VND mà ta sẽ nhận được sau 4 năm?
b Cho biết FV của 10.000 $ sau 3 năm trong các trường hợp:
1, Lai don gop 5% năm
2 Lãi liên tục gộp 5% năm
Giải a hi 97? 1 Ta có: FV = PV(1+r)Ổ =3(1 + 0,009)ồ6 ~ 4,414934 2.Ta có: PV = FV(+r)Ẽf =5(1+0,009)48 ~ 3,2523 b 1 Tacé: FV = PV(1+r)! =10.000(1 + 0,05)ồ ~11576,25 2 Ta có: FV = PVeỎ =10.000e%*? ~11618,342
Bài 56 Hãy cho biết lãi suất r tắnh gop liên tục một năm là bao nhiêu thì tương đương với lãi đơn gộp trong các tình huống sau:
1 5% năm, tắnh lãi 1 năm 1 lần?
2 5% năm, tắnh lãi 6 tháng một lần?
3 5% năm, tắnh lãi 3 tháng một lần?
Giải
1 Giả sử tiền gốc là A, thì sau một năm gửi với lãi đơn gộp 5% thì tiền nhận được là:
A(1,05) Nếu lãi gộp liên tục 1 năm là r %-thì tiền nhận được là: Aer Điều kiện tương
đương của hai loại lãi suất là:
A(1,05) = AeỢ <r =1n(1,05) = 0,04879
2 Theo giả thiết lãi 6 tháng là 2,5% và sau l năm có: 4(I+ 0,025); theo lãi gộp liên tục r% thì sau 1 năm cé: AeỖ Điều kiện tương đương:
Trang 374q+ 0,025)? = AeỖ <r =2In(1,025) = 0,049385
3 Lai 1 quý là 0,0125; vậy sau 1 năm số tiền nhận được 1a: A(1+0,0125)* va diéu kiện
tương đương là: A(1,0125)4 = AeỢ >r = 4In(1,0125) ~ 0,04969
Bài 57 Giả sử một người vay của ngân hàng 10 triệu, thì người đó sẽ phải trả bao nhiêu
trong các tình huống sau: :
1 Trả sạu 3 năm, lãi đơn gộp 9% năm? Cho biết lãi suất tắnh chung cho 3 năm là bao
nhiêu? nh:
2 Trả sau 3 năm, lãi liên tục gộp 8% năm? Cho biết lãi suất tắnh chung cho 3 năm là bao nhiêu?
Giải
1 Sau 3 năm số tiền phải tra la: FV = PV(1+ rp =10(1+ 0,09)? =12,95029
Nếu tắnh chung cho cả 3 năm thì lãi suất là:
-1224129-I10, 102g,
2 Sau 3 năm số tién phai tra la: FV = PVe"Ỏ! =10e%%3 ~12 71249 Nếu tắnh gộp cả 3
năm thì:
r
_ 12,/71249Ở10
P x100 =27,12%
Bài 58 Một dự án có vốn đầu tư ban đầu 6000 $; lợi ắch thu được sau đúng 5 năm là 10.000
$ Biết lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% năm Bạn có nên đầu tư vào dự án này không?
Ta có: NPV =10.000(1 + 0,09)~> Ở 6000 = 499,13 > 0; du én duge chap nhan
Bai 59 Cho lãi suất ngân hàng 9% năm Một công ty đề nghị bạn góp vốn 3500 $ vào đầu
năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm) 750 $ liên tục trong 7 năm Bạn có góp
vốn hay khơng? Giải
Trước hết chiết khấu luồng tiền về thời điểm gốc:
750 750 750 H 750 1
ỞỞ:ỞỞ: ¡ỞỞx- dãy 109 71092 "71067 ay số này là một cấp số nhân số này là một cấp số nhân có uy =ỞỞ3g =ỞỞ V4 có z¡ 109ồ? Ẽ L9 y
tổng số tiền lợi tức nhận được quy về thời điểm gốc là:
af c0 -ụg7y 1,09 7 1 1,09" J: khi dé: NPV = S,-3500 = 274,714 > 0 l=4 ta 1 a Kết luân Góp vốn được
Trang 38
Nếu phải lựa chọn một trong 3 dự án trên, bạn chọn dư án nào?
Giải Ta cần tắnh NPV cho 3 phương án
4000 4000 4000 PÀ Á NEW =Ở~+ Ở0ồ-ỞỞ1000==52:601<0 ng Gee ee Tye PAB NPV = 2008 , 5000 , 8000 _ | 000 = 2870,018>0 Ts de 2v Đ Be NPP ees 3000 000 2365889 > 0 lắc: viếb coi MP Kết luân Chọn phương án C
Bai 61 Cong ty ôtô Giải phóng bán xe VIOS theo hai phương án sau:
Phương án A: Trả tiền luôn 1 lần với gid 14 18000 $
Phương án B:_ Trả ngay 5000 $ và nhận xe, phần còn lại trả góp theo từng quắ (liên tục trong 6 quắ) mỗi quắ 2450 $; cho lãi suất ngân hàng là 3%/quắ Nếu cần mua xe bạn chọn phương án thanh toán nào?
Giải Theo phương án trả góp thì số tiền thực trả khi quy vẻ thời điểm gốc sẽ là:
2450(, 1 103( 1,036 F =5000 ++ >= + = 18282,78 eee 1,03 Kết luân Trả góp sẽ đất hon :
Bài 62 Một doanh nhân bỏ ra K $-vào thời điểm hiện tai mua tắch trữ một loại rượu nho để bán vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai; biết giá trị của lô rượu này tăng theo
qui luat V(t) = Kev" (t là biến thời gian); giả sử chỉ phắ bảo quản không đáng kể (có thể bỏ
Trang 392 Cho lãi suất gộp liên tục là r%; hãy xác định thời điểm bán lơ rượu có lợi nhất
3 Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó nhịp tăng trưởng của giá
trị lô rượu bằng lãi suất r
Giải
1 Ta có: Ặ(/) = Kev
lav 1
Ki dé gee ỘVà TỦ kế K
2 Ta có: NPV = KeY! xe"?! ~ K = KeÝ!~! Ở K Ở> max
Để đơn giản ta có thể nhận xét rằng: NPV đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ẶỂ)= ÝÍ? Ởrf Ở> max
1
wats # 1
Diéu kién can: a =rer ỞỞ (i)
f at 2z 4r?
= <0 Vr >0- hàm f(t) lõm nên nó đạt lớn nhất tại tỢ
Điều kiện đủ: /Ợ() = 372
4r
3 Rõ ràng tại tỢ ta luôn có: oir =r- hay thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó r bằng nhịp tăng trưởng của lô hàng '
ark
v/Bài 63 Bai 63 Cho ham sản xuất COBB-DOUGLAS: Q =30K 323 (K, L > 0); trong đó: Q-sản
lượng, K-vốn, L- lao động :
1 Tim va giải thắch ý nghĩa kinh tế của: oo = Ok = = Oar 2 Ot, =Q; tại điểm K = 27 va
L=64
2 Tìm các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L
3 Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu %?
4 Với hàm sản xuất trên thì khi tăng qui mơ hiệu quả có tăng hay không? 5 Hai yếu tố K và L trong hàm trên có quan hệ bổ sung hay thay thế nhau?
6 Hàm số đã cho có thoả mãn luật lợi ắch cận biên giảm dần không?
7 Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm và lao động L có nhịp tăng 6% năm thì nhịp tăng của
Q là bao nhiêu %?
8 Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 là các mức biến
động của vốn và lao động Tìm các mức thay đổi riêng d ẤQ và đ,Q và giải thắch ý nghĩa
kinh tế của các đại lượng đó? Tìm và giải thắch ý nghĩa của vi phân toàn phần dQ Giải
2 1⁄3
Trang 40i ae
lugnig i dé Q không đổi
1/3
Khi K = 27; L = 64 thi MP, = 2|) ~ 26,66 - hay tại mức sử dụng đầu vào K = 27,
=64 nếu giữ nguyên lao động tăng L lên I đơn vị thì Q tăng xấp xỉ 26,66 Tương tự, ta
cũng có:
K 2/3 :
MP, 1 ặ) va tai k = 27, L = 64 thi: MP, = 5,625 2 Ta ln có hệ số co giãn riêng:
#Q¡K -X⁄342 QO 0K 30231 É_ x20K-U373~2/3
Tương tự có: eo =1/3 Hệ số co giãn ặo¡rL =1/3 có nghĩa là khi giữ nguyên K và tăng
L lên 1% thì Q tăng 2/3%
3 Nếu K và L cùng tăng lên 1% thì số % tăng lên của Qìà:
# =#o¡K +ặo¡r =l Sah on Hes he
4 Hàm sản xuất đang xét ứng với trường hợp tăng quy mô mà hiệu quả không đổi vì:
Q(AK, AL) =30(AK)?/3(az)!/3 =30K?/7!/34 = A0(K,L)
ỔdK ag/al
5 Ta xét: ỞỞ=Ở
aL 20/2X <0-hai yếu tố thay thế nhau vì ta giảm L thì phải tăng K một
6.Ta có: Ơ ~20~1⁄3y⁄3 22 op =-20/3K~*/3/""3 <0 vK.L>0 ơK aK?
Hồn tồn tương tự có: Qf; <0 Vay ham số đã cho thoả mãn luật lợi ắch cận biên giảm
dần
7 Áp dụng công thức: zo = ặo/ g Xrặ +EQ/L XL =2/3x3%+1/3x 6% = 4%,
, 8 Ta tinh các vi phân riêng:
dxQ= 22 4K = 26,66 x0,1=2,666 và d,0= S2 ar= 5,625x(_Ở0,3)=~1,6875
¡ Vi phân toàn phần: đÓ = đvQ + đrÓ = 2,666 Ở1,6875 = aes
Bài 64 (Cao hoc KTQD-2007-1 điểm) Cho hàm sản xuat ầ = 0,3K%ồ1ồ5, Y-sản lượng,
K-vốn, L-lao động
1 Hãy tắnh sản phẩm biên của vốn và lao động tại K =4; L = 9
2 Quá trình công nghệ thể hiện bằng hàm xế trên có năng suất cận biên giảm dần hay không? Hãy giải thắch