02 03 03 01 hh12 chuong iii pptđ ptđt de full bai 03

CHƯƠN G III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I = LÝ THUYẾT I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng   a Vectơ 0 vectơ phương đường thẳng d giá  vectơ a song song trùng với đường thẳng d a a' Phương trình tham số - Phương trình tắc đường thẳng Đường thẳng d qua M0 x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  a a1 ; a2 ; a3   x x0  a1t   y y0  a2t (t  R)  z z  a t + Phương trình tham số đường thẳng d là:  (1) + Phương trình tắc đường thẳng d là: a x  x0 y  y z  z d:   a1 a2 a3  a a a 0  (2) M II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  x x0 /  b1 k  x x0  a1t   d2 :  y y /  b2 k d1 :  y y0  a2 t  z z /  b k  z z  a t 3   Cho hai đường thẳng  a a1 ; a2 ; a3  d Đường thẳng có vectơ phương  b b1 ; b2 ; b3  d Đường thẳng có vectơ phương d Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình bản:   Bước 1: Kiểm tra tính phương a b Bước 2: Nhận xét:  d1 //d2    d d2 a b + Nếu phương thì:    a b + Nếu khơng phương d1 cắt d2 d1 d2 chéo  TH1: d1 cắt d2   Điều kiện 1: a b không phương Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: ( t , k0 )  x0  a1t x0  b1 k (1)   y0  a2t y0  b2 k (2)  z  a t z  b k (3)  (*) có nghiệm M x  a t ; y  a t ; z  a t  Kết luận: d1 cắt d2 điểm 0 0 0 Lưu ý: Giải hệ (*) cách: Từ (1) (2) giải t ; k  , ngược lại khơng) t ; k  thay vào (3) (Nếu (3) thoả 0  TH2: d1 d2 chéo   Điều kiện 1: a b không phương  x0  a1t x0  b1 k (1)   y0  a2t y0  b2 k (2)  z  a t z  b k (3)  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: (*) vơ nghiệm  TH3: d1 song song với d2   Điều kiện 1: a b phương Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d1 Cần rõ M0  d2  TH4: d1 d2 trùng   Điều kiện 1: a b trùng M x ; y ; z  d1 Điều kiện 2: Chọn điểm 0 0 Cần rõ M0  d2  d  d  a b 0  a1b1  a2 b2  a3b3 0 Đặc biệt: M0 d2 d1 M0 Xét vị trí tương đối - d1 d2 theo chương trình nâng cao sơ đồ sau:  u Đường thẳng d có vectơ phương d vµ M0  d  ud/ vµ M 0/  d Đường thẳng d’ có vectơ phương -    u ;u  Tính  d d     u ; u   0  d d      u ; u  0    d d         ud ; M0 M0  0   Trùng    u ; u   0  d d      u ; u  0    d d         ud ; M0 M0  0        u ; u  0    d d         ud ; M0 M0  0   Cắt Song song III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thẳng:  x x0  a1t  d :  y y  a2 t  z z  a t  mp ( ) : Ax  By  Cz  D 0  x x0  a1t   y  y  a2 t   z z0  a3t  Ax  By  Cz  D 0 Xé hệ phương trình:  (1) (2) (*) (3) (4) o (*) có nghiệm  d cắt ( ) o (*) có vơ nghiệm  d // ( ) o (*) vô số nghiệm  d  ( )      u ; u  0    d d         ud ; M0 M0  0   Chéo IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  o Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ phương u :    M M; u   d(M , d)   u o Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng o Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:   d qua điểm M có vectơ phương u d’ qua điểm M’ có vectơ phương u '      u; u' M M   d( d, d')      u; u'   là: o Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   u  ( a ; b ; c ) u o Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương ' ( a '; b '; c ') là  : cos   aa ' bb ' cc ' a  b  c a '2  b '  c ' Đặc biệt: ( d)  ( d ')  aa ' bb ' cc ' 0 (0 o  90 o )  u o Góc đường thẳng d có vectơ phương (a; b; c ) mp ( ) có vectơ pháp tuyến  n ( A; B; C ) là:   sin   cos(n, u)  Aa  Bb  Cc A  B2  C a  b  c (0 o  90 o ) HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN II = I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp    o Vectơ a 0 vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d   ka ,( k 0) o Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơ phương d    u d o Gọi vectơ phương đường thẳng Nếu có vectơ a , b không phương   u  a     u  a , b  ub  chọn vectơ phương đường thẳng d   u k  a , b  , k 0 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  x 1  1 :  y 2  3t t  R   z 3  4t  2 : A 1;  1;  , B 2; 3; 1 , C 4; 2;  ; x  y z 3   3 ; đường thẳng , mặt phẳng ( P) : x  3y  2z  0 , (Q) : 3x  z 0 Tìm vectơ phương đường thẳng sau: 1) Đường thẳng 1 2) Đường thẳng d1 qua A song song với  3) Đường thẳng AB Oy 4) Đường thẳng d2 qua B song song với 5) Đường thẳng d3 qua C vng góc với ( P) 6) Đường thẳng d4 qua B , vng góc với Ox 1 7) Đường thẳng d5  (Q) qua O vng góc với  8) Đường thẳng d6 giao tuyến hai mặt phẳng ( P ),(Q) (Oxy) 9) Đường thẳng d7 qua B vng góc với  song song với mặt phẳng 10)Đường thẳng d8 qua A , cắt vng góc với trục Oz Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : kx  y  z  0   ,   Tìm k để giao tuyến 1) vng góc với mặt phẳng P  : x  y  z  0   : x  3ky  z  0 2) song song với mặt phẳng Q  :  x  y  2z  0 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp Bước 1: Xác định M0 x0 ; y0 ; z0   d Bước 2: Xác định vectơ phương Bước 3: Áp dụng cơng thức, ta có:  a a1 ; a2 ; a3  d: o Phương trình tham số d: o Phương trình tắc của đường thẳng d  x x0  a1t   y y0  a2t (t  R)  z z  a t  x  x0 y  y z  z   ; a1 , a2 , a3 0  a1 a2 a3 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 : x y2 z   1  x 2  2t   :  y   t  z 3t  Viết phương trình: 1) tham số đường thẳng 1 2) tắc đường thẳng  Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 0;  1 B 2; 3;  3 C 1; 2;  , , ,  x t  1 :  y   t  z 2t    : 3x  5y  z  0 Viết ; đường thẳng thẳng ; mặt phẳng phương trình đường thẳng d trường hợp sau:  u  1; 3; 5 A 1) Qua có vectơ phương 2) Qua điểm B , C D  1; 2;1 3) Qua M0 1; 2; 3 4) Qua C song song với 1 song song với trục tung Oxz  5) Qua B vng góc với   6) Qua D vng góc với Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D  1;  2;1 ; đường thẳng thẳng  x 2  t  1 :  y   t  z t  , A 1;1;  1 B 2;  1; 3 C 1; 2;  , , , 2 : x 1 y z    1 ; mặt phẳng   : x  y  z  0 ,   : x  y  2z  0 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: 1) Qua A vng góc với đường thẳng 1 , AB AC 2) Qua B vng góc với đường thẳng trục Oz 3) Qua O song song với mặt phẳng   , Oyz    vng góc với  4) Qua C , song song với   ,   5) d giao tuyến hai mặt phẳng Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ A 2;  1;1 cắt vng góc với đường thẳng Oxyz , viết phương trình đường thẳng d qua  x t   :  y   t  z t  Oxyz , cho điểm A 3; 2;   d: Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ x y4 z   2 mặt phẳng (P): 3x  y  3z  0 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, song song với (P) cắt đường thẳng d Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ mp(P), đồng thời cắt Oxyz , viết phương trình đường thẳng d vng góc với hai đường d1 , thẳng d2 với  x   2t x y z2  d1 :   ; d2 :  y 1  t ; ( P) : 7x  y  4z 0 1  z 3  Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp   : x  y  z  0, (S) : x    y  1  z   cắt (S) theo đường trịn có tâm H 1) Chứng minh: phương trình sau: 2   mặt cầu (S) 25 2) Gọi I tâm mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng IH III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dùng cách phần lý thuyết Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: có  x 2  2t /  x 1  t   1 :  y 2t ;  :  y 3  4t /  z 3  t  z 5  2t /   a) b)  x 2  3t x y z  1 :   ;  :  y 5  3t 1 2  z 3  6t   x 2  2t x  y  z 3  c) 1 :   ;  :  y   t 1  z 1  3t  Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ  x 1  3t /  x 2t   d) 1 :  y   3t ;  :  y   2t /  z t  z 1  2t /   Oxyz , xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng  x m  2t /  /  y mt  z 1  m  t /   x 1  mt  dm/ : dm :  y m  2t  z 1  m  3t  sau theo m với Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x 1  2t /  d2 :  y a  4t /  z 2  2t /  Xác định a để: 1) d1 vng góc với d2 2) d1 song song với d2 Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x 2  2t /   :  y 3  4t /  z 5  2t /  a) Chứng minh   thuộc mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa   Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: 1 :  x 5  t  d1 :  y at  z 2  t  3 x y z    x 8  t   :  y 5  2t  z 8  t   x 1  t  1 :  y 2t  z 3  t  và a) Chứng minh   chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  song song với   x 8  t  d1 :  y 5  2t  z 8  t  Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 x y z d2 :   a) Chứng tỏ hai đường thẳng d1 , d2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, song song với d1 d2 c) Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng d1 d2 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng: x y z x y z x y z x y z d1 :   , d2 :   , d3 :   , d4 :   2 4 1 2 1 a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng b) CMR: Tồn đường thẳng  cắt đường thẳng cho Viết phương trình tắc đường thẳng  A 1;  1;1 Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm đường thẳng   x   t   d2 :  y   2t  x t   d1 :  y   2t  z  5t  z  3t    ; Chứng minh A, d1 d2 thuộc mặt phẳng IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp:  x x0  a1t  d :  y  y  a t (t  R )  z z  a t (P) : Ax  By  Cz  D 0  Cho đường thẳng mặt phẳng Xét hệ phương trình  x x0  a1t   y y0  a2 t   z z0  a3t  Ax  by  Cz  D 0 o Nếu (1) vơ nghiệm d //( P )  A x0  a1t   B y0  a2t   C z0  a3t   D 0 (1) M x0  a1t0 ; y0  a2t0 ; z0  a3t0  o Nếu (1) có nghiệm t t0 d cắt ( P ) o Nếu (1) có vơ số nghiệm d  ( P ) Chú ý: Nếu VTCP d phương với VTPT ( P) d  ( P) Ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  x t  d1 :  y   2t  z  3t  ;  x  t  d2 :  y 1  2t x  y 1 z  z t d3 :    1  mặt phẳng ( P) : x  y  z  0 ; Xét vị trí tương đối của: a) d1 ( P) b) d2 ( P ) c) d3 ( P) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x 1 y  :  z đường thẳng   : x  y  3z  0   a) Xác định giao điểm A đt  mặt phẳng   vng góc với  b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm mp x  y  11z  26 0 Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x y  z 1 x y z d1 :   ; d2 :   1 1 2 đường thẳng a) Chứng minh: d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng  nằm mp(P), đồng thời cắt d1 d2 V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp Cho điểm Cách 1: A xA ; y A ; z A  đường thẳng  x x0  a1t  d :  y  y  a2 t ( t  R )  z z  a t  d  ud H  d  H x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t  Gọi H hình chiếu A lên d Ta c ó     Tính AH ; AH  ud  ud AH 0  t ?  H ? Cách 2: Gọi H hình chiếu A lên d o Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với d H A P A d H  ud