02 03 03 01 hh12 chuong iii pptđ ptđt tu luan hdg chi tiet

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III C H Ư Ơ N BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ THUYẾT I = = I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = IVectơ phương đường thẳng   Vectơ a 0 vectơ phương đường thẳng d giá  vectơ a song song trùng với đường thẳng d a d a' Phương trình tham số - Phương trình tắc đường thẳng  M0  x0 ; y0 ; z0  a  a1 ; a2 ; a3  d Đường thẳng qua có vectơ phương  x x0  a1t   y y0  a2tt (R )  z z  a t  + Phương trình tham số đường thẳng d là: + Phương trình tắc đường thẳng d là: d: x  x0 y  y z  z   a1 a2 a3 (2)  a1 a2 a3 0 a  M0 II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  x x0 /  b1 k  d2 :  y y0 /  b2 k  z z /  b k  Cho hai đường thẳng  a  a1 ; a2 ; a3  d Đường thẳng có vectơ phương  b  b1 ; b2 ; b3  d Đường thẳng có vectơ phương  x x0  a1t  d1 :  y y0  a2t  z z  a t  Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình bản: (1)   Bước 1: Kiểm tra tính phương a b Bước 2: Nhận xét:  d1 / / d2    d d2 a b + Nếu phương thì:    d d d d + Nếu a b khơng phương cắt chéo d d  TH1: cắt   Điều kiện 1: a b không phương Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: Kết luận: ( t , k0 ) d1 cắt  x0  a1t x0  b1 k (1)   y0  a2t y0  b2 k (2)  z  a tzbk (3)  (*) có nghiệm d2 điểm M0  x0  a1t0 ; y0  a2tz0 ; a0t Lưu ý: Giải hệ (*) cách: Từ (1) (2) giải  t ;k  0 thay vào (3) t ;k  (Nếu (3) thoả 0 , ngược lại khơng) d d  TH2: chéo   Điều kiện 1: a b không phương  x0  a1t x0  b1 k (1)   y0  a2t y0  b2 k (2)  z  a tzbk (3)  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: d d  TH3: song song với   Điều kiện 1: a b phương (*) vô nghiệm M0 M ( x ; y ; z )  d1 M  d2 Điều kiện 2: Chọn điểm 0 0 Cần rõ d d  TH4: trùng   Điều kiện 1: a b trùng M0  x0 ; y0 ; z0   d1 Điều kiện 2: Chọn điểm Cần rõ  d1  d2  a.b 0  a1b1  a2 b2  a3b3 0 Đặc biệt: d1 M0  d2 d2 M0 Xét vị trí tương đối sau: d1 d2 theo chương trình nâng cao sơ đồ  u Đường thẳng d có vectơ phương d vµ M0  d  ud/ vµ M0/  d Đường thẳng d’ có vectơ phương -    u ;u  d d  Tính     u ; u   0  d d      u ; u  0   d d        ud ; M0 M0  0   Trùng     u ; u  0   d d        ud ; M0 M0  0   Song song   u ; u   0  d d     u ; u  0   d d        ud ; M0 M0  0   Cắt     u ; u  0   d d        ud ; M M0  0   Chéo III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thẳng:  x x0  a1t  d :  y y  a2 t  z z  a t  mp ( ) : Ax  By  Cz  D 0  x x0  a1t (1)  (2)  y y0  a2 t (*)  (3)  z z  a t   Ax  By  Cz  D 0 (4) Xé hệ phương trình: o (*) có nghiệm  d cắt ( ) o (*) có vơ nghiệm  d // ( ) o (*) vô số nghiệm  d  ( ) IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG o Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ  u phương :    M M; u    d (M , d )   u o Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng o Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  u d qua điểm M có vectơ phương d’ qua điểm M’ có  u vectơ phương ' là:      u; u ' M M   d ( d , d ')     u; u '   o Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  u ( a; b; c ) o Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương  u ' ( a '; b '; c ')  : cos   aa ' bb ' cc ' a  b  c a '  b '2  c ' Đặc biệt: (d)  ( d ')  aa ' bb ' cc ' 0 (0 o  90 o )  o Góc đường thẳng d có vectơ phương u ( a; b; c ) mp ( ) có vectơ  n pháp tuyến ( A; B; C ) là:   sin   cos( n, u)  Aa  Bb  Cc A  B  C a  b2  c (0 o  90 o ) II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG I XÁC IPhương pháp    a o Vectơ 0 vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d   ka ,( k 0) a d o Nếu vectơ phương đường thẳng vectơ phương d    a u d o Gọi vectơ phương đường thẳng Nếu có vectơ , b   u  a   ub khơng phương  chọn vectơ phương đường      u  a , b  u k  a , b  , k 0 thẳng d Ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  1;  1;  , B  2; 3; 1 , C  4; 2;  ; đường thẳng  x 1  1 :  y 2  3tt  R  z 3  4t   , x  y z 3   3 ; mặt phẳng ( P ) : x  3y  z  0 , (Q) : 3x  z 0 Tìm vectơ phương đường thẳng sau:  1) Đường thẳng d  2) Đường thẳng qua A song song với  : 3) Đường thẳng AB Oy d 4) Đường thẳng qua B song song với d 5) Đường thẳng qua C vng góc với ( P ) d  6) Đường thẳng qua B , vng góc với Ox d  (Q)  7) Đường thẳng qua O vng góc với d 8) Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( P),(Q) d  9) Đường thẳng qua B vng góc với song song với mặt phẳng (Oxy) d 10)Đường thẳng qua A , cắt vng góc với trục Oz Lời giải:   1) Đường thẳng có vectơ phương a ( 0;  3; 4)   d / /  b có vectơ phương (3;  3; 2) Ta có: nên 2) Đường thẳng  b (3;  3; 2) vectơ phương d1  3) Đường thẳng AB có vectơ phương AB (1; 4;  1)  d2 / /Oy 4) Đường thẳng nên có vectơ phương j (0; 1; 0)  n1 (1; 3;  2) d  ( P) ( P ) 5) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Đường thẳng  n (1; 3;  2) nên có vectơ phương  u d 6) Gọi vectơ phương đường thẳng   u4  i     i , a   0;  4;  3 u  a u4  0; 4; 3    Ta có: , chọn   n2  3; 0;  1 u5 ( Q ) 7) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Gọi vectơ   u5  n2      n2 , b  (  3;  9;  9) u  b d5  phương đường thẳng Ta có:  ,  chọn  u5 (1; 3; 3)     n1 , n2    3;  5;   u6 d6 8) Gọi vectơ phương đường thẳng Ta có: ,   u6  n1     u6  3; 5;  u6  n2 chọn  (Oxy ) u d 9) Gọi vectơ phương đường thẳng Mặt phẳng có   u7  n2       n2 , k    3; 3;  u  k k  0; 0;1    vectơ pháp tuyến Ta có: , chọn  u7  1;  1;  d8  Oz  H  Oz  H  0; 0;  H d8  Oz  A  d8 10) Gọi Ta có hình chiếu A lên  OA  1;  1;  d Vậy có vectơ phương Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : x  3ky  z  0  : kx  y  z  0   ,    Tìm k để giao tuyến 1) vng góc với mặt phẳng  P : x  y  z  0 2) song song với mặt phẳng  Q :  x  y  2z  0 Lời giải:    ,    Gọi u vectơ phương đường thẳng d giao tuyến     có vectơ pháp n  1; 3k ;  1 Mặt phẳng  n  k ;  1;    Mặt phẳng có vectơ pháp   u  n       u  n u  n , n   k  1;  k  2;  3k    Ta có: chọn  n  1;  1;   1) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến P Đường thẳng d vng  góc với mặt phẳng nghiệm)    3k  k  0    11k  0    1  5k 0   u, nP  0  phương (vô    u , nP Vậy không tồn giá trị k thỏa yêu cầu toán  nQ   1;  1;   2) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  Q :  k 0   6k   k   3k  0  3k  k 0    k 7   u.nP 0  2 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp Bước 1: Xác định M0  x0 ; y0 ; z0   d Bước 2: Xác định vectơ phương Bước 3: Áp dụng cơng thức, ta có:  a  a1 ; a2 ; a3  d: o Phương trình tham số d: o Phương trình tắc của đường thẳng d  x x0  a1t   y y0  a2tt (R )  z z  a t  x  x0 y  y z  z   ;  a1 , a2 , a3 0  a1 a2 a3 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 : x y2 z   1  x 2  2t   :  y   t  z 3t  1) tham số đường thẳng thẳng  1 Viết phương trình: 2) tắc đường Lời giải: 1) Đường thẳng 1 qua phương trình tham số là: 2) Đường thẳng 1 qua có vectơ phương  u  1;  1;  , có có vectơ phương  u  2;  1; 3 , có M  1;  2;   x 1  t   y   t  z 2t  N  2;  1;  x  y 1 z   1 phương trình tắc là: Chú ý: Nếu đề yêu cầu viết phương trình đường thẳng ta viết phương trình tham số hay phương trình tắc đường thẳng Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 0;  1 ,  x t  1 :  y   t  z 2t B  2; 3;   C  1; 2;  D   1; 2;1  , , ; đường thẳng thẳng ; mặt phẳng   : 3x  5y  z  0 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:  u   1; 3;  A 1) Qua có vectơ phương 3) Qua 1 M0  1; 2; 3 2) Qua điểm B, C song song với trục tung 4) Qua C song song với  Oxz  5) Qua B vng góc với 6) Qua D vng góc với   Lời giải: 1) Đường thẳng d qua A  2; 0;  1 phương trình tham số là: 2) Đường thẳng d qua phương trình tham số là: , có BC   1;  1;  , có có vectơ phương  x 2  t   y 3t  z   5t  B  2; 3;  3  u   1; 3; 5 có vectơ phương  x 2  t   y 3  t  z   7t   M0  1; 2; 3  Ox 3) Đường thẳng d qua song song với trục Ox nên nhận  i  1; 0;  làm vectơ phương, có phương trình tham số:  x 1  t   y 2  z 3  C  1; 2;   4) Đường thẳng d qua điểm Đường thẳng có vectơ   u  1;  1;  u  1;  1;  d / / 1  d phương Ta có: có vectơ phương x y z   1 Vậy phương trình tắc đường thẳng d là: 5) Đường thẳng d qua điểm  j  0;1;  tuyến Đường thẳng d vng góc với B  2; 3;  3  Oxz  Mặt phẳng nên nhận  Oxz   j (0; 1; 0) có vectơ pháp làm vectơ  x 2   y 3  t  z  phương Vậy phương trình tham số đường thẳng d là:  D   1; 2; 1    có vectơ pháp 6) Đường thẳng d qua điểm Mặt phẳng   n  3; 5;  1  n  3; 5;  1  d tuyến Đường thẳng vuông góc với nên nhận làm vectơ phương Vậy phương trình tắc đường thẳng d là: x 1 y  z    1 Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  1; 1;  1 ,  x 2  t  1 :  y   t  z t B  2;  1; 3 C  1; 2;  D   1;  2; 1  , , ; đường thẳng thẳng , x 1 y z    1 ; mặt phẳng    : x  y  z  0 ,    : x  y  2z  0 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:  :  , AB 1) Qua A vng góc với đường thẳng AC trục Oz 2) Qua B vuông góc với đường thẳng 3) Qua O song song với mặt phẳng    ,  Oyz     vng góc với  4) Qua C , song song với   ,    5) d giao tuyến hai mặt phẳng Lời giải: A  1; 1;  1  1) Đường thẳng d qua Đường thẳng có vectơ phương       u ; AB   2;  3;  1  u1  1;  1; 1 AB  1;  2;    ; Gọi u vectơ phương   u  u1     u  2; 3;1 u  AB   d Ta có: chọn Vậy phương trình tắc d x  y  z 1       AC  0; 1; 3 ; k  0; 0;1   AC , k   1; 0;     2) Đường thẳng d qua ; Gọi u  u  AC     u  1; 0;  u  k  vectơ phương d Ta có:  chọn B  2;  1; 3  x 2  t   y   z 3 Vậy phương trình tham số d   O  0; 0;  n1  1; 2;  1   ; d 3) Đường thẳng qua ; vectơ pháp tuyến     n1 , i   0;  1;   i  1; 0;  Oyz  ;   vectơ pháp tuyến Ta có:    u  n1      u  0; 1;  ui   u d Gọi vectơ phương Ta có: chọn Vậy phương trình tham số d C  1; 2;   x 0   y t  z 2t   n2  1; 1;  ; 4) Đường thẳng d qua ; vectơ pháp tuyến      n2 , u2  (  1; 3;  1) u2  2;1;1  ; vectơ phương Ta có: Gọi u   u  n2     u  u2 vectơ phương d Ta có:  chọn u (  1; 3;  1) Vậy phương x y z   1 trình tắc d  5) Chọn điểm giao tuyến d :  x  y  z  0  x  (I)   x  y  z  0 y 2  z  Xét hệ phương trình: Cho , giải được:   A   5; 2;   d Từ suy d2  mp  P  Kết luận: Mặt phẳng (P): x  y  z  0 mặt phẳng thỏa yêu cầu tốn IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp:  x x0  a1t  d :  y y0  a2tt (R )  z z  a t  Cho đường thẳng mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D 0 Xét hệ phương trình  x x0  a1t   y  y  a2 t   z z0  a3t  Ax  by  Cz  D 0   A  x0  a1t   B  y0  a2t   C  z0  a3t   D 0 (1) o Nếu (1) vơ nghiệm d / /( P ) o Nếu (1) có nghiệm M  x0  a1t0 ; y0  a2 tz0 ; a0t tt d cắt ( P )  o Nếu (1) có vơ số nghiệm d  ( P) Chú ý: Nếu VTCP d phương với VTPT ( P ) d  ( P ) Ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  x t  d1 :  y   2t d :  z  3t  ; ( P) : x  y  z  0 Xét vị trí tương đối d a) ( P )  x  t   y 1  2t x  y 1 z  z t d3 :    1  mặt phẳng ; của: b) d2 ( P) c) d3 ( P) Lời giải: a) Xét hệ phương trình: d1 / /( P )  x t   y   2t   z  3t  x  y  x  0 , ta thấy hệ vô nghiệm Suy