BÀI 1 hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đôi rr r Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ r Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Chú ý: r 1)  0 = ( 0;0;0 ) a1 = b1 r r  2) a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 a1 = kb1 r r r r  3) a phương b b ≠ ⇔ a = kb a = kb  ( ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ r r Cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) k số thực tùy ý Khi ta có: r r • a + b =  ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r • a − b =  ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r • k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) rr • a.b =  ( a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ) Ứng dụng tích vơ hướng: r r rr • a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = • r2 r r a = a.a = a12 + a 22 + a 32 Trang 61 • r r2 a = a = a12 + a 22 + a 32 • rr r r a1b1 + a b + a b3 a.b cos a; b = r r = a.b a1 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ( ) r r r r Với a ≠ 0, b ≠ Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý uuuu r r r r Khi M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; Tính chất y; z) ta có khẳng định sau: • Nếu A ( x A ; y A ; y A ) B ( x B ; y B ; y B ) uuur AB ( x B − x A ; y B − y A ; z C − z A ) uuur Khi AB = AB = ( xB − xA ) • M ≡ O ⇔ M ( 0; 0; ) + ( yB − yA ) + ( z B − z A ) • Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB  x + x B yA + yB z A + zB  I A ; ; ÷ 2   • M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = , tức M ( x; y;0 ) • M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = , tức M ( 0; y; z ) • M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = , tức M ( x;0; z ) • M ∈ Ox ⇔ y = z = , tức M ( x;0;0 ) • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  x + x B + x C yA + y B + yC z A + z B + z C  G A ; ; ÷ 3   • M ∈ Oy ⇔ x = z = , tức M ( 0; y;0 ) • M ∈ Oz ⇔ x = y = , tức M ( 0;0; z ) • Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x + x B + x C + x D y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + z D  G A ; ; ÷ 4   Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa r r r Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b = ( b1 ; b ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b r r r r vectơ vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu a , b  xác định sau: r r a a , b  =     b2 a3 a3 ; b3 b a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a b3 − a 3b ;a 3b1 − a 1b3 ; a1b − a b1 ) Tính chất r r r r r • a phương với b ⇔ a , b  = r r r r • a , b  vng góc với hai vectơ a b Trang 62 r r r r •  b , a  = − a , b  r r r r r r •  a , b  = a b sin a ; b ( ) Phương trình mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I ( a; b;c ) bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Ngược lại phương trình x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = ( 1) Với A2 + B + C − D > phương trình mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) có bán kính R = A2 + B + C − D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2 + B + C − D > Trang 63 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz Điểm O gốc tọa độ phương Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Các mặt phẳng tọa độ: HỆ TỌA ĐỘ Tích có hướng KHƠNG GIAN Tích có hướng hai Tọa độ vectơ Tọa độ điểm vectơ vectơ r r2 u = u = x + y2 + z2 uuur AB ( x B − x A ; yB − y A ;z C − z A ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ với k số thực B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Trang 64 Bài tập r r r r r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; ) Giá trị a + b + c A B C 11 D 11 Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0;1) Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A ( 0;1;1)  4 B  0; ; ÷  3 C ( 0; 2; ) B C −6 D ( −2; −2; −2 ) r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = ( 1; −2; ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) ) phương với vectơ r r r b = 21 Giá trị tổng x0 + y0 + z0 Biết vectơ tạo với tia Oy góc nhọn a b A −3 D ( ) Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có A′ 3; −1;1 , r hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA′ = (C không trùng với O) Biết vectơ u = (a; b; 2) (với a, b ∈ ¡ ) vectơ phương đường thẳng A′C Tính T = a + b A T = B T = 16 C T = D T = Dạng Tích có hướng Phương pháp giải Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng công thức: r r a a , b =     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1;0;1) , b = ( 2;1; −1) Hướng dẫn giải r r 0 1 1 0 a , b =  ; ; ÷ = ( −1;3;1)    −1 −1 2  Bài tập mẫu r r r Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a, b khác Kết luận sau sai? r r r r A  a ,3b  =  a , b  uur r r r C 3a ,3 b  =  a , b  uur r r r B  2a , b  =  a , b  r r r r r r D  a , b  = a b sin a , b r r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = ( 1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = (m,1; 0) r r r Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m = ( ) B m = C m = − D m = Trang 65 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A ( 0;0;3) , B ( 2; −1;0 ) , C ( 3; 2; ) , D ( 1;3;5 ) , E ( 4; 2;1) tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D Bài tập Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 2; −2;0 ) Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D? A 10 B C D Dạng Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải uuur uuur • Diện tích hình bình hành: SY ABCD =  AB, AD  uuur uuur • Tính diện tích tam giác: SVABC =  AB, AC  uuur uuur uuur • Tính thể tích hình hộp: VABCD.A′B′C′D′ =  AB, AC  AD • Tính thể tích tứ diện: VABCD = uuur uuur uuur  AB, AC  AD  6 Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2;1; ) , C ( −1;3;1) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho A ( 2; 1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D A D ( 0; −7;0 ) B D ( 0;8;0 ) C D ( 0; −7;0 ) D ( 0;8;0 ) D D ( 0;7;0 ) D ( 0; −8;0 ) Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a  ′ A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C  ; ;0 ÷ ÷và A ( 0;0; 2a ) Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động  2  cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A a2 B a2 C a2 D a 15 Dạng 4: Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Trang 66 Cách viết phương trình mặt cầu: • Mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = • 2 Xét phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( *) Ta có ( *) ⇔ ( x + 2ax ) + ( y2 + 2by ) + ( z + 2cz ) = −d ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) + ( z + c ) = a + b + c − d 2 Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a + b + c > d  tâ mI ( −a; − b; −c) Khi (S) có  n kínhR = a2 + b2 + c2 − d  baù 2 2 Đặc biệt mặt cầu ( S ) : x + y + z = R (S) có  tâ mO ( 0;0;0)  n kínhR  bá Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( S) : x + y2 + z − 2x + 6y − 6z − = Tính diện tích mặt cầu (S) A 100π B 120π C 9π D 42π Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 1; −2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB = A  ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 B ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − ) = 20 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 25 D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 2 2 2 2 2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 hai điểm A ( 4;3;1) , B ( 3;1;3) ; M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = 2MA − MB2 Giá trị (m − n) A 64 B 60 C 68 D 48 Trang 67 ... 6 Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2 ;1; ) , C ( ? ?1; 3 ;1) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Bài tập Trong không. .. a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1; 0 ;1) , b = ( 2 ;1; ? ?1) Hướng dẫn giải r r 0 1 1 0 a , b... tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Trang 64 Bài tập r r r r r r Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; ) Giá trị a + b + c A B C 11 D 11 Bài tập Trong không gian