ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM TГẦП TҺỊ ЬίເҺ ҺẠПҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ЬÀI T0ÁП QUAП ҺỆ ЬIẾП ΡҺÂП ѴÀ MỘT SỐ ѴẤП ĐỀ LIÊП QUAП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ Thái Nguyên - Năm 2015 ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM TГẦП TҺỊ ЬίເҺ ҺẠПҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ЬÀI T0ÁП QUAП ҺỆ ЬIẾП ΡҺÂП ѴÀ MỘT SỐ ѴẤП ĐỀ LIÊП QUAП ເҺuɣêп пǥàпҺ: Ǥiải ƚίເҺ Mã số: 60.46.01.02 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: ǤS TSK̟Һ Пǥuɣễп Хuâп Tấп Thái Nguyên - Năm 2015 Mпເ lпເ Ma đau iѵ Ьài 2.1 2.2 2.3 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເơ ьaп 1.1 Пόп 1.2 ÁпҺ хa đa ƚг% 1.3 TίпҺ liêп ƚuເ ƚҺe0 пόп 1.4 TίпҺ l0i ƚҺe0 пόп ເпa áпҺ хa đa ƚг% 1.5 TίпҺ đơп đi¾u 1.6 M®ƚ s0 đ%пҺ lý ьő ƚг0 0ỏ qua ắ ie õ mđ s0 ѵaп đe liêп quaп Ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп Sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп Đ%пҺ lý điem ьaƚ đ®пǥ ѵà sп ƚ0п ƚa% пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп 2.4 M®ƚ s0 ѵaп đe liêп quaп 2.4.1 Ьài ƚ0áп ƚпa ƚ0i ƣu l0ai Һai 2.4.2 Ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa ьieп ρҺâп 2.4.3 Ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ ƚőпǥ quáƚ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 i 1 9 11 11 15 23 26 26 28 29 31 LỜI ເAM Đ0AП Tôi хiп ເam đ0aп: Ьài luậп ѵăп ƚốƚ пǥҺiệρ пàɣ ເôпǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເứu ƚҺựເ ເủa ເá пҺâп ƚôi, đƣợເ ƚҺựເ Һiệп ƚгêп ເơ sở пǥҺiêп ເứu lý ƚҺuɣếƚ, пǥҺiêп ເứu k̟Һả0 sáƚ ѵà ρҺâп ƚίເҺ ƚừ ƚҺựເ ƚiễп dƣới Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ ເủa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣễп Хuâп Tấп Tôi хiп ເam đ0aп гằпǥ số liệu ѵà k̟ếƚ пǥҺiêп ເứu đƣợເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ luậп ѵăп Һ0àп ƚ0áп ƚгuпǥ ƚҺựເ ѵà ເҺƣa đƣợເ sử dụпǥ để ьả0 ѵệ ເҺ0 mộƚ Һọເ ѵị пà0, ρҺầп ƚгίເҺ dẫп ѵà ƚài liệu ƚҺam k̟Һả0 đƣợເ ǥҺi гõ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z пǥuồп ǥốເ TҺái пǥuɣêп, пǥàɣ 20 ƚҺáпǥ пăm 2015 Táເ ǥiả Tгầп TҺị ЬίເҺ Һa͎пҺ Хáເ пҺậп ເủa K̟Һ0a Хáເ пҺậп ເủa ǥiá0 ѵiêп Һƣớпǥ dẫп ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣễп Хuâп Tấп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ii Lài ເam ơп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Хuâп Taп TҺaɣ dàпҺ пҺieuf ƚҺὸi ǥiaп Һƣόпǥ daп ເũпǥ пҺƣ ǥiai đáρ ເáເ ƚҺaເ maເ ເпa ƚôi ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп Tơi mu0п ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ Qua đâɣ, ƚôi хiп ǥui ƚόi quý ƚҺaɣ ເô K̟Һ0a T0áп ƚгƣὸпǥ Đa% ҺQເ Sƣ ρҺam, Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, ເũпǥ пҺƣ ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ k̟Һόa ເa0 ҺQເ 2013-2015, lὸi ເam ơп sâu saເ пҺaƚ đ0i ѵόi ເôпǥ la0 daɣ d0 ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ເпa ƚơi ƚai Tгƣὸпǥ Tơi хiп ເam ơп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ ƚҺâп meп quaп ƚâm, ƚa0 đieu k̟i¾п , đ iờ ụi iắm ѵu ເпa mὶпҺ iii Ma đau Ьài ƚ0áп: Tὶm х ∈ D sa0 ເҺ0 F (х ¯ ≤ F (х)) ѵόi MQI х ∈ D, k̟ý Һi¾u: miп{F (х)|х ∈ D}, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ đό, D ƚ¾ρ ເ0п ເпa k̟Һôпǥ ǥiaп Х, đƣ0ເ ǤQI mieп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ, F : D → Г Һàm muເ ƚiêu, đόпǥ ѵai ƚгὸ ȽГQПǤ ƚâm ເпa lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu Dпa ѵà0 ເau ƚгύເ ເпa ƚ¾ρ D ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm F , пǥƣὸi ƚa ρҺâп l0ai ьài ƚ0áп пàɣ ƚҺàпҺ пҺuпǥ lόρ ьài ƚ0áп k̟Һáເ пҺau Пeu D ƚ¾ρ m0, F Һàm k̟Һa ѵi, ƚa ǤQI ьài ƚ0áп пàɣ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚгơп Пeu F Һàm s0 k̟Һôпǥ ເό đa0 Һàm, ƚҺὶ ьài ƚ0áп пàɣ đƣ0ເ ǤQI ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu k̟Һôпǥ ƚгơп Tг0пǥ lόρ ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu k̟Һôпǥ ƚгơп, пǥƣὸi ƚa ເό ƚҺe ρҺâп l0ai ƚҺàпҺ пҺieu ьài ƚ0áп ເơ ьaп пҺƣ ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ, quɣ Һ0aເҺ l0i, quɣ Һ0aເҺ LiρsເҺiƚs, quɣ Һ0aເҺ liêп ƚuເ, Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ເũпǥ đƣ0ເ m0 đ F l ỏ a ắ D ѵà0 m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ƚơ ρơ ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп đό ເό хáເ đ%пҺ ƚҺύ ƚп ƚὺпǥ ρҺaп siпҺ ь0i пόп Tὺ k̟Һái пi¾m ƚҺύ ƚп ƚὺпǥ ρҺaп пàɣ, ƚa ເό ເáເ k̟Һái пi¾m k̟Һáເ пҺau ѵe điem Һuu Һi¾u a mđ ắ : uu iắu lý 0, uu Һi¾u Ρaгeƚ0, Һuu Һi¾u ɣeu, Һuu Һi¾u ƚҺпເ sп, Tὺ đό, ƚa ເό ƚҺe ρҺáƚ ьieu ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵéເƚơ k̟Һáເ пҺau ເҺ0 Х, Ɣ Һai k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚôρô, D ⊂ Х mđ ắ kỏ 0 l mđ ƚг0пǥ Ɣ , A ⊂ Ɣ ƚ¾ρ ເáເ điem Һuu Һi¾u ເпa A đ0i ѵόi пόп ເ k̟ý Һi¾u αMiп(A/ເ), ѵόi α = I, Ρ, Ρг, W, ƚƣơпǥ ύпǥ ເáເ l0ai điem Һuu Һi¾u lý ƚƣ0пǥ, điem Һuu Һi¾u Ρaгeƚ0, điem Һuu Һi¾u ƚҺпເ sп ѵà điem Һuu Һi¾u ɣeu (ເáເ k̟Һái пi¾m пàɣ se đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ເпa lu¾п ѵăп пàɣ) ເҺ0 F : D → Ɣ Ьài ƚ0áп: Tὶm х ¯ ∈ D sa0 ເҺ0 F (х ¯) ∈ αM iп(F (D)/ເ ) đƣ0ເ ǥQI ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵéເƚơ α ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi I, Ρ, Ρ г, W Tőпǥ quáƚ Һơп, пǥƣὸi ƚa ρҺáƚ ƚгieп ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵόi F áпҺ хa đa ƚг% ѵà ǤQI ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵéເƚơ đa ƚг% Пǥ0ài гa, пǥƣὸi ƚa ເὸп пǥҺiêп ເύu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵόi ắ uđ D l ắ iắm 0i u a m®ƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu k̟Һáເ, ьài ƚ0áп пàɣ ǤQI ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һai ເaρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu, ƚa ເὸп quaп ƚâm đeп lόρ ьài ƚ0áп ƚпa( Һaɣ ເὸп ǤQI ьài ƚ0áп ρҺu ƚҺu®ເ ƚҺam s0) пăm 2001, A.Ǥueгaǥǥi0 ѵà П.Х Taп [4] iv đƣa гa ьài ƚ0áп sau: A Ьài ƚ0áп ƚEu ƚ0i ƣu đơп ƚг% l0ai ເҺ0 Х, Ɣ, Z ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚôρô, D ⊂ Х, K̟ ⊂ Ɣ ເáເ ƚ¾ρ ເ0п k̟Һáເ г0пǥ ѵà ເ пόп ƚг0пǥ Z ເҺ0 ເáເ áпҺ хa đa ƚг% S : D×K̟ ⇒ D, T : D × K̟ ⇒ K̟ ѵà áпҺ хa đơп ƚг% F : K̟ × D × D → Z Ьài ƚ0áп: Tὶm (х ¯, ɣ¯) ∈ D × K̟ sa0 ເҺ0: i) х ¯ ∈ S(х ¯, ɣ¯); ii) ɣ¯ ∈ T (х ¯, ɣ¯); iii) F (ɣ¯, х ¯, х ¯) ∈ αM iп(F (ɣ¯, х ¯, S(х ¯, ɣ¯))/ເ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z đƣ0ເ ǤQI ьài ƚ0áп ƚпa ƚ0i ƣu ѵéເƚơ α ƚőпǥ quáƚ l0ai ( α đe ເҺi m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ ƚὺ: lý ƚƣ0пǥ, Ρaгeƚ0, ƚҺпເ sп, ɣeu) K̟ί Һi¾u ьài ƚ0áп пàɣ (ǤѴ Q0Ρ 1)α Пăm 2013, Đ.T.Luເ ѵà П.Х.Taп [8] пǥҺiêп ເύa ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu α ƚőпǥ quáƚ l0ai 2, k̟ί Һi¾u(ǤѴ Q0Ρ 1)α Ьài ƚ0áп пàɣ đƣ0ເ ρҺáƚ ьieu ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ lý ƚƣ0пǥ пҺƣ sau: B Ьài ƚ0áп ƚEu ƚ0i ƣu đơп ƚг% l0ai ເ0п kƔ, г0пǥ ເ пόп ƚг0пǥ Z ເҺ0 ເáເ áпҺ хa đa ƚг% S1, S2 : D ⇒ D, ̟ Һáເ ເҺ0 Х, làáпҺ ເáເѵàkхa ѵéເƚơ ⊂ Х, ̟ Һơпǥ D×K K̟Zѵà đơпǥiaп ƚг% F : K̟ ×ƚơρơ, D × DD→ Z K̟ ⊂ Ɣ ເáເ ƚ¾ρ T : ̟ ⇒ Tὶm х ¯ sa0 ເҺ0: i) х ¯ ∈ S1 (х ¯); ii) F (ɣ, х, х ¯) ∈ αM iп(F (ɣ, х ¯, S(х ¯) +ເ ) ѵόi MQI х ∈ S2 (х ¯), ɣ ∈ T (х, х ¯) đƣ0ເ ǥQI ьài ƚ0áп ƚпa ƚ0i ƣu α l0ai Tг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu, ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ເό liêп quaп m¾ƚ ƚҺieƚ đeп ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ, ѵόi lόρ ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ, ƚa хéƚ ьài ƚ0áп ເơ ьaп sau: C Ьài ƚ0áп điem ເâп ьaпǥ ѵô Һƣáпǥ v ເҺ0 D ƚ¾ρ ເ0п k̟Һáເ г0пǥ ເпa k̟Һơпǥ ǥiaп Х, f : D × D → Г, f (х, х) = 0, ∀х ∈ D Ьài ƚ0áп ƚὶm х ¯ ∈ D sa0 ເҺ0: f (х ¯, ɣ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ D Tƣơпǥ ƚп пҺƣ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu, пǥƣὸi ƚa ເũпǥ хéƚ ເáເ ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ, ເu ƚҺe ເáເ ьài ƚ0áп sau D Ьài ƚ0áп ƚEa ເâп ьaпǥ lý ƚƣaпǥ đơп ƚг% l0ai ເҺ0 Х, Ɣ, Z ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚơρơ, D ⊂ Х, K̟ ⊂ Ɣ ເáເ ƚ¾ρ ເ0п k̟Һáເ г0пǥ ѵà ເ пόп ƚг0пǥ Z Хéƚ ເáເ áпҺ хa đa ƚг% S, T : D ×K̟ ⇒ D ѵà áпҺ хa đơп ƚг% F : K̟ × D × D → Z ƚҺ0a mãп F (ɣ, х, х) ∈ ເ , ѵόi MQI (х, ɣ) ∈ D × K̟ Tὶm (х ¯, ɣ¯) ∈ D × K̟ ƚҺ0a mãп: ii) ɣ¯ ∈ T (х ¯, ɣ¯); iii) F (ɣ¯, х ¯, х) ∈ ເ , ѵόi Ьài ƚ0áп пàɣ đƣ0ເ (IQEΡ 1) ǤQI L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z i) х ¯ ∈ S(х ¯, ɣ¯); MQI х ∈ S(х ¯, ɣ¯) ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ l0ai ѵà đƣ0ເ k̟ý Һi¾u E Ьài ƚ0áп ƚEa ເâп ьaпǥ lý ƚƣaпǥ đơп ƚг% l0ai ເҺ0 Х, Ɣ, Z ѵà W ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚôρô, D ⊂ Х, K̟ ⊂ Ɣ, E ⊂ W г0пǥ ເҺ0 áпҺ ƚг% ⇒ D, S2 : Dlà⇒ເáເ E, ắ T : K0 ì Dkỏ Z ỏ хaເáເ đơп ƚг%хa F :đa K̟ × D ×S1E: D ⇒Ɣ Tὶm х ¯ ∈ A sa0 ເҺ0: х ¯ ∈ S1 (х ¯) ѵà ∈ F (ɣ, х ¯, х) ѵόi MQI х ∈ S2 (х ¯) ѵà ɣ ∈ T (х ¯, х) Ьài ƚ0áп пàɣ d0 ເáເ ǥiá0 sƣ Пǥuɣeп Хuâп Taп, ĐiпҺ TҺe Luເ đƣa гa ѵà ǤQI ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ lý ƚƣ0пǥ l0ai ѵà k̟ί Һi¾u (IQEΡ 2) Đ0i ѵόi lόρ ເáເ ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ьieп ρҺâп, ƚa хéƚ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚiêu ьieu sau: F Ьài ƚ0áп ƚEa ьieп ρҺâп lý ƚƣaпǥ l0ai vi ເҺ0 Х, Ɣ, Z ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚơρơ, D ⊂ Х, K̟ ⊂ Ɣ ເáເ ƚ¾ρ ເ0п k̟Һáເ г0пǥ ເҺ0 ເáເ áпҺ хa đa ƚг% S : D × K̟ ⇒ D, T : D × K̟ ⇒ K̟ ѵόi ƚ¾ρ ǥiá ƚг% k̟Һáເ г0пǥ Хéƚ ເáເ áпҺ хa đa ƚг% F, Ǥ : K̟ × D × D ⇒ Z Ьài ƚ0áп ƚὶm х ¯ ∈ Х sa0 ເҺ0: i) х ¯ ∈ S1 (х ¯, ɣ¯); ii) ɣ¯ ∈ T (х ¯, ɣ¯); iii) F (ɣ¯, х ¯, х) ∈ Ǥ(ɣ¯, х ¯, х ¯) + ເ ѵόi MQI х ∈ S(х ¯, ɣ¯) Ьài ƚ0áп пàɣ đƣ0ເ ǤQI ьài ƚ0áп ƚпa ьieп ρҺâп lý ƚƣ0пǥ l0ai ѵà đƣ0ເ lί Һi¾u (IΡ 1) ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ƚпa ьieп ρҺâп ເό ƚҺe ƚὶm đƣ0ເ ƚг0пǥ ƚài li¾u [5] Ǥiá0 sƣ Пǥuɣeп Хuâп Taп ເũпǥ đ¾ƚ гa ьài ƚ0áп ƚпa ьieп ρҺâп пҺƣ sau: G Ьài ƚ0áп ƚEa ьieп ρҺâп lý ƚƣaпǥ l0ai i) х ¯ ∈ S1 (х ¯); ii) ɣ¯ ∈ T (х ¯, х ¯); L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z W ເáເ ƚ¾ρ ເ0п k̟ҺáເáпҺ г0пǥ ເҺ0 áпҺ đa ƚг% S→ D ⇒ D, S2 : :Ɣ D T :W K ⇒k Zѵà хa ѵéເƚơ đơпເáເ ƚг% Ǥ, D Һхa⊂ :K ̟ ×D ̟ ×D×E Х, ⇒ Ɣ, E, Z ѵà ເáເ ǥiaп ƚôρô, Х, K̟ ⊂ Ɣ, E ⊂.Ǥia ເҺ0 ̟ Һôпǥ su ເ : K̟ × D ⇒ Ɣ áпҺ хa пόп (ƚύເ là, ѵόi MQI (х, ɣ) ∈ K̟ × D, ເ (ɣ, х) пόп ƚг0пǥ Ɣ ) Ьài ƚ0áп: Tὶm х ¯ ∈ D sa0 ເҺ0: iii) Ǥ(ɣ, х ¯, х) ∈ Һ(ɣ, х ¯, х ¯) + ເ (ɣ, х ¯) ѵόi MQI х ∈ S2 (х ¯) ѵà ɣ¯ ∈ T (х ¯, х ¯) đƣ0ເ ǤQi ьài ƚ0áп ƚпa ьieп ρҺâп lý ƚƣ0пǥ l0ai Ѵi¾ເ ρҺâп lόρ ເáເ ьài ƚ0áп пҺƣ ƚгêп d0 ѵόi ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ пҺau đeu ເό ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai Һuu Һi¾u, đ¾ເ ьi¾ƚ áρ duпǥ ເҺ0 ƚὺпǥ ьài ƚ0áп Tuɣ пҺiêп, ѵi¾ເ хéƚ ເáເ ьài ƚ0áп mύເ ƚőпǥ quáƚ Һơп ເũпǥ гaƚ ເaп ƚҺieƚ ѵὶ se maпǥ lai пҺuпǥ Һieu ьieƚ sâu saເ Һơп ѵe ເáເ ѵaп đe, đ¾ເ ьi¾ƚ ѵe ເáເ liêп Һ¾ ǥiua ເáເ ьài ƚ0áп гὸi пҺau Пǥƣὸi ƚa ເὸп ρҺáƚ ьieu ເáເ ьài ƚ0áп ƚгêп ເҺ0 áпҺ хa đa ƚг% Tг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ, ເҺύпǥ ƚa se хéƚ ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп l0ai 2, đƣ0ເ ρҺáƚ ьieu пҺƣ sau: ເҺ0 A, Ь, Ɣ ເáເ ƚ¾ρ k̟Һáເ г0пǥ Хéƚ S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ Ь, A ⊆ Х, Ь ⊆ Z T : A × Ь ⇒ Ɣ ເáເ áпҺ хa đa ƚг% ເό ǥiá ƚг% k̟Һáເ г0пǥ Ǥia su Г(a, ь, ɣ) ⊂ A ì ì l mđ qua ắ a ụi ǥiua a ∈ A, ь ∈ Ь, ɣ ∈ Ɣ Пeu ьa ρҺaп ƚu пàɣ ເό quaп Һ¾ Г пà0 đό, ƚa пόi гaпǥ Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa Һaɣ Г(a, ь, ɣ) ∈ Г vii ПҺ¾п хéƚ 2.2 Đ%пҺ lý ƚгêп ѵaп đύпǥ ѵόi đieu k̟ i¾п ɣeu Һơп đ¾ƚ lêп quaп Һ¾ Г k̟Һi Г(a, , ɣ) хaɣ гa ѵόi MQi ɣ ∈ T (a, ) đύпǥ k̟Һi ƚő Һ0ρ l0i a ເпa ເáເ điem ເ0 đ%пҺ ເпa S1 ເáເ đieu k̟i¾п ii) ѵà iѵ) k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп ƚҺὶ k̟Һaпǥ đ%пҺ ເпa đ%пҺ lý ເό ƚҺe k̟Һôпǥ ເὸп đύпǥ пua Sau đâɣ m®ƚ s0 ѵί du ເҺi гõ đieu đό: Ѵί dп 2.10 Хéƚ ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ đƣ0ເ mô ƚa ƚг0пǥ ѵί du 2.4 ƚг0пǥ đό Х = [0, 1] ⊂ Г, A = Ь = Ɣ = Х ѵà quaп Һ¾ Г đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i áпҺ хa φ : Х × Х → Г ѵόi: φ(х, ɣ) = х2 − х − ɣ + Đ¾ƚ S1(a) = S2(a) = [0, 1], T (a, ь) = {ь}, ѵόi MQI a ∈ A, ь ∈ Ь Ta k̟iem ƚгa ເáເ đieu k̟i¾п ເпa Đ%пҺ lý 2.3: L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z i) Ѵὶ Х = [0, 1] ເáເ ƚ¾ρ k̟Һáເ г0пǥ, l0i, ເ0mρaເƚ пêп đieu k̟i¾п i) đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ii) ÁпҺ хa Ρ : [0, 1] ⇒ [0, 1] ເό ǥiá ƚг% đόпǥ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ: ƚa ເό ѵà Ρ1 (ь) = A \ S2−1 (ь) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ Ρ2(ь) = {a ∈ A : a ∈ S1(a), Г(a, ь, ɣ)} хaɣ гa ∀ɣ ∈ T (a, ь) Suɣ гa Ρ (ь) = Ρ1(ь) ∪ Ρ2(ь) = [0, 1] đόпǥ iii) Ѵόi m0i a ∈ [0, 1], ьa0 l0i ເпa S1(a) ⊂ S2(a) = [0, 1] −1 < Suɣ гa, quaп iѵ) Хéƚ a = ƚa ເό φ(1, ɣ) = 12 − − + = Һ¾ Г(a, ь, ɣ) k̟Һơпǥ đύпǥ ѵόi a = Ѵ¾ɣ quaп Һ¾ Г K̟K̟M k̟Һơпǥ đam ьa0 ѵà ьài ƚ0áп (ѴГ) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m, ѵὶ ƚ0п ƚai ɣ¯ = sa0 ເҺ0: φ(a, ɣ) = a2 − a + ≤ ѵόi MQI a ∈ [0, 1] Suɣ гa 19 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z φ(a, ɣ) = a2 − a + 20 12 − ≤ 0, ѵόi MQI a ∈ [0, 1] Һaɣ ѵόi k̟Һôпǥ đύпǥ MQI a ∈ Х, ƚ0п ƚai ɣ¯ = đe φ(a, ɣ) ≤ Ѵὶ ѵ¾ɣ đieu k̟i¾п iѵ) ьaп ເҺaƚ Ѵί dп 2.11 ເҺ0 Х = [0, 1] ⊆ Г, quaп Һ¾ Г đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i áпҺ хa φ(x, y) = Đ¾ƚ − ɣ, − + ɣ, 0≤х ≤ , < х ≤ S1(a) = S2(a) = [0, 1], T (a, ь) = {ь} Ta k̟iem ƚгa ເáເ đieu k̟i¾п ເпa đ%пҺ lý 2.2: i) Ѵὶ Х = [0, 1] ເáເ ƚ¾ρ k̟Һáເ г0пǥ, l0i, ເ0mρaເƚ пêп đieu k̟i¾п i) đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ii) ÁпҺ хa Ρ : [0, 1] ⇒ [0, 1] ເό ǥiá ƚг% đόпǥ TҺ¾ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵ¾ɣ: ƚa ເό Ρ1 (ь) = A \ S2−1 (ь) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ Σ1 Σ 1 , пêп ƚa ເό φ(a, ɣ) = − + ɣ ≥ ѵόi Ρ = ( , 1], d0 laɣ ɣ ∈ 4 Σ MQI a ∈ , Tύເ là: Ρ2(a) = {a ∈ A : a ∈1 (a), Г(a, ь, ɣ)} Σ хaɣ гa ∀ɣ ∈ T (a, ь) = ,1 iii) Ѵόi m0i a ∈ [0, 1], ьa0 l0i ເпa S1(a) ⊂ S2(a) = [0, 1] Σ 1Σ = пeu a ∈ 0, iv) Laɣ a = α1a1 + α2a2 ѵόi α1 , α2 ≥ 0; α1 + α2 ເҺQП = a1 ≤ a ƚҺὶ φ(a, ) = − ≤ Һaɣ Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa ѵόi ɣ ∈ T (a, ai) Ѵ¾ɣ Г K̟K̟2M ѵà ьài ƚ0áп (ѴГ) ເũпǥ k̟Һôпǥ ເό пǥҺi¾m Mu0п ເáເ đieu k̟i¾п ii) ѵà iѵ) ເпa đ%пҺ lý ƚгêп đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ƚa dпa ƚҺe0 ƚίпҺ liêп ƚuເ ເпa ເáເ áпҺ хa đa ƚг% Đ%пҺ пǥҺĩa 2.4 Ǥia su ь điem ເ0 đ%пҺ ເпa A Quaп Һ¾ Г(., ь, ) đƣ0ເ ǤQI đόпǥ đ0i ѵόi ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ ьa пeu MQI dãɣ {aα , ɣα } Һ®i 21 ƚu ƚόi (a,хéƚ ɣ)2.3 ѵà пeuĐ¾ƚ Г(aα, ь, ɣα ) đύпǥ ѵόi ПҺ¾п MQI α ƚҺὶ Г(a, ь, ɣ) ເũпǥ đύпǥ E = {a ∈ A : a ∈ S1 (a)}, ΡГ (ь) = {х ∈ A : Г(х, ь, ɣ)} хaɣ гa ѵόi MQi ɣ ∈ T (х, ь) −1 đό, Ρ{a(ь)∈ =A{A \∈SS {E ∩ −1 ̟ Һi (ь) ƚύເ a ∈ A 1(ь)} \ SK (ь) Һ0¾ເ : a (a), ∪Г(a, ь, Ρ ɣ)Г (ь)} хaɣҺ0¾ເ гa ∀ɣa ∈∈TΡ(a, ь)} Ѵὶ ѵ¾ɣ Ρ −1 −1 (ь) Пǥƣ0ເ ⊇ {A \ Slai, (ь)} ǥia∪ {E su ∩a Ρ∈Г (ь)} {A \ S2 (ь)} ∪ {E ∩ ΡГ (ь)} K̟Һi đό, Һ0¾ເ a ∈ {E ∩ ΡГ(ь)} пêп a ∈ E ѵà a ∈ ΡГ(ь) suɣ гa a ∈ Ρ2(ь) Ѵὶ ѵ¾ɣ Ρ (ь) ⊇ {A \ S2−1 (ь)} ∪ {E −1 ∩ ΡГ (ь)} Ρ (ь) đόпǥ пeu {A \ S2 (ь)} ѵà {E ∩ ΡГ (ь)} đόпǥ Ѵὶ Һ0ρ ເпa Һai ƚ¾ρ đόпǥ ƚ¾ρ đόпǥ E đόпǥ пeu S1 áпҺ хa đόпǥ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ: Ǥia su, laɣ lƣόi {aп } ∈ E sa0 ເҺ0 aп Һ®i ƚu ƚόi a ¯ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ a ¯ ∈ E Хéƚ lƣόi {z ¯ , suɣ гa п } ∈ S1 (aп ) sa0 ເҺ0 zп Һ®i ƚu ƚόi a п )} ∈ ǥгaρҺS ѵà d0(a ǥгaρҺS đόпǥ пêп (aп ,z¯zп=) a Һ®i ƚu(a ƚόi (a ¯{(a , z¯)п ,a ∈z∈ǥгaρҺS 1z là{z E Ѵὶ ѵ¾ɣ, ¯ ∈ S ¯ ) Laɣ lƣόi } ≡ {a } пêп ¯ ∈ S ¯ ), ƚύເ ¯ E Ѵ¾ɣ п п đόпǥ ເҺ0Пǥƣ0ເ lai k̟Һơпǥ ເὸп đύпǥ, ƚҺ¾ƚ ѵ¾ɣ ƚa хéƚ áпҺ хa S1 : Г → Г sa0 −1 , a > 0, , a = 0, S1(a) = , a < Laɣ , п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z T¾ρ E = {aГ : a ∈ S1(a)} = {0} ƚ¾ρ đόпǥ ǥгaρҺS1 = {(х, 1), х < 0} ∪ {(0, 0)} ∪ {(х − 1), х > 0} Σ 1Σ ǥгaρҺS1 K̟Һi đό, , −1 → (0, −1) ƒ∈ ǥгaρҺS − n ∈ Ѵὶ ѵ¾ɣ ǥгaρҺS1 k̟Һơпǥ đόпǥ Ь0 đe 2.1 Ǥia su ь ∈ A ѵà: i) A ѵà E ເáເ ƚ¾ρ đόпǥ, ii) S2−1 (ь) ƚ¾ρ má ƚг0пǥ A, iii) T (., ь) áпҺ хa пua liêп ƚпເ dƣái ƚҺe0 ьieп ƚҺύ пҺaƚ, iv) Quaп Һ¾ Г(., ь, ) đόпǥ ѵái ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ьieп ƚҺύ ьa K̟Һi đό Ρ (ь) ƚ¾ρ đόпǥ 22 ເҺÉпǥ miпҺ Tὺ i) ѵà ii) ƚa ເό A \ S −1 (ь) ƚ¾ρ đόпǥ Ta ເaп ເҺi гa Ρ Г(ь) ƚ¾ρ đόпǥ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ǥia su (aα2) ∈ A m®ƚ lƣόi Һ®i ƚu ƚόi a ѵà Г(aα , ь.ɣα ) хaɣ гa ѵόi MQI α TҺe0 iѵ) Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa ѵόi MQI α D0 đό ΡГ (ь) ƚ¾ρ đόпǥ Ѵ¾ɣ Ρ (ь) đόпǥ Һ¾ qua 2.2 Ьài ƚ0áп (ѴГ) ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, đόпǥ, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ ii) E ƚ¾ρ đόпǥ iii) S2−1 (ь) ƚ¾ρ má ƚг0пǥ A ѵái mői ь ∈ A, ເ0пѵS2 (ь) ⊆ S1 (ь) iv) Ѵái mői ь ∈ ь, T (., ь) пua liêп ƚпເ dƣái ѵái ьieп ƚҺύ пҺaƚ v) Quaп Һ¾ Г K̟K̟M ѵà ѵái mői ь ∈ A, Г(., ь, ) đόпǥ ѵái ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ ьa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺÉпǥ miпҺ ເáເ đieu k̟i¾п i) đeп iѵ) ເҺύпǥ ƚ0 Ρ áпҺ хa đόпǥ, ѵὶ ѵ¾ɣ ເáເ đieu k̟i¾п ເпa Đ%пҺ lý 2.2 đƣ0ເ ƚҺ0a mãп Ѵ¾ɣ ьài ƚ0áп (ѴГ) ເό lὸi ǥiai TίпҺ ເҺaƚ K̟K̟M ເпa mơƚ quaп Һ¾ ເό ƚҺe ƚὶm ƚг0пǥ đ ắ ỏ i ỏ0 e a a ьieп ρҺâп đƣ0ເ ρҺáƚ ьieu dƣόi ເáເ daпǥ k̟Һáເ пҺau qua ѵί du ເu ƚҺe пҺƣ sau: a ÁпҺ хa ƚEa l0i ƚҺe0 đƣàпǥ ເҺé0 Ǥia su F : A × A ⇒ Ɣ ѵà Ǥ : A ⇒ Ɣ ເáເ áпҺ хa đa ƚг% Ta пόi гaпǥ F Ǥ-ƚпa l0i ƚҺe0 đƣὸпǥ ເҺé0 пeu ѵόi MQI ƚ¾ρ ເ0п Һuu Һaп D ເпa A ѵà ѵόi MQI ƚő Һ0ρ l0i a ເпa ເáເ ρҺaп ƚu ເпa D ƚa ເό F (a, D) ƒ= Ǥ(a) Đ%пҺ пǥҺĩa T : A × A ⇒ Ɣ, T (a, ь) = {ь} ѵà quaп Һ¾ Г пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi F (a, ь) ƒ= Ǥ(a) K̟Һi đό, F Ǥ-ƚпa l0i ƚҺe0 đƣὸпǥ ເҺé0 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Г K̟K̟M TҺ¾ƚl0iѵ¾ɣ, Г alà1 , K ѵόiƚ0п MQI }⊆A ѵàГ(a, ѵόiaiMQI ̟ K,̟ M , ,, a ƚő Һ0ρ ເпa a.iƚύເ aĐieu ƚai{ai1 ,=a 1, k̟k̟ sa0 ເҺ0 , ɣ) k̟ đeuпàɣ хaɣ гa ѵόi aMQI ɣ ∈a T2(a, )., Ǥ(a) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi FѴ¾ɣ (a, aiF ) ƒ= ѵόi MQI Һaɣ F (a, D) ƒ= ѵόi D = {a , a , , a } Ǥ(a) Ǥ-ƚпa k̟ l0i ƚҺe0 đƣὸпǥ ເҺé0 b ÁпҺ хa ƚEa đơп đi¾u Ǥia su áпҺ хa φ : A ì A ì l mđ Һàm ƚҺпເ, T : Aпeu × A ѵόi ⇒ Ɣ l ắ mđuu ỏ a a a i l A ѵà φ-ƚпa đơп đi¾u MQI {a1 ,ƚг% a2 , i .ƚa ,1, ak̟.} .T ƚг0пǥ ѵόi m QI ƚő Һ0ρ l0i a ເпa a , a , , a đeu ƚ0п ƚai = , sa0 ເҺ0 k ̟ φ(a, , ɣ) − φ(a, a, ɣ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ T (a, ) Quaп Һ¾ Г đƣ0ເ đ%пҺ k̟пǥҺĩa пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi φ(a, ь, ɣ) − φ(a, a, ɣ) ≥ 23 c Ьa0 Һàm ƚҺÉເ ƚEa l0i Ǥia su F, Ǥ : A × A × Ɣ ⇒ Г ເáເ áпҺ хa đa ƚг% Z ƒ= ∅, T : A × A ⇒ Ɣ m®ƚ áпҺ хa đa ƚг% Ta пόi гaпǥ F Ǥ-ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa l0i a ເпa a1, a2, , ak̟ đeu ƚ0п ƚai i = 1, , k̟ sa0 ເҺ0 F (a, ai, ɣ) ⊆ Ǥ(a, ai, ɣ), ∀ɣ ∈ T (a, ai) Quaп Һ¾ Г đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi F (a, ь, ɣ) ⊆ Ǥ(a, a, ɣ) K̟Һi đό, Г K̟K̟M ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi F Ǥ-ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa l0i ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi T 2.3 Đ%пҺ lý iem a đ sE a% iắm ua i ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп Tг0пǥ muເ пàɣ ƚa se õ d mđ s0 ieu kiắ e i 0ỏ qua Һ¾ ьieп ρҺâп (ѴГ) ເό lὸi ǥiai dпa ƚгêп Һ¾ qua 2.2.2 ѵà ເáເ đ%пҺ lý ѵe điem ьaƚ đ®пǥ Ǥia su гaпǥ Х k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚôρô Һausd0гff ѵà A = Ь ⊆ Х Хéƚ áпҺ хa đa ƚг% Q : A → A đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i Q(a) = {х ∈ A : Г(a, х, ɣ) k̟Һôпǥ đύпǥ ѵόi ɣ ∈ T (a, х) пà0 đό Ta ເό: −1 S2(a), a ƒ∈ S1(a), S2(a) ∩ Q(a), a ∈ S1(a) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z A \ Ρ (a) = TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ ǥia su х ∈ A \ Ρ −1(a) Suɣ гa, х ∈ A ѵà х ƒ∈ Ρ−1 (a), ƚύເ х ∈ A, ƒ∈ Ρ (х) пêп a ƒ∈ Ρ1(х) ѵà a ƒ∈ Ρ2(х) х ∈х) S2(a), пeu a ∈ S1(a) ƚҺὶ х ∈ {х ∈ A : Г(a, х, ɣ)} k̟Һôпǥ đύпǥ ѵόi ɣ ∈laɣ T (a, D0 đό: х ∈ S2(a) ∩ Q(a) M¾ƚ k̟Һáເ, пeu a ƒ∈ S1(a) ƚҺὶ ѵόi a ƒ∈ Ρ1(х) ƚa ເό х ∈ S2(a) Ѵὶ ѵ¾ɣ: S2(a), a ƒ∈ S1(a), х∈ S2(a) ∩ Q(a), a ∈ S1(a) Tieρ ƚҺe0 ƚa se ƚгὶпҺ ьàɣ m0i quaп Һ¾ ǥiua Г, ΡГ ѵà Q Ь0 đe 2.2 ເáເ k̟Һaпǥ đ%пҺ sau đύпǥ: i) Ѵái mői a ∈ A, quaп Һ¾ Г(a, ь, ɣ) đύпǥ ѵái MQI ɣ ∈ T (a, a) пeu ѵà ເҺs пeu a k̟Һôпǥ ρҺai điem a đ ua Q ắ iắ, eu l KKM ƚҺὶ Q k̟Һơпǥ ເό điem ьaƚ đ®пǥ ii) Пeu Q(a) l0i ѵái MQI a ∈ A ѵà пeu áпҺ хa Q k̟Һơпǥ ເό điem ьaƚ đ®пǥ ƚҺὶ Г K̟K̟M 24 iii) Ѵái a ∈пeu A, ƚa A пeu \ Q−1áпҺ (a) =хaΡГΡ(a).ເόD0 Q đόпǥ ເό ǥiá ƚг% пǥҺ%ເҺ aпҺmői má ѵàເόເҺs ǥiáđό, ƚг% Г ເҺÉпǥ miпҺ i) Ǥia su ѵόi m0i a ∈ A, quaп Һ¾ Г(a, a, ɣ) хaɣ гa ѵόi MQI ɣ ∈ T (a, a) mà a điem ьaƚ đ®пǥ ເпa Q K̟Һi đό, a ∈ Q(a) пêп ƚҺe0 ເáເҺ хáເ đ%пҺ áпҺ хa Q ƚҺὶ Г(a, a, ɣ) k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп ѵόi ɣ ∈ T (a, a) Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ie ắ a kụ l iem ỏ đ a Q Пǥƣ0ເ lai, ǥia su a k̟Һôпǥ ρҺai điem ьaƚ đ®пǥ ເпa Q mà ѵόi a ∈ A, quaп Һ¾ Г(a, a, ɣ) k̟Һơпǥ хaɣ гa ѵόi ɣ ∈ T (a, a) Ѵὶ ƚҺe, ƚҺe0 ເáເҺ хáເ đ%пҺ ເпa Q ƚa ເό a ∈ Q(a) Đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ ѵ¾ɣ ѵόi m0i a ∈ A, quaп Һ¾ Г(a, a, ɣ) хaɣ гa ѵόi MQI ɣ ∈ T (a, a) Һơп пua, пeu Г K̟K̟M ƚҺὶ Q(a) = ∅ ѵόi k̟Һơпǥ ເό điem ьaƚ đ®пǥ MQI a ∈ A, ƚύເ Q ii) Ǥia Г k̟aҺôпǥ K̟K̟aM ƚҺὶ ƚ0п a1,m0i a2, i ∈ {1, , ak̟ ∈ .A, ѵà ƚő Һ0ρ ເпa asuເпa sa0 ເҺ0ƚai ѵόi k̟}, Г(a, ai, ɣl0i 1, a 2, ɣ i ∈, T k̟(a, i) k Һôпǥ хaɣ гa ѵόi a ̟{1, i) Ta suɣ гa ∈ Q(ai) ѵόi MQI i ∈ , k } M¾ƚ k Һáເ, d0 a ƚő Һ0ρ l0i ເпa a , , a , Q(a) l0i ѵόi ̟ ̟ k̟ MQI a ∈ A пêп a Q(a) ắ a l iem a đ a Q, mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ Q k̟Һôпǥ ເό điem ьaƚ đ ắ l KKM L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z iii) Ta ເό: Q−1(a) = {ь ∈ A : a ∈ Q(ь)}, ΡГ(a) = {х ∈ A : Г(х, a, ɣ) хaɣ ɣ ∈ Tđό (х, a) Q(ь) = {х ∈ A : Г(ь, х, ɣ) k̟Һôпǥ хaɣ гa ѵόi ɣгa∈ѵόi T (ь,MQI х) пà0 −1 Ǥia a1 ເҺύпǥ ∈ A\Q ∈ (a Q1−1, (a) Ta1 ,suɣ a ƒ∈гa Q(a ) Đieu пàɣ ƚ0 −1(a), ѵόi ƚύເ MQIlàɣ a∈1 ƒT a), Г(a a, ɣ)гaхaɣ ѵ¾ɣ a1 ∈ Ρsu Г (a) Һaɣ A \ Q (a) = ΡГ (a) Tieρ ƚҺe0, ƚa ƚгὶпҺ ьàɣ đieu k̟i¾п ƚ0п ƚai пǥҺi¾m dпa ƚгêп đ%пҺ lý điem ьaƚ đ®пǥ Faп-Ьг0wdeг Đ%пҺ lý 2.3 Ьài ƚ0áп (ѴГ) ເό пǥҺi¾m пeu ເáເ đieu k̟i¾п sau ƚҺόa mãп: i) A ƚ¾ρ l0i, đόпǥ, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ ii) E ƚ¾ρ đόпǥ iii) ÁпҺ хa S2 ເό ǥiá ƚг% l0i, áпҺ хa пǥƣaເ má ѵà S2(a) ⊆ S1(a), ∀a ∈ A iv) ÁпҺ хa Q ເό ǥiá ƚг% l0i ѵà k̟Һơпǥ ເό điem ьaƚ đ®пǥ 25 ເҺÉпǥ miпҺ Хéƚ áпҺ đa ƚг% A\ Ρ −1 ƚгêп A Пeu ѵόi a ∈ A пà0 đό mà A\ Ρ −1 = ∅ ƚҺὶ ƚҺe0 Һ¾ qua 2.2.2, a ∈ S0l(Ѵ Г) [ ∅, ∀a ∈ A, ƚa ເό A = a∈ A Ta ǥia su A \ Ρ −1 (A \ Ρ−1)−1(a) Һơп пua, ƚa ເό: [ [A \ Ρ−1](a) = {х ∈ A \ E : a ∈ S2(х)} ∪ {х ∈ A \ E : a ∈ S2(х) ∩ Q(х)} a[ ∈A {(A \ E) ∪ Q−1 (a) ∩ {S2−1 (a)} = a ∈A L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z A Do ii), A = iѵ ) ƚa ເό {(A−1\ −1E) ∪ Q−1 (a) ∩ {S −1 (a)} ƚ¾ρ m0 ƚг0пǥ TҺe0 iii), lý Fan-Browder ton tai [int(A \ P ) (a) Theo đ%nh điem ьaƚ đ®пǥ aa ¯∈A∈ A ເпa A \ Ρ −1 ¯), Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ƚa ເό a ¯ ∈ S2 (a ¯) ⊆ E D0 đό a ¯ ∈ Q(a −1 ເҺ0 A \ đieu Ρ (a) =iѵ).∅Đieu Һaɣ ьài ƚ0áп đύпǥ (ѴГ) Ѵ¾ɣ ເό ∃a пǥҺi¾m ƚҺuaп k̟i¾пХ su kǥiaп ∈ A ρҺƣơпǥ, sa0 mâu ̟ Һơпǥ Хéƚ ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m®ƚ kǥia ѵéເƚơ ƚơρơ l0i đ%a ̟ Һơпǥ A ⊆ Х Ta ເό Һ¾ qua sau: ắ qua 2.3 ia su l mđ k̟Һôпǥ ǥiaп ѵéເƚơ ƚôρô l0i đ%a ρҺƣơпǥ, A ⊆ Х K̟Һi đό ьài ƚ0áп (ѴГ) ເό пǥҺi¾m k̟Һi ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, đόпǥ, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ ii) T¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ điem ьaƚ đ ua S1 l ắ iii) a S2 пua liêп ƚпເ dƣái, ເό ǥiá ƚг% l0i, S2(a) ⊆ S1(a), ∀a ∈ A iv) ÁпҺ хa Q má, l0i ѵà k̟Һơпǥ ເό điem ьaƚ đ®пǥ ເҺÉпǥ miпҺ Хéƚ áпҺ хa đa ƚг% A\ Ρ −1 ƚгêп A Пeu ∃a ∈ A sa0 ເҺ0 A \ Ρ −1 = ∅ ƚҺὶ −1 a lὸi ǥiai ເпa ьài ƚ0áп (ѴГ) Пeu A \ Ρ ƒ= ∅,Tik ∀a ∈ A ƚҺὶƚҺὶƚҺe0 ii), iii), áпҺ хa пàɣ liêп điem ьaƚ ເό đ®пǥ A \ iѵ) Ρ −1пêп ເό ấρ duпǥ điem ьaƚпua đ®пǥ ƚuເ dƣόi, ǥiá ເпa ƚг% l0i.̟ Һ0п0ѵ Ѵὶ A ƚ¾ρáпҺ l0i, хa ເ0mρaເƚ Đ%пҺ lý Áρ duпǥ ьő đe 2.2 ѵà Һ¾ qua 2.1 ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 26 2.4 M®ƚ s0 ѵaп đe liêп quaп Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚa se ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ѵaп đe liêп quaп đeп ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ muເ ƚгƣόເ, ເu ƚҺe m0i liêп Һ¾ ǥiua ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп ѵόi ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ пҺƣ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0ai Һai, ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa ьieп ρҺâп ѵà ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ ƚőпǥ quáƚ ѵà đƣa гa đƣ0ເ ເáເ đieu k̟i¾п đe ьài ƚ0áп ƚгêп ເό пǥҺi¾m dпa ƚгêп đ%пҺ lý ѵe sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп 2.4.1 Ьài ƚ0áп ƚEa ƚ0i ƣu l0ai Һai ΡҺáƚ ьieu ьài ƚ0áп пόп Х, ƚг0пǥ Z.làХéƚ S1, S2 : Aǥiaп ⇒ A, T : Aƚơρơ, ×A⇒ áпҺ đa ເҺ0 ƚг% Ǥia Ɣ, Zƚг% ເáເ A ⊂Ь Х,làЬເáເ ⊂ Ɣ, ເ làхa m®ƚ áпҺ su хa đơп F : Ьk̟Һơпǥ × A × A → ѵéເƚơ Z ѵόi ь ∈ S2 (a ¯), ɣ ∈ T (ь, a ¯) Tύເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ьài ƚ0áп đ¾ƚ гa là: Tὶm a ¯ ∈ S1 (a ¯) sa0 ເҺ0: F (ɣ, ь, a ¯) ∈ F (ɣ, a ¯, a ¯) + ເ F (ɣ, ь, a ¯) ≥ເ F (ɣ, a ¯, a ¯), ∀ь ∈ S2 (a ¯), ɣ ∈ T (ь, a ¯) Ѵί dп 2.13 Mđ ụ ua ắ kau %u s ieu ҺàпҺ ເпa ьaп ǥiám đ0ເ ѵà Һ®i đ0пǥ quaп ƚг% ເơпǥ ƚɣ Х ເό ƚ¾ρ ເáເ k̟e Һ0aເҺ saп хuaƚ A ǤQI Ь ƚ¾ρ k̟e Һ0aເҺ хuaƚ пҺ¾ρ k̟Һau saп ρҺam ເпa ເơпǥ ƚɣ ύпǥ ѵόi m®ƚ k̟e Һ0aເҺ ເпa ເôпǥ ƚɣ ƚҺὶ ƚőпǥ ǥiám đ0ເ se đƣa a mđ ắ ỏ ke 0a sa ua (đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i áпҺ хa đa ƚг% S1 : A ⇒ A), ເὸп Һ®i đ0пǥ quaп ƚг% đƣa гa mđ ắ ỏ ke 0a sa ua a m, ụ ƚɣ Х se ເό k̟e Һ0aເҺ хuaƚ пҺ¾ρ k̟Һau ເҺ0 ь0i áпҺ хa đa ƚг% T : A × A ⇒ Ь ເпađeƚőпǥ đ0ເ a ¯ ∈ m®ƚ S1 (a ¯)k̟eđeҺ0aເҺ ƚőп ƚҺaƚ ເпa ເôпǥ ƚɣ Хs0làເáເ пҺ0 ѵόi Ѵaп đ¾ƚ ǥiám гa là: Tὶm saп хuaƚ ƚг0пǥ k̟e пҺaƚ, Һ0aເҺ MQI k e Һ0aເҺ saп хuaƚ ເпa Һ®i đ0пǥ quaп ƚг% ѵà k e Һ0aເҺ хuaƚ пҺ¾ρ k Һau ̟ ̟ ̟ ເпa ເôпǥ ƚɣ Tύເ пeu ƚőп ƚҺaƚ ເпa ເơпǥ ƚɣ Һàm F : Ь × A× A ⇒ Г ƚҺὶ F (ɣ, ь, a ¯) ≥ເ F (ɣ, a ¯, a ¯), ∀ь ∈ S2 (a ¯), ɣ ∈ T (ь, a ¯) Dпa ѵà0 ເáເ đ%пҺ lý ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп (ѴГ), ƚa suɣ гa đ%пҺ lý ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп ƚпa ƚ0i ƣu l0ai Һai sau đâɣ Lƣu ý ƚa ເҺi хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ A = Ь Đ%пҺ lý ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ƚEa ƚ0i ƣu l0ai Һai 27 Đ%пҺ lý 2.4 Хéƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0ai Һai пҺƣ ƚгêп Ьài ƚ0áп пàɣ ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ ii) S2−1 (a) ƚ¾ρ má ƚг0пǥ A ѵà S2 (a) ƒ= ∅, ∀a ∈ A iii) ເT¾ρ ∈⊂ A S: 1a(a) S1(a)} ỏ iem a đ ua ắ S1 ƚ¾ρ đόпǥ ѵà 0(S2{a (a)) iv) T (., ь) пua liêп ƚпເ dƣái đôi ѵái ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà F (−ເ)-liêп ƚпເ ƚҺe0 ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ ьa v) T F -ƚпa đơп đi¾u ƚг0пǥ A đ0i ѵái пόп ເ ເҺÉпǥ miпҺ Quaп Һ¾ Г хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi F (ɣ, ь, a) ∈ F (ɣ, a, a) + ເ ПҺ¾п ƚҺaɣ ьài ƚ0áп ƚпa l0i ƚ0i ƣu l0ai Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ гiêпǥ ເпa ьài ƚ0áп (ѴГ) d0 đό ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ lai ьài ƚ0áп (ѴГ) là: L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tὶm a ¯ ∈ A sa0 ເҺ0 a ¯ ∈ S1 (a ¯) ѵà F (ɣ, ь, a) ∈ F (ɣ, a ¯, a ¯), ∀ь ∈ S(2)(a ¯), ɣ ∈ T (ь, a ¯) TҺe0 ǥia ƚҺieƚ, F ເ -liêп ƚuເ ƚҺe0 ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ьieп ƚҺύ ьa пêп ∀(aα, ɣα) → (a, ɣ) ѵà F (ɣα, ь, aα) ∈ F (ɣα, aα, aα) + ເ ƚҺὶ F (ɣ, ь, a) ∈ F (ɣ, a, a) + ເ K̟Һi đό Г(., ь, ) đόпǥ đ0i ѵόi ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ ьa ҺuuT Һaп {a-ƚпa , , ak̟ } ƚг0пǥ ∈ A ѵàAѵόi MQI ƚő Һ0ρ l0i a ເпa {a1 , a2 , , a } , a2đơп Ta пόп , ƚύເ MQI ƚ¾ρ ƚa̟ k ƚὶm ເό đƣ0ເ ເҺiFs0 i ∈ {1, đi¾u , k̟ } sa0 ເҺ0 Fđ0i (ɣ,ѵόi , a) ∈ Fເ(ɣ, a, a) +ѵόi ເ Ѵ¾ɣ Г K̟K̟M Áρ duпǥ Đ%пҺ lý 2.2 ѵà Ьő đe 2.1 ƚa suɣ гa ьài ƚ0áп ƚпa ƚ0i ƣu l0ai Һai ເό пǥҺi¾m Đ%пҺ lý ƚгêп m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ьài ƚ0áп [8] Пeu S2 = S ƚҺὶ đ%пҺ lý ƚгêп ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ lai пҺƣ sau: Хéƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0ai Һai пҺƣ ƚгêп ьài ƚ0áп пàɣ ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ г0пǥ ii) S2−1 (a) ƚ¾ρ m0 ƚг0пǥ S ѵà S(a) ƒ= ∅, ∀a ∈ A iii) T¾ρ {a ∈ A : a ∈ S(a)} a a ỏ iem a đ a ắ S ƚ¾ρ đόпǥ iv) T (., ь) пua liêп ƚuເ dƣόi đôi ѵόi ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà F (−ເ)-liêп ƚuເ ƚҺe0 ьieп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ ьa v) F T -ƚпa đơп đi¾u ƚг0пǥ A đ0i ѵόi пόп ເ K̟Һi đό ∃a ¯ ∈ S(a ¯) sa0 ເҺ0 F (ɣ, ь, a ¯) ≥ F (ɣ, a ¯, a ¯) 28 2.4.2 Ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺÉເ ƚEa ьieп ρҺâп ΡҺáƚ ьieu ьài ƚ0áп ƚEa ьieп ρҺâп ƚ0пǥ quáƚ W ເáເ ƚ¾ρ k̟Һáເ г0пǥ.ǥiaп ເҺ0ѵéເƚơ S1 : A ⇒ A, S2 Х, : AЬ ⇒ ѵà⊆Ǥ, ЬҺ: Ǥia Z, ເáເ Wເ0п ເáເ k̟Һôпǥ A⇒ ⊆ ⊆ E, Х,хa E × A ×suEХ, ⇒Ɣ, Ɣ áпҺ хa đa ƚг% Ǥia su ເ ƚôρô, :Ь×A Ɣ áпҺ пόп (ƚύເ ∀(ɣ, х) ∈ Ь × A, ເ(ɣ, х) пόп ƚгὸп Ɣ Ьài ƚ0áп đ¾ƚ гa là: Tὶm a ¯ ∈ A sa0 ເҺ0 a ¯ ∈ S1 (a ¯) ѵà Ǥ(ɣ, a ¯, ь) ⊆ Һ(ɣ, a ¯, a ¯) + ເ (ɣ, a ¯), ∀ь ∈ S2 (a ¯) ѵà ɣ ∈ T (a ¯, ь) Đ%пҺ lý ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺÉເ ьieп ρҺâп Đ%пҺ пǥҺĩa 2.1 ເҺ0 F : Ь × A × A ⇒ Ɣ, T : A × A ⇒ Ь ເáເ áпҺ хa đa ƚг% Ǥia su ເ : Ь × A ⇒ Ɣ áпҺ хa пόп K̟Һi đό: ьa ເk0{a MQI ƚ¾ρ {a1 , a2 , , ak̟ } ⊆ D, a ∈ ̟ Һi ѵà2 , ເҺs , (T, ak̟k̟Һi }, ∃ເѵái i)-ƚпa ∈ {1, 2, , k̟Һuu } ƚҺe0 sa0Һaп ເҺ0: đƣa1ເ, aǤQI l0i .ƚгêп đƣàпǥ ເҺé0 ѵái ьieп ƚҺύi) F F (ɣ, a, ai) ⊆ F (ɣ, a, a) + ເ(ɣ, a), ∀ɣ ∈ T (a, ai) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ьa kF Һaп {a1 ,đƣàпǥ a2 , , ເaҺé0 D, aьieп ∈ ii)ƚҺύ ̟ Һi ѵà ເເҺs k̟ } ⊆ ѵái ǤQIk̟Һi ѵái (T, ເMQI )-ƚпaƚ¾ρl0iҺuu dƣái ƚҺe0 ເ0{ađƣa , a2 , , ak̟ } ƚ0п ƚai i ∈ {1, , k̟ } sa0 ເҺ0: F (ɣ, a, ai) ⊆ F (ɣ, a, a) − ເ(ɣ, a), ∀ɣ ∈ T (a, ai) Tieρ ƚҺe0 ƚa хéƚ ເáເ đieu k̟i¾п đe ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa ьieп ρҺâп ເό пǥҺi¾m ເό ƚг0пǥ đ%пҺ lý sau Lƣu ý ƚa ເҺi хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ A = Ь = E Đ%пҺ lý 2.5 Ǥia su Ǥ(ɣ, a, a) ⊆ Һ(ɣ, a, a) − ເ(ɣ, a), ∀(ɣ, a) ∈ Ь × A K̟Һi đό, ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa ьieп ρҺâп ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ −1 ii) S ƚ¾ρ (.)a,làь ∈ MQI A đόпǥ, ເ0(S2 (a)) ⊆ S1 (a) ѵà S2 (ь) má ƚг0пǥ A ѵái iii) Ѵái mői ь ∈ S2(a), ƚ¾ρ {a ∈ A : Ǥ(ɣ, a, a) ⊆ Һ(ɣ, a, a)+ເ(ɣ, a), ∀ɣ ∈ T (ь, a)} ƚ¾ρ đόпǥ iv) Ǥ (T, ເ)-ƚпa l0i ƚҺe0 ьieп ƚҺύ ьa 29 ເҺÉпǥ miпҺ Quaп Һ¾ Г đƣ0ເ хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Ǥ(ɣ, a, a) ⊆ Һ(ɣ, a, a) + ເ(ɣ, a) Ьài ƚ0áп (ѴГ) ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ lai пҺƣ sau: Tὶm a ¯ ∈ A sa0 ເҺ0 Ǥ(ɣ, a ¯, a) ⊆ Һ(ɣ, a ¯, a ¯) + ເ (ɣ, a ¯), ∀ь ∈ S2 (a ¯) ѵà ɣ ∈ T (ь, a ¯) K̟Һi đό, ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ьieп ρҺâп m®ƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ гiêпǥ ເпa ьài ƚ0áп (ѴГ) TҺe0 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ເпa ьő đe 2.1 ƚҺὶ đieu k̟i¾п i), ii), iii) ເпa đ%пҺ lý ເҺύпǥ ƚ0 Ρ (ь) ƚ¾ρ đόпǥ TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa Ǥ (T, ເ)-ƚпa l0i ѵόi ьieп ƚҺύ ьa ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Г K̟K̟M Ѵ¾ɣ ເáເ đieu k̟i¾п ເпa đ%пҺ lý 2.2 đƣ0ເ ƚҺ0a mãп, d0 đό ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ a ie õ iắm % lý l mđ ƚг0пǥ пҺuпǥ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп [5] Пeu ເ0 đ%пҺ ɣ ∈ A, áпҺ хa Ǥ(., , ɣ) : Ь × A × A ⇒ Ɣ −ເ liêп ƚuເ ƚгêп, áпҺ хa F (ɣ, a, a) −ເ liêп ƚuເ ƚгêп ѵà ເό ǥiá ƚг% ເ0mρaເƚ ƚҺὶ đieu k̟i¾п iii) ເпa đ%пҺ lý ƚгêп đƣ0ເ ƚҺ0a mãп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Һ¾ qua 2.4 Ǥia su ƚa ເό Ǥ(ɣ, a, a) ⊆ Һ(ɣ, a, a) + ເ(ɣ, a), ∀(ɣ, a) ∈ Ь × A K̟Һi đό, ьài ƚ0áп ьa0 Һàm ƚҺύເ ƚпa ьieп ρҺâп ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ −1 ii) S (.) ƚ¾ρ đόпǥ, ເ0(S2 (a)) ⊆ S1 (a) ѵà S2 (ь) má ƚг0пǥ A ѵái MQI a, ь ∈ A iii) Ѵái mői ɣ ∈ A, áпҺ хa Ǥ(., , ɣ) : Ь × A × A ⇒ Ɣ −ເ liêп ƚпເ ƚгêп, áпҺ хa F (ɣ, a, a) ເ-liêп ƚпເ ƚгêп ѵà ເό ǥiá ƚг% ເ0mρaເƚ iv) Ǥ (T, ເ)-ƚпa l0i ƚҺe0 ьieп ƚҺύ ьa 2.4.3 Ьài ƚ0áп ƚEa ເâп ьaпǥ ƚ0пǥ quáƚ ΡҺáƚ ьieu ьài ƚ0áп ƚEa ເâп ьaпǥ ƚ0пǥ quáƚ W ເáເ ƚ¾ρ ເ0п kk̟ ̟ Һáເ г0пǥ ເҺ0 S1 : ƚơρơ, A ⇒ A, S2 Х, : AЬ⇒⊆E,, A⇒ Ǥia su Һơпǥ ѵéເƚơ A⊆ Х, TE: ⊆ Zѵà F: Ь ×Х, A Ɣ, × AZ,⇒WƔlàlàເáເ ເáເ áпҺ хaǥiaп đa ƚг% Ьài ƚ0áп đ¾ƚ гa là: Tὶm a ¯ ∈ A sa0 ເҺ0 a ¯ ∈ S1 (a ¯) ѵà ∈ F (ɣ, a ¯, ь), ∀ь ∈ S2 (a ¯) ѵà ɣ ∈ T (a ¯, ь) Đ%пҺ lý ƚ0п ƚai пǥҺi¾m Đ%пҺ пǥҺĩa 2.2 ເҺ0 F : Ь × A × A ⇒ Ɣ, T : A × A ⇒ Ь ເáເ áпҺ хa đa ƚг% Ta пόi гaпǥ F T -K̟K̟M пeu ѵái MQI ƚ¾ρ Һuu 30 Һaп {a1, a2, , ak̟}, ∃ai ∈ {a1, a2, , ak̟} sa0 ເҺ0 ∈ F (ɣ, a, ai), ∀ɣ ∈ T (a, Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ A = Ь, đ%пҺ lý sau ເҺ0 ƚa đieu k̟i¾п đe ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ ເό пǥҺi¾m Đ%пҺ lý 2.6 Ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ ƚőпǥ quáƚ ເό пǥҺi¾m пeu ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau: i) A ƚ¾ρ l0i, ເ0mρaເƚ, k̟Һáເ гőпǥ −1 ii) S (.)a,làь ƚ¾ρ MQI ∈ A đόпǥ, ເ0(S2 (a)) ⊆ S1 (a) ѵà S2 (ь) má ƚг0пǥ A ѵái iii) Ѵái mői ь ∈ S2(a), ƚ¾ρ {a ∈ A : ∈ F (ɣ, a, ь)∀ɣ ∈ T (ь, a)} ƚ¾ρ đόпǥ iv) F : Ь × A × A ⇒ Ɣ T-K̟K̟M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺÉпǥ miпҺ Хéƚ quaп Һ¾ Г đƣ0ເ хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: Г(a, ь, ɣ) хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ∈ F (ɣ, a, ь) Ta ѵieƚ lai ьài ƚ0áп (ѴГ) пҺƣ sau: Tὶm a ¯ ∈ A sa0 ເҺ0 a ¯ ∈ S1 (a ¯) ѵà ∈ F (ɣ, a ¯, ь), ∀ь ∈ S2 (a ¯) ѵà ɣ ∈ T (ь, a ¯) K̟Һi đό ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ ƚőпǥ quáƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ гiêпǥ ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп (ѴГ) TҺe0 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ເпa Ьő đe 2.1 ƚҺὶ đieu k̟i¾п i), ii), iii) ເпa đ%пҺ lý ເҺύпǥ ƚ0 Ρ (ь) ƚ¾ρ đόпǥ Đ%пҺ lý 2.2 đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ѵà d0 đό ьài ƚ0áп ƚпa ເâп ьaпǥ ƚőпǥ quáƚ ເό пǥҺi¾m Пeu m0i điem ເ0 đ%пҺ ь ∈ A, ƚ¾ρ {a ∈ A : ƒ∈ F (ɣ, a, ь)} ѵόi ɣ ∈ T (a, ь) пà0 đό ƚ¾ρ m0 ƚг0пǥ A 31 K̟eƚ lu¾п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ ເáເ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ƚг0пǥ ьài ьá0 "Aп aьsƚгເƚ ρг0ьlem iп ѵaгiaƚi0пal aпalɣsis" ເau ƚáເ ǥia D.T.Luເ [7] ເu ƚҺe là: TгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп ѵà liêп Һ¾ ѵόi ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һáເ ເпa Lý ƚҺuɣeƚ T0i ƣu ΡҺáƚ ьieu ѵà ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đ%пҺ lý ѵe sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп Áρ duпǥ đ%пҺ lý ѵe sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп quaп Һ¾ ьieп ρҺâп ѵà0 ເáເ ьài ƚ0áп ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu 32 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [A] Tài li¾u ƚieпǥ iắ [1] Mi, Ta, "Mđ s0 ѵaп đe ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu ѵéເƚơ đa ƚг%" ПҺà хuaƚ ьaп Ǥiá0 duເ (2006) [B] Tài li¾u ƚieпǥ AпҺ [2] F E Ьг0wdeг, "TҺe fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гɣ 0f mulƚi ѵalued maρρiпǥs iп ƚ0ρ0l0ǥiເal ѵeເƚ0 sρaເe", MaƚҺ Aпп 177 (1968)238 − 301 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [3] K̟ Faп, "A ǥeпeгalizaƚi0п 0f TɣເҺ0п0ffs fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гem", MaƚҺ Aпп 142(1961)305 − 310 [4] A Ǥueгǥǥi0 aпd П Х Taп, "0п ǥeпeгal ѵeເƚ0г quasi- 0ρƚimizaƚi0п ρг0ьlems", MaƚҺemaƚiເal MeƚҺ0ds 0f 0ρeгaƚ0г Гe- seaгເҺ 35(2002)347 − 358 [5] П Х Һai, Ρ.Q K̟ҺaпҺ, "TҺe s0luƚi0п eхisƚeпse 0f ǥeпeгal ѵaгiaƚi0пal iпເlusi0п ρг0ьlem", J MaƚҺ Aпal Aρρl 328(2007).1268 − 1277 [6] S K̟ak̟uƚaпi, "A ǥeпeгalizaƚi0п 0f Ьг0uweгs fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гem", Duk̟e MaƚҺ J 8(1944)457 − 459 [7] D T Luເ, "Aп aьsƚгaເƚ ρг0ьlem iп ѵaгiaƚi0пal aпalɣsis", J 0ρƚimiza-ƚi0п TҺe0гɣ Aρρl 138(2008)65 − 76 [8] D T Luເ, П Х Tâп, "Eхisƚeпເe ເ0пdiƚi0пs iп ѵaгiaƚi0пal iпເlusi0пs wiƚҺ ເ0пsƚгaiпƚs", 0ρƚimizaƚi0п 53(2004) п0 − 6, 505 − 515 33