Thông tin tài liệu
C H Ư Ơ N G CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC III BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I = = = I LÝ THUYẾT ABC , BC a, CA b, AB c, S diện tích tam giác Giả sử , hb , hc lần m ,m ,m lượt độ dài đường cao qua ba đỉnh A, B, C ; a b c đường trung tuyến qua ba đỉnh A, B, C R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nột tiếp tam giác ABC Ta có kết sau đây: Cho tam giác Định lí cơsin a b c 2bc.cos A, b c a 2ca.cos B, c a b 2ab.cos C *Hệ định lí cơsin b2 c a a2 c2 b2 b2 a2 c2 cos A , cos B , cos C 2bc 2ac 2ab a b c 2 R Định lí sin tam giác: sin A sin B sinC Cơng thức diện tích: 1 S aha bhb chc 2 a) 1 S bc sin A ca sin B ab sin C 2 b) c) S abc 4R d) S pr với p a b c e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c Công thức trung tuyến (bổ sung) 2(b c ) a 2( a c ) b 2(a b ) c 2 m , mb , mc 4 a CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BÀI TẬP SÁCH G IÁ = = =Cho tam giác ABC 3.5 I O KHOA có a 6, b 5, c 8 Tính cos A, S , r Lời giải b c a 52 82 62 53 cos A 2bc 2.5.8 80 Ta có Nửa chu vi P a b c 19 2 Áp dụng cơng thức Heron ta có: S p( p a)( p b)( p c ) 19 19 2 19 6 19 5 399 8 S 399 S p.r r p 38 Do 3.6 Cho tam giác ABC có a 10, A 45 , B 70 Tính R, b, c Lời giải a a 10 2 R R 5 sin A 2sin A 2.sin 45 Áp dụng định lý sin ta có a b a sin B 10.sin 70 b 13, 289 sin A sin 45 Ta có sin A sin B A B C 180 C 180 A B 65 c a sin C 10.sin 65 12,82 sin A sin 45 Vì 3.7 Giải tam giác ABC tính diện tích tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c 6 Lời giải Ta có A B C 180 C 180 A B 35 c sin A 6sin15 a 2, 71 sin C sin 35 a b c c sin B 6sin130 sin A sin B sin C b 8, 01 sin C sin 35 Áp dụng định lý sin ta có: 1 S a.c.sin B 2, 71.6.sin130 6, 228 2 Diện tích tam giác là: CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, theo hướng S 70 E với vận tốc 70 km/h Đi 90 phút động tàu bị hỏng nên tàu trôi tự theo hướng nam với vận tốc km/h Sau kể từ động bị hỏng, tàu neo đậu vào hịn đảo a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu Lời giải a) Theo giả thiết ta có: AB 105 km, BC 16 km, Góc BAD 70 , ABD 20 ABC 160 Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu đoạn AC Áp dụng định lý cơsin ta có: AC AB BC AB.BC.cos B 1052 162 2.105.16.cos160 120,16km cos A AB AC BC 0, 999 A 2 37 ' NAC 107 23' AB AC Vậy hướng từ b) Ta có cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu hướng Đơng 3.9 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăngten, với góc tương ứng 50 40 so với phương nằm ngang (H.3.18) a) Tính góc tam giác ABC b) Tính chiều cao tòa nhà Lời giải a) Ta có BAC 50 40 10 , ABC 90 BAD 40 ACB 180 ABC BAC 130 b) Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BC AC BC.sin B 5.sin 40 AC 18,51 sin A sin B sin A sin10 Xét tam giác ACD vng D có CD AC.sin 40 11,9 Vậy chiều cao tòa nhà là: 11,9 18, 9m 3.10 Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta ngắm Đảo Yến Hãy đề xuất cách xác định bề rộng đảo (theo chiều ta ngắm được) Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình Lời giải Gọi A, B hai vị trí ngồi mà ta quan sát nhìn từ bãi biển Từ điểm C bãi biển dùng giác kế ta xác định góc ACB Lấy điểm D bãi biển cho A, C , D thẳng hàng có độ dài đoạn CD a mét Ta xác định ADB Từ áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD ABC ta xác định bề rộng AB đảo 3.11 Để tránh núi, đường giao thông phải vịng mơ hình Hình 3.19 Để rút ngắn khoảng cách tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D Hỏi độ dài đường giảm kilômét so với đường cũ? Lời giải Dựng CE , BF vng góc với AD Xét tam giác CDE vng E có D C 45 DE CD.sin 45 6 km CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC AF AB.sin15 2 km Xét tam giác ABF vng F có B 15 Mặt khác EF BC 6km AD DE EF FA 6 16,56 km Vậy độ dài đường giảm 9, 44 km so với đường cũ II = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC {Tìm số yếu tố tam giác cho biết yếu tố khác.} = = = I PHƯƠNG PHÁ P + Áp dụng công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ định lí cosin, định lí sin, cơng thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = AB 4, AC 6, A 1200 Tính độ dài cạnh BC CâuI Cho tam giác ABC có Lời giải BC AB AC AB.AC cosA 62 42 2.6.4.cos1200 62 42 2.6.4 1 76 BC 76 2 19 A, S , h , R a Câu Cho tam giác ABC có a 7; b 8; c 5 Tính Lời giải + cos A b c a 82 52 2bc 2.8.5 A 60 1 S b.c.sin A 8.5.sin 60 10 2 + 2S 2.10 20 S a.ha a 7 + Ta có: CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC S + Ta có: a.b.c a.b.c 7.8.5 R 4R 4S 4.10 3 Câu Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB 2 , BC 5 , CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến MA , với M trung điểm BC Lời giải Áp dụng cơng thức tình độ dài trung tuyến ta có: AB AC BC 2 62 52 55 MA 4 Câu Tam giác ABC vng A có AC 6 cm , BC 10 cm Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Do tam giác ABC vng A có AC 6 cm , BC 10 cm nên AB BC AC 102 62 8 SABC AB AC 24 Diện tích tam giác ABC Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC cos A Câu Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , r S ABC 2.24 AB BC CA 10 2 Tính độ dài đường cao tam giác ABC Lời giải A c b B H 2 C a Theo định lí hàm cos ta có a b c 2bc cos A 49 25 2.7.5 cos A sin A 5 Ta lại có: 1 S ABC bc sin A 7.5 2 14 Diện tích tam giác ABC 28 2S S ABC a.ha ABC 2 a Vì nên 32 a 4 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Vậy = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM Cho ABC có BC a , BAC 120 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC A a R B R a C Lời giải R a 3 D R a Chọn D Theo định lý sin tam giác ta có Câu 2: 2R BC a a R sin BAC sin120 Tam giác ABC có a 8 , c 3 , B 60 Độ dài cạnh b bao nhiêu? A 49 B 97 C Lời giải D 61 Chọn C b a c 2ac cos B 82 32 2.8.3cos 60 49 b 7 Câu 3: Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 Tính diện tích tam giác ABC A S 10 B S 10 C S 5 Lời giải D S 5 Chọn C 4.5sin150 S ac sin B 5 2 Diện tích tam giác ABC Câu 4: Một tam giác có ba cạnh 52 , 56 , 60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 65 A B 40 C 32, Lời giải D 65,8 Chọn C Ta có: p 52 56 60 84 Áp dụng hệ thức Hê – rơng ta có: S 84 84 52 84 56 84 60 1344 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC abc abc 52.56.60 S R 4R 4S 4.1344 32,5 Mặt khác Câu 5: Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 60 Biết CA 200 m CB 180 m , Khoảng cách A 228 m B 20 91 m AB bao nhiêu? 112 m C Lời giải D 168 m Chọn B AB CA2 CB 2CA.CB.cos 60 36400 AB 20 91 m Câu 6: Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích 12 Tính độ dài cạnh BC A D C Lời giải B Chọn C 2S 2.12 S AB AC.sin A sin A A 36 5212 AB AC 5.8 Ta có: BC AB AC AB AC.cos A 52 82 2.5.8.cos 36 5212 25 BC 5 Câu 7: Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 trung tuyến BM 3 Tính độ dài cạnh BC A 17 B D C Lời giải Chọn B B A 6M C CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC AB BC AC 2 BM Ta có: AC BC 2 BM AB 62 2 32 20 BC 2 4 Câu 8: Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 đường trung tuyến AM 6 Tính độ dài cạnh BC A C 22 Lời giải B D 22 Chọn D A B Ta có: AM 10 C M AC AB BC AC AB 10 42 BC 4 AM 4 62 2 88 BC 2 22 Câu 9: Tam giác ABC có A 75 , B 45 , AC 2 Tính cạnh AB A B 6 C Lời giải D Chọn B b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180 75 45 ) AB c sin B sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 10: Tam giác ABC có B 60 , C 45 , AB 3 Tính cạnh AC A Chọn A B C Lời giải 6 D CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC b c c.sin B AB.sin B 3.sin 60 AC b sin C sin C sin 45 Ta có: sin B sin C AB A 75 , B 45 Câu 11: Tam giác ABC có góc Tính tỉ số AC A B C Lời giải D 1, Chọn C b c AB c sin C sin(180 75 45 ) AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 12: Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c c A 3c B cos( A B ) 9c C Lời giải 3c D Chọn B Ta có cos C cos( A B) 2 1 sin C 3 Do AB AB 2c 2 R R sin C 2sin C AB Câu 13: Tam giác ABC có góc A 105 , B 45 Tính tỉ số AC A B C Lời giải D Chọn A b c AB c sin C sin(180 105 45 ) AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 14: Tam giác ABC có AB 4 , AC 5 , BC 6 Tính cos( B C ) A Chọn C B C –0,125 Lời giải D 0, 75 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 BC AB AC ABAC cos1200 a a 2a.a a 2 BM 2a 2a 2a 3 a AM AB BM AB.BM cos 30 a 2a 5 2 DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC = = = I PHƯƠNG PHÁ P Áp dụng cơng thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ định lí cosin, định lí sin, cơng thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = sin A 2 cos C CâuI Cho tam giác ABC thỏa sin B Tam giác ABC tam giác gì? Lời giải 2 a b c sin A a 2 cos C 2 cos C a 2b.cos C a 2b 2ab b Ta có: sin B 2 2 a a b c b c Tam giác ABC cân A h 2 R.sin B.sin C Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: a Lời giải b 2 R R.sin B b Áp dụng định lí sin tam giác ta có: sin B Do đó: 2 R.sin B.sin C b.sin C ( đúng) S R.r sin A sin B sin C Câu Cho tam giác ABC Chứng minh Lời giải b c a a b c VP R.r r r p S 2R 2R 2R Ta có : ( đpcm) b3 c a a b c a Câu Cho tam giác ABC thỏa a 2b.cos C Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC b c b bc c a 0 b3 c a a 2b a c a b3 c a a b c a a2 b2 c a2 b2 c2 a b a a 2b.cos C 2ab a Ta có: A 60 cos A 2 b c b c Vì tam giác ABC cân có góc 60 nên tam giác ABC tam giác Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: sin B.cos C sin C.cos B sin A Lời giải bc 2bc.cosA 0 b c b a b c c a c b a b c a c b 2a a VT sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR R = = Câu= 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM Cho tam giác ABC , chọn công thức đáp án sau: b2 c2 a2 a c b2 ma2 4 A B 2c 2b a a b2 c 2 ma ma 4 C .D ma2 Lời giải Chọn C Theo công thức đường trung tuyến ta có Câu 2: ma2 b c a 2b2 2c a 4 Trong tam giác ABC , câu sau đúng? 2 A a b c 2bc.cos A a b c bc.cos A C 2 B a b c 2bc.cos A 2 D a b c bc.cos A Lời giải Chọn B 2 Áp dụng định lí hàm số cos đỉnh A ta có: a b c 2bc.cos A Câu 3: 2 Nếu tam giác ABC có a b c thì: A A góc tù B A góc vng C A góc nhọn Lời giải D A góc nhỏ Chọn C Ta có a b c 2bc cos A cos A b2 c a 2 2 2bc a b c nên cos A CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 4: a b c a b c 3ab Khi số đo Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện C A 120 B 30 C 45 Lời giải D 60 Chọn D a b c a b c 3ab a b Ta có: c 3ab a b c ab a b c ab cos C C 60 ab ab Theo hệ định lí hàm cosin: Câu 5: Cho tam giác ABC Khẳng định sau đúng? ma2 mb2 mc2 A 2 2 a b c ma2 mb2 mc2 a b c C B ma2 mb2 mc2 2 a b c ma2 mb2 mc2 2 a b c D Lời giải Sử dụng công thức trung tuyến, ta có: 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 2 m m m a b c 4 4 a Câu 6: b c Cho tam giác ABC thỏa mãn c a.cos B Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC tam giác cân C Tam giác ABC tam giác vuông B Tam giác ABC tam giác nhọn D Tam giác ABC tam giác tù Lời giải a c b2 a2 c b2 c a c c a.cos B ac 2c c b a Ta có: Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông A Câu 7: Diện tích S tam giác thỏa mãn hệ thức hai hệ thức sau đây? I S p p a p b p c 16S a b c a b c a b c a b c II A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II Lời giải Chọn C Ta có: I cơng thức Hê-rơng tính diện tích tam giác D Khơng có CHUN ĐỀ III – TỐN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC a b c a b c a b c a b c S2 2 2 Khi đó: 16S a b c a b c a b c a b c Câu 8: , hb , hc Cho tam giác ABC , đường cao a, b, c A a b c B 3a 2b c Do II thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb hc Tìm hệ thức C 3a 2b c Lời giải D a b c Chọn D Kí hiệu S SABC 3h 2hb hc Ta có: a Câu 9: 3.2S 2.2S 2S a b c a b c Trong tam giác ABC , hệ thức sau sai? a A b.sin A sin B B sin C c.sin A a C a 2 R.sin A D b R.tan B Lời giải Chọn D a b c 2 R Theo định lí hàm số sin ta có: sin A sinB sinC Suy ra: a b b.sin A a sin B + sin A sinB a c c.sin A sin C a + sin A sinC a 2 R a 2 R.sin A + sin A b b b 2 R R sin B R tan B 2cosB + sinB Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A cos B cos C 2cos A sin B sin C sin A C B sin B sin C 2sin A D sin B cos C 2sin A Lời giải Chọn B a b c 2 R sin A sin B sin C Ta có a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C
Ngày đăng: 10/10/2023, 21:33
Xem thêm:
