BÀI 1 hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz không gian, khái niệm tọa độ điểm, tọa độ vectơ - Nắm vững biểu thức tọa độ phép tốn vectơ tính chất - Nắm vững biểu thức tọa độ tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ ứng dụng - Nắm vững phương trình mặt cầu, điều kiện để phương trình phương trinh mặt cầu, Kỹ năng: - Biết tìm tọa độ điểm, vectơ Tính tổng, hiệu vectơ, tích vectơ với số - Tính tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tỉnh góc hai vectơ, - Xác định tích có hướng hai vectơ vận dụng làm số tốn - Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vng góc với đôi Gọi i, j, k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng  Oxy  ,  Oyz  ,  Ozx  mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Chú ý: 1) O   0;0;0   a1  b1  2) a  b  a2  b2 a  b  a1  kb1  3) Cùng phương b (b  0)  a2  kb2 a  b  Tọa độ vectơ Trong khơng gian Oxyz, cho u Khi u  ( x, y; z)  u  xi  yj  zk Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  k số thực tùy ý Khi ta có:  a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3  Trang  a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3   k  a   ka1; ka2 ; ka3   a  b  a1  b1  a2  b2  a3  b3 Ứng dụng tích vơ hướng:  •a  b  ab   a1b1  a2  b2  a3  b3   a  a  a  a12  a22  a32  | a | a  a12  a22  a32  cos(a; b )  a1b1  a2 b2  a3b3 ab  | a | b ∣ a12  a22  a32  b12  b22  b32 Với a  0, b  Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz , cho điểm M tùy ý Khi M  x; y; z   OM  xi  yj  zk Tinh chất • Nếu A  x A ; y A ; y A  vaø B  xB ; yB ; yB  AB  xB  x A ; yB  yA ; zc  zA  Khi AB | AB | x  x A    yB  y A    zB  zA  B 2 • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB  x  xB y A  yB zA  zB  I A ; ;  2   • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  x  xB  xC y A  yB  yC zA  zB  zC  G A ; ;  3    x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zD  ; ; • Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD G  A  4   Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  x , y, z  ta có khẳng định sau: • M  O  M  0; 0;  M  (Oxy)  z  0, tức M( x; y;0) M  (Oyz)  x  0, tức M(0; y; z) M  (Oxz)  y  0, tức M( x;0; z) M  Ox  y  z  0, tức M( x;0;0) M  Oy  x  z  0, tức M(0; y;0) M  (Oz)  x  y  0, tức M(0;0; z) Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ b   bi ; b2 ; b3  Tích có hướng hai vectơ a b vectơ vuông góc với hai vectơ a b , kí hiệu [a, b ] xác định sau: Trang a  a, b      b  a3 b3 a3 b3 a1 a1 a2   ;  b1 b1 b2     a2 b3  a3 b2 ; a3 b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  Tính chất • a phương với b  [a, b ]  • [a, b ] vng góc với hai vectơ a b • [b, a]  [a, b ] • | [a, b ] || a |  | b |  sin(a; b ) Phương trình mặt cầu Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu tâm I  a; b; c  bán kính R có phương trình ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 Ngược lại phương trình x  y  z2  Ax  2By  2Cz  D  (1) với A2  B2  C  D  phương trình mặt cầu tâm I   A; -B; C  có bán kính R  A2  B  C  D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2  B2  C  D  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép toán vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho a(2;2;0), b(2;2;0), c (2;2;2) Giá trị | a  b  c | A Hướng dẫn giải B C 11 D 11 Ta có a  b  c  (2;6;2) nên | a  b  c | 22  62  22  44  11 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A 1; 2; 3 , B  1; 0; 1 Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A A(0; 1; 1) B A(0; ; ) 3 C A(0; 2; 4) D A(2;  2;  2) Trang Hướng dẫn giải  11 0  x0    4 200    G  0; ;  Tọa độ tâm tam giác là:  y6  3  3   1   z6  3  Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 1; 2;  mặt phẳng  Oyz  A M (0; 2; 3) B N (1; 0; 3) C P(1; 0; 0) D Q(0; 2; 0) Hướng dẫn giải Ta có M  0;2;3  hình chiếu điểm A 1;2;3 mặt phẳng  Oyz  Chọn A Chú ý: Hình chiếu điểm M  x , y, z  lên mặt phẳng  Oyz  M '  0, y, z  Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , góc hai vectơ i vaø u  ( 3; 0; 1) A 300 Hướng dẫn giải B 120 C 600 D 150 Ta có i  (1; 0; 0) vaø u  ( 3; 0; 1) , áp dụng cơng thức tính góc hai vectơ, ta có: cos(i , u )  iu  3   | i | u ∣ 1.2 Suy góc hai vectơ cần tìm (i , u )  150 Chọn D Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho vectơ a  (t  2,4), b   x0 ; y0 ; z0  phương với vectơ a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn | b | 21 Giá trị tổng x +y +z A 3 Hướng dẫn giải B C 6 D Ta có a, b phương nên ta có b  k  a  (k; 2k;4k ) : (k  0) Lại có | b | 21 , suy k  k  4k  16k  21    k  1 Với k  ta có b  (1; 2; 4) suy góc b Oy thỏa mãn cos(b , Oy)  bj , b  j  2  | b |  j∣ Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k  không thỏa mãn Với k  1 ta có b  (1;2; 4), suy góc b Oy thỏa mãn cos(b , Oy)  b j , b  j  2  | b || j | Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k  1 thỏa mãn Do b  (1;2; 4) Suy x0 +y0 +z =-1+2-4 = -3 Chọn A Trang Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có A  3; 1;1 , hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA '  ( C không trùng với O ) Biết vectơ u  (a; b;2) (với a, b  ) vectơ phương đường thẳng A ' C ' Tính T  a2  b2 A  T  B  T  16 C  T  Hướng dẫn giải D  T  Lấy M trung điểm BC  AM  BC neân BC  A M tai M; Khi ta có    AA  BC suy M hình chiếu A ' trục Oz  M  0; 0;1 vaø A ' M  Mặt khác AM  A M  AA2  Lại ABC nên AM  BC   BC   MC  Lại có ABC nên Gọi C(0; 0; c), c = suy MC AM  BC   BC   MC  Goïi C(0;0;c),c  suy MC | c  1| c   MC  | c  1|   (loaïi c    C(0; 0;2) c   AC  ( 3;1;1) vectơ phương đường thẳng A ' C Suy u  (2 3;2;2) vectơ phương A ' C Vậy a  2 3; b  Suy T  a2  b2  16 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  i  j  3k Tọa độ vectơ a A (-2 ;-1 ;-3) B (-3 ; ;-1) C (2 ;-3 ;-1) D (-1 ; ;-3) Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  (2; 3;3), b  (0;2; 1), c  (3; 1;5) Tọa độ vectơ u  2a  3b  2c A (10; -2; 13) C (-2; -2; 7) B (-2; 2; -7) D (-2; 2; 7) Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , u vectơ phương trục Oy A u hướng với vectơ j  (0;1; 0) Trang B u phương với vectơ j  (0;1; 0) C u hướng với vectơ i  (1; 0; 0) D u phương với vectơ i  (1; 0; 0) Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A  2; 1;  Hình chiếu vng góc A lên trục Ox có tọa độ là: A (0; 1; 0) B (-2; 0; 0) D (0; 1; 3) C (0; 0; 3) Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u  (2;3; 1) vaø v  (5; 4; m) Tìm m để u  v A m  2 B m  C m  D m  Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M  x; y; z  Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) M '  x; y;  z  B Nếu M ' đối xứng với M qua Oy M '  x; y;  z  C Nếu M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) M '  x; y;  z  D Nếu M ' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M '  x; y;  Câu 7: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' biết A 1; 0;1 , B  2;1;2  , D 1;  1;1 , C '  4;5; 5 Tọa độ điểm A ' là: A A '  4; 6; – 5 1-D 2-B B A '  3; 4;  1 3-B 4-B C A '  3; 5; 6  ĐÁP ÁN 5-A 6-C 7-C D A '  3; 5;  8-C 9-B 10-A Bài tập nâng cao Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD ; có tọa độ ba đỉnh A 1;2;1 , B  2; 0; 1 , C  6;1;  Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D  a, b, c  , tính a  b  c A a  b  c  C a  b  c  B a  b  c  D a  b  c  Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;2;1 , B  3; 4;1 , C  2;3; 3  Gọi  G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp  Oxz  Độ dài GM ngắn A B C D Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;1 , B  0;1; 1 Hai điểm D, E thay đổi đoạn OA, OB cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích Khi DE ngắn trung điểm đoạn DE có tọa độ Trang  2  A  ; ;   4    1  C  ; ;  3  Dạng Tích có hướng ứng dụng Bài tốn Tìm vectơ tích có hướng Phương pháp giải  2  B  ; ;   3    1  D  ; ;  4  a Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng công thức: [a, b ]   b  a3 b3 ; a3 b3 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2    a2 b3  a3 b2 ; a3 b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ a  (1;0;1), b  (2;1; 1) Hướng dẫn giải 0 1 1 ;  (1;3;1) [a, b ]   ;  1 1 2  Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a  (2;1; 2) b  (1; 0;2) Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b A c  (2;6; 1) B c  (4;6; 1) Hướng dẫn giải C c  (4; 6; 1) D c  (2; 6; 1)  2 2 2 ;  (2; 6; 1) c  [a, b ]   ; 0 2 1  Chọn D Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a , b khác Kết luận sau sai? A [a,3b ]  3[a, b] B [2a, b ]  2[a, b ] C [3a,3b ]  3[a, b ] D | [a, b ] || a |  | b |  sin(a, b ) Hướng dẫn giải Ta có: [3a,3b ]  3[a,3b ]  9[a, b ] (C sai) Chọn C Bài tốn Ứng dụng tích có hướng để chứng minh tính đồng phẳng Phương pháp giải • Ba vectơ a; b; c đồng phẳng  [a, b ]c  • Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện  [ AB, AC ]  AD  Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a  (1;2;1), b  (0;2; 1), c  (m;1; 0) Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m  B m  C m   D m  Hướng dẫn giải Ta có [a, b ]  (4;1;2) Ba vectơ a; b; c đồng phẳng  [a, b ]  c   4m    m  Chọn D Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho năm điểm A  0; 0;3 , B  2; 1;  , C  3;2;  , D(1 ; ; 5), E(4 ; ; 1) tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B Hướng dẫn giải Xét đáp án A , giả sử C đỉnh hình chóp, ta có: D Điểm D AB  (2; 1; 3), AD  (1;3;2), AE  (4;2; 2), AC  (3;2;1)  [ AB, AD]  AE  4.7  2.7  2.7    [ AB, AD]  AC  3.7  2.7  1.7  14 Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 1; 0;  , B  0;2;  , C  0; 0;3  , D  2; 2;  Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D là: A 10 B C Hướng dẫn giải D Ta có AB  (1;2; 0), AD  (1; 2; 0), suy điểm A, B, D thẳng hàng Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là:  OCB  ,  OCA  , OCD  , OAB  ,  ABC  Chọn C Bài toán Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải • Diện tích hình bình hành: SeABCD | [ AB, AD] | • Tính diện tích tam giác: S ABC  | [ AB, AC ] | • Tính thể tích hình hộp: VABCD A BC D ‖ AB, AC   AD   • Tính thể tích tứ diện: VABCD  ‖ AB, AC   AD  Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;  , B  2;1;2  , C  1; 3;1 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Ta có: AB  (1; 1;2), AC  (2;1;1), BC  (3;2; 1) Suy AB  AC  6; BC  14 35 | [ AB, AC ] | 2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có Suy SABC  Gọi RABC AB  AC  BC   14 10   4SABC 35 4 Chọn B Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho A(2; 1;-1), B(3; 0; 1), C(2;-1; 3) D nằm trục Oy Thể tích RABC  tứ diện ABCD Tọa độ D A D(0;-7; 0) C D(0;-7; 0) (0;8; 0) B D(0;8; 0) D D(0;7; 0) (0;-8; 0) Vì D  Oy nên D(0; y; 0) Khi đó, thể tích tứ diện ABCD 1 V  [ AB, AC ]  AD  y  2∣ 6 Theo đề ra, ta có  y  7 | y  |    y  Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a  A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C  ; ;  vaø A (0; 0;2a) Gọi D trung điểm cạnh BB ' M di động  2    cạnh AA ' Diện tích nhỏ tam giác MDC ' a2 Hướng dẫn giải A B a2 C a2 D a2 15 Trang 10 a a    Ta có CC  AA  C   ; ;2a   2     CC  BB  B (0; a;2a) Điểm D trung điểm BB nên D(0; a; a) a a   ;  ; a  , DM  (0; a; t  a) M(0;0; t)với  t  2a Ta có DC    2   Ta có: SMOC a (2t  3a)2  6a2 a2 a 4t  12at  15a2   | [DC , DM ] |   4 Suy SMDC  a2 t  a Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a  (2;1; 2) vectơ b  (1; 0;2) Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b A c  (2;6; 1) C c  (4; 6; 1) B c  (4;6; 1) D c  (2; 6; 1) Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;  , B 1; 0; 1 , C  0; 1;2  D  0; m; p  Hệ thức liên hệ m p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A m  p  B 2m  p  C 2m  p  D m  p  Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD với A 1; 0;1 , B  2;12  , giao điểm 3 3 hai đường chéo I  ; 0;  Diện tích hình bình hành 2 2 A Câu 4: Trong B không gian A 1; 0;2  , B  2;1;3 , C  3;2;  , A  2;3;1 với C hệ tọa D độ Oxyz , cho bốn điểm D  6;9; 5  Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD B  2;3;1 C  2;3; 1 D  2;  3;1 Câu 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' với A  2;1;3 , C  2;3;5 , B '  2; 4; 1 , D '  0;2;1 Tìm tọa độ điểm B A B 1;  3;3  B B  1;3;3 C B 1;3; 3  D B 1;3;3  Bài tập nâng cao Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A  2; 0;  , B  0;2;  , C  0; 0;2  Có tất điểm M khơng gian thỏa mãn M không trùng với điểm A, B, C vaø AMB  BMC  CMA  90 ? A B C D Trang 11 1-D 2-D 3-A 4-A ĐÁP ÁN 5-D 6-C Dạng Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Cách viết phương trình mặt cầu: • Mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính R có phương trình ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 • Xét phương trình: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  0.(*)       Ta có (*)  x  2ax  y  2by  z2  2cz  d  ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  a2  b2  c2  d Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a2  b2  c2  d  taâm I (a; b; c) Khi  S  có  2   bán kính R  a  b  c  d taâm O(0; 0; 0)  Đặc biệt mặt cầu (S ) : x  y  z2  R2 (S ) có   bán kính R Ví dụ: Phương trình mặt cầu tâm 1(2;-1; 1), bán kính R  ( x  2)2  ( y  1)2  (z  1)2  Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình x  y  z2  x  y  6z   Xác định tọa độ tâm I mặt cầu  S  A I 1;  2;3 B I 1;  2;1 C I  1;2;3 D I  1;2; 3 Hướng dẫn giải  2 6  Tọa độ tâm mặt cầu (S) laø I   ; ;   (1; 2;3)  2 2 2  Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình (S) : x  y  z2  x  y  6z   Tính diện tích mặt cầu  S  A 100 Hướng dẫn giải B 120 C 9 D 42 Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3  , bán kính r      Vậy diện tích mặt cầu 4 r  4 52  100 Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm I 1; 2;3  Viết phương trình mặt cầu tâm I , cắt trục Ox hai điểm A B cho AB  A ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  16 B ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  20 Trang 12 C ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  25 D ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB  IH  AB taïi H  IH  d(I; AB ))  d(I,0 x ) Lấy M (2; 0; 0)  Ox  IH  d(1,0 x )  Lại có HA  | [M , i ] |  13 |i | AB  Bán kính mặt cầu cần tìm R  IA  IH  HA  Vậy phương trình mặt cầu cần tìm ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  16 Chon A Chú ý: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  : - Xác định điểm M   - Áp dụng công thức: d ( A, )  [ AM , u ] |u| Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): ( x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2  hai điểm A  4;3;1 , B  3;13 ; M điểm thay đổi  S  Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  MA2  MB Giá trị  m – n  A 64 Hướng dẫn giải B 60 C 68 D 48 Mặt cầu  S  có tâm I 1;2;  1 bán kính R  Lấy điểm E cho AE  BE   E (5;5; 1) Ta có I E =5 Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu  S  Khi P  MA2  MB  2( ME  AE )2  ( ME  BE )2  ME  AE  BE P lớn nhỏ ME lớn nhỏ max ME  IE  R  8; ME  IE  R  Do m  max P  64  AE  BE ; n  P   AE  BE Suy m -n =60 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 13 Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1; – 2; 3 , M  0; 1;  Phương trình mặt cầu có tâm I qua M A ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  14 B ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  14 C ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  14 D ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  14 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;2  , B  3;2; 3 Mặt cầu  S  có tâm } thuộc Ox qua hai điểm A, B có phương trình A x  y  z2  8x   B x  y  z2  8x   C x  y  z2  x   D x  y  z2  8x   Câu 3: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có phương trình dạng x  y  z2  x  y  2az  10a  Tập hợp giá trị thực a để  S  có chu vi đường trịn lớn 8 A {1 ; 10} B {2 ; -10} C {-1 ; 11} D {1 ; -11} Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 1 , B  3; 2;1 Gọi  S  mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy bán kính 11 qua hai điểm A, B Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu  S  A x  y  z2  y   B x  y  z2  y   C x  y  z2  y   D x  y  z2  y   Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho A  2; 0;  ; B  0; 2;  ; C  0; 0; 2  D điểm khác O cho DA, DB, DC đôi vng góc Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giá trị biểu thức S  a  b  c A 4 B 1 C 2 D 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-A 3-C 4-A 5-B Trang 14 ... dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  i  j  3k Tọa độ vectơ a A (-2 ; -1 ;-3) B (-3 ; ; -1) C (2 ;-3 ; -1) D ( -1 ; ;-3) Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ. .. ; a3 b3 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2    a2 b3  a3 b2 ; a3 b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ a  (1; 0 ;1) , b  (2 ;1; ? ?1) Hướng dẫn giải 0 1 1 ;  (? ?1; 3 ;1) [a, b ]... dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ? ?1; 2;  , B  2 ;1; 2  , C  ? ?1; 3 ;1? ?? Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Ta có: AB  (1; ? ?1; 2),