Thông tin tài liệu
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG C H Ư Ơ N G II BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC I = = = I LÝ THUYẾT Cho tam giác ABC , BC a, CA b, AB c, S diện tích tam giác Giả sử , hb , hc độ dài đường cao qua ba đỉnh A, B, C ; ma , mb , mc đường trung tuyến qua ba đỉnh A, B, C R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nột tiếp tam giác ABC Ta có kết sau đây: Định lí cơsin a b c 2bc.cos A, b c a 2ca.cos B, c a b 2ab.cos C *Hệ định lí cơsin cos A b2 c2 a a2 c2 b2 b2 a c , cos B , cos C 2bc 2ac 2ab a b c 2 R Định lí sin tam giác: sin A sin B sinC Công thức trung tuyến ma2 2(b c ) a 2(a c ) b 2(a b ) c , mb2 , mc2 4 4 Công thức diện tích: 1 S aha bhb chc 2 a) 1 S bc sin A ca sin B ab sin C 2 b) c) S abc 4R d) S pr với p a b c e) Công thức Hê- Rông II = = =I S p p a p b p c HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC {Tìm số yếu tố tam giác cho biết yếu tố khác.} = = = I PHƯƠNG PHÁ P + Áp dụng công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ định lí cosin, định lí sin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, cơng thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu Cho tam giác ABC có AB 4, AC 6, A 120 Tính độ dài cạnh I BC Lời giải BC AB AC AB AC.cosA 62 42 2.6.4.cos1200 62 42 2.6.4 1 76 BC 76 2 19 Câu Cho tam giác ABC có a 7; b 8; c 5 Tính A, S , , R Lời giải + cos A b c a 82 2bc 2.8.5 A 60 1 S b.c.sin A 8.5.sin 60 10 2 + 2S 2.10 20 S a.ha a 7 + Ta có: S + Ta có: a.b.c a.b.c 7.8.5 R 4R 4S 4.10 Câu Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB 2 , BC 5 , CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến MA , với M trung điểm BC Lời giải Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có: MA AB AC BC 2 52 55 4 Câu Tam giác ABC vuông A có AC 6 cm , BC 10 cm Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Do tam giác ABC vuông A có AC 6 cm , BC 10 cm nên AB BC AC 102 62 8 S ABC AB AC 24 Diện tích tam giác ABC Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , cos A r S ABC 2.24 AB BC CA 10 2 Tính độ dài đường cao tam giác ABC Lời giải A c b B H 2 C a Theo định lí hàm cos ta có a b c 2bc cos A 49 25 2.7.5 cos A sin A 5 Ta lại có: 1 S ABC bc sin A 7.5 2 14 Diện tích tam giác ABC 28 2S S ABC a.ha ABC 2 a Vì nên Vậy = = = I 2 BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM 32 a 4 Câu [0H2-3.4-1] Cho ABC có BC a , BAC 120 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC A R a B R a R C a 3 D R a Lời giải Chọn D Theo định lý sin tam giác ta có Câu 2R BC a a R sin BAC sin120 [0H2-3.4-1] Tam giác ABC có a 8 , c 3 , B 60 Độ dài cạnh b bao nhiêu? A 49 B 97 C D 61 Lời giải Chọn C b a c 2ac cos B 82 32 2.8.3cos 60 49 b 7 Câu [0H2-3.4-1] Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 Tính diện tích tam giác ABC B S 10 A S 10 D S 5 C S 5 Lời giải Chọn C 4.5sin150 S ac sin B 5 2 Diện tích tam giác ABC Câu [0H2-3.4-2] Một tam giác có ba cạnh 52 , 56 , 60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 65 A C 32,5 B 40 D 65,8 Lời giải Chọn C Ta có: p 52 56 60 84 Áp dụng hệ thức Hê – rơng ta có: Mặt khác Câu S S 84 84 52 84 56 84 60 1344 abc abc 52.56.60 R 4R 4S 4.1344 32,5 [0H2-3.4-2] Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 60 CA 200 m CB 180 m Biết , Khoảng cách AB bao nhiêu? A 228 m B 20 91 m C 112 m D 168 m Lời giải Chọn B AB CA2 CB 2CA.CB.cos 60 36400 AB 20 91 m Câu [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích 12 Tính độ dài cạnh BC A D C B Lời giải Chọn C 2S 2.12 S AB AC.sin A sin A A 36 5212 AB AC 5.8 Ta có: BC AB AC AB AC cos A 52 82 2.5.8.cos 36 5212 25 BC 5 Câu [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 trung tuyến BM 3 Tính độ dài cạnh BC A 17 B D C Lời giải Chọn B B A Ta có: BM AB BC AC AC BC 2 BM AB 62 2 20 BC 2 4 6M C Câu [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 đường trung tuyến AM 6 Tính độ dài cạnh BC A B C 22 D 22 Lời giải Chọn D A B Ta có: AM 10 C M AC AB BC AC AB 102 42 2 BC 4 AM 4 62 2 88 BC 2 22 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có A 75 , B 45 , AC 2 Tính cạnh AB Câu A B 6 C D Lời giải Chọn B b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180 75 45 ) AB c sin B sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 10 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có B 60 , C 45 , AB 3 Tính cạnh AC A B C 6 D Lời giải Chọn A b c c.sin B AB.sin B 3.sin 60 AC b sin C sin C sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 11 AB A 75 , B 45 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc Tính tỉ số AC A B C D 1, Lời giải Chọn C b c AB c sin C sin(180 75 45 ) AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 12 [0H2-3.4-3] Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c cos( A B) c A 3c B 9c C 3c D Lời giải Chọn B Ta có cos C cos( A B) 2 1 sin C 3 Do AB AB 2c 2 R R sin C 2sin C Câu 13 AB [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc A 105 , B 45 Tính tỉ số AC A B C D Lời giải Chọn A b c AB c sin C sin(180 105 45 ) AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 14 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4 , AC 5 , BC 6 Tính cos( B C ) A B C –0,125 Lời giải Chọn C Ta có c= AB=4 , b=AC=5 , a=BC =6 D 0, 75 2 b +c −a cos A= = b c Tính cos (B+C )=−cos A=− =−0 , 125 Để ý Câu 15 [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh 2, 3, Góc bé tam giác có sin bao nhiêu? A 15 B C 14 D Lời giải Chọn A Góc bé ứng với cạnh có số đo bé Giả sử a=2 ,b=3 , c=4 Ta có √ sin A= 1− Do Câu 16 cos A b2 c a 2.b.c √15 = 8 () [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh , , Góc lớn tam giác có cosin bao nhiêu? B C 17 D 25 A Lời giải Chọn B Góc lớn tương ứng với cạnh lớn nhất: Câu 17 cos 32 2.3.8 [0H2-3.1-3] Hình vng ABCD có cạnh a Gọi E trung điểm cạnh BC , F trung điểm cạnh AE Tìm độ dài đoạn thẳng DF a 13 A a B a C Lời giải Chọn A 3a D B A F E C D a a AE DE a 2 Ta có: Dùng cơng thức độ dài trung tuyến: DF Câu 18 DA2 DE AE 5a 2 5a 13a DF a 13 16 16 a2 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC 12 , CA 9 , AB 6 Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM 4 Tính độ dài đoạn thẳng AM A B C 20 D 19 Lời giải Chọn D cos B AB BC AC 62 122 92 11 AB.BC 2.6.12 16 AM AB BM AB.BM cosB 62 42 2.6.4 Câu 19 11 19 16 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC vuông A có AB AC a Điểm M nằm cạnh BC BC BM Độ dài AM bao nhiêu? cho a 17 A a B 2a C Lời giải Chọn B 2a D A C M B BC AB AC a a a BC AB a BM a a 2 a 2 a AM AB BM AB.BM cos 45 a 2a 3 Câu 20 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có A 46 cos A B , AC 4 , BC 5 Tính cạnh AB C B 11 D Lời giải Chọn A Vì tam giác ABC ta có A B bù với góc C nên cos A B 1 cos C 8 AB AC BC AB.BC cos C 52 2.4.5 6 Câu 21 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 7 , AC 5 A 15 B 22 cos B C Tính BC C 15 D 22 Lời giải Chọn A ABC ta có B C bù với góc A nên cos B C Vì tam giác cos A BC AB AC AB.AC cosA 52 2.7.5 2 15 Câu 22 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có A B BC , AC 3 cot C 2 Tính cạnh AB C Lời giải D 10 Chọn B Từ giả thiết cot C 2 , ta suy C góc nhọn 1 cot C 2 tan C cos C cos C 2 tan C 5 1 1 2 2 AB AC BC AB.BC cos C 32 2.3 Câu 23 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 3 , AC 4 tan A 2 Tính cạnh BC A B C 33 D Lời giải Chọn C Từ giả thiết tan A 2 , ta suy A góc tù 1 1 tan A 2 cos A cos A 2 tan A (2 2) 1 BC AB AC AB AC cosA 32 42 2.3.4 33 3 Câu 24 [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có cạnh BC a , cạnh CA b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: o o A 60 o B 90 o C 150 D 120 Lờigiải Chọn B S a.b.sin C Diện tích tam giác ABC là: 90o S lớn sin C lớn nhất, hay sin C 1 C Câu 25 [0H2-3.1-4] Cho tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP q, PQ m, PE x, PF y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME EF FQ C MF q y yq B ME q x xq q m 2qm D MQ Lờigiải Chọn C M E q F x y m P Q MPQ MPE EPF FPQ 30o Từ giả thiết, suy Tam giác MPF có MPF MPE EPF 60o ; MF MP PF 2.MP.PF cos MPF Câu 26 2 q y yq q y y.q a a c b b c [0H2-3.1-3] Tính góc C tam giác ABC biết a b A C 150 B C 120 C C 60 D C 30 Lời giải Chọn C a a c b b2 c a3 b3 c a b 0 Ta có: a b a ab b c a b 0 a b2 c cos C 2 2ab a ab b c 0 Do đó: C 120 Câu 27 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 12 cot( A B ) A 10 B 10 C 10 D Lời giải Chọn A Ta có: cot( A B ) 2 1 cot C nên , suy 3cos C sin C Mà sin C cos C 1 sin C 3 10 10 10 AB AB 2 R R 2 10 sin C 2sin C Câu 28 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 10 tan( A B) 5 10 A 10 C 10 B D 10 Lời giải Chọn D Ta có: tan( A B ) 1 tan C nên Do 3sin C cos C , mà sin C cos C 1 2 sin C 10 10 10 AB AB 2 R R 5 10 sin C 2sin C Câu 29 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 , A B cos B cos C 8, Tính cạnh BC 3 C D Lời giải Chọn B sin B=√ 1−cos B= √63 , sin C=√ 1−cos C= √7 cos A=−cos ( B+C )=sin B sin C−cos B cos C= Do Câu 30 BC=√ AB2 +AC −2 AB AC cos A=5 16 [0H2-3.1-4] Cho tam giác cân ABC có A 120 AB AC a Lấy điểm M cạnh BC cho BM a 3 BC Tính độ dài AM a C 11a B a D A Lời giải Chọn C A a a 30 B M C 2a 1 BC AB AC ABAC cos1200 a a 2a.a a BM 2 2a 2a 3 a AM AB BM AB.BM cos 30 a 2a 5 2 DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC PHƯƠNG PHÁ P = = = I2 BÀI TẬP TỰ LUẬ N = = = sin A 2 cos C CâuI Cho tam giác ABC thỏa sin B Tam giác ABC tam giác gì? Lời giải 2 a b c sin A a 2 cos C 2 cos C a 2b.cos C a 2b 2ab b Ta có: sin B 2 2 a a b c b c Tam giác ABC cân A Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: 2 R.sin B.sin C Lời giải b 2 R R.sin B b Áp dụng định lí sin tam giác ta có: sin B Do đó: 2R.sin B.sin C b.sin C ( đúng) S R.r sin A sin B sin C Câu Cho tam giác ABC Chứng minh Lời giải b c a a b c VP R.r r r p S R R R Ta có : ( đpcm) b3 c a a b c a Câu Cho tam giác ABC thỏa a 2b.cos C Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải b c b bc c a 0 b c a3 a 2b a c a b c a a b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b a a 2b.cos C 2ab a Ta có: 3 3 bc 2bc.cosA 0 b c cos A 2 b c A 60 b c Vì tam giác ABC cân có góc 60 nên tam giác ABC tam giác Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: sin B.cos C sin C.cos B sin A Lời giải b a b c c a c b a b c a c b 2a a VT sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR R = = Câu= I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM [0H2-3.2-1] Cho tam giác ABC , chọn công thức đáp án sau: A ma2 b2 c2 a B 2c 2b a m C ma2 a c b2 a2 b2 c2 m D a a Lời giải Chọn C b2 c a 2b 2c a m 4 Theo công thức đường trung tuyến ta có a Câu [0H2-3.2-1] Trong tam giác ABC , câu sau đúng? 2 A a b c 2bc.cos A a b2 c bc.cos A C 2 B a b c 2bc.cos A 2 D a b c bc.cos A Lời giải Câu Chọn B 2 Áp dụng định lí hàm số cos đỉnh A ta có: a b c 2bc.cos A 2 [0H2-3.3-1] Nếu tam giác ABC có a b c thì: A A góc tù B A góc vng C A góc nhọn D A góc nhỏ Lời giải Chọn C Ta có Câu a b c 2bc cos A cos A b2 c2 a2 2 2bc a b c nên cos A a b c a b c 3ab Khi [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện số đo C A 120 B 30 C 45 Lời giải D 60 Chọn D a b c a b c 3ab a b Ta có: c 3ab a b c ab a b2 c ab cos C C 60 2ab 2ab Theo hệ định lí hàm cosin: Câu [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC Khẳng định sau đúng? A C ma2 mb2 mc2 2 2 a b c ma2 mb2 mc2 2 a b c B ma2 mb2 mc2 2 a b c ma2 mb2 mc2 2 a b c D Lời giải Sử dụng công thức trung tuyến, ta có: 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 2 m m m a b c 4 4 a Câu b c [0H2-3.3-2] Cho tam giác ABC thỏa mãn c a.cos B Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC tam giác cân C Tam giác ABC tam giác vuông B Tam giác ABC tam giác nhọn D Tam giác ABC tam giác tù Lời giải Ta có: c a.cos B c a a c b2 a c2 b2 c 2ac 2c c b a Theo định lí pi ta go tam giác ABC vng A Câu [0H2-3.2-2] Diện tích S tam giác thỏa mãn hệ thức hai hệ thức sau đây? I S p p a p b p c 16S a b c a b c a b c a b c II A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II Lời giải D Khơng có Chọn C Ta có: I cơng thức Hê-rơng tính diện tích tam giác Khi đó: S2 a b c a b c a b c a b c 2 2 16S a b c a b c a b c a b c Câu [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , đường cao hệ thức a, b, c Do II , hb , hc thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb hc Tìm A a b c B 3a 2b c C 3a 2b c Lời giải D a b c Chọn D Kí hiệu S SABC 3h 2hb hc Ta có: a Câu 3.2S 2.2S 2S a b c a b c [0H2-3.2-2] Trong tam giác ABC , hệ thức sau sai? A a b.sin A sin B B sin C c.sin A a C a 2 R.sin A Lời giải D b R.tan B Chọn D a b c 2 R Theo định lí hàm số sin ta có: sin A sinB sinC Suy ra: + + + + Câu 10 a b b.sin A a sin A sinB sin B a c c.sin A sin C sin A sinC a a 2 R a 2 R.sin A sin A b b b 2 R R sin B R tan B sinB 2 cosB [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A cos B cos C 2cos A B sin B sin C 2sin A sin B sin C sin A C D sin B cos C 2sin A Lời giải Chọn B a 2 R sin A a b c 2 R b 2 R sin B sin A sin B sin C c 2 R sin C Ta có Mà b c 2a R sin B R sin C 4 R sin A sin B sin C 2sin A Câu 11 [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có A 120 câu sau đúng? 2 A a b c 3bc a b2 c 3bc C 2 B a b c bc 2 D a b c bc Lời giải Chọn B 2 Áp dụng định lí hàm số cos đỉnh A ta có: a b c 2bc.cos A a b c 2bc.cos120 a b c bc Câu 12 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A B vng góc với là: 2 A 2a 2b 5c 2 B 3a 3b 5c 2 C 2a 2b 3c Lời giải 2 D a b 5c Chọn D Vì hai trung tuyến vẽ từ A B vng góc với nên ABG vng G với G trọng tâm tam giác ABC b2 c a a c b2 c2 2 9 4 c GA GB Khi đó: 4 a2 b2 c2 c2 9 4 5c a b Câu 13 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , có a b.c : 1 h hb hc a A B 1 h hb hc a C a h hb hc 2 h hb hc a D Lời giải Chọn B 1 2S 2S 2S 2 hb hc hb hc Ta có : a b.c Câu 14 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , có ha2 hb hc 2ha hb hc : 1 A sin A sin B sin C B 2sin A sin B sin C 1 sin A sin B sin C D C sin A 2sin B 2sin C Lời giải Chọn A Ta có : S 2S S 1 1 a b c a b c R.sin A R.sin B R.sin C 1 sin A sin B sin C 2ha hb hc Câu 15 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , câu sâu đúng? A ma bc B ma bc ma C Lời giải b c Chọn C Ta có: Vì ma2 b2 c a b c b c a 4 a b c a b c a2 m b c ma bc D ma b c Câu 16 [0H2-3.2-3]Tam giác ABC có cạnh a , b , Tính số đo góc C A 45 B 60 c thỏa mãn điều kiện C 120 a b c a b c 3ab D 30 Lời giải Chọn B a b c a b c 3ab a b Ta có: c 3ab a b c ab a b2 c2 cos C 60 2ab C Mà Câu 17 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , xét bất đẳng thức sau: a b c I II a b c III ma mb mc a b c Hỏi khẳng định sau đúng? A Chỉ I, II C Chỉ I, III B Chỉ II, III D Cả I, II, III Lời giải Chọn D Ta có I II bất đẳng thức tam giác 2 b2 c a b c b c a ma 4 Ta có : b c bc 2 ma b c a b c a ma Vì a c a c mb mc ; Tương tự ta có : Do : ma mb mc a b c Vậy III Đúng 2 Câu 18 [0H2-3.2-3] Tam giác ABC có cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện b c a 3bc Tính số đo góc A A 45 B 60 C 120 D 30 Lời giải Chọn D 2 Ta có: b c a 3bc 2bc cos A 3bc Mà cos C cos A A 30 a b2 c2 60 2ab C Câu 19 [0H2-3.3-3] Tam giác ABC a.cos B b.cos A Tam giác ABC tam giác gì? A.Tam giác vuông B Tam giác C Tám giác vuông cân D Tam giác cân Lời giải Chọn D Ta có: a.cos B b.cos A a a c b2 b2 c2 a2 b a b a b 2ac 2bc Vậy tam giác ABC cân Câu 20 [0H2-3.2-4] Cho tam giác ABC vuông A , AC b , AB c Lấy điểm M cạnh BC MB BAM 30 cho góc Tính tỉ số MC b A 3c 3c B 3b 3c C b b c D b c Lời giải Chọn B B M 30° 60° C A MB AM AM sin 30 AM MB sin B 2.sin B Ta có sin 30 sin B MC AM AM sin 60 AM MC sin 60 sin C sin C 2.sin C MB sin C c 3c sin B 3b 3b Do MC Câu 21 [0H2-3.3-3] Mệnh đề sau sai? 2 A Nếu a b c A góc tù 2 B Nếu tam giác ABC có góc tù a b c 2 C Nếu a b c A góc nhọn 2 D Nếu a b c A góc vng Lời giải Chọn B b2 c a cos A 2bc Ta có : Do : 2 * a b c cos A A góc tù nên A 2 * a b c cos A A góc nhọn nên C 2 * a b c cos A 0 A góc vng nên D 2 2 2 * Nếu tam giác ABC có góc B tù b a c ; góc C tù c a b B sai
Ngày đăng: 16/10/2023, 21:28
Xem thêm:
