Phần 1 hệ tọa độ trong không gian + pt mặt cầu

TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Trong khơng gian cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đôi O Gọi   i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz     2 2 2 Chú ý: i  j k 1 i j i.k  k j 0 Tọa Độ Của Vectơ:      u  x ; y ; z  u  xi  y j  zk   a) Định nghĩa:   a  ( a ; a ; a ), b (b1 ; b2 ; b3 ), k  R b) Tính chất: Cho   a  b  (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 )  ka  (ka1; ka2 ; ka3 )  a1 b1    a b  a2 b2 a b  3       (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k (0;0;1)        b ( b  0) a  a phương  kb (k  R )  a  b a1.b1  a2 b2  a3 b3 2 2 a a1  a2  a3  T TOÁN 12 a1 kb1 a a a   a2 kb2    , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 a kb    a   b  a1b1  a2b2  a3b3 0   a  a12  a22  a22 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC  ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  a1b1  a2b2  a3b3 a.b   cos(a , b )     a b a1  a22  a32 b12  b22  b32    a (với với , b 0 ) Tọa Độ Của Điểm: uuur r r r M  x; y; z   OM  xi  y j  zk a) Định nghĩa: Chú ý: M  Ox  M  x;0;0   M  Oy  M  0; y;0   M  Oz  M  0;0; z   Hình chiếu vng góc lên trục tọa độ  Tìm tọa độ hình chiếu vng góc (với x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) M (x ; y ; z )   M   Oyz   M  0; y; z   M   Oxz   M  x;0; z  M (x ; y ; z ) 0 điểm mặt phẳng tọa độ  Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  Oxy  M ( x0 ; y0 ;0)  Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  Oyz  M  0; y0 ; z0   Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  Oxz  M  x0 ;0; z0  M ( x ;0;0) trục Ox  Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) trục Oy M  0; y0 ;0   Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) trục Oz M  0;0; z0  b) Tính chất: Cho M   Oxy   M  x; y;0  Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng tọa độ  Tìm tọa độ hình chiếu vng góc 0 điểm trục tọa độ  Hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; y B ; z B  uuu r AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A   AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A   x x y y z z  M A B; A B; A B 2   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB :   x x x y y y z z z  G A B C ; A B C ; A B C  3   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :   Toạ độ trọng tâm I tứ diện ABCD :  x  x  x  x y  y  y  y D z A  z B  zC  z D  I A B C D ; A B C ;  4   Tích Vơ Hướng – Có Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng: a) Định nghĩa:   a (a , a , a ) b (b1, b2 , b3 ) , *Tích vơ hướng: Cho  định công thức: a.b a1b1  a2b2  a3b3 tích vơ hướng hai vectơ xác   a (a1 , a2 , a3 ) b (b1, b2 , b3 ) *Tích có hướng: Cho hai vectơ: , vectơ:  a a a a a a  n   ; ;   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b b   b3 b1 b1 b2   T TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC    ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023    n  a, b    Kí hiệu: n a  b gọi tích có hướng hai vectơ a , b Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất:    i , j  k ;     j , k  i ;    k ,i   j     [a, b]  a b sin  a, b   c) Ứng dụng tích có hướng:       [a, b]  b  [a, b]  a;      a , b  [ a , b]   phương       [ a a , b c  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: đồng phẳng  , b].c 0 uuur uuur SY ABCD   AB, AD     Diện tích hình bình hành ABCD:  Diện tích tam giác ABC:  Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:  Thể tích tứ diện ABCD: r uuu r uuu SABC   AB, AC   2 uuu r uuu r uuur VABCD ABC D   AB, AD  AA   r uuu r uuu r uuu VABCD   AB, AC  AD   Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương  B BÀI TẬP MẪU T TOÁN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ  Phương pháp giải  Dựa vào định nghĩa tọa độ điểm, tọa độ vectơ  Dựa vào phép toán vectơ  Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết tọa độ vectơ sau đây:    a  2i  j     d 3i  j  5k   c  k    b 7i  8k  Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho  c  1;7;2  Tìm toạ độ vectơ u với:   1  u 4a  b  3c a) b)  2  u  4b  c c)     u a  4b  2c  1 4  u  a  b  2c e)     u 3a  b  5c   a  2;  5;3 , b  0;2;  1 ,   3 2 u a  b  c f) d)   Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ     AO 3 i  j  2k  j   Tìm tọa độ điểm A ?    a  1; 2; , b  0;  1;3 , c  1;2;        Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho     Tính tọa độ vectơ d a  3b  2c M  1;2;3  Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M : a) Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz M  3;  1;   Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Cho điểm Tìm tọa độ T TOÁN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 điểm M  đối xứng với điểm M : a) Qua gốc tọa độ  Oxy  b) Qua mặt phẳng c) Qua trục Oy A  3;  4;  1 , B  1;0;  3 , C   3;5;   Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM A 1;  2;0  B  3;0;4  Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   Tọa độ  véctơ AB A  4;  2;   B   4;2;4  C   1;  1;2 D   2;  2;4  A  1;2;3 B  5; 2;  Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Khi đó:  A Câu 3: AB  61  B AB 3 C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm  AB 5  D AB 2    OM  j  k Tọa M thỏa mãn hệ thức độ điểm M là: A M  0;2;1 B M  1;2;0  C M  2;1;0  Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm MN , biết M  1;  4;7  Tìm tọa độ điểm N A N   11; 4;3 B N   11;  4;3 C D I   5;0;5  N   2;  2;6  M  2;0;1 trung điểm đoạn D N   10; 4;3 A  1;3;5 , B  2;0;1 , C  0;9;0  Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm Tìm trọng tâm G tam giác ABC T TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC G  1;5;  G  1;0;5  A B ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 G  1; 4;  G  3;12;6  C D A   1; 2;3 , B  2; 4;  Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có G  0;2;1 tọa độ trọng tâm Khi đó, tọa độ điểm C là: A C   1;0;   B C  1;0;2  C C   1;  4;  D C  1; 4;4  D M  1; 0;  Câu 7: Trong không gian Oxyz , điểm sau thuộc trục Oy ? A M  0; 0; 3 B M  0;  2;  C M   1; 0;   Oxy  ? Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau thuộc mặt phẳng A N  1; 0;  B P  0;1;2  C Q  0; 0;  D M  1; 2;0  M  3;  1;  Câu 9: Trong không gian Oxyz , điểm N đối xứng với qua trục Oy A N  3;1;  B N   3;  1;   C N  3;  1;   D N   3;1;   A  1;2;3 A Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm Tìm tọa độ điểm hình chiếu vng  Oyz  góc A lên mặt phẳng A  1;0;  A  0; 2;3 A  1;0;3 A  1; 2;0  A B C D A  3;  2;5  Câu 11: Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng tọa độ  Oxz  A M  3;0;5  B M  3;  2;0  C M  0;  2;5  D M  0;2;5 A  1;  4;   Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm Tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Oxz  1;  4;5   1; 4;5  1; 4;5  1; 4;  5 A B C D Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Tìm tọa độ điểm M trục Ox cách A  1;2;  1 B  2;1;2  hai điểm điểm 1  M  ;0;0   A  3  M  ;0;0   B  2  M  ;0;0   C  1  M  ;0;0   D  Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy cách hai điểm A(3; 4;1) B (1; 2;1) A M (0;5;0) B M (0;  5; 0) C M (0; 4; 0) Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho C  4;1;  1 T TOÁN 12 Trên mặt phẳng D M (5;0; 0)     OA 2i  j  2k , B   2; 2;0   Oxz  , điểm cách ba điểm A, B, C TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 1  1  1 1 3 3 3 3 M  ; 0;  N  ; 0;  P  ; 0;  Q  ; 0;  2   2 A  B  C  D       a  1; 2;  3 b   2; 2;0  Oxyz Câu 16: Trong không gian , cho ; Tọa độ vectơ c 2a  3b là:    c  4;  1;  3 c  8;  2;   c  2;1;3 A B C D  c  4;  2;      a  1;2;3 b   2; 4;1 c   1;3;4  Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho vectơ ; ; Vectơ     v 2a  3b  5c có tọa độ   v  23; 7;3  v  7; 23;3 A B C  v  3;7; 23 D  v  7;3; 23 A  3; 4;5  B   1;0;1 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm , Tìm tọa độ    điểm M thõa mãn MA  MB 0 A M  2;4;6  B C M  1;2;3 D M  4;4;4  M   4;  4;   Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , vectơ đơn vị trục Ox , Oy , Oz    M  2;  1; 1 i , j , k , cho điểm Khẳng định sau  đúng?      OM 2i  j  k A     OM  k  j  2i C   B OM i  j  2k     OM  2k  j  i D Câu 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm trung điểm MN Mệnh đề sau đúng?     A OI 2i  j  2k     OI  2i  j  k C M  1;  2;3 N  3;0;  1 , điểm I     B OI 4i  j  k     OI  i  j  2k D  a  1; 2; 3  b   1;  3;1 Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ không đồng phẳng , ,   c  2;  1;  d   3;  4;  Khi vectơ phân tích theo ba vectơ khơng đồng phẳng rrr a, b, c ur r r r d A 2a  3b  c ur r r r C d a  3b  c ur r r r d B 2a  3b  c ur r r r D d 2a  3b  c A  2;  1;  B  5;  5;  M  x; y;1 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Với giá trị x, y ba điểm A,B,M thẳng hàng ? T TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC A x  y  ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 B x  y 7 D x 4 y 7 C x 4 x 7 A  1; 2;  1 B  2;  1; 3 Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , C   3; 5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D   2; 8;  3 B D   2; 2;  C D   4; 8;   M  2;4;  3 D D   4; 8;  3  MN   1;  3;  Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ cho , ,   MP   3;  3;3 MQ  1;  3;  , Tọa độ trọng tâm G tứ diện MNPQ là: Oxyz  5 5 3 G ; ;  A  4    3 G ; ;  B  4   1 1 3 G ; ;  C  4  1 1 3 G ; ;  D  4  A  2; 4;0  Câu 25: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD ABC D Biết , B  4;0;0  C   1; 4;   D 6;8;10  , Tọa độ điểm B A B 8; 4;10  B B 6;12;0  C B 10;8;  D B 13;0;17  A  0; 0;  Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có , B  3; 0;  D  0; 3;  D 0; 3;  3 , , Toạ độ trọng tâm tam giác ABC A  2; 1;   B  1; 2;  1 C  2; 1;  1 D  1; 1;   hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2;3), B(  3; 0;1), C (  1; y; z ) Trọng tâm G tam giác ABC thuộc trục Ox cặp  y; z  Câu 27: Trong không A ( 2;  4) gian với B (2; 4) C (1; 2) D  a   1;  2;3 Oxyz Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ Tìm tọa    b  2; y; z  , biết vectơ b phương với vectơ a    b  2; 4;6  b  2;  3;3 b  2; 4;   A B C D (  1;  2) độ véctơ  b  2;  4;6  A  1; 2;  1 B  2;  1;3 C   4;7;5  Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , ABC Tọa độ chân đường phân giác góc B tam giác  11   ; ;  A  3  T TOÁN 12 B   2;11;1  11    ; ;1 C  3   11   ;  2;1  D  TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 A  1;  3 B   2;6  C  4;   Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Tìm điểm M    trục Ox cho vectơ u MA  MB  MC có độ dài nhỏ M  1;0  M  4;0  M  3;0  M  2;0  A B C D 1B 2C 3A 4A 5C 6A 7B 8D 9B 10B 11 12 13B 14 15 A D A C 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B C C A C B B D B D A A C C A  DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG  Phương pháp giải  a b a1b1  a2b2  a3b3  cos   cos a, b    a1.b1  a2 b2  a3 b3 a  a22  a32 b12  b22  b32 Góc hai đường thẳng: VTCP hai đường thẳng)     a b 0  a1.b1  a2 b2  a3 b3 0 a b  vng góc    a (với , b  Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tính tích vơ hướng hai vectơ   a  1;  5;3 , b  2;  3;1    Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tính góc hai vectơ a b :  a) a  4; 3;1 ,  b   1; 2; 3   a  (  ; ; ), b (2 2;  2; 0) c)     a  ; ; , b  6; 0;  3 b)   a  ( ;  ; ), b (2;1;  1) d) T TOÁN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM        O; i ; j ; k  a  2;  1;   b i  3k Câu Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ  Tính a.b     a.b  10 a.b  11 A a.b  13 B a.b 5 C D    a   2;1;3 b  1;2; m    Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho , Vectơ a vng  góc với b A m 2 B m 0 C m 1  Câu u 2;3;  1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ  m để   u  v A m 0 Câu C m 4 B m 1 D m  C m 2 Trong không gian tọa độ Oxyz góc hai vectơ A 120 Câu B m 2 Tìm M  2;3;  1 N   1;1;1 P  1; m  1;3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , Với giá trị m tam giác MNP vng N A m 3 Câu D m   v  5;  4; m  B 30  i D m 0  u    3; 0;1 C 60 D 150 A   1;  2;3 , B  0;3;1 ,  4;2;  Trong không gian Oxyz , cho ba điểm Cơsin góc  BAC 9 C D 35   a  (  2;  3;1) b Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ , (1;0;1) Tính  cos(a, b) Câu 9 A 35 B 35 35  1 cos (a, b)  A  cos (a, b)  B  -1 cos(u, v) = A  -1 cos(u, v) = 10 B   3 cos (a, b)  cos (a, b)  D C   u = (1;0; 3) v Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai vectơ = (- 1; - 2;0)  Tính cos(u, v) T  cos(u, v) = 10 C TOÁN 12 10  cos(u , v) = D