Thông tin tài liệu
BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz không gian, khái niệm tọa độ điểm, tọa độ vectơ - Nắm vững biểu thức tọa độ phép tốn vectơ tính chất - Nắm vững biểu thức tọa độ tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ ứng dụng - Nắm vững phương trình mặt cầu, điều kiện để phương trình phương trinh mặt cầu, Kỹ năng: - Biết tìm tọa độ điểm, vectơ Tính tổng, hiệu vectơ, tích vectơ với số - Tính tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tỉnh góc hai vectơ, - Xác định tích có hướng hai vectơ vận dụng làm số tốn - Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vng góc với đôi Gọi i, j, k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Chú ý: 1) O 0;0;0 a1 b1 2) a b a2 b2 a b a1 kb1 3) Cùng phương b (b 0) a2 kb2 a b Tọa độ vectơ Trong khơng gian Oxyz, cho u Khi u ( x, y; z) u xi yj zk Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a a1; a2 ; a3 , b b1; b2 ; b3 k số thực tùy ý Khi ta có: a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 Trang a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 k a ka1; ka2 ; ka3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 Ứng dụng tích vơ hướng: •a b ab a1b1 a2 b2 a3 b3 a a a a12 a22 a32 | a | a a12 a22 a32 cos(a; b ) a1b1 a2 b2 a3b3 ab | a | b ∣ a12 a22 a32 b12 b22 b32 Với a 0, b Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz , cho điểm M tùy ý Khi M x; y; z OM xi yj zk Tinh chất • Nếu A x A ; y A ; y A vaø B xB ; yB ; yB AB xB x A ; yB yA ; zc zA Khi AB | AB | x x A yB y A zB zA B 2 • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB x xB y A yB zA zB I A ; ; 2 • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC x xB xC y A yB yC zA zB zC G A ; ; 3 x xB xC xD y A yB yC yD zA zB zC zD ; ; • Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD G A 4 Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M x , y, z ta có khẳng định sau: • M O M 0; 0; M (Oxy) z 0, tức M( x; y;0) M (Oyz) x 0, tức M(0; y; z) M (Oxz) y 0, tức M( x;0; z) M Ox y z 0, tức M( x;0;0) M Oy x z 0, tức M(0; y;0) M (Oz) x y 0, tức M(0;0; z) Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ b bi ; b2 ; b3 Tích có hướng hai vectơ a b vectơ vuông góc với hai vectơ a b , kí hiệu [a, b ] xác định sau: Trang a a, b b a3 b3 a3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 a2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 Tính chất • a phương với b [a, b ] • [a, b ] vng góc với hai vectơ a b • [b, a] [a, b ] • | [a, b ] || a | | b | sin(a; b ) Phương trình mặt cầu Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu tâm I a; b; c bán kính R có phương trình ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 Ngược lại phương trình x y z2 Ax 2By 2Cz D (1) với A2 B2 C D phương trình mặt cầu tâm I A; -B; C có bán kính R A2 B C D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2 B2 C D Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép toán vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho a(2;2;0), b(2;2;0), c (2;2;2) Giá trị | a b c | A Hướng dẫn giải B C 11 D 11 Ta có a b c (2;6;2) nên | a b c | 22 62 22 44 11 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A 1; 2; 3 , B 1; 0; 1 Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A A(0; 1; 1) B A(0; ; ) 3 C A(0; 2; 4) D A(2; 2; 2) Trang Hướng dẫn giải 11 0 x0 4 200 G 0; ; Tọa độ tâm tam giác là: y6 3 3 1 z6 3 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 1; 2; mặt phẳng Oyz A M (0; 2; 3) B N (1; 0; 3) C P(1; 0; 0) D Q(0; 2; 0) Hướng dẫn giải Ta có M 0;2;3 hình chiếu điểm A 1;2;3 mặt phẳng Oyz Chọn A Chú ý: Hình chiếu điểm M x , y, z lên mặt phẳng Oyz M ' 0, y, z Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , góc hai vectơ i vaø u ( 3; 0; 1) A 300 Hướng dẫn giải B 120 C 600 D 150 Ta có i (1; 0; 0) vaø u ( 3; 0; 1) , áp dụng cơng thức tính góc hai vectơ, ta có: cos(i , u ) iu 3 | i | u ∣ 1.2 Suy góc hai vectơ cần tìm (i , u ) 150 Chọn D Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho vectơ a (t 2,4), b x0 ; y0 ; z0 phương với vectơ a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn | b | 21 Giá trị tổng x +y +z A 3 Hướng dẫn giải B C 6 D Ta có a, b phương nên ta có b k a (k; 2k;4k ) : (k 0) Lại có | b | 21 , suy k k 4k 16k 21 k 1 Với k ta có b (1; 2; 4) suy góc b Oy thỏa mãn cos(b , Oy) bj , b j 2 | b | j∣ Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k không thỏa mãn Với k 1 ta có b (1;2; 4), suy góc b Oy thỏa mãn cos(b , Oy) b j , b j 2 | b || j | Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k 1 thỏa mãn Do b (1;2; 4) Suy x0 +y0 +z =-1+2-4 = -3 Chọn A Trang Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có A 3; 1;1 , hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA ' ( C không trùng với O ) Biết vectơ u (a; b;2) (với a, b ) vectơ phương đường thẳng A ' C ' Tính T a2 b2 A T B T 16 C T Hướng dẫn giải D T Lấy M trung điểm BC AM BC neân BC A M tai M; Khi ta có AA BC suy M hình chiếu A ' trục Oz M 0; 0;1 vaø A ' M Mặt khác AM A M AA2 Lại ABC nên AM BC BC MC Lại có ABC nên Gọi C(0; 0; c), c = suy MC AM BC BC MC Goïi C(0;0;c),c suy MC | c 1| c MC | c 1| (loaïi c C(0; 0;2) c AC ( 3;1;1) vectơ phương đường thẳng A ' C Suy u (2 3;2;2) vectơ phương A ' C Vậy a 2 3; b Suy T a2 b2 16 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a A (-2 ;-1 ;-3) B (-3 ; ;-1) C (2 ;-3 ;-1) D (-1 ; ;-3) Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a (2; 3;3), b (0;2; 1), c (3; 1;5) Tọa độ vectơ u 2a 3b 2c A (10; -2; 13) C (-2; -2; 7) B (-2; 2; -7) D (-2; 2; 7) Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , u vectơ phương trục Oy A u hướng với vectơ j (0;1; 0) Trang B u phương với vectơ j (0;1; 0) C u hướng với vectơ i (1; 0; 0) D u phương với vectơ i (1; 0; 0) Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A 2; 1; Hình chiếu vng góc A lên trục Ox có tọa độ là: A (0; 1; 0) B (-2; 0; 0) D (0; 1; 3) C (0; 0; 3) Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u (2;3; 1) vaø v (5; 4; m) Tìm m để u v A m 2 B m C m D m Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) M ' x; y; z B Nếu M ' đối xứng với M qua Oy M ' x; y; z C Nếu M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) M ' x; y; z D Nếu M ' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M ' x; y; Câu 7: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' biết A 1; 0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , C ' 4;5; 5 Tọa độ điểm A ' là: A A ' 4; 6; – 5 1-D 2-B B A ' 3; 4; 1 3-B 4-B C A ' 3; 5; 6 ĐÁP ÁN 5-A 6-C 7-C D A ' 3; 5; 8-C 9-B 10-A Bài tập nâng cao Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD ; có tọa độ ba đỉnh A 1;2;1 , B 2; 0; 1 , C 6;1; Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D a, b, c , tính a b c A a b c C a b c B a b c D a b c Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;2;1 , B 3; 4;1 , C 2;3; 3 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp Oxz Độ dài GM ngắn A B C D Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 0;1 , B 0;1; 1 Hai điểm D, E thay đổi đoạn OA, OB cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích Khi DE ngắn trung điểm đoạn DE có tọa độ Trang 2 A ; ; 4 1 C ; ; 3 Dạng Tích có hướng ứng dụng Bài tốn Tìm vectơ tích có hướng Phương pháp giải 2 B ; ; 3 1 D ; ; 4 a Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng công thức: [a, b ] b a3 b3 ; a3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 a2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ a (1;0;1), b (2;1; 1) Hướng dẫn giải 0 1 1 ; (1;3;1) [a, b ] ; 1 1 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a (2;1; 2) b (1; 0;2) Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b A c (2;6; 1) B c (4;6; 1) Hướng dẫn giải C c (4; 6; 1) D c (2; 6; 1) 2 2 2 ; (2; 6; 1) c [a, b ] ; 0 2 1 Chọn D Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a , b khác Kết luận sau sai? A [a,3b ] 3[a, b] B [2a, b ] 2[a, b ] C [3a,3b ] 3[a, b ] D | [a, b ] || a | | b | sin(a, b ) Hướng dẫn giải Ta có: [3a,3b ] 3[a,3b ] 9[a, b ] (C sai) Chọn C Bài tốn Ứng dụng tích có hướng để chứng minh tính đồng phẳng Phương pháp giải • Ba vectơ a; b; c đồng phẳng [a, b ]c • Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện [ AB, AC ] AD Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a (1;2;1), b (0;2; 1), c (m;1; 0) Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m B m C m D m Hướng dẫn giải Ta có [a, b ] (4;1;2) Ba vectơ a; b; c đồng phẳng [a, b ] c 4m m Chọn D Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho năm điểm A 0; 0;3 , B 2; 1; , C 3;2; , D(1 ; ; 5), E(4 ; ; 1) tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B Hướng dẫn giải Xét đáp án A , giả sử C đỉnh hình chóp, ta có: D Điểm D AB (2; 1; 3), AD (1;3;2), AE (4;2; 2), AC (3;2;1) [ AB, AD] AE 4.7 2.7 2.7 [ AB, AD] AC 3.7 2.7 1.7 14 Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 1; 0; , B 0;2; , C 0; 0;3 , D 2; 2; Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D là: A 10 B C Hướng dẫn giải D Ta có AB (1;2; 0), AD (1; 2; 0), suy điểm A, B, D thẳng hàng Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là: OCB , OCA , OCD , OAB , ABC Chọn C Bài toán Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải • Diện tích hình bình hành: SeABCD | [ AB, AD] | • Tính diện tích tam giác: S ABC | [ AB, AC ] | • Tính thể tích hình hộp: VABCD A BC D ‖ AB, AC AD • Tính thể tích tứ diện: VABCD ‖ AB, AC AD Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2; , B 2;1;2 , C 1; 3;1 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Ta có: AB (1; 1;2), AC (2;1;1), BC (3;2; 1) Suy AB AC 6; BC 14 35 | [ AB, AC ] | 2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có Suy SABC Gọi RABC AB AC BC 14 10 4SABC 35 4 Chọn B Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho A(2; 1;-1), B(3; 0; 1), C(2;-1; 3) D nằm trục Oy Thể tích RABC tứ diện ABCD Tọa độ D A D(0;-7; 0) C D(0;-7; 0) (0;8; 0) B D(0;8; 0) D D(0;7; 0) (0;-8; 0) Vì D Oy nên D(0; y; 0) Khi đó, thể tích tứ diện ABCD 1 V [ AB, AC ] AD y 2∣ 6 Theo đề ra, ta có y 7 | y | y Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C ; ; vaø A (0; 0;2a) Gọi D trung điểm cạnh BB ' M di động 2 cạnh AA ' Diện tích nhỏ tam giác MDC ' a2 Hướng dẫn giải A B a2 C a2 D a2 15 Trang 10 a a Ta có CC AA C ; ;2a 2 CC BB B (0; a;2a) Điểm D trung điểm BB nên D(0; a; a) a a ; ; a , DM (0; a; t a) M(0;0; t)với t 2a Ta có DC 2 Ta có: SMOC a (2t 3a)2 6a2 a2 a 4t 12at 15a2 | [DC , DM ] | 4 Suy SMDC a2 t a Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a (2;1; 2) vectơ b (1; 0;2) Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b A c (2;6; 1) C c (4; 6; 1) B c (4;6; 1) D c (2; 6; 1) Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2; , B 1; 0; 1 , C 0; 1;2 D 0; m; p Hệ thức liên hệ m p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A m p B 2m p C 2m p D m p Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD với A 1; 0;1 , B 2;12 , giao điểm 3 3 hai đường chéo I ; 0; Diện tích hình bình hành 2 2 A Câu 4: Trong B không gian A 1; 0;2 , B 2;1;3 , C 3;2; , A 2;3;1 với C hệ tọa D độ Oxyz , cho bốn điểm D 6;9; 5 Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD B 2;3;1 C 2;3; 1 D 2; 3;1 Câu 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' với A 2;1;3 , C 2;3;5 , B ' 2; 4; 1 , D ' 0;2;1 Tìm tọa độ điểm B A B 1; 3;3 B B 1;3;3 C B 1;3; 3 D B 1;3;3 Bài tập nâng cao Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2; 0; , B 0;2; , C 0; 0;2 Có tất điểm M khơng gian thỏa mãn M không trùng với điểm A, B, C vaø AMB BMC CMA 90 ? A B C D Trang 11 1-D 2-D 3-A 4-A ĐÁP ÁN 5-D 6-C Dạng Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Cách viết phương trình mặt cầu: • Mặt cầu tâm I a; b; c , bán kính R có phương trình ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 • Xét phương trình: x y z2 2ax 2by 2cz d 0.(*) Ta có (*) x 2ax y 2by z2 2cz d ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 a2 b2 c2 d Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a2 b2 c2 d taâm I (a; b; c) Khi S có 2 bán kính R a b c d taâm O(0; 0; 0) Đặc biệt mặt cầu (S ) : x y z2 R2 (S ) có bán kính R Ví dụ: Phương trình mặt cầu tâm 1(2;-1; 1), bán kính R ( x 2)2 ( y 1)2 (z 1)2 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình x y z2 x y 6z Xác định tọa độ tâm I mặt cầu S A I 1; 2;3 B I 1; 2;1 C I 1;2;3 D I 1;2; 3 Hướng dẫn giải 2 6 Tọa độ tâm mặt cầu (S) laø I ; ; (1; 2;3) 2 2 2 Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình (S) : x y z2 x y 6z Tính diện tích mặt cầu S A 100 Hướng dẫn giải B 120 C 9 D 42 Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính r Vậy diện tích mặt cầu 4 r 4 52 100 Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm I 1; 2;3 Viết phương trình mặt cầu tâm I , cắt trục Ox hai điểm A B cho AB A ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 16 B ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 20 Trang 12 C ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 25 D ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB IH AB taïi H IH d(I; AB )) d(I,0 x ) Lấy M (2; 0; 0) Ox IH d(1,0 x ) Lại có HA | [M , i ] | 13 |i | AB Bán kính mặt cầu cần tìm R IA IH HA Vậy phương trình mặt cầu cần tìm ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 16 Chon A Chú ý: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : - Xác định điểm M - Áp dụng công thức: d ( A, ) [ AM , u ] |u| Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): ( x 1)2 ( y 2)2 (z 1)2 hai điểm A 4;3;1 , B 3;13 ; M điểm thay đổi S Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P MA2 MB Giá trị m – n A 64 Hướng dẫn giải B 60 C 68 D 48 Mặt cầu S có tâm I 1;2; 1 bán kính R Lấy điểm E cho AE BE E (5;5; 1) Ta có I E =5 Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu S Khi P MA2 MB 2( ME AE )2 ( ME BE )2 ME AE BE P lớn nhỏ ME lớn nhỏ max ME IE R 8; ME IE R Do m max P 64 AE BE ; n P AE BE Suy m -n =60 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 13 Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1; – 2; 3 , M 0; 1; Phương trình mặt cầu có tâm I qua M A ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 14 B ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 14 C ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 14 D ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 14 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;2 , B 3;2; 3 Mặt cầu S có tâm } thuộc Ox qua hai điểm A, B có phương trình A x y z2 8x B x y z2 8x C x y z2 x D x y z2 8x Câu 3: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu S có phương trình dạng x y z2 x y 2az 10a Tập hợp giá trị thực a để S có chu vi đường trịn lớn 8 A {1 ; 10} B {2 ; -10} C {-1 ; 11} D {1 ; -11} Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 1 , B 3; 2;1 Gọi S mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy bán kính 11 qua hai điểm A, B Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu S A x y z2 y B x y z2 y C x y z2 y D x y z2 y Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho A 2; 0; ; B 0; 2; ; C 0; 0; 2 D điểm khác O cho DA, DB, DC đôi vng góc Gọi I a; b; c tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giá trị biểu thức S a b c A 4 B 1 C 2 D 3 ĐÁP ÁN 1-B 2-A 3-C 4-A 5-B Trang 14 ... dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a A (-2 ; -1 ;-3) B (-3 ; ; -1) C (2 ;-3 ; -1) D ( -1 ; ;-3) Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ. .. ; a3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 a2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ a (1; 0 ;1) , b (2 ;1; ? ?1) Hướng dẫn giải 0 1 1 ; (? ?1; 3 ;1) [a, b ]... dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ? ?1; 2; , B 2 ;1; 2 , C ? ?1; 3 ;1? ?? Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Ta có: AB (1; ? ?1; 2),
Ngày đăng: 18/08/2021, 15:34
Xem thêm:
