ôn thi cao học môn toán kinh tế (phần xác suất)

OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Traàn Ngoïc OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Traàn Ngoïc Phaàn Xaùc suaát Hoäi Xaùc suaát Hoäi Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − NA sản phẩm loại B. Số cách chọn là ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ CNn− − kN . A Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là: CNk A .CNn− − kN (GV: Trần Ngọc Hội A 2009) . §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT PHẦN II: XÁC SUẤT A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN §1. ÔN VỀ TỔ HỢP 1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. k công thức: Cnk = 2.1. Phép thử và biến cố 1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu ∧ (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không quá 6” là biến cố tất yếu. 3) Biến cố bất khả, kí hiệu √, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. n! k ! ( n − k )! Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả. 20! = 38760. 6!14! 6 Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính 6 20 bằng cách bấm C 4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên. 2 0 nCr 6 = phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: 1.3. Bài tóan lựa chọn: Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N − NA sản phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n − k ≤ N− NA. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A. Lời giải Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản k 1 Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến cố ngẫu nhiên. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” . định bởi: A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra. ⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Minh họa: 5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến cố 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi Ví dụ: Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có C20 = Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A. Số cách chọn là CN . A OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi t c V 1 Ta có thể mở rộng khái niệ m tổng của n biến cố A1, A2, …, An như sau: A1 + A2 + …+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 tron gn biến cố A1, A2, …, An xảy ra. V d : T n m t c n x c x c m t g A l b n c “ u h n m t c s chấ m khô ng quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có: A = A 1 + A 3 + A 5 Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5. 8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Minh họa: A = A1 + A2 B = A2 + A4 + A6 6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi: 7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố khác. nào 9) Biến cố đối lập của biến cố A, đó, ta kí hiệu A , là biến cố định bởi gọi A những xả biến cố sơ y cấp ra đó thuận ⇔ lợi cho A biến kh cố A. ôn Như g vậy, mọi xả biến y cố sơ ra cấp đều Minh họa: Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = ∧, nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. 4 3 Printed with FinePrint trial version - purchase at Ta có www.fineprint.com thể xem AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử) các biến Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cố sơ đồng thời cấp xảy ra trong cùng một phép thử. như là Minh họa: các Ví dụ nguyê n tử mặt, xét các biến cố : nhỏ A : Xuất nhất hiện mặt có số chấm chẵn.không B : Xuất thể hiện mặt 1 chấm. C : Xuất phânhiện mặt có số không quá 2. chia đươc Ta cónữa. A và B xung khắc nhưng A vàMột C thì không (AC = A Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 biến mặt, xét các biến cố sau: cố A A : Xuất hiện mặt có số chấm bất kỳ Ta có thể mở rộng khái niệm chẵn. sẽ là tích của n biến cố A1, A2,…, An B : Xuất hiện mặt có số chấm tổng như sau: lớn hơn hay bằng 5. của C: Xuất hiện mặt có số chấm một A1A2…An xảy ra ⇔ nhỏ hơn hay bằng 5. số Tất cả n biến cố A1, A2, biến …, An đồng thời xảy cố sơ Ta có: AB = A6 và ABC = √. ra. cấp OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ta thấy nga yB là biến cố đối lập của A. 10) Các biến cố đồn g khả năn g là các biến cố có khả năn g xảy ra như nha u khi thực hiện phé p thử. Ví dụ: Khi tung ngẫ u nhiê n một con xúc xắc đồn g chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp Aj (j = 1, 2, …,6 ) là đồn g khả năn g. 2 . 2 . Đ ị n h n g h ĩ a x á c s u ấ t G k t h m p t c c phẩm loại A là biến cố sơ cấp đồng khả năng k n A có thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Như vậy, A C n §3. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất Soá bieán coá sô caáp thuaä n lôïi cho A Toån g soá bieá n coá sô caáp coù theå xaûy ra 2.3. Công thức tính xác suất lựa chọn. Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong dó có NA sản phẩm loại A, còn lại là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0 < n < N). Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ NA thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản 3) Cô ng th ức cộ ng xá c su ất th ứ hai Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + P(AB) Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có: a) Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. Lời giải Gọi Aj (j = 0,1, …,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4 − j) sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A0, A1, …,A4 xung khắc từng đôi và theo Công thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có: 1365 600 210 1365 1365 1) Côn Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A2, A3, A4, công thức cộng thứ nhất cho ta: P(A) = P(A 4 ) + 210 600 450 P(A 3 ) + P(A 2 ) = 1365 1365 1365 Printed with FinePrint trial A=A version +purchase A at www.fineprint.com g thứ c m cộn g xác suất P(A) = thứ nhấ P( Aj ) = C10 C4 5 t. Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có ;; P( P(P( AA21A))0 ==) = ; P( P( A4 A)3=) = . p n(k) = b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 P(A+B) = P(A) + sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm P(B) chọn ra. Khi đó, Mở rộng : Với A1, A2, …, An biến cố đối lập là n biến cố xung khắc từng không có sản phẩm xấu nào trong đôi, ta có: 4 sản phẩm chọn ra nên + P(A2) +…+ P(An) C 2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có Từ đó ta tính được: 5 450 1365 1365 B là biến cố B = A4. Suy ra xác suất của B+ là P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) P(B) = 1 j − P(B ) = 1 − P( A4 ) = 1 − 2 = 0,8462 . 1 0 13 65 100 5 6 N nN− N P(A) = 1 − P(A) + = 0, 9231 CC OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên , tron g đó có 60 sinh viên giỏi Toá n, 70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toá n và Anh văn. Chọ n ngẫ u nhiê n một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọ n đượ c sinh viên giỏi ít nhất một tron g hai môn Toá n hoặc Anh văn. L Gọi -A là biến cố sinh viên đượ c chọ n giỏi moa n Toá n. -B là biến cố sinh viên đượ c chọ n giỏi môn Anh văn. Khi đó - AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn. - A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn. Do đó 4.2. Công thức nhân xác suất thứ nhất Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có P( A B) = P( A) P( B) Mở rộng : Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P ( A Với A, B là hai biến Ấ P( T60 2 … A n ) = P ( A 2 ) … P ( A n ). 4.3. Công thức nhân xác suất thứ hai )= P(A) 1) P( có A) điều + Mở rộng : P(B/A) = Với A1, A2, …, An là n P(B)P(A/B) biến cố bất kỳ, ta có: Chẳng hạn: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 … An− 1). P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/A B). Địn h ngh ĩa. Xác suất kiện của P( biến B) cố A biết biến − P( A B) = 1 ) P ( A P(AB = 0,9. 70 A 4.1. 40 Xác 100 + suất có 100 B) điều 100 kiện = 1 A cố bất kỳ, ta có §4. C Ô N G T H Ứ C N H Â N X Á C SU cố B đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau: - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. - C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4. - D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4. Khi đó - P(A/B) = 0 - P(A/C) = 2/4 = 0,5 P(A/D ) = 2/3 Nhậ n xét: Tro ng ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A )= 3/6 = 0,5. Do đó thể lớn hơn xác suất thôn g thườ ng P(A ). Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 khô ng phụ thuộ P(A/B) < P(A);c P(A/C) = P(A);vào P(A/D) > P(A). việc biết Điề hay u đó chư cho a thấy biết xác biến suất cố C có đã điều xảy kiện ra. của Ta biến nói cố A biến có cố A thể độc nhỏ lập hơn, với có biến thể cố C bằn theo g định như nghĩ ng a cũn sau: g có Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B. 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 7 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I. Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 − i) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II. Khi đó - A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có: 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Suy ra 0 2 ; 2 . P Mặt khác A1A = A1B1 1 1 Vì hai biến cố A1 và B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có: P5= 00, 105 P P525 40 )6 B0 . , Do đó 1 0 B1 xác 5 , suất 2 0 B2 xu ng cần tìm 1 0 5 là: kh ắc từ ng đô i và ta có : 2 21 1 0 5 ; P/=P(A ( A1A) A) P( A 1 ) = 0,36 51 = 0,6957. 0,2540 2 P(B1 )= 2 0 105 - Ai và Bj độc lập. a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có: A=A B2 + A1B1 + A2 B 0 Do tính xung khắc từng đôi, công thức cộng xác suất cho ta: P( A) = P( A0 B2) + P( A1 B1) + hộp I gồm 0, 1,2 ) là biến cố có j bi 6 bi đỏ, 4 đỏ và 2 − j bi trắng có bi trắng; trong 2 bi lấy từ hộp II. hộp II Khi đó ta có các hệ sau là các hệ gồm 8 đỏ, đầy đủ, xung khắc từng đôi: 2 - A0 , A1 , A2. trắng.Từ - B0 , B1 , B2. mỗi hộp, - A0B0 , A0B1 , A0B2 , chọn ra 2 A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 bi. Xét , A2B1 , A2B2. các biến cố sau: P(A P(A) = Ai P(A)P(A (i = 9 0, 1, 2 ) Printed with FinePrint trial www.fineprint.com là bi ến P( A0 ) = 10 cố 1 có i P( A1 ) = 2 10 bi 1 đỏ và P( A2 ) = 2 10 2 1 − i bi trắ P(B0 ) = 8 ng P(B0 ) 1 Nhận xét. có = + Với A1, tro A2,…, An 8 ng + là một hệ 1 2 đầy đủ và bi b) Giả sử đã chọn được 2 sản xung khắc lấ P(B2 ) = 2 8 từng đôi phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. y 1 ta có Khi đó biến cố A đã xảy từ P(A 1 ) + P(A ra. Do đó xác suất để chọn được … + P(A hộ 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường p Ví dụ. Có hợp này chính là xác suất có I. hai hộp, điều kiện P(A1/A). mỗi hộp Bj chứa 10 Theo Công thức nhân (j viên bi, xác suất thứ hai, ta có = trong đó Các biến cố A1, A2, §5. CÔNG …, An THỨC XÁC SUẤT được gọi là một hệ ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG biến cố đầy đủ và THỨC xung khắc BAYES 5.1. từng đôi nếu hai Hệ tính chất biến sau được thỏa: cố - A1 + A đầy … +A - ∀1 đủ i≠j≤ và Ai Aj = xung nghĩa là khắc các biến cố A1, A2, từng …, An đôi xung khắc P( từng đôi A2 và nhất B0) thiết phải . có một và chỉ Từ đây, do tính độc lập, công một biến thức nhân xác suất thứ nhất cho cố Aj nào ta: đó xảy ra khi thực P(A) = P(A0 ) hiện một P(B2 ) + P(A1 ) phép thử bất kỳ. P(B1 ) + P(A 2 ) - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2. 5.2. Công thức xác suất đầy đủ Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có: n j j=1 10 version - purchase at C C C = 5 C C C 7 C C C C C C 1 5 = 50 ; 5 = 45 . C C C C C C j = 7 = 56 ; 10 7 = 28 . P(A1A) P(A1/A) = . OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi lô I gồm 10 sản phẩ m tốt, 5 sản phẩ m xấu; lô II gồm 8 sản phẩ m tốt và 7 sản phẩ m xấu. Chọ n ngẫ u nhiê n từ lô I 2 sản P(A k )P(A/A phẩ P(A) m bỏ j=1 sang lô Ví II, dụ. sau Có đó hai từ lô lô II hàn lấy g, ra 2 mỗi sản lô phẩ chứ m. a 15 a sản T phẩ x m, tron s g đó đ 5.3 . Cô ng th ức Ba yes Vớ i các giả thi ết nh ư tro ng 5.2 , ta có với mỗ i 1 ≤ k ≤ n: trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I. Lời giải Gọi - A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. - Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩmxấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I. Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: 1 1 A) 0,5231 0 2 2 2 105 1 1 1 1 136 105 2 0 Suy ra xác suất của biến cố A là P( A) = P( A0 ) P( A / A0 ) + P( A1 )P( A / A1 ) + P( A2 )P( A / A2 ) 10 72 50 72 45 70 105 136 105 136 105 136 = 0,5231 105 a ) b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A). Ap dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có 50 72 P(A 1 ) P(A /A1 ) P ( Yê u cầu của bài toá ; 1 P(A /A + P(A 2 P(A /A . 6.1. Công thức Bernoulli Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử Ta có: n 2 là ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhông đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: §6. CÔNG THỨC P(A BERNOULLI kk 72 136 tín h xác 6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có: 1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn. 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn. Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: a) 3 sản phẩm tốt. b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt. 11 suấ t 12 P( A). Th eo Cô ng thứ c xác suấ t đầ y đủ ta có: P(A )= P(A 0) P(A /A0) + Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P( A / A1 ) = C 9 C 8 = P(A k /A) = =n ∑ P(A j )P(A/A j ) 7 13 C1 C P( C A / A=) =70 C 10 7 2 2 1 =.+ P( A 0/ )A=0 )C=101010CC C8 5C55===9 =50 45 ;. Pn (k) = Cnp qn − k OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi − Lời giải k ) s ả n p h ẩ m G ọ i A k ( k = 0 , 1 , … , 5 ) l à b i ế n c ố c ó k s ả n p h ẩ m t ố t v à ( 5 x ấ u c ó tron g5 sản phẩ m thu đượ c. Ap dụn g Côn g thức Ber noul li với n= 5, p = 0,6, q= 0,4 ta có k a) Xác suất để tron g5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là: - B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 3 b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là P(A3 + A4 + A5). Ta có: §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN P( A3 + A4 + 1.1. Định nghĩa. Đại lượng A5 ) = ngẫu nhiên là một đại lượng P( A3 ) + P( A4 ) + P( A5 ) 4 = 0,6 825 6. - pk = P(X = xk) ≥ 0 trong đó với k = 1, 2, …, n. n = 1, k nghĩ a là p1 + p2 + …+ pn = 1. nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên. k =1 Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên. 1.2. Phân loại a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n. b) Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên 14 nhận vô hạn không đếm 13 được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các Printed with số thực. Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ FinePrint trial version - purchase đo được tại một địa phương. Ta có T là một at www.fineprint.com đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Luật phân phối a) Trường hợp rời rạc Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0, x1,…,xn ta lập bảng: x1 X2 ………………… X p1 p2 …….. xn P ………………… ………. pn Ví dụ xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X. Lời giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được: P( Ak ) = C n p q = C 5 (0,6) (0,4) P( A3 ) = C 5 (0,6)3 (0,4) 2 = 0,3456. . OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 2 ; 21 5 Xxx…… P1 2 …… pp…… 1 2 …… ….. xn …… …… …… …… ……. pn t 1 h 2 3 n g Vậy luật phân phối của X là 0 X 1 2 M (x) dx P b) Trườn g hợp liên tục Trư ờng hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của Xở dòn g trên, ta chỉ ra đoạ n [a;b ] mà X nhậ n giá trị ở đoạ n đó (a, b có thể hữu hạn hoặ c vô hạn) . Còn thay . 2 2/15 8/15 X P 1/3 0 2/15 1 8/15 M(X) = 0.2/15 + Do c đó h c Ví dụ kỳ trên,o ta có X có phân á phối như vọ sau: c ng x của á t X c í là n s h u ấ c t h p ấ 0 t , s p a 1 u , : … , p - - 1.8/15 + 2.1/3 = f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b]. b f ( x)dx = 1. a  P(〈 ≤ X ≤ )= f ( x)dx. n t a đ ư a r a h à m m ậ t đ ộ f ( x ) t h o ả 1,2. §2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của ∫ 〈 2) Tín h chất : Kỳ vọn g có các tính chất sau: X t ờ g l Nế u X liê n tục thì x0 là giá trị mà hà m mậ t độ f(x ) đạt giá trị lớn nh ất. Tín h chất 1: Kỳ vọn g của một đại lượn g ngẫ u nhiê n hằn g bằn g Nh chín ư h vậ hằng số đó, nghĩa y, là: M(C) = CM Const). od( X) Tín là h giá chất trị 2: tin Với ch k là ắc hằn nh g số ất ta củ có a X được xác định như sau: X, - Nếu X rời rạc thì tức x0 là giá trị mà xác là giá suất P(X = x0) lớn nhất trị trong số mà các xác suất P(X = x). nhất . Chú ý rằng Mod (X) có thể nhậ n nhiề u giá trị khác nha u. (C: Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có X P Do đó Mod (X) = 1. 2 K v ( G t b 1 v đ n n k M s được xác định như sau: - Nếu X rời rạc có luật phân phối M(kX) = kM(X). Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). 15 Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M(XY) = M(X)M(Y) . 2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn. 1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực không âm định bởi: 2 trong đó  = M(X) là kỳ vọng của X. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu ⌠ ( X ) . Vậy 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com p0 = P( X = 0) = p1 = P( X = 1) = C C C 6 4 = 1 C C C 6 2 4 =8; 1 p2 = P( X = 2) = 2 C C C 6 4 ∑ xk k =1. 1 ∫ OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi ⌠(X) = 2) Công thức tính phương sai: Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sai như sau: D(X) = M(X 2 Như vậy, Nế u X rời rạc có luậ t ph ân ph ối 2 S d n m á t h đ t h c c đ c s T c t s d n p ầ m m thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES,.. .) để tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ . Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2 a) Đối với loại máy tính / CASIO 500 và 570MS 1 X x1 X2 ………………… 1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần...) và bấm số ứng với SD, trên màn Pp1 p2 …….. xn ………………… hình sẽ 5 5 8 / 1 5 1 / 3 b2 b2 a D(X) SH 3M+ n mới sẽ thay cho số liệu cũ. g Ví dụ. Nhập sai 0 SHIFT , hĩ a 2 a b/c 2 5 M+ . Khi kiểm là tra ta thấy trên : màn hình hiện ra: - x1 = 0 (đúng). - Freq1 = 2/25 (sai) 2 SH ,1 a b/c = AC . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn D(X) k =1 hoặc ⊗ thấy n = và ở góc số 0 là đã Ví xóa. dụ: 3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;) m ậ t đ ộ f( bấm = thì số liệu 1 15 b/c hiện lên chữ SD. 2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear) nk k n li ê n t ụ c v ớ i h à m a x ) c ó m i ề n x á c đ ị n h [ a ; b ] t h ì 0 SHIFT , 2 a b/c 1 Xét lại ví Suy ra phươn g sai của X là: D(X) = dụ đã M(X2 xét ở )– [M(X trên, )] 2 = ta có 02.2/1 5+ X có 12.8/1 phân 5+ 22.1/3 phối − (1,2)2 như = sau: 32/75 ≈ X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 0 và kỳ , vọng 4 của X 2 là 6 M(X) 7 = 1,2 . suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn, 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: IFT thì công thức trên trở thành N ế u X ,8 + IFT M+ ………. pn k= 1 . thì tòan bộ số Bấm nút tròn liệu đó để kiểm tra việc nhập số liệu. (gồm Thấy số giá trị liệu nào sai thì để màn hình ngay của X số liệu đó, nhập số liệu đúng và và xác M Độ lệc h chu ẩn của X là: Sửa ⌠(X D( X 0,4267 0,6532. 1 5= thì Tí n n g h 0, c h ất 1: P h như ư sau: ơ Để n mà g n sa hìn i hở củ Fre a q1 m ột = đạ 2/2 i 5, lư bấ ợ m2 n a g b/c n nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15. 3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau: gẫ u n hi ên Số liệu nào bị nhập dư hằ thì để màn hình ở số n liệu đó và bấm SHIFT M+ g C bằ D Tí n h c h ất 2: V ới k là hằ n g số ta có D Tí n h c h ất 3: V ới X , Y là ha i đạ i lư ợ n g ngẫu nhiên độc lập ta có: kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. nhập dư 3 SHIFT , 3 D(X + Y) a b/c 4 M+ . Khi = D(X) + kiểm tra ta thấy x4 = D(Y). 3 (dư). Ta để màn 17 hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa. Chú ý. Sau khi 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com trong đó M(X ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X. ∑x 2 − (∑ x kp k )2 ∫a f (x)dx − (∫ xf (x)dx) OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi 5) Đọc kết quả: § 3 h X t b 0 ) 0 Đ v ố à i 5 v 7 ớ 0 i E l S o ạ i m á y t í n h C A 1) Kha i báo cột tần số: Bấm SHI FT SET UP 41 ( B ấ m S I O b ằ n 5 g c ách bấm nút tròn xuống) k 2) Vào Mode Thống kê: Bấm N n MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 ) (Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT) 3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau: N 3.2. Các đặc số của phân a) phối siêu bội Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Khi đó X có các đặc số như sau: Kỳ vọng: sai. N−n N−1 vôùi q=1 − p số liệu thì bấm SHIFT 1 2 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm DEL thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong quá trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng 5) Đọc kết quả: T a t h ấ y X c ó p h â n M(X) vô p N A N Phươ = np ùi = b) ng D(X) = n = 224/495; P(X = 4) = 0 ) = 1 X 0 32/495 P 1/495 1 / 4 9 5 ; P ( X Kỳ vọng của X là M(X) = 19 70/495. Vậy luật phân phối của X là: 2 3 4 168/49 224/49 70/495 5 5 8 12 = 2, 667. 20 np = 4. =Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 1 p ) h = ố Ví dụ i gồm 8 bi đỏ 3 s và 4 bi xanh. Chọn 2 ngẫu nhiêni từ hộp ra 4 bi. ê bi đỏ có trong 4 bi/ Gọi X là số u tìm luật phân phối 4 chọn ra. Hãy 9 của X và xác định kỳ b 5 vọng, phương sai của X. ộ ; i P Lời giải X ∼ H(N, N ( X với N = 12; N 8, n = 4. = Do đó X nhận các 2 giá trị k ) nguyên từ = max {0; 4 + 8 − 12} 1 = 0 đến 6 min{4; 8} 8 = 4 với / các xác 4 suất định 9 bởi: k 4− k 5 ; P 12 ( Từ đây ta X tính được P = ( X 3 ) = Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) CC P(X = k) = C Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) P( X = k ) = C 8 C4 4 C OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi ⇔ 2,6 ≤ ⇔ k≤ Phươ = 0, ng sai Vậy 3,6 6465. của X giá k = 3. là trị N tin chắc 4 nhất N của 1 X là k= 3. §4. PH ÂN PH ỐI NHỊ TH ỨC 4.1 . Đị nh ng hĩa . Đạ i lượ ng ng ẫu nhi ên X đư ợc gọi là có ph ân ph ối nh ị th ức, kí hiệu X∼ B(n, p), tron g đó n số ngu yên dươ ng , 0< p< 1, nếu X rời rạc nhậ nn +1 giá trị ngu yên 0,1, …, n với các xác suất đượ c tính theo theo Côn g thức Bernoulli: 4.3. Định lý. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu G ọi X là số N sả k k Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p). 4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau: a) (k = 0, 1, …) n n ph Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt. ẩ m tốt có tro ng Lời giải Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa 10 sả np – n q≤ k ≤ ph np – ẩ q+1 b) Kỳ vọng: M(X) = np c) Phương sai: D(X) = npq Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Lời giải m ch Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6 giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli: ọn ra. K hi k k đó X có ph ân ph ẫu nhiên X được gọi là có đếm được các giá trị phân phối Poisson, kí nguyên k = 0,1,…, với các xác siêu bội hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a suất định bởi: X ∼ H(N, > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn − a NA, n) với Từ đây ta tính N= P (X = k) = k! được 10000; P(X = NA= 0) = 8000; n 0,010 =10. Vì n 24; = 10 rất P(X = nhỏ so 1) = với N 0,076 8; = 10000 P(X = nên ta có 2) = thể xem 0,230 như X có 4; phân phối P(X = nhị thức 3) = X∼ 0,345 B(n,p) với 6; n = 10; p P(X = = 4) = NA/N = 0,259 8000/100 2; 00 = 0,8. P(X = Do đó xác 5) = suất chọn 0,077 được 7 76. sản phẩm tốt là: Vậy luật phân 5.2. Các đặc số của phân phối phối của X là: Poisson 3 4 5 7 7 0,3 0,2592 0,07776 Giả sử X có phân phối Poisson X 45 X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số 0 6 như sau: §5. 1 PHÂN a) Kỳ vọng: M(X) = a 2 PHỐI P b) Phương sai D(X) = a POISSO 0, N 01 5. 02 1. 4 Đị 0, nh ng 07 hĩ 68 a: 0, Đ 23 ại 04 lư ợn 3. g - Kỳ vọng của X là ng - Phương sai của X M(X) = np = 5.0,6 = là D(X) = npq = 5.0,6 . 0,4 = 1,2. ối - Giá trị tin chắc nhất của X chín h là Mod (X): Mod (X) =k với k là số ngu yên thỏa 5 . 3 . T í n h c h ấ t . G i ả s ử X 1 , X 2 đ ộ c l ậ p , c ó p h â n p h ố i P o isson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2). Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2 ∼ P(a1 + a2). np – q ≤ k ≤ np – q + 1⇔ 21 5.4. Định lý Poisson. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com D(X) = npq = 4. (1 − ) nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với p = , nghĩa là P (X = k) = C k n p qn − k P (X = k) = P (X = 7) = k C p qn − k C10(0,8) (0,2)3 ≈ 0,2013. P ( X = k ) = C n p k q n− k = C 5 (0,6) k (0,4)5− k . e ak N OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Hàm Gauss là xấp hàm số xỉ X chẵn bằn (nghĩa g là f(− x) đại = f(x)), lượn liên tục g trên R. ngẫ Người u ta đã lập nhiê bảng giá nY trị của có hàm phâ Gauss, n trong đó phối ghi các Pois giá trị son: f(x) trên X≈ đoạn Y, [0;3,99]. tron Khi x > g đó 3,99, hàm Y∼ Gauss P(a) giảm rất với chậm, a= do đó ta np, xấp xỉ: nghĩ a là: − ∀ f (k = Pa (X 0, 1, k …) ! Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có f 0 Ví ống dụ: sợi. Một Xác máy suất dệt để có tron 100 g 0 một f(− 2,15) = f(2,15) ≈ ≈ 0,0396. f(− 6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001. giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. ϕ (− 2,15) . =−ϕ 0,4842. 4 ϕ (− 6,12) 5 = − ϕ(6,12 ) ≈ − ϕ(5) ≈ − 0,5. L G 6.3 0 ọ . i Hà X m Lời giải Ga l 6.5. Công thức tính xác suất của uss à phân phối chuẩn 6.4. Hàm Laplace. Hàm . − Cho X là một đại lượng ngẫu laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên 2 Hà t nhiên có phân phối chuẩn X ∼ R định bởi: 1 r m N(, ⌠2). Khi đó, x ọ Ga 1 − − a xác suất để X lấy Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ (x) e dt n (x − )2 uss 1 các giá trị thuộc 20 hoạt động của máy thì X có phân g 2⌠2 b − f(x f [a;b] là phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì = b ⌠ ) là a − (1) l n = 1000 khá lớn và p = 0,002 ả hà − ư 2 khá bé nên ta có thể xem X có Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ ⌠ m 2 n ợ + P(a phân phối Poisson: mậ (nghĩa là ϕ(− x) = −ϕ(x)), liên tục n ⌠ g ≤ g t X trên R. Người X độ ∼ ta đã lập bảng giá trị của hàm g c củ P( Laplace, trong đó ghi các giá b) ủ i a a) trị ϕ(x) trên đoạn [0; 5]. a ϕ á đại vớ Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất lượ chậm, do đó ta xấp xỉ: ia l 6.2. Các đặc số của trong đó ϕ(x) là hàm Laplace. ng o = t phân phối chuẩn ng ạ ∀ np r Giả sử X có phân phối i ẫu x = ị chuẩn X ∼ N(, ⌠2). s nhi 10 Khi đó X có các đặc ả > ên 00 số như sau: n h X .0, Ví dụ. Mod(X) =  a Mode: à 5 có 00 p Trọng , phâ 2 m M(X h ) Kỳ vọng: lượng của n = ẩ ≈ a )= một loại sản ϕ phối 2. m Phương L ( chuẩ phẩm là đại ) a D(X) đ sai: Xác suất để có không x n lương ngẫu ã p quá 2 ống sợi bị đứt ) chín b nhiên có =⌠ 0 trong một giờ hoạt động l h phân phối c của máy là: ≈ ) tắc a 2 , h chuẩn P (0 ≤ X ≤ X∼ c o với trọng 2) = P(X = ϕ N(0, . lượng trung e ( 1): 0) + P(X = T bình 50kg 5 6 ừ 1) + P(X = − và phương t ) 2) sai 100kg2. 2 7 g a Một sản i ≈ phẩm được 6 ả 23 xếp vào c 0 loại A nếu ó t 7 , có trọng h : lượng từ 5 i . ϕ − 2 + V §6. PHÂN PHỐI CHUẨN 6.1. Định nghĩa. Đại í lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân d phối chuẩn, kí ụ hiệu X ∼ N(, ⌠2), trong . đó , ⌠ là các hằng số và ⌠ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật T độ xác định trên R định bởi: r ∫ 2 ết ta suy ra X có phân phối chuẩn X ∼ N(, ⌠2) với  = 50, ⌠2 = 100 (⌠ = 10). Vì một sản phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55). 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com e ak e 2 e 2 e 22 0! 1! 2! ) − ϕ( ) OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Ap dụ ng cô ng thứ c trê n ta có 55 − 50 45 10 10 = 2ϕ (0, 5) (Tra ban g giá trị hàm Lapl ace ta đượ c ϕ( 0,5) = 0,19 15). Vậy tỉ lệ sản phẩ m loại A là 38,3 %. 6.6 . Đị nh lý M o r L p c C o X l m t đ l n n ẫ n ê c p â p ố nhị thức X∼ B(n, p). Giả sử rằng n khá lớn và p khô ng quá gần 0 cũn g khô ng quá gần 1 (thô ng thườ ng 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên 1 93 −  1 93 − 93, 33 ⌠ Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, 5777 trong đó Y ∼ N(, ⌠2) với  = np, ⌠ 5, 5, 5777 1 f(0,06) = 0,3982). k − ⌠ ⌠ = ϕ(2, hàm b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là: 1 1 0 −  9 0 −  6) = ϕ được ϕ 99) + ϕ (2,99) = 0,498625; = 0, 498625 ϕ(0,6) = 2257 (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được 1− p) nghĩa là: giá trị 99) − ϕ Laplace ta = ⌠ = npq (q = 777 (Tra bảng )( k1 < k2) P (k b) ≤ 1 X ≤ ⌠ k 2 ) −  ) 0,2257). TÓM TẮT PHẦN II ⌠ ≈ ( ⌠ ⌠ 11 0 − 93 , 33 33 90 − 93 , 33 33 trong đó f(x) là hàm Gauss ; ϕ(x) là hàm Lapla ce. Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng 5, thành 5 từng kiện, 7 mỗi 7 kiện 7 gồm 5, 10 sản phẩm, 5 tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất nhiều kiện. Tính xác suất để có: a) 93 kiện được nhận. b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận. trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khác h hàng chọn cách kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn kiện.Do đó theo Công thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một kiện được nhận là: 1) Công thức tính xác suất lựa chọn (đi với phân phối siêu bội) k n A C Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, trong đó có NA loại A và N − NA loại B. Dùng tính xác suất để trong n Lời giải phần tử chọn ra có đúng k phần tử loại A. Printed with FinePrint trial version purchase at f( P (X f( = 93) )) == www.fineprint.com 2) Công thức 1Bernoulli với ) − ϕ ((đi ) = ϕ (0, P(45 5) ≤− Xϕ ≤(−55) 0, 5)= ϕ ( 1 0, 3982 = 0, 0714. f (− 0, 06) = phân phối nhị thức)f (0, 06) = 5, 5777 5, 5777 5, 5777 k 2 1 3 0 3 3 3 Gọi X là tổng số kiện Điều kiện áp dụng: Có n phép thử P (90 ≤ được X ≤ 110) ϕ( lại trong ) − ϕ( độc lập, lặp đi=lặp những điều kiện như nhau; = ϕ( ở mỗi phép ) −thử, ϕ( biến cố ) A xảy ra với xác suất p không đổi và không xảy ra với xác suất q = 1 − p. Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần. ) ≈) a) P (X =f( k) (k = 0,1,2,…) k2 −  3) Công thức Cộng và Nhân xác suất: hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau: X ∼ N( với ) + P(B) – P(AB). n • xác Côn suất g : A thức Nhâ 2  = np = 140.2/3 = ⌠ = npq = 140.2 / 3.1 / 3 = 5,5777. 93,3333, a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là: p = P3 (2 ≤ k ≤ 3) = P3 25 • Công thức Cộng xác suất: - Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: n (k ) = N n N − N P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) n p k q n− k . +…+Pn (k ) = P(An). - Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P( A + (2) + P3 (3) = 6 4 + B)6 4 = = P( A CC p C C C C C 2 C OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi V ớ i A 1 , A 2 , … , A n l à P … V ớ i A 1 , A 2 , … , A n l à n n b i ế n b i ế n c ố c ố đ ộ c b ấ t k ỳ , t a l ậ p t ừ n g đ ô i , t a c ó : c ó : P P P Ta thư ờng sử dụn g các côn g thức trên khi có thể phân tích biến cố đã cho dưới dạng tổng của nhiều biến cố xung khắc từng đôi, mỗi biến cố là tích của một số biến cố. thường có 2 cách: Cách 1: Dùng công thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy ra 4) Công thức Xác suất đầy đủ và Công thức Bayes: Với A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, ta có: Công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(A/A n j=1 5) Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Để tính xác suất có điều kiện P(A/B) Kỳ vọng: M (X) = np vôùi n P(A k ) P(A/ Ak ) P(A k ) P(A/ Ak ) P(A) Ta thường sử dụng các công thức trên khi có thể tính xác suất của biến cố A đã cho nếu cho biết thêm một số điều kiện. Dựa vào các điều kiện đó để xây dựng một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó: P(AB) P(B)- Trong trường hợp này, ta cần tính P(B) bằng cách dùng công thức xác suất đầy đủ: Công thức Bayes: Với P p ( . B ) = j 9. 6. Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên. 7. Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phương sai. 8. Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, NA, n) với xác suất định bởi: A n Trong trường hợp này, ta cần tính P(AB) và P(B) để tìm được P(A/B). Cách 2: Dùng công thức Bayes bằng cách xây dựng một hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi sao cho A= Ak với k nào đó. Khi đó 1 ≤ k ≤ n, n− k A P(B) ) j=1 - k = Phươn g sai: N− Phân j phối nhị jthức: X∼ B(n,p) với xác suất định bởi: k Khi đó: Mode: Mod( 27 X) = k, trong đó k là số nguyê n thỏa np – q Kỳ vọng: = . - Kỳ vọng: M(X) M(X) = . = np. - Phương sai: Phươn D(X) = ⌠2. g sai: b) Công thức tính xác D(X) suất: = npq. 10. Phân ). phối Poisson: 12. Xấp xỉ phân phối nhị thức X ∼ P(a) với xác X ∼ B(n,p) Gỉa sử X có phân phối nhị suất định thức X ∼ B(n,p) với n khá bởi: lớn. P Có 2 trường hợp: k a) Trường hợp 1: p khá nhỏ Khi đó: (thông thường p < 0,1). Khi đó có xem X có phân Kỳ phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: vọng: M(X) = a. Printed with FinePrint trial version www.fineprint.com Phươn g sai: D(X) = a. 11. Phân phối chuẩn: X∼ N(, ⌠2) Khi đó: a ) C á c đ P(A j j). ặ c s ố : P(A k /A) = Mod e: Mod (X) P (X = k) ≈ (k = 0, 1, …) k kkn n 28 - purchase at C C N−N P( X = k ) = N C N N N− vôùiD( q =X 1) =− npq p. P ( X = k ) = C n p k q n− k . ∑ e−a a =n ∑ P(A j )P(A/A j ) C pq OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi b ) T r ư ờ n g ( t h ô n g h ợ p t h ư ờ n g 2 : p 0 , 1 k h ô n g ≤ q u á p ≤ 0 , 9 ) K g ầ n i 0 x c ũ n g n h ư g ầ n 1 đ c m X c p â p ố c u n X ∼ Bài 4. Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ. b) không có bi trắng nào được rút ra. N(, ⌠2) với  = np, ⌠ = npq (q = 1 − p), nghĩa là: - P(X=k) ≈ f ( ). (k = 0,1,2,…) ) - −ϕ( ) ( k1 < Bài 5. Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%. a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất. b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường. 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A. 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A. k2) trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace. (Thay vì tính k n−k k ). theo công thức n Bernoulli P (X = k) = Chú ý. Ta phải tìm xác suất p trong phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Sau đó, tùy theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn. BÀI TẬP Bài 1. Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để a) có 1 khẩu bắn trúng. b) có 2 khẩu bắn trúng. c) có 3 khẩu bắn trúng. d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng. e) khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng. Bài 2. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ. b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của hộ p I. Bài 3. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khác h hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3. b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu. 29 Bài 6. Có ba cửa hàng I, II và III phẩm, cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ trong đó lệ sản phẩm loại A có trong ba cửa hàng I, II và III lần 10 hộp lượt là 70%, 75% và 50%. Một của xí khách hàng chọn nghiệp nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó I, 6 hộp mua một sản phẩm của xí a) Tính xác suất để khách hàng nghiệp II và 4 mua được sản phẩm loại A. hộp của b) Giả sử đã mua được sản phẩm xí loại A. Theo bạn, khả năng người nghiệp khách hàng ấy đã III. Tỉ lệ chọn cửa hàng nào là nhiều nhất? phế phẩm Bài 7. Có hai hộp I và II mỗi hộp của các chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 xí bi đỏ, 4 bi trắng; nghiệp hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. lần lượt Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi là 2%, bỏ sang hộp II; sau đó 4% và lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi. 5%. Lấy a) Tính xác suất để lấy được ba bi ngẫu đỏ và một bi trắng từ hộp II. nhiên ra b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một hộp một bi trắng từ hộp II. Tìm xác và chọn ngẫu suất để trong ba bi nhiên ra lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng. 3 sản phẩm từ hộp đó. a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 phế phẩm đó của xí nghiệp I. 3 Bài 8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 Printed with viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 FinePrint trial version bi trắng, 4 bi đen; purchase at hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi www.fineprint.com đen. a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. 1 1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng. 2) Tính xác suất được 2 bi k2 −  đen, 1 bi trắng. P (k 1≤ X ≤ k2 ) ≈ ϕ ( 3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi trắng đó là của hộp thứ nhất. b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi pq từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được cả 3 bi đen. C Bài 9. Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Bài 10. Có 10 sinh viên đi thi, tron g đó có 3 thuộ c lọai giỏi, 4 khá và 3 trun g bình . Tro ng số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời đượ c tất cả, sinh viên khá trả lời đượ c 16 câu còn B sinh viên trun g bình đượ c 10 câu. Gọi ngẫ u nhiê n một sinh viên và phát một phiế u thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời đượ c cả 4 câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó thuộ c lọai khá. phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lô II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ lô I lấy ra 2 sản phẩm. a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I. b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, trong đó sp tốt có trong lô I từ trước. c) Giả sử đã lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I. Tính xác suất đã lấy được 2sp tốt, 1sp a) Tính xác suất để mục tiêulôbịII. xấu từ diệt. Bài 11. Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II b) Giả chứa 8 bi sử trắng và 6 bi đen. Từ mỗi hộp Bài 19. Nước giải khát được chở từ mục rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó Sài Gòn đi Vũng Tàu. Mỗi xe chở tiêu bỏ tất cả các bi còn lại 1000 chai bia đã bị của hai hộp vào hộp III (rỗng). Sài Gòn, 2000 chai coca và 800 Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III. chai nước trái cây. Xác suất để 1 diệt. Tính xác suất để trong chai mỗi loại bị bể Tính 2 bi lấy hộp III có 1 trắng, 1 trên đường đi tương ứng là 0,2%; xác đen. 0,11% và 0,3%. Nếu không quá 1 suất chai bị bể thì lái có 10 xe được thưởng. Bài 12. Có hai hộp cùng cỡ. viên Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia trúng. bi xanh, hộp thứ hai chứa Sài Gòn bị bể. 5 bi trắng và 7 bi xanh. Chọn b) Tính xác suất để lái xe được Bài ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp 17. thưởng. đó lấy ra 2 bi thì được 2 Một c) Lái xe phải chở ít mất mấy máy bi trắng. Tính xác suất để viên chuyến để xác suất có ít nhất một sản bi tiếp theo cũng lấy từ hộp trên chuyến được thưởng xuất ra lại là bi trắng sảnnhỏ hơn 0,9? không phẩm Bài 13. Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng với tỉ gới để lệ sản Bài 15. Có hai kiện hàng I và II. gửi cho khách hàng. Nơi nhận phẩm Kiện thứ nhất chứa 10 sản kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản loại A phẩm, trong đó có 8 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên là phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản 60%. 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại I. Tính xác suất để Một phẩm loại A. Lấy từ sản phẩm thất lạc cũng lô mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, thuộc loại I. hàng trong 4 sản phẩm thu được chọn gồm ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Bài 14. Có 3 hộp phấn, trong đó 10 sản Tính xác suất để trong 2 sản hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên phẩm phẩm chọn ra sau cùng có đúng xấu, hộp II chứa 10 với tỉ 1 sản phẩm loại A. viên tốt và 4 viên xấu, hộp III lệ sản chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu. phẩm Bài 16. Một xạ thủ bắn 10 viên Ta gieo một con xúc loại A đạn vào một mục tiêu. Xác suất xắc cân đối. Nếu thấy xuất hiện là để 1 viên đạn bắn ra mặt 1 chấm thì ta chọn hộp I; 60%. trúng mục tiêu là 0,8 . Biết nếu xuất hiện mặt 2 hoặc Cho rằng: Nếu có 10 viên trúng thì 3 chấm thì chọn hộp II, còn máy mục tiêu chắc chắn bị diệt. xuất hiện các mặt còn lại thì sản Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì chọn hộp III. Từ hộp được xuất 2 mục tiêu bị diệt vơi xác suất chọn lấy ngẫu nhiên ra 4 viên sản 80%. Nếu có 1 viên trúng phấn. Tìm xác suất để lấy được phẩm thì mục tiêu bị diệt với xác suất ít nhất 2 viên tốt. và từ 20%. lô hàng lấy ra 3 sản phẩm. a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do máy sản xuất bằng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lô hàng. b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản phẩm loại A đó đều do máy sản xuất. 31 Bài 20. Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2000 linh kiện C. Xácsuất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005%. Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1. Các linh kiện hỏng độc lập với nhau. a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng. b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động. c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng. Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động. Bài 21. Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2 . Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để a) có đúng 70 sản phẩm loại A. b) có không quá 60 sản phẩm loại A. c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A. Bài 22. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để a) có 42 kiện được nhận. b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận. c) có ít nhất 42 kiện được nhận. Bài 23. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối như sau: X P 3 Printed with FinePrint trial version purchase at www.fineprint.com OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi Khá ch hàn g chọ n cách kiể m tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩ m; nếu thấy cả 2 sản phẩ m đều loại A thì mới nhậ n kiện đó; ngư ợc lại thì loại kiện đó. Kiể m tra 144 kiện (tro ng rất nhiề u kiện ). a) Tính xác suất để có 53 kiện đượ c nhận . b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện đượ c nhận . c) Phải kiể m tra ít nhất bao nhiê u kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện đượ c nhận khô ng Bài 29. Tuổi thọ của một bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ.Nếu thời gian sử dụng không quá 1251 giờ thì bảo hành nhỏ hơn 95%? Bài 24. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản phẩm. Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. c) có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Bài 25. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 1% và một máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm là 2%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm. b) có từ 14 đến 20 phế phẩm. Bài 26. Một xí nghiệp có hai máy I và II. Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự thi được phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số sản phẩm loại A không ít hơn 70 thì công nhân đó sẽ được thưởng. Giả sử đối với công nhân X, xác suất sản xuất được 1 sản phẩm loại A với các máy I và II lần lượt là 0.6 và 0,7. a) Tính xác suất để công nhân X được thưởng. b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần. Số lần được thưởng tin miễn phí. với tuổi 15 nam? a) Tính xác suất để số sản phẩm a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành. thọ trung phút. loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản a) Sinh Bài 33. Có hai lô hàng I và II, b) Phải qui định thời gian bảo hành bình là phẩm loại A lấy từ lô viên xuất mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm. là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải 4,2 năm, II. phát từ ký Tỉ lệ sản phẩm loại A b) Gọi X là số sản phẩm loại A có bảo hành chỉ độ lệch có trong hai lô I và II lần lượt là túc xá trong 4 sản phẩm được lấy ra. còn 1%? chuẩn là trước giờ 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ Tìm kỳ vọng và 1,5 năm. mỗi lô 2 sản phẩm. học 72 phương sai của X. Bán được Bài 30. thì phút. a) Tính xác suất để chiến sĩ A được 1 máy điện Tínhngẫu xác thưởng. lời tử là một đại lượng nhiên có phân phối chuẩn suất sinh b) Giả sử chiến sĩ A Bài 34. Cho hai 100 ngàn chắc nhất là bao nhiêu? viên đó bị c) dự thi 10 lần. Hỏi hộp I và II, mỗi đồng, trễ học. số lần được thưởng hộp có 10 bi; trong nhưng Bài 27. Trong ngày hội thi, mỗi nếu máy b) Sinh tin chắc nhất là bao đó hộp I gồm 6 bi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một phải bảo viên phải nhiêu? đỏ, 4 bi trắng trong hai loại súng và xuất phát hành thì Chiến sĩ A phải và hộp II gồm 7 bi với khẩu súng chọn được sẽ bắn lỗ 300 từ ký túc tham gia hội thi ít đỏ, 3 bi trắng. Rút 100viên đạn. Nếu có từ 65 viên ngàn xá trước nhất bao nhiêu lần ngẫu nhiên từ mỗi trở lên trúng bia thì giờ học đồng. để xác suất có ít hộp hai bi. được thưởng. Giả sử đối với bao nhiêu Vậy để nhất một chiến sĩ A, xác suất bắn 1 viên tiền lãi phút để lần được thưởng không nhỏ a) Tính xác suất để được hai bi đỏ trúng bia bằng khẩu súng trung xác suất hơn 98%? và hai bi trắng. loại I là 60% và bằng khẩu súng bình khi bị trễ b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên loại II là 50%. bán một học chỉ chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút Bài 28. Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có máy là 30 còn 5%. ra. Tìm luật phân độ dày từ 0,118cm đến ngàn phối của X. 0,112cm. Có hai cửa hang đồng thì Bài 32. cùng bán loại gioăng này với Một phải qui Bài 35. Một máy sản xuất sản độ dày có phân phối chuẩn thành phố phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10%. định thời có 54% là với Một lô hàng gồm 10 sản gian bảo nữ. các đặc số trong bảng sau: hành a) Chọn phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% trong ngẫu máy sản xuất 3 sản phẩm và bao lâu? nhiên 450 hàng lấy ra 3 sản người. phẩm. Gọi X là số sản phẩm Bài 31. Tính xác trong 6 sản phẩm này. Thời gian suất để cần thiết a) Tìm luật phân phối của X trong dó để một b) Không dùng luật phân ph sinh viên số nữ ít X, hãy tính M(X), D(X). đi từ ký hơn số túc xá nam. Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào? đến b) Phải trường là chọn 34 một đại ngẫu 33 lượng nhiên ít ngẫu nhất bao nhiên có nhiêu phân phối người để Printed with FinePrint trial version - purchase at chuẩn với trong đó www.fineprint.com trung với xác bình là 60 suất 99% phút, độ ta có số lệch nữ không chuẩn là ít hơn số Độ dày trung bình OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát Traàn Ngoïc Hoäi h ộ B p ài II 3 g 6. ồ C h m o 6 h bi ai đ h ỏ, ộ 4 p bi I tr v ắ à n II g. , R m út ỗi n h g ộ ẫ p u c n ó hi 1 ê 0 n bi từ ; h tr ộ o p n I g h đ ó ai h bi ộ b p ỏ I sa g n ồ g m h 8 ộ bi p đ II ỏ, , 2 sa bi u tr đ ắ ó n rú g t v n à g ẫ u n h ê n t h ộ p I b a b . a T í h x á c s u ấ đ ể đ ư ợ c c ả b a b t ắ n g b ) G ọ X l đ ại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có trong ba bi được rút ra từ hộp II. Tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. Bài 37. Có ba lô sản phẩm, mỗi lô có 20 sản phẩm. Lô thứ i có i + 4 sản phẩm loại A (i = 1, 2, 3). a) Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm được lấy ra có đúng 1 sản phẩm loại A. b) Từ mỗi lô lấy ra 1 sản phẩm. Gọi X là tổng số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra. Tìm luật phân phối của X và tính Mod(X), M(X), D(X). Bài 38. Một người có 5 chìa khóa bề ngoài rất giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở được cửa. Người đó tìm cách mở cửa bằng cách thử từng chìa một cho đến khi mở được cửa thì thôi (tất nhiên, chìa nào không mở được thì loại ra). Gọi X là số chìa khóa người đó sử dụng. Tìm luật phân phối của X. Hỏi người đó thường phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa? Trung bình người đó phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa? 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: 24: 25: 26: 27: 28: 29: 30: 31: 32: 33: 34: b) a) 0,3 29 3 b) 0,0 50 8 a) 0,5 03 5 b) 0,4 23 5. c) 0,4 31 8 a) 0,8 64 7 b) 0,0 10 3 c) 22 3 a) 0,0 95 2 b) 0,0 61 5 c) 0,3 29 7 a) 0,0 68 1 b) 0,0 72 1 c) 0,6 55 4 a) 0,0 77 9 b) 0,3 59 7 c) 0,3 85 9 a) 0,0 68 4 b) 0,2 65 0 c) 7 a) 0, 00 07 27 b) 0, 50 41 3 c) 0, 50 72 a) 0,0 45 4 b) 0,3 13 5 a) 0,2 60 3 b) 13 a) 0,0 77 6 Bài 39. Một b) 0 c) 49 Cử a hà ng A. a) 0,0 48 5 b) 11 52 giờ . 3,1 95 nă m. a) 0,2 11 9 b) 84, 75 ph út a) 0,0 44 6 b) 8,3 6. a) 0,1 93 2 b) M( X) = 3; D( X) = 0,7 4. a) 1/3 đạn. Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng trong cuộc săn. a) Tìm luật phân phối của X. b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. 35: a) b) M(X) = 4,8; D(X) = 0,76. 36: a) 73/2475 b) M(X) = 1,1; D(X) = 0,5829. 37. a) 0,4728 b) M(X) = 1; D(X) = 0,9. 38: Bài 40. Một người thợ săn có 4 viên đạn. Người đó đi săn với nguyên tắc: nếu bắn 2 viên trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng trong cuộc săn. a) Tìm luật phân phối của X. b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. Mod(X) = 2; M(X) = 2. 39: a) b) M(X) = 1,2496; D(X) = 0,3089. X 40: a) 0 ĐÁP SỐ X 0 1: a) 0,22 b) 0,28 c) 0,97 d) 0,851 2: a) 0,2667 b) 0,2133 c) 0,4933 d) 0,1352 3: a) 0,1667 b) 0,2857 c) 0,3333 4: a) 0,0455 b) 0,5556 5: a) 0,66 b) II, III c1) 0,076 c2) 0,3925 6: a) 0,65 b) II 7: a) 0,2076 b) 0,5030 8: a1) 0,048 a2) 0,464 a3) 0,1034 b) 0,1667 9: a) 0,33954% b) 0,1732 10: 0,3243 12: 0,2766 11: 0,5080 15: 0,5687. 13: (a − 1)/(a + b − 1) 14: 35 0,9334. 16: a) 0,8215 b) 0,1307 người thợ Printed with FinePrint săn có www.fineprint.com X 5 viên 0 X 1 X 1 b) M(X) = 2,464; D(X) = 0,456704. -------------* trial version - purchase at X 0 X 2 36 OÂn thi Cao hoïc – Toaùn kinh teá – Phaàn Xaùc suaát 37 Traàn Ngoïc Hoäi Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com [...]... 5C55===9 =50 45 ; Pn (k) = Cnp qn − k Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội − Lời giải k ) s ả n p h ẩ m G ọ i A k ( k = 0 , 1 , … , 5 ) l à b i ế n c ố c ó k s ả n p h ẩ m t ố t v à ( 5 x ấ u c ó tron g5 sản phẩ m thu đượ c Ap dụn g Cơn g thức Ber noul li với n= 5, p = 0,6, q= 0,4 ta có k a) Xác suất để tron g5 sản phẩm thu... Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Ap dụng Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta được: P( Ak ) = C n p q = C 5 (0,6) (0,4) P( A3 ) = C 5 (0,6)3 (0,4) 2 = 0,3456 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 2 ; 21 5 Xxx…… P1 2 …… pp…… 1 2 …… … xn …… …… …… …… …… pn t 1 h 2 3 n g Vậy luật... tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa Chú ý Sau khi 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com trong đó M(X ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X ∑x 2 − (∑ x kp k )2 ∫a f (x)dx − (∫ xf (x)dx) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 5) Đọc kết quả: § 3... trial version - purchase at www.fineprint.com p0 = P( X = 0) = p1 = P( X = 1) = C C C 6 4 = 1 C C C 6 2 4 =8; 1 p2 = P( X = 2) = 2 C C C 6 4 ∑ xk k =1 1 ∫ Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội ⌠(X) = 2) Cơng thức tính phương sai: Từ định nghĩa của phương sai ta có cơng thức khác để tính phương sai như sau: D(X) = M(X 2 Như... cố bất kỳ, ta có: n j j=1 10 version - purchase at C C C = 5 C C C 7 C C C C C C 1 5 = 50 ; 5 = 45 C C C C C C j = 7 = 56 ; 10 7 = 28 P(A1A) P(A1/A) = Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội lơ I gồm 10 sản phẩ m tốt, 5 sản phẩ m xấu; lơ II gồm 8 sản phẩ m tốt và 7 sản phẩ m xấu Chọ n ngẫ u nhiê n từ lơ I 2 sản P(A k )P(A/A... Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) CC P(X = k) = C Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) P( X = k ) = C 8 C4 4 C Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội ⇔ 2,6 ≤ ⇔ k≤ Phươ = 0, ng sai Vậy 3,6 6465 của X giá k = 3 là trị N tin chắc 4 nhất N của 1 X là k= 3 §4 PH ÂN PH ỐI NHỊ TH ỨC 4.1... là P (X = k) = C k n p qn − k P (X = k) = P (X = 7) = k C p qn − k C10(0,8) (0,2)3 ≈ 0,2013 P ( X = k ) = C n p k q n− k = C 5 (0,6) k (0,4)5− k e ak N Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Hàm Gauss là xấp hàm số xỉ X chẵn bằn (nghĩa g là f(− x) đại = f(x)), lượn liên tục g trên R ngẫ Người u ta đã lập nhiê bảng giá... = P(A1) + P(A2) n p k q n− k +…+Pn (k ) = P(An) - Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P( A + (2) + P3 (3) = 6 4 + B)6 4 = = P( A CC p C C C C C 2 C Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội V ớ i A 1 , A 2 , … , A n l à P … V ớ i A 1 , A 2 , … , A n l à n n b i ế n b i ế n c ố c ố đ ộ c b ấ t k ỳ , t a l ậ p t ừ n g đ... 0, 1, …) k kkn n 28 - purchase at C C N−N P( X = k ) = N C N N N− vớiD( q =X 1) =− npq p P ( X = k ) = C n p k q n− k ∑ e−a a =n ∑ P(A j )P(A/A j ) C pq Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội b ) T r ư ờ n g ( t h ơ n g h ợ p t h ư ờ n g 2 : p 0 , 1 k h ơ n g ≤ q u á p ≤ 0 , 9 ) K g ầ n i 0 x c ũ n g n h ư g ầ n 1 đ c m... kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Bài 10 Có 10 sinh viên đi thi, tron g đó có 3 thuộ c lọai giỏi, 4 khá và 3 trun g bình Tro ng số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời đượ c tất cả, sinh viên khá trả lời đượ c 16 câu còn B sinh viên trun g bình đượ c 10 câu Gọi ngẫ u nhiê n một sinh viên và phát một phiế u thi gồm 4 câu ... nhiên bi Tính xác suất bi đen C Bài Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần... trung với xác bình 60 suất 99% phút, độ ta có số lệch nữ khơng chuẩn số Độ dày trung bình Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất... FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Suy ; P Mặt khác A1A =