Tài liệu Ôn thi cao học môn Toán kinh tế - Phần III: Thống kê doc

Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X và tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B.. Hãy ước lượng giá trị trung bìn

ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ

(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN III: THỐNG KÊ

A- ƯỚC LƯỢNG

§1 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

1.1 Bảng số liệu

Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n:

(X1, X2,…, Xn) và thường lập bảng số liệu theo các dạng sau:

Dạng 1: Liệt kê dưới dạng:

x1, x2,…, xn trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần

Dạng 2: Lập bảng có dạng:

Xi x1 x2 ……… xk

ni n1 n2 ……… nktrong đó x1 < x2 <… < xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần

Dạng 3: Lập bảng có dạng:

Xi x1- x2 x2- x3 ……… xk- xk+1

ni n1 n2 ……… nk

trong đó x1 < x2 <… < xk < xk+1 và mỗi nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối cùng là đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu

Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2

Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại

Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng

xi-xi+1 bằng giá trị trung bình của hai đầu mút

Trong các phần sau, ta xét mẫu của đám đông X có dạng 2

1.2 Kỳ vọng mẫu

1) Định nghĩa: Kỳ vọng mẫu hay Trung bình mẫu của

đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu Xn hay X là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

Phương sai mẫu của đám đông X ứng với mẫu

(X1, X2,…, Xn), kí hiệu S 2(còn kí hiệu là 2

n

xσ hay 2

n

σ ) là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

Căn bậc hai của phương sai mẫu của X gọi là độ lệch

mẫu, kí hiệu S (còn kí hiệu là xσn hay σn):

2) Phương sai mẫu và độ lệch mẫu hiệu chỉnh

Phương sai mẫu hiệu chỉnh của đám đông X ứng với

mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu S2(còn kí hiệu là 2

n 1

x σ − hay 2

n 1−

σ ) là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

Căn bậc hai của phương sai mẫu hiệu chỉnh của X gọi là

độ lệch mẫu hiệu chỉnh, S (còn kí hiệu là x σn 1− hay σn 1− ):

Khi đó một mẫu cỡ n là một bộ gồm n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) mà mỗi Xi đều có cùng phân phối Bernoulli với X:

Xi ∼ B(p), nghĩa là

P q p Nói cách khác, mỗi Xi chỉ nhận hai giá trị: 0 (với xác suất q) và 1

(với xác suất p)

Tỉ lệ mẫu của đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí

hiệu Fn, là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

2) Ý nghĩa:

Khi n → ∞ tỉ lệ mẫu Fn hội tụ về tỉ lệ đám đông p

Do đó khi n khá lớn ta xấp xỉ:

p ≈ Fn

3) Chú ý:

Dưới Dạng 2 của bảng, việc tính giá trị của tỉ lệ mẫu rất đơn giản vì ta chỉ cần xác định số phần tử m thỏa tính chất A của mẫu cỡ n Khi đó

n

m

Fn =

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X và tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B

Giải

Trước hết ta thay các khoảng xi- xi+1 bằng giá trị trung

bình của hai đầu mút

- Độ lệch mẫu của X là: S 7,4452 (cm)=

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:

- Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là: S 7,4827(cm)=

- Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là:

%.

17 17 , 0 100

Chú ý: Ta có thể sử dụng phần mềm thống kê trong các máy

tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, ) như sau:

1) Vào MODE SD: Bấm MODE… và bấm số ứng với SD

2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear) = AC Kiểm tra lại: Bấm REPLAY Up hoặc Down thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa

3) Nhập số liệu:

Lưu ý: Để được ; ta bấm SHIFT ,

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai:

Bấm REPLAY Down để kiểm tra số liệu Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ

Ví dụ: Nhập sai 13 ; 18 M+ Khi kiểm tra ta thấy:

- x1 = 13 (đúng)

- Freq1 = 18 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 18, bấm 8 và = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 8

Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và tần số tương ứng) sẽ bị xóa

• Sau khi kiểm tra xong phải bấm AC để xóa màn hình và thoát khỏi chế độ chỉnh sửa

5) Đọc kết quả:

- Bấm SHIFT 1 1 (∑X2) = ta được 2

i i

X n 75028.=

∑

- Bấm SHIFT 1 2 (∑X ) = ta được ∑ X n 2636;i i =

- Bấm SHIFT 1 3 (n) = ta được cỡ mẫu n = 100

- Bấm SHIFT 2 1 (X) = ta được kỳ vọng mẫu X 26,36 =

- Bấm SHIFT 2 2 (xσn) = ta được độ lệch chuẩn:

S 7,4452 =

Suy ra phương sai mẫu S 2 = (7,4452)2

- Bấm SHIFT 2 3 (xσn-1) = ta được độ lệch chuẩn hiệu chỉnh:

S 7,4827 =

Suy ra phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 = (7,4827)2

§2 ƯỚC LƯỢNG

2.1 Ước lượng điểm

Xét đám đông X và mẫu (X1, X2, , Xn) ta có các ước lượng điểm không chệch sau:

1) Kỳ vọng mẫu X là ước lượng không chệch của kỳ vọng đám đông:

X X

μ

2) Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 là ước lượng không chệch của phương sai đám đông:

p ≈

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B Hãy ước lượng giá trị trung bình, phương sai của chỉ tiêu

X và tỉ lệ các sản phẩm loại B

Giải

Trong Ví dụ 1 ở §1, ta đã tìm được:

- Kỳ vọng mẫu của X là X = 26 , 36 ( cm ).

- Phương sai đã hiệu chỉnh của X là

2.2 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng

Xét đám đông X và mẫu (X1, X2, , Xn), ta có các công thức ước lượng khỏang cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1 - α như sau:

Trường hợp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) đã biết

nα

γ ϕ (zα) = γ/2 zα

90% 0,45 1,65 95% 0,475 1,96 96% 0,48 2,06 97% 0,485 2,17 98% 0,49 2,33 99% 0,495 2,58

• Đôi khi giá trị zα được cho dưới dạng P(|Z|≤ zα) = 1- α = γ hay P(Z ≤ zα) = 0,5 +1

2

− α = 0,5

2

γ+ , trong đó Z ∼ N(0,1)

• Bảng phân phối Student ứng với k = n – 1 và α = 1 - γ cho

ta giá trị tα = t kα thỏa P(|T|> tα) = α = 1 - γ, nghĩa là P(|T|≤ tα) = 1- α = γ Ví dụ: Khi k = 12, α = 0,01 ta có tα = 3,055

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta

quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B

a) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%

b) Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta được zα = 1,96

Vậy ước lượng khoảng là:

).

83 , 27

; 89 , 24 ( ) 100

4827 , 7 96 , 1 36 , 26

; 100

4827 , 7 96 , 1 36 , 26

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình của chỉ

tiêu X từ 24,89cm đến 27,83 cm

b) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μB = M(XB)

của chỉ tiêu X = XB của những sản phẩm loại B với độ tin cậy

γ = 1 - α = 99% = 0,99

Ta lập bảng số liệu của XB:

XBi 13 17

nBi 8 9 Từ bảng trên ta tính được:

; 17

trong đó tα = tαk được xác định từ bảng phân phối Student với

k = nB–1 = 16 và α = 1 - γ = 1 – 0,99 = 0,01 Tra bảng phân phối

Student ta được tα = 2,921

Vậy ước lượng khoảng là:

).

58 , 16

; 66 , 13 ( ) 17

0580 , 2 921 , 2 1176 , 15

; 17

0580 , 2 921 , 2 1176

,

15

Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X

của những sản phẩm loại B từ 13,66cm đến 16,58cm

2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Xét đám đông X và mẫu (X1, X2, , Xn), ta có các công thức

ước lượng khỏang cho tỉ lệ p = P(A) với độ tin cậy γ = 1 - α như sau:

−

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp

vào loại B Ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B độ tin cậy 98%

Giải

Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm

loại B với độ tin cậy γ = 1 - α = 98% = 0,98

Ta có công thức ước lượng khoảng :

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zγ = 2,33

Ta có cỡ mẫu n = 100 Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là:

%.

17 17 , 0 100

vì trong n = 100 sản phẩm có m = 8+ 9 = 17 sản phẩm có chỉ tiêu

X nhỏ hơn hay bằng 19 cm, nghĩa là có m = 17 sản phẩm loại B

Vậy ước lượng khoảng là:

2.4 Các chỉ tiêu chính của bài toán ước lượng khoảng

cho kỳ vọng và tỉ lệ

Trong bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng và tỉ lệ có 3

chỉ tiêu chính là:

- Cỡ mẫu n

- Độ chính xác ε

- Độ tin cậy γ = 1 -α

Nếu biết được 2 trong 3 chỉ tiêu trên thì có thể suy ra chỉ

tiêu còn lại

1) Trường hợp ước lượng khoảng cho kỳ vọng

Ta xét trường hợp phổ biến nhất là n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa

biết Khi đó, ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng

μ = M(X) với độ tin cậy γ:

ε =

- Nếu biết cỡ mẫu n và độ tin cậy γ thì ta tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = γ/2 Từ đó ta tìm được độ chính xác ε theo (1)

- Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra

n z

2

z S

≥ ⎜⎝ ε ⎟⎠

Gọi n1 là số nguyên n nhỏ nhất thoả (2); n0 là cỡ mẫu đang có

Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2)

Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm bảo tổng số liệu là n1 thoả (2)

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ chính xác 1,8cm thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

b) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X của loại sản phẩm trên với độ chính xác 1,5cm và độ tin cậy 97% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?

Vậy độ tin cậy đạt được là 98,40%

b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 1,5cm và độ tin cậy γ = 1- α = 97% = 0,97

Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

S z n

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thỏa bất đẳng thức trên là n1 = 118

Vì n1 = 118 > 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 118 – 100 = 18 sản phẩm nữa

2) Trường hợp ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Ta xét trường hợp cỡ mẫu khá lớn Khi đó, ta có công thức ước lượng khoảng cho tỉ lệ p với độ tin cậy γ:

- Nếu biết cỡ mẫu n và độ chính xác ε thì từ (1) ta suy ra

n z

Chú ý rằng 2 n n

2

z F (1 F )α −

ε có thể không là số nguyên, hơn nữa, ta đã biết trong ước lượng, cỡ mẫu càng lớn thì ước lượng càng chính xác Do đó trong thực tế ta có yêu cầu:

Gọi n1 là số nguyên n nhỏ nhất thoả (2); n0 là cỡ mẫu đang có

Nếu n1 ≤ n0 thì ta không cần điều tra thêm vì cỡ mẫu đang có đã thỏa (2)

Nếu n1 > n0 thì ta cần điều tra thêm ít nhất là n1- n0 số liệu nữa để đảm bảo tổng số liệu là n1 thoả (2)

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B

a) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 8% thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?

b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác 9% và độ tin cậy 96% thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa?

Giải

Các số liệu của bài toán đã được xét nhiều lần Nhắc lại rằng :

- Cỡ mẫu n = 100

- Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là Fn = 0,17

a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1- α khi lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 8% = 0,08

Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

n n

F (1 F ) z

Vậy độ tin cậy đạt được là 96,68%

b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 9% = 0,09 và độ tin cậy

γ = 1- α = 96% = 0,96

Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:

F (1 F ) z

Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là n1 = 74

Vì n1 = 74 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm nữa

2.5 Ước lượng khoảng cho phương sai

Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu (X1, X2, , Xn),

ta có các công thức ước lượng khỏang cho phương sai σ2 = D(X) với độ tin cậy γ = 1 - α như sau:

Trường hợp 1: μ = M(X) đã biết:

χ và 2

1 2 α

∑ là tổng bình phương của mẫu (X1 -μ, X2 -μ, , Xn-μ)

Trường hợp 2: μ = M(X) chưa biết:

χ và 2

1 2 α

−

χ được cho trong bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n-1 bậc tự do thỏa P(χ > χ = α ; S2 2α) 2 là

phương sai mẫu hiệu chỉnh

• Bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n bậc tự do

cho ta các giá trị 2

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

Giả sử X có phân phối chuẩn Hãy ước lượng phương sai của X với

độ tin cậy 95% trong mỗi trường hợp sau:

a) Biết giá trị trung bình của X là 25cm

b) Chưa biết giá trị trung bình của X

Giải

a) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25 Ta có ước lượng khoảng của

phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là:

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của

loại sản phẩm trên từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2)

b) Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy

Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước

Nhắc lại rằng :

- Cỡ mẫu n = 100

- X = 26 , 36 ( cm ).

- S2 = ( 7 , 4827 )2 ( cm2).

Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 = 99 ≈100 bậc tự do ta được:

§3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

3.1 Kiểm định giả thiết về kỳ vọng

1) Bài toán: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa

biết Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…,

Xn) để kiểm định giả thiết:

H 0 : μ = μ 0 (μ 0 là hằng số ) với giả thiết đối H 1 : μ ≠ μ 0

với mức ý nghĩa α

2) Qui tắc kiểm định: Ta có 4 trường hợp:

Trường hợp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) đã biết:

Bước 1: Tính t (X − μ0) n .

=

σ

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2

Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα :

• Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0

• Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

Trường hợp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết:

Bước 1: Tính t (X 0) n .

S

− μ

=

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2

Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα :

• Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0

• Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

Trường hợp 3: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) đã biết:

Qui tắc kiểm định giống trường hợp 1

Trường hợp 4: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết:

Bước 1: Tính t (X 0) n .

S

− μ

=

Bước 2: Đặt k = n - 1 Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự

do k và mức ý nghĩa αtìm giá trị tα = tαk

Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα:

• Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0

• Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết

đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi

tương ứng như sau:

• Kiểm định H 0 : μ = μ 0 với giả thiết đối H 1 : μ > μ 0

Bài toán này thường chỉ đặt ra khi X > μ0 Khi đó các giá trị

S

− μ

= đều dương

Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì

so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh t với z2α hoặc t2α Cụ thể:

Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0 Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

Đối với trường hợp 4: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết

H0: μ = μ0 Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

• Kiểm định H 0 : μ = μ 0 với giả thiết đối H 1 : μ < μ 0

Bài toán này thường chỉ đặt ra khi X < μ0 Khi đó các giá trị

S

− μ

= đều âm

Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì

so sánh |t| với zα hoặc tα thì ta so sánh -t với z2α hoặc t2α Cụ thể:

Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận giả thiết H : μ = μ Nếu -t > z thì bác bỏ giả thiết H : μ = μ

Đối với trường hợp 4: Nếu -t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết

H0: μ = μ0 Nếu -t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0

Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người

ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại

c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau một thời gian, người

ta thấy giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại

B là 16cm Hãy cho kết luận về phuơng pháp mới với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B là 16,5cm Các số liệu trên thu thập được sau khi đã áp dụng một phương pháp sản xuất mới Hãy cho kết luận về nhận định cho rằng phương pháp mới có tác dụng làm giảm chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

Giải

Các số liệu của bài toán đã tính được :

- Cỡ mẫu n = 100

- Kỳ vọng mẫu của X: X = 26 , 36 ( cm ).

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: S2 = ( 7 , 4827 )2 ( cm2).

- Cỡ mẫu loại B: nB = 17

- Kỳ vọng mẫu của XB: XB = 15 , 1176 ( cm ).

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của XB: 2 ( 2 , 0580 )2 ( 2).

cm

SB =

a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: