Bài toán tính tích phân xác định bằng định nghĩa và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990151571301000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Đà Nẵng - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đinh Lý Mỹ Huệ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình quý Thầy Cô, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo Thầy giáo hướng dẫn em TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ khoa Tốn khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Trường THCS-THPT Trung Hóa, xin cảm ơn anh chị bạn đồng nghiệp không ngừng hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu làm luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Phương Pháp Toán Sơ cấp K36 nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập vừa qua Đinh Lý Mỹ Huệ MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1 Khái niệm tích phân xác định 1.2 Điều kiện khả tích 1.3 Tính chất 13 1.4 Các lớp hàm khả tích 19 1.5 Công thức Newton-Leibnitz 21 1.6 Phương pháp đổi biến số tích phân phần 22 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA 24 2.1 Bài tốn xét tính khả tích hàm số tính tích phân xác định định nghĩa 24 2.2 Bài tốn tính giới hạn dãy số tích phân xác định 28 2.3 Bài tốn tính độ dài đường cong phẳng 33 2.4 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 38 2.5 Bài tốn tính thể tích vật thể 48 2.6 Bài toán tính diện tích mặt trịn xoay 55 2.7 Bài tốn tính xấp xỉ tích phân xác định 60 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tích phân đóng vai trị quan trọng ngành tốn học nói riêng khoa học nói chung Chính vậy, vấn đề lý thuyết tích phân chọn lọc đưa vào chương trình trung học phổ thông năm lớp 12 Những nội dung kiến thức trình bày đầy đủ chi tiết chương trình đại học, đồng thời mở rộng khái niệm tích phân miền khác với cách hiểu khác Bài tốn tính tích phân gắn liền với nhiều ứng dụng thực tiễn, gần gũi sử dụng phổ biến cơng việc đo đạc tính toán Trong năm trở lại đây, việc giảng dạy khái niệm tốn học địi hỏi gắn liền với mơ hình thực tiễn nhiều Học sinh khơng biết dạng tốn cách giải mà cần hiểu khái niệm tốn học có ý nghĩa gì, mối liên hệ khái niệm với khái niệm toán học liên quan cuối thấy ứng dụng thực tiễn công việc, sống hàng ngày Trong chương trình phổ thơng, khái niệm tích phân giới thiệu sơ lược, chủ yếu nhằm mục đích cho học sinh nắm bắt phương pháp tính tích phân Với hạn chế kiến thức chuẩn bị, cách xây dựng lý thuyết tích phân xác định chương trình phổ thơng dấn đến cách tính hầu hết dựa vào việc tìm nguyên hàm Hơn nữa, vấn đề lý thuyết không chứng minh chi tiết mà công nhận để vận dụng Điều làm mờ nhạt khái niệm tích phân xác định dẫn đến việc học sinh hiểu đầy đủ khái niệm này, không thấy rõ liên hệ với khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, Với mục đích tìm hiểu rõ khái niệm tích phân xác định, phương pháp tính tích phân xác định định nghĩa vấn đền liên quan, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ "Bài tốn tính tích phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan" Mục đích nghiên cứu Với mong muốn cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp có nhìn tổng quát việc tính tính phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan Đối tượng nghiên cứu Bài tốn tính tích phân xác định định nghĩa số ứng dụng tích phân xác định Phạm vi nghiên cứu Những nội dung lý thuyết tích phân chương trình THPT Ngồi ra, chúng tơi tham khảo thêm số kiến thức tích phân chương trình đại học Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu tính tích phân xác định định nghĩa vấn đề liên quan đến tích phân xác định tập số thực • Xin ý kiến, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Tổng quan cấu trúc luận văn Đề tài nhằm mang lại cách nhìn tổng quan tính tích phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan Nó giúp em học sinh THPT có thêm nhãn quan học giải tốn tích phân xác định ứng dụng Nó tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh việc nâng cao chất lượng dạy học Trường THPT Nội dung luận văn trình bày gồm hai chương Ngồi luận văn cịn có phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo • Chương 1: Khái niệm tính chất tích phân xác định • Chương 2: Một số dạng tốn liên quan đến tốn tính tích phân xác định định nghĩa f ( ) = xdx = = n i=1 n 2 n n n Ví dụ 2.2.2 a) Cho Sn = + + + Tính lim Sn 2 n→∞ n +1 n +2 n + n2   r r r n n n b) Cho Sn = 1+ + + + Tính lim Sn n→∞ n n+3 n+6 n + 3(n − 1) 30 Bài giải a) Biến đổi tổng   1 + + + Sn = n n2 + 12 n2 + 22 n + n2  = n   n2 1 + ( )2 n + + ( )2 n + +  = 1  n + 1 + ( )2 + ( )2 n n n X 1 = i n i=1 1+( ) n + +   n 2 1+( ) n   n 2 1+( ) n liên tục [0, 1] nên khả tích [0, 1] + x2 i Chọn phân hoạch đoạn [0, 1]: xi = , i = 0, n chọn n i ξi = ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n Ta có n Xét hàm số f (x) = n 1X lim Sn = lim n→∞ n→∞ n i=1 Z1 = i + ( )2 n n 1X i = lim f( ) n→∞ n n i=1 dx = π dx = arctan x + x2 31 b) Biến đổi tổng r r   r n n n 1+ + + + Sn = n n+3 n+6 n + 3(n − 1)    1 1   = 1 + r +r + + r  n n+3 n+6 n + 3(n − 1)  n n n    1 1   +r + + r = 1 + r  n 3(n − 1)  1+ 1+ 1+ n n n n 1X r = n i=1 3(i − 1) 1+ n liên tục [0, 1] nên khả tích [0, 1] + 3x i Chọn phân hoạch đoạn [0, 1]: xi = , i = 0, n chọn n i−1 ξi = ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n Ta có n Xét hàm số f (x) = √ n 1X r lim Sn = lim n→∞ n→∞ n i=1 Z1 = √ dx = + 3x Z1 1 (1 + 3x)− dx = 3(i − 1) 0 n   π 2π (n − 1)π sin + sin + + sin Ví dụ 2.2.3 a) Cho Sn = n n n n Tính lim Sn n→∞   t 2t (n − 1)t b) Cho Tn = sin + sin + + sin , n = 1, 2, , t > Tính n n n n lim Tn 1+ n→∞ Bài giải a) Biến đổi tổng     n π 2π (n − 1)π 1X i−1 sin + sin = sin + + sin π Sn = n n n n n i=1 n 32 Xét hàm số f (x) = sin(πx) liên tục đoạn [0, 1] nên khả tích [0, 1] Chọn phân hoạch đoạn [0, 1]: xi = i i−1 , i = 0, n chọn ξi = ∈ n n [xi−1 , xi ], i = 1, n Ta có   Z1 n n i−1 1X 1X lim Sn = lim sin π = lim f (ξi ) = sin(πx)dx = n→∞ n→∞ n n→∞ n n π i=1 i=1 b) Biến đổi tổng   t 2t (n − 1)t Tn = sin + sin + + sin n n n n   n t (i − 1)t t 2t (n − 1)t tX = sin sin + sin + + sin = t n n n n t n i=1 n Xét hàm số f (x) = sin x liên tục đoạn [0, t] nên f (x) khả tích đoạn [0, t] t Chọn phân hoạch đoạn [0, t]: xi = i , i = 0, n chọn n (i − 1)t ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n Ta có ξi = n n n tX (i − 1)t tX lim Tn = lim sin = lim f (ξi ) n→∞ t n→∞ n i=1 n t n→∞ n i=1 = t Zt sin xdx = − cos t t 12020 + 22020 + + n2020 Tính lim Sn Ví dụ 2.2.4 Cho Sn = n→∞ n2021 Bài giải Biến đổi tổng # "   2020 n   2020   2020 1 n X i 2020 Sn = + + + = n n n n n n Xét hàm số f (x) = x2020 liên tục [0, 1] nên f (x) khả tích [0, 1] Chọn phân hoạch đoạn [0, 1]: xi = i , i = 0, n chọn n 33 ξi = i ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n Ta có n   Z1 n   n i 1X X i 2020 = lim f = x2020 dx = lim Sn = lim n→∞ n n→∞ n→∞ n n n 2021 i=1 i=1 Bài tập tương tự  Bài tập 2.2.1 a) Cho Sn = 1 √ +√ + + √ 4n2 − 4n2 − 22 4n2 − n2  Tính lim Sn n→∞ b) Cho Sn = n r 1+ + n Bài tập 2.2.2 Cho Tn = r r ! n + + + Tính lim Sn n→∞ n n ! r n (2n)! Tính lim Tn n→∞ n n! 1+     1  n n Bài tập 2.2.3 Cho Sn = 1+ Tính lim Sn 1+ + n→∞ n n n 2.3 Bài tốn tính độ dài đường cong phẳng Trong mục này, chúng tơi trình bày kiến thức ứng dụng tích phân xác định để tính độ dài đường cong phẳng Định lí 2.3.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm liên tục [a, b] Độ dài L đường cong phẳng y = f (x), a ≤ x ≤ b ln tồn tính cơng thức L= Zb q + [f (x)]2 dx a Chứng minh Hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm liên tục [a, b], _ _ gọi cung AB đồ thị f (x), x ∈ [a, b], gọi L độ dài cung AB (Hình 2.3.1.) 34 Hình 2.3.1 _ Lấy cung AB điểm M0 (x0 , f (x0 )), M1 (x1 , f (x1 )), , Mi (xi , f (xi )), , Mn (xn , f (xn )) với x0 ≡ a, xn ≡ b Ta gọi độ dài L giới hạn độ dài đường gấp khúc M0 M1 Mi−1 Mi Mn số cạnh đường gấp khúc tăng vô hạn cho độ dài cạnh lớn dần tới khơng, nghĩa L = lim d→0 n X Mi−1 Mi , i=1 d := max Mi−1 Mi , với Mi−1 Mi độ dài đoạn Mi−1 Mi 1≤i≤n Hiển nhiên ta có q q Mi−1 Mi = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 = (∆xi )2 + (∆yi )2 , với ∆xi = xi − xi−1 , ∆yi = f (xi ) − f (xi−1 ) Theo công thức Lagrange tồn ξi ∈ (xi−1 , xi ) để ∆yi = f (xi ) − f (xi−1 ) = f (ξi )∆xi Thế giá trị ∆yi vào cơng thức tính độ dài Mi−1 Mi ta Mi−1 Mi = q 1+ f 02 (ξ i )∆xi ⇒ L = lim d→0 n q X + f 02 (ξi )∆xi i=1 p Vì f (x) liên tục nên + f 02 (x) liên tục với x ∈ [a, b] nên hàm số p + f 02 (x) khả tích [a, b], ln tồn độ dài L, theo định 35 nghĩa tích phân xác định ta có Zb q L= + f 02 (x)dx a Định lí 2.3.2 Cho đường cong  x = x(t) y = y(t) , t ∈ [α, β], x(t), y(t), x0 (t), y (t) hàm liên tục đoạn [α, β] Khi độ dài L đường cong Zβ q L= [x0 (t)]2 + [y (t)]2 dx α Định lí 2.3.3 Cho hàm số r = r(ϕ) liên tục đoạn [α, β] Khi độ dài L đường cong r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β] L= Zβ q [r(ϕ)]2 + [r0 (ϕ)]2 dϕ α Ví dụ 2.3.1 Tính độ dài cung đường cong y = x , x ∈ [0, 1] Bài giải Ta có y = x , + y 02 = + x Do độ dài cung đường cong L= Z1 q + y 02 (x)dx = = Z1 r + xdx Z1 √ + 9xdx = √ (13 13 − 8) 27 Ví dụ 2.3.2 Tính độ dài cung parabol y = đến điểm M có hồnh độ x x , p > lấy từ gốc tọa độ 2p 36 Bài giải Ta có 1 y = x, + y 02 = + x2 = (x2 + p2 ) p p p Do độ dài cung parabol L= p Zx p x2 + p2 dx 0  x p