BÀI 1 hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đôi rr r Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ r Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Chú ý: r 1)  0 = ( 0;0;0 ) a1 = b1 r r  2) a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 a1 = kb1 r r r r  3) a phương b b ≠ ⇔ a = kb a = kb  ( ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ r r Cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) k số thực tùy ý Khi ta có: r r • a + b =  ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r • a − b =  ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r • k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) rr • a.b =  ( a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ) Ứng dụng tích vơ hướng: r r rr • a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = • r2 r r a = a.a = a12 + a 22 + a 32 Trang 228 • r r2 a = a = a12 + a 22 + a 32 • rr r r a1b1 + a b + a b3 a.b cos a; b = r r = a.b a1 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ( ) r r r r Với a ≠ 0, b ≠ Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý uuuu r r r r Khi M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; Tính chất y; z) ta có khẳng định sau: • Nếu A ( x A ; y A ; y A ) B ( x B ; y B ; y B ) uuur AB ( x B − x A ; y B − y A ; z C − z A ) uuur Khi AB = AB = ( xB − xA ) • M ≡ O ⇔ M ( 0; 0; ) + ( yB − yA ) + ( z B − z A ) • Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB  x + x B yA + yB z A + zB  I A ; ; ÷ 2   • M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = , tức M ( x; y;0 ) • M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = , tức M ( 0; y; z ) • M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = , tức M ( x;0; z ) • M ∈ Ox ⇔ y = z = , tức M ( x;0;0 ) • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  x + x B + x C yA + y B + yC z A + z B + z C  G A ; ; ÷ 3   • M ∈ Oy ⇔ x = z = , tức M ( 0; y;0 ) • M ∈ Oz ⇔ x = y = , tức M ( 0;0; z ) • Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x + x B + x C + x D y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + z D  G A ; ; ÷ 4   Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa r r r Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b = ( b1 ; b ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b r r r r vectơ vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu a , b  xác định sau: r r a a , b  =     b2 a3 a3 ; b3 b a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a b3 − a 3b ;a 3b1 − a 1b3 ; a1b − a b1 ) Tính chất r r r r r • a phương với b ⇔ a , b  = r r r r • a , b  vng góc với hai vectơ a b Trang 229 r r r r •  b , a  = − a , b  r r r r r r •  a , b  = a b sin a ; b ( ) Phương trình mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I ( a; b;c ) bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Ngược lại phương trình x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = ( 1) Với A2 + B + C − D > phương trình mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) có bán kính R = A2 + B + C − D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2 + B + C − D > Trang 230 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz Điểm O gốc tọa độ phương Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Các mặt phẳng tọa độ: HỆ TỌA ĐỘ Tích có hướng KHƠNG GIAN Tích có hướng hai Tọa độ vectơ Tọa độ điểm vectơ vectơ r r2 u = u = x + y2 + z2 uuur AB ( x B − x A ; yB − y A ;z C − z A ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ với k số thực B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Trang 231 Bài tập r r r r r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; ) Giá trị a + b + c A B C 11 D 11 Hướng dẫn giải Chọn D r r r r r r 2 T a có a + b + c = ( 2;6; ) nên a + b + c = + + = 44 = 11 Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0;1) Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A ( 0;1;1)  4 B  0; ; ÷  3 C ( 0; 2; ) D ( −2; −2; −2 ) Hướng dẫn giải 1−1 +  x G = =  2+0+0   4 = ⇒ G  0; ; ÷ Tọa độ trọng tâm tam giác là:  y G = 3  3  +1+  = z G = 3  Chọn B r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = ( 1; −2; ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) ) phương với vectơ r r r a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b = 21 Giá trị tổng x0 + y0 + z0 A −3 B C −6 D Hướng dẫn giải Chọn A r Lại có b = 21 suy k = k + 4k + 16k = 21 ⇔   k = −1 r r Với k = ta có b = ( 1; −2; ) , suy góc b Oy thỏa mãn rr r b.j rr cos b, Oy = r r , b.j = −2 < b j r Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k = không thỏa mãn r r Với k = −1 ta có b = ( −1; 2; −4 ) , suy góc b Oy thỏa mãn rr r b.j rr cos b, Oy = r r , b.j = > b j r Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k = −1 thỏa mãn ( ) ( ) Trang 232 r Do b = ( −1; 2; −4 ) Suy x0 + y0 + z0 = −1 + − = −3 ( ) Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có A′ 3; −1;1 , r hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA′ = (C không trùng với O) Biết vectơ u = (a; b; 2) (với a, b ∈ ¡ ) vectơ phương đường thẳng A′C Tính T = a + b A T = B T = 16 C T = D T = Hướng dẫn giải Chọn B Lấy M trung điểm BC  AM ⊥ BC Khi ta có  nên BC ⊥ A′M M;  AA′ ⊥ BC suy M hình chiếu A′ trục Oz ⇒ M ( 0;0;1) A′M = Mặt khác AM = A′M − AA′2 = Lại có ∆ABC nên AM = BC = ⇒ BC = ⇒ MC = Gọi C ( 0;0;c ) , c ≠ suy MC = c − c = MC = ⇔ c − = ⇔  ( loại c = ) ⇒ C ( 0;0; ) c = uuuu r A′C = − 3;1;1 vectơ phương đường thẳng A′C r Suy u = −2 3; 2; vectơ phương A′C ( ) ( ) Vậy a = −2 3; b = Suy T = a + b = 16 Dạng Tích có hướng Phương pháp giải Trang 233 Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng công thức: r r a a , b =     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1;0;1) , b = ( 2;1; −1) Hướng dẫn giải = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) r r 0 1 1 0 a , b =  ; ; ÷ = ( −1;3;1)    −1 −1 2  Bài tập mẫu r r r Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a, b khác Kết luận sau sai? r r r r A  a ,3b  =  a , b  uur r r r C 3a ,3 b  =  a , b  uur r r r B  2a , b  =  a , b  r r r r r r D  a , b  = a b sin a , b ( ) Hướng dẫn giải Chọn C uur r r r r r Ta có: 3a ,3 b  =  a ,3 b  =  a , b  (C sai) r r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = ( 1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = (m,1; 0) r r r Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m = 1 C m = − B m = D m = Hướng dẫn giải Chọn D r r Ta có  a , b  = ( −4;1; ) r r r r Ba vectơ a; b; c đồng phẳng ⇔ a, r r b  c = ⇔ −4m + = ⇔ m = Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A ( 0;0;3) , B ( 2; −1;0 ) , C ( 3; 2; ) , D ( 1;3;5 ) , E ( 4; 2;1) tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D Hướng dẫn giải Chọn A Xét đáp án A, giả sử C đỉnh hình chóp, ta có: uuur uuur uuur uuur AB = ( 2; −1; −3) , AD = ( 1;3; ) , AE = ( 4; 2; −2 ) , AC = ( 3; 2;1) uuur uuur uuur   AB, AD  AE = 4.7 − 2.7 − 2.7 =   ⇒  uuur uuur uuur   AB, AD  AC = 3.7 − 2.7 + 1.7 = 14 Trang 234 Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp Bài tập Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 2; −2;0 ) Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D? A 10 B C D Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur Ta có AB = ( −1; 2;0 ) , AD = ( 1; −2;0 ) , suy điểm A, B, D thẳng hàng Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là: ( OCB ) , ( OCA) , ( OCD ) , ( OAB ) , ( ABC ) Dạng Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải uuur uuur • Diện tích hình bình hành: SY ABCD =  AB, AD  uuur uuur • Tính diện tích tam giác: SVABC =  AB, AC  uuur uuur uuur • Tính thể tích hình hộp: VABCD.A′B′C′D′ =  AB, AC  AD • Tính thể tích tứ diện: VABCD = uuur uuur uuur  AB, AC  AD   Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2;1; ) , C ( −1;3;1) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Chọn B uuur uuur uuur Ta có: AB = ( 1; −1; ) , AC = ( −2;1;1) , BC = ( −3; 2; −1) Suy AB = AC = 6; BC = 14 Suy SABC = uuur uuur 35  AB, AC  =   2 Gọi RABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có Trang 235 R ABC = AB.AC.BC 6 14 10 = = 4SABC 35 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho A ( 2; 1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D A D ( 0; −7;0 ) B D ( 0;8;0 ) C D ( 0; −7;0 ) D ( 0;8;0 ) D D ( 0;7;0 ) D ( 0; −8;0 ) Hướng dẫn giải Chọn C Vì D ∈ Oy nên D ( 0; y;0 ) Khi Thể tích tứ diện ABCD V= uuur uuur uuur  AB, AC  AD = 4y −   Theo đề ra, ta có  y = −7 4y − = ⇔   y = Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a  ′ A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C  ; ;0 ÷ ÷và A ( 0;0; 2a ) Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động 2   cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A a2 B a2 C a2 D a 15 Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuuu r a a  ; ;2 Ta có CC′ = AA ′ ⇒ C′  ÷  2  Trang 236 uuur uuur CC′ = BB′ ⇒ B′ ( 0;a;2a) Điểm D trung điểm BB' nên D ( 0; a; a ) uuuu r  a a  uuuu r M (0;0; t ) với < t < 2a Ta có DC′ =  ; − ;,DM = ( 0; −a;t − a)  2 ÷   Ta có: 2 r uuuu r a ( 2t − 3a) + 6a2 a2  uuuu a 4t − 12at + 15a = DC′,DM  = = ≥  2 4 SMDC′ Suy minSVMDC′ = a2 t = a Dạng 4: Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Cách viết phương trình mặt cầu: • Mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = • 2 Xét phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( *) Ta có ( *) ⇔ ( x + 2ax ) + ( y2 + 2by ) + ( z + 2cz ) = −d ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) + ( z + c ) = a + b + c − d 2 Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a + b + c > d  taâ mI ( −a; − b; −c) Khi (S) có  n kínhR = a2 + b2 + c2 − d  baù 2 2 Đặc biệt mặt cầu ( S ) : x + y + z = R (S) có  tâ mO ( 0;0;0)  n kínhR  bá Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( S) : x + y2 + z − 2x + 6y − 6z − = Tính diện tích mặt cầu (S) A 100π B 120π C 9π D 42π Hướng dẫn giải Trang 237 Chọn A Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −3;3) , bán kính r = + + + = Vậy diện tích mặt cầu 4π r = 4π 52 = 100π Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 1; −2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB = A  ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 B ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − ) = 20 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 25 D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 2 2 2 2 2 Chú ý: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆: - Xác định điểm M ∈ ∆ uuuu r r  AM, u    - Áp dụng công thức: d ( A, ∆ ) = r u Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H trung điểm AB ⇒ IH ⊥ AB H ⇒ IH = d ( I;( AB) ) = d ( I;Ox ) Lấy M ( 2;0;0 ) ∈ Ox ⇒ IH = d ( I,Ox ) uuu rr  IM,i   r  = = i Bán kính mặt cầu cần tìm R = IA = IH + HA = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm  ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 hai điểm A ( 4;3;1) , B ( 3;1;3) ; M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = 2MA − MB2 Giá trị (m − n) A 64 B 60 C 68 D 48 Trang 238 Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2; −1) bán kính R = uuur uuu r r Lấy điểm E cho 2AE − BE = ⇔ E ( 5;5; −1) Ta có IE = Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu (S) uuur uuur uuur uuu r Khi P = 2MA − MB2 = ME − AE − ME − BE = ME + 2AE − BE ( ) ( ) P lớn nhỏ ME lớn nhỏ max ME = IE + R = 8; ME = IE − R = Do m = max P = 64 + 2AE − BE ; n = P = + 2AE − BE Suy m − n = 60 Chọn B Trang 239 ... AC  AD   Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2 ;1; ) , C ( ? ?1; 3 ;1) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn... a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1; 0 ;1) , b = ( 2 ;1; ? ?1) Hướng dẫn giải = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) r r 0 1 1 0 a , b... ( 2;6; ) nên a + b + c = + + = 44 = 11 Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; 2;3) , B ( ? ?1; 0 ;1) Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A ( 0 ;1; 1)  4 B  0; ; ÷  3 C ( 0; 2; )