Bài 1 hệ tọa độ trong không gian

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đôi   Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ  Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi      u  x; y; z   u xi  y j  zk Chú ý:  1)  0;0;0  a b    1 2) a b  a2 b2 a b  3 a1 kb1      3) a phương b b 0  a kb a kb    Biểu thức tọa độ phép toán vectơ   Cho hai vectơ a  a1 ; a2 ; a3  , b  b1 ; b2 ; b3  k số thực tùy ý Khi ta có:    a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3     a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3    k a  ka1 ; ka2 ; ka3    a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  Ứng dụng tích vơ hướng:     a  b  a.b 0  a1.b1  a b  a b3 0  2   a a.a a12  a 22  a 32 Trang 740   2 a  a  a12  a 22  a 32    a1b1  a b  a 3b3 a.b cos a; b     a.b a12  a 22  a 32 b12  b 22  b32      Với a 0, b 0 Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý     Khi M ( x; y; z)  OM xi  y j  zk Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M Tính chất (x; y; z) ta có khẳng định sau:  Nếu A  x A ; y A ; y A  B  x B ; y B ; y B   AB  x B  x A ; y B  y A ; z C  z A   Khi AB  AB   xB  xA   M O  M  0; 0;  2   yB  yA    zB  zA   Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB  M   Oxy   z 0 , tức M  x; y;0   M   Oyz   x 0 , tức M  0; y; z   M   Oxz   y 0 , tức M  x;0; z   x  x B yA  yB zA  z B  I A ; ;  2    M  Ox  y z 0 , tức M  x;0;0   Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C  G A ; ;  3    M  Oy  x z 0 , tức M  0; y;0   M  Oz  x y 0 , tức M  0;0; z   Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x  x B  x C  x D yA  yB  y C  yD z A  z B  zC  z D  G A ; ;  4   Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b  b1 ; b ; b  Tích có hướng hai vectơ a b     vectơ vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu  a , b  xác định sau:   a  a , b      b2 a3 a3 ; b3 b3 a a1 ; b1 b1 a2   b2   a b3  a b ;a b1  a1b3 ; a1b  a b1  Tính chất       a phương với b   a , b  0       a , b  vng góc với hai vectơ a b Trang 741       b , a    a , b          a , b   a b sin a ; b   Phương trình mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I  a; b;c  bán kính R có phương trình  x  a 2   y  b    z  c  R Ngược lại phương trình x  y  z  2Ax  2By  2Cz  D 0  1 Với A2  B  C  D  phương trình mặt cầu tâm I   A;  B;  C  có bán kính R  A2  B  C  D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2  B  C  D  Trang 742 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz Điểm O gốc tọa độ phương Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Các mặt phẳng tọa độ: HỆ TỌA ĐỘ Tích có hướng KHƠNG GIAN Tích có hướng hai Tọa độ vectơ Tọa độ điểm vectơ vectơ  2 u  u  x  y2  z2  AB  x B  x A ; yB  y A ;z C  z A  Biểu thức tọa độ phép toán vectơ với k số thực B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép toán vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Trang 743 Bài tập       Bài tập Trong không gian Oxyz, cho a   2; 2;0  , b  2; 2;0  , c  2; 2;  Giá trị a  b  c A B C 11 D 11 Hướng dẫn giải Chọn D       2 T a có a  b  c  2;6;  nên a  b  c     44 2 11 Bài tập Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  1; 2;3 , B   1;0;1 Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A  0;1;1  4 B  0; ;   3 C  0; 2;  D   2;  2;   Hướng dẫn giải 1 1   x G  0  200   4   G  0; ;  Tọa độ trọng tâm tam giác là:  yG  3  3  1    z G  3  Chọn B   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  1;  2;  , b  x0 ; y0 ; z0  ) phương với vectơ    a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b  21 Giá trị tổng x0  y0  z0 A  B C  D Hướng dẫn giải Chọn A  k 1 k  4k  16k  21    k    Với k 1 ta có b  1;  2;  , suy góc b Oy thỏa mãn   b.j  cos b, Oy    , b.j   b j  Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k 1 không thỏa mãn   Với k  ta có b   1; 2;   , suy góc b Oy thỏa mãn   b.j  cos b, Oy    , b.j 2  b j  Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k  thỏa mãn  Lại có b  21 suy     Trang 744  Do b   1; 2;   Suy x0  y0  z0       Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có A 3;  1;1 ,  hai đỉnh B, C thuộc trục Oz AA 1 (C không trùng với O) Biết vectơ u (a; b; 2) (với a, b   ) vectơ phương đường thẳng AC Tính T a  b A T 5 B T 16 C T 4 D T 9 Hướng dẫn giải Chọn B Lấy M trung điểm BC  AM  BC Khi ta có  nên BC  AM M;  AA  BC suy M hình chiếu A trục Oz  M  0;0;1 AM 2 Mặt khác AM  AM  AA2  Lại có ABC nên AM  BC   BC 2  MC 1 Gọi C  0;0;c  , c 0 suy MC  c   c 0 MC 1  c  1   ( loại c 0 )  C  0;0;   c 2  AC   3;1;1 vectơ phương đường thẳng AC  Suy u   3; 2; vectơ phương AC     Vậy a  3; b 2 Suy T a  b 16 Dạng Tích có hướng Phương pháp giải Trang 745 Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng cơng thức:   a  a , b      b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  Bài tập: Tính tích có hướng hai vectơ   a  1;0;1 , b  2;1;  1 Hướng dẫn giải  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1    0 1 1 0  a , b   ; ;    1;3;1    1 1 2  Bài tập mẫu   Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a, b khác Kết luận sau sai?     B  2a , b  2  a , b        D  a , b   a b sin a , b     A  a ,3b  3  a , b      C  3a ,3 b  3  a , b    Hướng dẫn giải   Chọn C     Ta có:  3a ,3 b  3  a ,3 b  9  a , b  (C sai)    Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a  1; 2;1 , b  0; 2;  1 , c (m,1; 0)    Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m 1 C m  B m 0 D m  Hướng dẫn giải Chọn D   Ta có  a , b    4;1;      Ba vectơ a; b; c đồng phẳng   a,   b  c 0   4m  0  m  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A  0;0;3 , B  2;  1;0  , C  3; 2;  , D  1;3;5  , E  4; 2;1 tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D Hướng dẫn giải Chọn A Xét đáp án A, giả sử C đỉnh hình chóp, ta có:     AB  2;  1;  3 , AD  1;3;  , AE  4; 2;   , AC  3; 2;1      AB, AD  AE 4.7  2.7  2.7 0         AB, AD  AC 3.7  2.7  1.7 14 Trang 746 Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp Bài tập Trong không gian Oxyz cho điểm A  1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 , D  2;  2;0  Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D? A 10 B C D Hướng dẫn giải Chọn C   Ta có AB   1; 2;0  , AD  1;  2;0  , suy điểm A, B, D thẳng hàng Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là:  OCB  ,  OCA ,  OCD  ,  OAB  ,  ABC  Dạng Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải    Diện tích hình bình hành: SABCD   AB, AD    S  AB, AC   Tính diện tích tam giác: ABC     V  AB, AC  AD  Tính thể tích hình hộp: ABCD.ABCD     AB, AC  AD V   Tính thể tích tứ diện: ABCD  6 Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1; 2;0  , B  2;1;  , C   1;3;1 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Chọn B    AB  1;  1; , AC   2;1;1 Ta có:     , BC   3; 2;  1 Suy AB AC  6; BC  14  35 Suy SABC   AB, AC     2 Gọi RABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có Trang 747 R ABC  AB.AC.BC 6 14 10   4SABC 35 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho A  2; 1;  1 , B  3;0;1 , C (2;  1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D A D  0;  7;0  B D  0;8;0  C D  0;  7;0  D  0;8;0  D D  0;7;0  D  0;  8;0  Hướng dẫn giải Chọn C Vì D  Oy nên D  0; y;0  Khi Thể tích tứ diện ABCD V    AB, AC  AD  4y    Theo đề ra, ta có 4y  5   y   y 8  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a  A  0;0;0  , B  0; a;0  , C  ; ;0  A 0;0; 2a  Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động 2   cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A a2 B a2 C a2 D a 15 Hướng dẫn giải Chọn C   a a  ; ;2a  Ta có CC AA  C   2  Trang 748   CC BB  B 0;a;2a  Điểm D trung điểm BB' nên D  0; a; a    a a  M (0;0; t ) với  t  2a Ta có DC  ;  ;a  ,DM  0;  a; t  a   2   Ta có: SMDC  2   a  DC,DM   a 4t  12at  15a    Suy minSMDC   2t  3a   6a2 a2  a2 t  a Dạng 4: Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Cách viết phương trình mặt cầu:  Mặt cầu tâm I  a; b;c  , bán kính R có phương trình  x  a 2   y  b    z  c  R 2 Bài tập: Phương trình mặt cầu tâm I  2;  1;1 , bán kính R =  x     y  1   z  1 9  Xét phương trình: x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0  * Ta có  *   x  2ax    y2  2by    z  2cz   d 2   x  a    y  b    z  c  a  b  c  d Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a  b  c  d  taâm I   a;  b;  c  Khi (S) có   bán kính R  a2  b2  c2  d 2 2 Đặc biệt mặt cầu  S  : x  y  z R (S) có  tâm O  0; 0;    bán kính R Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình  S : x  y2  z  2x  6y  6z  0 Tính diện tích mặt cầu (S) A 100 B 120 C 9 D 42 Hướng dẫn giải Trang 749 Chọn A Mặt cầu (S) có tâm I  1;  3;3 , bán kính r     5 Vậy diện tích mặt cầu 4 r 4 52 100 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm I  1;  2;3 Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB 2 2 B  x  1  ( y  2)   z  3 20 2 2 D  x  1   y     z  3 9 A  x  1   y     z   16 2 C  x  1   y     z  3 25 2 Chú ý: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : - Xác định điểm M      AM, u    - Áp dụng công thức: d  A,     u Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H trung điểm AB  IH  AB H  IH d  I; AB  d  I;Ox  Lấy M  2;0;0   Ox  IH d  I,Ox     IM,i       i Bán kính mặt cầu cần tìm R IA  IH  HA 4 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm  x  1   y     z   16 2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x  1   y     z  1 9 hai điểm A  4;3;1 , B  3;1;3 ; M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P 2MA  MB2 Giá trị (m  n) A 64 B 60 C 68 D 48 Trang 750 Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2;  1 bán kính R =    Lấy điểm E cho 2AE  BE 0  E  5;5;  1 Ta có IE 5 Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu (S)   2  2 P  2MA  MB  ME  AE  ME  BE Khi     ME  2AE  BE P lớn nhỏ ME lớn nhỏ max ME IE  R 8;min ME IE  R 2 Do m max P 64  2AE  BE ; n min P 4  2AE  BE Suy m  n 60 Chọn B Trang 751