THÔNG TIN TÀI LIỆU
a BÀI – HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I – TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VECTƠ – Hệ tọa độ Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm: • Ba trục xOx, yOy, zOz đơi vng góc • i , j , k vectơ đơn vị trục xOx, yOy, zOz Gọi đơn giản: Hệ tọa độ Oxyz • O gốc tọa độ • Các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx mặt phẳng tọa độ • Không gian với hệ tọa độ Oxyz không gian Oxyz – Tọa độ điểm Với điểm M không gian Oxyz , cho số nhất: OM = xi + yj + zk Ta gọi số ( x ; y ; z ) tọa độ điểm M với hệ tọa độ Oxyz , kí hiệu M ( x ; y ; z ) – Tọa độ vectơ Trong không gian Oxyz cho vectơ a , ln tồn số ( a1 ; a2 ; a3 ) cho a = a1i + a2 j + a3k Ta gọi ba số ( a1 ; a2 ; a3 ) tọa độ vectơ a hệ tọa độ Oxyz cho trước, kí hiệu a = ( a1 ; a2 ; a3 ) a ( a1 ; a2 ; a3 ) II – BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ Trong khơng gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) b = ( b1; b2 ; b3 ) Ta có: • a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) ; • a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) ; • ka = k ( a1 ; a2 ; a3 ) = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) với k Hệ • a = b a1 = b1 ; a2 = b2 ; a3 = b3 • • • • Vectơ có tọa độ ( 0;0;0 ) a1 = kb1 Nếu b a // b k | a2 = kb2 a = kb Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) Cho hình bình hành ABCD, biết tọa độ A, B, C , ta tìm tọa độ điểm D xD = xA + xC − xB sau: yD = y A + yC − yB z = z + z − z A C B D Bài – Hệ tọa độ khơng gian 23 III – TÍCH VƠ HƯỚNG Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Định lý Trong khơng gian Oxyz , tích vơ hướng hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) xác định công thức: a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Ứng dụng • Độ dài vectơ: Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , a = a12 + a22 + a32 • Khoảng cách hai điểm: AB = AB = • Góc hai vectơ: cos = cos a , b = • Từ suy a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 a1b1 + a2b2 + a3b3 ( ) a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 IV – PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lý Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) , bán kính r có phương trình: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = r Lưu ý: A2 + B + C − D A2 + B + C − D Phương trình x + y + z + Ax + By + Cz + D = , với điều kiện A B C phương trình mặt cầu tâm I ; ; , bán kính r = −2 −2 −2 V – TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa Tích có hướng (hay tích vectơ) hai vectơ u ( a ; b ; c ) v ( a, b, c ) vectơ, kí hiệu u , v (hoặc u v ) có tọa độ xác định sau: b c c a a b ; ; = ( bc − bc ; ca − ca ; ab − ab ) b c c a a b Lưu ý: i , j = k ; j , k = i ; k , i = j Tính chất • u , v = u // v ; u , v = • • u , v .u = u , v .v = u , v = u v sin ( u , v ) Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 24 Ứng dụng • Cho hình bình hành ABCD Ta có: S ABCD = AB, AD • Thể tích khối hộp: Khối hộp ABCD ABC D tích: V = AB, AD AA Tính đồng phẳng ba vectơ • u , v phương u , v = • u , v , w đồng phẳng u , v w = V – BÀI TẬP LUYỆN TẬP Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = 2i + j − 5k ; b = −3 j + 4k ; c = −i − j a) Xác định tọa độ vectơ a, b , c , x = 3a + 2b tính x b) Tìm giá trị x để vectơ y = ( x − 1; − x ;3x + ) vng góc với vectơ 2b − c c) Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, phân tích vectơ u = ( 3;7; − 14 ) qua ba vectơ a, b , c ( ) Cho hai vectơ a , b thỏa mãn a , b = 120, a = 2, b = a) Tính a − 2b b) Tính góc hai vectơ a x = 3a + 2b Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = (1;0; − ) , b = ( −2;1;3) , c = ( −4;3;5 ) a) Tìm tọa độ vectơ 3a − 4b + 2c b) Tìm hai số thực m, n cho ma + nb = c Trong không gian Oxyz , cho ABC với A ( 2; − 3;1) , B (1; − 1; ) C ( −2;1;6 ) a) Xác định tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b) Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành, tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình bình hành c) Xác định tọa độ điểm M cho MA = −2MB Bài – Hệ tọa độ khơng gian 25 Cho tam giác ABC có A (1;0; − ) , B ( −1;1;0 ) , C ( −2; 4; − ) a) Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC b) Tìm tọa độ giao điểm phân giác trong, phân giác ngồi góc A với đường thẳng BC Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có tọa độ điểm A ( −1; 2;3) , C (1; 4;5 ) , B ( −3;3; −2 ) D ( 5;3; ) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp Cho ba điểm A ( 2;5;3) , B ( 3;7; ) , C ( x ; y ;6 ) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng Cho hai điểm A ( −1;6;6 ) , B ( 3; − 6; − ) Tìm M mp ( Oxy ) cho MA + MB nhỏ Tìm trục Oy điểm cách hai điểm A ( 3;1;0 ) , B ( −2; 4;1) 10 Tìm mặt phẳng ( Oxz ) điểm cách ba điểm A (1;1;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 3;1; − 1) 11 Cho hai điểm A ( 2; − 1;7 ) , B ( 4;5; − ) Đường thẳng AB cắt mp ( Oyz ) điểm M Điểm 12 M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M Cho u ( 2; − 1;1) , v ( m ;3; − 1) , w (1; 2;1) Tìm m để ba vectơ đồng phẳng 13 Cho u (1; 2;3) , v ( 2;1; m ) , w ( 2; m ;1) Tìm m để ba vectơ không đồng phẳng 14 Cho u (1;1; ) , v ( −1;3;1) Tìm vectơ đơn vị đồng phẳng với u , v , đồng thời tạo với u góc 15 45 Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 0; 2;0 ) , B ( −1;0; − 3) , C ( 0; − 2;0 ) , D ( 3; 2;1) a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng b) Tính diện tích tam giác BCD đường cao BH tam giác BCD c) Tính thể tích tứ diện ABCD đường cao tứ diện hạ từ A d) Tìm tọa độ E cho tứ giác ABCE hình bình hành e) Tính cơ-sin góc hai đường thẳng AC BD f) Tìm điểm M Oy cho BMC cân M g) Tìm tọa độ điểm G trọng tâm tứ diện ABCD chứng minh A, G , A thẳng hàng, với A trọng tâm tam giác BCD 16 ( ) Cho hai vectơ a , b có a = 3; b = 3; g a , b = 30 Tính a) Độ dài vectơ a + b ; 5a + 2b ; 3a − 2b b) Độ dài vectơ a , b , a ,3b , 5a; 2b 17 Tìm điều kiện tham số m cho a) Ba vectơ u = ( 2;1; − m ) , v = ( m + 1; − 2;0 ) , w = (1; − 1; ) đồng phẳng Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 26 b) Bốn điểm A (1; − 1; m ) , B ( m ;3; 2m − 1) , C ( 4;3;1) , D ( m + 3; − m ; − m ) thuộc mặt phẳng c) Góc hai vectơ a = ( 2; m ; 2m − 1) , b = ( m ; 2; − 1) 60 18 Cho hình chóp S ABCD với A ( 4; − 1; ) , B ( −1;0; −1) , C ( 0;0; − ) , D (10; − 2; ) Gọi M trung điểm CD Biết SM ⊥ ( ABCD ) VS ABCD = 66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S 19 Trong không gian Oxyz , cho ABC có tọa độ điểm A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 ) 20 a) Xác định cos BAC , từ suy số đo góc BAC b) Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H A BC tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng BC Cho ABC có B ( −1;1; −1) , C ( 2;3;5 ) Điểm A có tung độ , hình chiếu điểm A 49 BC K 1; ;3 diện tích tam giác ABC S = a) Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hồnh độ dương b) Tìm tọa độ chân đường vng góc hạ từ B đến AC c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I trực tâm H ABC 21 Cho ABC có A ( 2;3;1) ,B ( −1; 2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC b) Tìm tọa độ H trực tâm ABC c) Tìm tọa độ I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC 22 Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 5;3; − 1) , B ( 2;3; − ) điểm C nằm mặt phẳng ( Oxy ) có tung độ nhỏ a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD tứ diện b) Tìm tọa độ điểm S biết SA, SB, SC đôi vng góc 23 Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A ( 3; − 2; ) a) Tìm tọa độ hình chiếu A lên trục tọa độ mặt phẳng tọa độ b) Tìm M Ox, N Oy cho AMN vuông cân A c) Tìm tọa độ điểm E ( Oyz ) cho AEB cân E , có diện tích 29 với B ( −1; 4; − ) Bài – Hệ tọa độ không gian 24 27 Trong không gian Oxyz , cho A ( 4;0;0 ) , B ( x0 ; y0 ;0 ) với x0 , y0 thỏa mãn AB = 10 AOB = 45 a) Tìm C tia Oz cho thể tích tứ diện OABC b) Gọi G trọng tâm ABO M cạnh AC cho AM = x Tìm x để OM ⊥ GM 25 26 27 Lập phương trình mặt cầu ( S ) , biết ( S ) qua C ( 2; − 4;3) hình chiếu C lên ba trục tọa độ Cho phương trình x + y + z − 4mx + y + 2mz + m2 + 4m = Xác định m để phương trình mặt cầu Khi tìm m để bán kính nhỏ Cho phương trình x + y + z + x cos − y sin − z − ( + sin ) = Xác định để phương trình mặt cầu Khi tìm để bán kính nhỏ nhất, lớn VI – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 28 Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh A ( a ;0;0 ) , B ( 0; b ;0 ) , C ( 0;0; c ) Tọa độ trọng tâm ABC A ( a ; b ; c ) 29 B ( −a ; − b ; −c ) − a −b − c D ; ; 3 a b c C ; ; 3 3 Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA = 3MB 13 A M ; ;1 3 30 7 B M ; ; − 3 7 C M ; ;3 3 D M ( 4; − 3;8 ) Trong không gian Oxyz , cho vectơ u = 2i − j + k , v = ( m ; 2; m + 1) với m Có số thực m để u = v ? A 31 B C D Trong không gian Oxyz , cho vectơ a = (1; − 2;3) Tìm tọa độ vectơ b biết vectơ b ngược hướng với vectơ a b = a A b = ( 2; − 2;3) 32 B b = ( 2; − 4;6) C b = ( −2;4; − 6) ( D b = ( −2; − 2;3) ) Trong không gian Oxyz , góc hai vectơ i u = − ;0;1 A 120 B 60 C 150 D 30 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 28 33 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1; −2;3) , B ( 0;3;1) , C ( 4; 2; ) Cơsin góc BAC A 34 35 B C − 35 D − 35 Trong không gian Oxyz , cho vectơ u = (1;1; ) , v = ( 2;0; m ) Tìm giá trị m biết cos ( u , v ) = 30 A m = 35 35 m = B m = −11 C m = −11 D m = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (1;1;1) , N ( 2;3; ) , P ( 7;7;5 ) Để tứ giác MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q A ( −6; − 5; −2 ) 36 C ( 6;5; ) D ( −6;5; ) Trong không gian Oxyz , cho OA = 2i + j + 2k , B ( −2; 2;0 ) , C ( 4;1; − 1) Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm cách ba điểm A, B, C 1 3 A M ; 0; 2 4 37 B ( 6; − 5; ) −3 −1 B N ;0; −1 C P ;0; 4 −3 D Q ;0; 2 Trong không gian Oxyz , cho vectơ a = ( 2; m − 1;3) , b = (1;3; − 2n ) Tìm m, n để vectơ a , b hướng A m = 7; n = − 38 B m = 4; n = −3 C m = 1; n = D m = 7; n = − Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1; 2; − 3) , B (1;0; ) , C ( x ; y ; −2 ) Biết A, B, C thẳng hàng, x + y A 39 B 17 C − 11 D 11 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2;1) , B ( 0;1; ) Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng A M ( 4; − 5;0 ) B M ( 2; − 3;0 ) C M ( 0;0;1) D M ( 4;5;0 ) Bài – Hệ tọa độ không gian 40 29 Trong không gian Oxyz , cho A ( −3;1; ) , tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua trục Oy A ( 3; − 1; −2 ) 41 B ( 3; − 1; ) D ( −3; − 1; ) C ( 3;1; −2 ) Trong không gian Oxyz , gọi a, b, c khoảng cách từ M (1;3; ) đến ba mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) Tính P = a + b2 + c3 A P = 32 42 B P = 18 C P = 30 D P = 12 Trong không gian Oxyz , cho A ( 3;1;0 ) , B ( 0; − 1;0 ) , C ( 0;0; − ) Nếu ABC có đỉnh thỏa mãn hệ thức AA + BB + CC = tam giác ABC có tọa độ trọng tâm A ( 3; − 2;0 ) 43 B ( 2; − 3;0 ) C (1;0; − ) D ( 3; − 2;1) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; ) , B ( −2; −1; ) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho E cách hai điểm A B 1 A 0; 0; 2 44 1 B 0; 0; 3 C ( 0;0; − 1) D ( 0;0;1) Trong không gian Oxyz , cho vectơ u = (1;1; − ) , v = (1;0; m ) Tìm m để góc hai vectơ u v 45 A m = + 45 B m = − C m = Trong không gian Oxyz , biết u = 2, v = g ( u , v ) = D m = 2 Tìm k để vectơ p = ku + v vuông góc với vectơ q = u − v A k = 46 B k = C k = 2 D k = − Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 5;1;5 ) , B ( 4;3; ) , C ( −3; − 2;1) Điểm I ( a ; b ; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a + 2b + c ? 47 A B C D −9 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; − 2; ) , B ( −5;6; ) C ( 0;1; − ) Độ dài đường phân giác góc A ABC A 74 B 74 C 74 D 74 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 30 48 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1;3) , C ( −4;7;5 ) Tọa độ chân đường phân giác góc B ABC 11 A − ; ;1 3 49 11 B ; −2;1 3 11 C ; ; 3 3 D ( −2;11;1) Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 2;1;1) Gọi điểm A, B, C trục tọa độ Ox, Oy, Oz cho H trực tâm ABC Khi hồnh độ điểm A B −5 A −3 50 C D Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2; − 1) , B ( 2;1;1) C ( 0;1; ) Gọi H ( x ; y ; z ) trực tâm ABC Giá trị S = x + y + z A 51 B C D Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0; 2; − ) , B ( 2; 2; − ) Giả sử I ( a ; b ; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Tính T = a + b + c B T = A T = 52 D T = 14 C T = Trong khơng gian Oxyz , cho hình thang ABCD vng đỉnh A B Ba đỉnh A (1; 2;1) , B ( 2;0; − 1) , C ( 6;1;0 ) Biết diện tích hình thang Giả sử D ( a ; b ; c ) Tìm mệnh đề A a + b + c = 53 B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Trong không gian Oxyz , cho vectơ a = (1; − 2;4) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) phương với a Biết b tạo với tia Oy góc nhọn b = 21 Tổng x0 + y0 + z0 A −3 54 B C −6 D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) qua điểm M (1; 2;1) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội Khoảng cách từ O đến mp ( ) A 55 21 B 21 21 C 21 D 21 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2; 2; − ) ; B ( 3; −3;3) Điểm M không gian cho A MA = Độ dài OM lớn MB B 12 C D Bài – Hệ tọa độ không gian 56 31 Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;0;6 ) Biết có hai điểm M , N phân biệt thuộc trục Ox cho đường thẳng AM , AN tạo với đường thẳng chứa trục Ox góc 45 Tổng hồnh độ hai điểm M , N tìm A 57 B C D Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0;0; − 1) , B ( −1;1;0 ) , C (1;0;1) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA2 + 2MB − MC nhỏ 3 A M ; ; −1 58 B M − ; ; 3 C M − ; ; −1 D M − ; ; −1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;3; ) , B (8; − 5;6 ) Hình chiếu vng góc trung điểm I đoạn AB mặt phẳng ( Oxz ) điểm sau đây: A N ( 3; − 1;5 ) 59 C P ( 3;0;0 ) B Q ( 3;0;5 ) D M ( 0; − 1;5 ) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; ) , C ( −1; 2; ) D ( 3;3;1) Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) A 60 B C 14 D Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;1; ) , B ( 5; − 1;3) , C ( 2; 2; m ) , D ( 3;1;5 ) Tìm tất giá trị tham số m để A, B, C , D bốn đỉnh hình tứ diện A m B m C m D m = 61 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2; 4;5 ) , b = ( 0; m ; m ) Có giá trị 62 tham số m để a.b = 0? A B C D Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , C ( 0;0; − ) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tọa độ A ( −2; − 4;6 ) 63 C ( −1; − 2;3) B ( 2; 4; − ) D (1; 2; − 3) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( a ;0;0 ) , B (1; b ;0 ) , C (1;0; c ) với a, b, c số thực thay đổi thỏa mãn H ( 3; 2;1) trực tâm ABC Tính S = a + b + c A S = B S = 19 C S = 11 - Hết - D S = ... (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( −4;7;5 ) Tọa độ chân đường phân giác góc B ABC 11 A − ; ;1? ?? 3 49 11 B ; −2 ;1? ?? 3 11 C ; ; 3 3 D ( −2 ;11 ;1) Trong không gian Oxyz... 0;0 ;1) D M ( 4;5;0 ) Bài – Hệ tọa độ không gian 40 29 Trong không gian Oxyz , cho A ( −3 ;1; ) , tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua trục Oy A ( 3; − 1; −2 ) 41 B ( 3; − 1; ) D ( −3; − 1; ... − 35 Trong không gian Oxyz , cho vectơ u = (1; 1; ) , v = ( 2;0; m ) Tìm giá trị m biết cos ( u , v ) = 30 A m = 35 35 m = B m = ? ?11 C m = ? ?11 D m = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
Ngày đăng: 23/12/2022, 02:31
Xem thêm: