tài liệu ôn thi cao học môn hình học

tài liệu ôn thi cao học môn hình học tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN HỌC

Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN

Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh

sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An

Học phần

trên U Khi đó r U( ) là giá của mặt tham số

Hai mặt tham số r U: ®¡3, :r U~ ~ ®¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi 3 ~

r U

u v r u v

®¡

a Khi đó M =r u v( 0, 0) là điểm chính qui của

mặt ( )S nếu hai véctơ r'u(u v0, 0), 'r v(u v độc lập tuyến tính Nếu mặt 0, 0) ( )S chính qui tại mọi

điểm M =r u v( ), , với ( )u v, ÎU thì ( )S là mặt chính qui Điểm không chính qui là điểm kỳ dị

Tính chính qui của mặt ( )S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh)

Nếu tại điểm M =r u v( 0, 0) là điểm chính qui của mặt ( )S thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm M x y z( 0, 0, 0)nhận r'u(u v0, 0), 'r v(u v làm cặp véctơ chỉ phương có 0, 0)

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau

Trường hợp 1 v= tương ứng với đường v0 ( ) ( )

( )

'v ,

r u v

5 Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

, nếu J > thì 0 ( )S là mặt định hướng được

Cho mặt ( )S định hướng ta luôn có

Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( )S

6 Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

I a =E du + Fdudv+G dv

7 Công thức tính độ dài cung trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

l =ò E u + Fu v +G v dt, với , , E F G được xác định như trên

8 Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

(u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ) 1, 2, ,1 2

Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( )x1 và ( )x2 là

det h là độ cong Gauss của ( )S và các giá trị riêng của ma trận [ ]h gọi là độ cong chính

Nhận xét h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, llà giá trị riêng của ma trận h nếu

0

A-lI = Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp

10 Dạng toàn phương cơ bản thứ hai

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

r U

u v r u v

®¡a

Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( )S , aÎT M( )S ,a¹0 Ta nói a là phương chính của

mặt ( )S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h a( )=la với llà độ cong

EN GL FM H

EG F

-=

- là độ cong trung bình

Lưu ý Việc tính độ cong chính của mặt ( )S ta có thể dựa vào phương trình

13 Phân loại điểm trên mặt

Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa

3:

EG F

-=

- , độ cong chính tương ứng là l l1, 2 Nếu K > thì A là điểm Eliptic Nếu 0 K < thì A là điểm Hyperbolic Nếu 0 K = thì A là 0điểm Parabolic

Nếu l1 = thì A là điểm rốn Nếu l2 l1=l2 ¹ thì A là điểm cầu Nếu 0 l1=l2 = thì A là 0điểm dẹt

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong ¡3

cos

sin

x y u

a b z u b

x a u v

y b u v

z b u

=ì

ï =í

ï =î

Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( )0x là

( ) (, cos cos , cos cos , sin )

tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục

( )0 y là r u v( ) (, = a.cos cos , cos cos , sinu v b u v a u)

b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng

ï =í

ï =î

Do vậy phương trình tham số hóa

của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là r u v( ) (, = a.cos u chv b, cos u shv a, sinu)

c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng

x y

ch u

a b z

x a chu chv

y b chu shv

z b shu

=ì

ï =í

ï =î

Do vậy phương trình tham số hóa của

Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là r u v( ) (, = a chu chv b chu shv a shu , , )

d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng x2+ y2 =2pz

Đặt

212os.c.sin

b) Giả sử r và r tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số ~ j: U~ ® sao cho U ~

u v v

u v u

jj

ì æç ö =÷

ïï è øí

è ø có detJj = - < (mâu thuẫn) 1 0

Vậy ta có điều cần chứng minh

Bài 3 Cho U mở trong ¡, mặt ( )S có r U: ®¡3 xác định bởi ( ) ( 2 2)

r u v = u v u -v , với mọi

( )u v, Î U

a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui

b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm A=r( )0,1 với mặt ( )S

Giải

a) Xét tại điểm tùy ý A=r u v( ), Î U

Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta r'u( ) (u v, = 1, 0, 2u r), 'v( ) (u v, = 0,1, 2- v)

Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( )S là mặt chính qui

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại A=r( ) ( )0,1 Î S có dạng là

ï = î

îê

êì - + =

êîë

Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p với ( )S là cặp đường thẳng có phương trình

a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( )P quay quanh trục 0z

b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay

ï =î

quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( )S có phương trình 2 2 1

Bài 5 Cho f là hàm trơn trên tập mở 2

U Ì¡ và mặt ( )S có tham số hóa r U: ®¡ xác định 3bởi r u v( ), =(u v f u v, , ( ), ), với mọi ( )u v, ÎU

a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r

b) Tính độ cong Gauss K của ( )S tại một điểm tùy ý

-=

Bài 6 Cho U =[0, 2p] [´ 0, 2p] và mặt xuyến ( )S có r U: ®¡3 xác định bởi công thức

( ) (, ( 2 cos )cos , 2 cos( )sin ,sin )

r u v = + u v + u v u

a) Xác định các đường tọa độ r u v( , 0) (, r u v của r 0, )

b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm ( )0, 0 , , 0

2

A=r B ræp ö

= çè ÷ø

Giải

a) Với v= tương ứng với đường v0 ( ) ( )

v thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất

Với u = tương ứng với đường u0

í

ïî Do vậy họ tham số u = là những u0đường tròn giao giữa mặt phẳng z-sinu0 = và mặt trụ Khi 0 u thay đổi các đường thẳng 0

này tạo thành lưới tọa độ thứ hai

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )pA tại điểm A=r( ) ( )0,0 Î S có dạng

u

v

x y z r

r

ï

=í

î

Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là x- = 3 0

Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc( )pB tại điểm , 0 ( )

U = p ´ p Ì¡ và mặt giả cầu ( )S có r U: ®¡ xác định bởi công thức 3

( ), sin cos , sin sin , cos ln tan

a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( )S

b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của ( )S

c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S

a c ul -a u- u u l-c u= điều kiện cosu¹ 0

D = > khi u¹0,p p, 2 cho ta 2 nghiệm

ê

ê =êê

-ê

ê =êë

Vậy độ cong chính của mặt là

ê

ê =êê

-ê

ê =êë

= - < với mọi ( )u v, Î nên điểm nào của mặt U ( )S luôn là điểm Hyperbolic

Bài 8 Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa r u v( ), =(j( )u cos ,v j( )u cos ,u x( )u ), với j x, là các hàm một biến trơn thỏa ( ) ( )2 2

j > j + x ¹ a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S

b) Tính độ cong Gauss tại điểm tùy ý của ( )S

II a =L a , với L được tính như trên

b) Độ cong Gauss được tính theo công thức

2

2

LN M K

U = p ´ p Ì¡ và mặt xuyến ( )S có r U: ®¡ xác định bởi công thức 3

( ) (, ( 2 cos )cos , 2 cos( )sin ,sin )

r u v = + u v + u v u , với mọi ( )u v, ÎU

a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S

b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính của ( )S

c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S

d) Trên ( )S có điểm rốn không? Tại sao?

''v , 2 cos cos , 2 cos sin , 0

r u v = - + u v - + u v nên theo công thức tính L M N, , cho ta

2

L= M = N = u+ u

b) Độ cong Gauss được tính theo công thức

2

2

LN M K

2 cos

u u

ll

=éê

ê =

+ë

Do vậy độ cong chính

của mặt ( )S tại điểm bất kỳ là

1cos

2 cos

u u

ll

=éê

ê =

+ë

-= và kết quả câu a) ta được a a u v = 0

Trường hợp 1 a u = suy ra 0 a = -( a v(2 cos+ u)sin ,v a v(2 cos+ u)cos , 0v ) nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất kỳ là a= - +( (2 cosu)sin , 2 cosv ( + u)cos , 0v )

Trường hợp 2 a v = suy ra 0 a = -( a usin cos ,u v -a usin sin ,u v a ucosu) nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất ký là a= -( sin cos , sin sin , cosu v - u v u)

l =l Û =

+ (vô lí) Vậy mặt ( )S không có

điểm rốn

Bài 10 Cho mặt ( )S trong ¡ được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng 3

( ) ( )2 ( )2

I a = a +G a Chứng minh rằng độ cong Gauss của ( )S cho bởi

1 2 1 2

2

1 2

Bài 11 Mặt trong ¡ gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm Chứng 3

minh rằng mặt ( )S có tham số hóa r u v( ), a ch u.cos , v a ch u.sin ,v u

EN LG FM H

Thế vào (11.1) ta được H = tức là mặt 0 ( )S là mặt tối tiểu

Bài 12 Cho mặt tham số hóa ( )S trong ¡3 có r u v( ) (, = ucos , sin ,v u v u+v)

a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss của ( )S

b) Tìm độ cong chính và phương chính của ( )S tại điểm A( )0, 0

Với r''u( ) (u v, = 0, 0, 0 , '') r uv( ) (u v, = -sin , cos , 0 , ''v v ) r v( ) (u v, = -ucos ,v -usin , 0v ) nên

theo công thức tính ,L M N cho ta ,

Tại điểm A=r( )0,0 cho ta E =2,F =1,G= và 1 L=0,M = -1,N = 0

Thế vào (12.3) cho ta phương trình l2+2l- = suy ra 1 0 1

2

ll

é = - +ê

=

Gọi phương chính của mặt ( )S tại điểm A=r( )0, 0 là a=a r u ' 0, 0u( )+a r v ' 0, 0v( ) (12.4)

Với r' 0,0u( ) (= 1,0,1 , ' 0,0) r v( ) (= 0,0,1), tại điểm A=r( )0,0 ta được E=2,F =1,G= và 1

-Trường hợp 1 a v = 2a u suy ra phương chính a=(a u, 0, 1( + 2)a u) nên ta có thể chọn phương chính là a=(1, 0,1+ 2)

Trường hợp 2 a v = - 2a u suy ra phương chính a=(a u, 0, 1( - 2)a u) nên ta có thể chọn phương chính là a=(1, 0,1- 2)

Bài 13 Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc ( )p với mặt ( )S : z x f y

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm M =r u v( 0, 0) ( )Î S có dạng là

xúc ( )p luôn đi qua điểm cố định 0

Bài 14 Cho mặt ( )S có phương trình tham số

ï =íï

r u v = v u v u ku tại một điểm bất kỳ, với kΡ

Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm M =r u v( 0, 0) ( )Î S có dạng là

Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( )p là (-ksinu0) (x+ kcosu0)y-v z0 +kv u0 0 = 0

Phương trình pháp tuyến tại điểm M =r u v( 0, 0) ( )Î S có dạng x x0 y y0 z z0

Bài 16 Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp

xúc ( )p của mặt ( )S có phương trình tham số hóa r u v( ), u v, ,a3

Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm M =r u v( 0, 0) ( )Î S có dạng là

này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm M =r u v( 0, 0) ( )Î S

Bài 17 Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt ( )S có tham số hóa ( ), , , 2 2

Giải Gọi A=( ) ( )C1 Ç C2 có tọa độ là nghiệm của hệ 0 ( )0, 0

Û =

í - =î

Dạng tham số của ( ) 1

1 1: u t

C

v t

=ì

í =

2 1: u t

C

v t

=ì

í =î

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường cong ( ) ( )C1 , C2 cho ta

1os1

a u c

a c

a

f = +

-Bài 19 Cho mặt ( )S có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ( )2 ( 2 2) ( )2

I = a + u +a a Tìm chu vi

của tam giác cong trên ( )S xác định bởi

2121

u av v

ì = ±ïí

ï =î

i) Trong mọi tham số hóa ( )u v, ar u v( ), của mặt ( )S trong một lân cận của điểm M , giá trị

tại M của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e L M N

E = F = G ii) H2= K

Bài 4 Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa r u v( ), =(j( )u cos ,v j( )u sin ,v f( )u ) với

Bài 5 Cho mặt ( )S có tham số hóa r u v( ) (, = usin , cos ,v u v v)

a) Tính diện tích của tam giác cong trên ( )S xác định bởi

í £ £

b) Tính chu vi của tam giác này

c) Tìm các góc của tam giác

Bài 6 Tìm những đường cong giao với đường v=const tạo thành một góc không đổi f trên mặt

( )S có tham số hóa ( ) ( ( 2 2) )

, cos , sin , ln

r u v = u v u v a u+ u -a

Bài 7 Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ của các mặt có tham số hóa

a) r u v( ) (, = Rcos cos , cos sin , sinu v R u v R u)

b) r u v( ) (, = acos cos , cos sin , sinu v a u v c u)

c) ( ), sin cos , sin sin , ln tan cos

Bài 8 Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt xyz= a3

Bài 9 Cho mặt ( )S có tham số hóa r u v( ), =(c( ) ( )u ,m u cos ,j m( )u sinj), với m( )u > 0

a) Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt ( )S

b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt ( )S

c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt ( ) 2 2 2 2

d) Tính độ cong trung bình của mặt ( )S

e) Tìm phương trình m m= ( )u trong trường hợp c( )u =uđể H = tại mọi điểm trên mặt 0

Bài 10 Tìm độ cong chính của trên mặt ( ), ( ),

x= u-v y= u+v z=

Bài 11 Véctơ ar

là phương tiệm cận nếu II a( )=0 Một đường thẳng trên mặt là tiệm cận nếu tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận Đường tiệm được xác định bởi K M( )av =0

hay phương trình ( )2 ( )2

Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi về theo địa chỉ mail thanhansp@gmail.com

Xin chân thành cám ơn!

-HẾT -