003 06 1 toan 10 b6 c3 he thuc luong trong tam giac tu luan hdg

C H Ư Ơ N G CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC III BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I = = = I LÝ THUYẾT ABC , BC a, CA b, AB c, S diện tích tam giác Giả sử , hb , hc lần m ,m ,m lượt độ dài đường cao qua ba đỉnh A, B, C ; a b c đường trung tuyến qua ba đỉnh A, B, C R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nột tiếp tam giác ABC Ta có kết sau đây: Cho tam giác Định lí cơsin a b  c  2bc.cos A, b c  a  2ca.cos B, c a  b  2ab.cos C *Hệ định lí cơsin b2  c  a a2  c2  b2 b2  a2  c2 cos A  , cos B  , cos C  2bc 2ac 2ab a b c   2 R Định lí sin tam giác: sin A sin B sinC Cơng thức diện tích: 1 S  aha  bhb  chc 2 a) 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 b) c) S abc 4R d) S  pr với p  a  b  c e) Công thức Hê- Rông S  p  p  a  p  b  p  c Công thức trung tuyến (bổ sung) 2(b  c )  a 2( a  c )  b 2(a  b )  c 2 m  , mb  , mc  4 a CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BÀI TẬP SÁCH G IÁ = = =Cho tam giác ABC 3.5 I O KHOA có a 6, b 5, c 8 Tính cos A, S , r Lời giải b  c  a 52  82  62 53 cos A    2bc 2.5.8 80 Ta có Nửa chu vi P a  b  c   19   2 Áp dụng cơng thức Heron ta có: S  p( p  a)( p  b)( p  c )  19  19   2   19 6      19 5     399 8   S 399 S  p.r  r   p 38 Do   3.6 Cho tam giác ABC có a 10, A 45 , B 70 Tính R, b, c Lời giải a a 10 2 R  R   5 sin A 2sin A 2.sin 45  Áp dụng định lý sin ta có a b a sin B 10.sin 70   b  13, 289 sin A sin 45 Ta có sin A sin B A  B  C  180  C  180  A  B  65  c  a sin C 10.sin 65 12,82 sin A sin 45 Vì   3.7 Giải tam giác ABC tính diện tích tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c 6 Lời giải       Ta có A  B  C 180  C 180  A  B 35 c sin A 6sin15  a  2, 71  sin C sin 35 a b c      c sin B 6sin130 sin A sin B sin C  b  8, 01  sin C sin 35  Áp dụng định lý sin ta có: 1 S  a.c.sin B  2, 71.6.sin130 6, 228 2 Diện tích tam giác là: CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, theo hướng S 70 E với vận tốc 70 km/h Đi 90 phút động tàu bị hỏng nên tàu trôi tự theo hướng nam với vận tốc km/h Sau kể từ động bị hỏng, tàu neo đậu vào hịn đảo a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu Lời giải a) Theo giả thiết ta có: AB 105 km, BC 16 km,    Góc BAD 70 , ABD 20  ABC 160 Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu đoạn AC Áp dụng định lý cơsin ta có: AC  AB  BC  AB.BC.cos B  1052  162  2.105.16.cos160 120,16km cos A  AB  AC  BC  0, 999  A 2 37 '  NAC 107 23' AB AC Vậy hướng từ b) Ta có cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu hướng Đơng 3.9 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăngten, với góc tương ứng 50 40 so với phương nằm ngang (H.3.18) a) Tính góc tam giác ABC b) Tính chiều cao tòa nhà Lời giải  a) Ta có BAC 50  40 10 , ABC 90  BAD     40  ACB 180  ABC  BAC 130 b) Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BC AC BC.sin B 5.sin 40   AC   18,51 sin A sin B sin A sin10 Xét tam giác ACD vng D có CD  AC.sin 40 11,9 Vậy chiều cao tòa nhà là: 11,9  18, 9m 3.10 Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta ngắm Đảo Yến Hãy đề xuất cách xác định bề rộng đảo (theo chiều ta ngắm được) Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình Lời giải Gọi A, B hai vị trí ngồi mà ta quan sát nhìn từ bãi biển Từ điểm C bãi biển dùng giác kế ta xác định  góc ACB  Lấy điểm D bãi biển cho A, C , D thẳng hàng có  độ dài đoạn CD a mét Ta xác định ADB  Từ áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD ABC ta xác định bề rộng AB đảo 3.11 Để tránh núi, đường giao thông phải vịng mơ hình Hình 3.19 Để rút ngắn khoảng cách tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D Hỏi độ dài đường giảm kilômét so với đường cũ? Lời giải Dựng CE , BF vng góc với AD   Xét tam giác CDE vng E có D C 45  DE CD.sin 45 6 km CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC    AF  AB.sin15   2 km  Xét tam giác ABF vng F có B 15 Mặt khác EF BC 6km  AD DE  EF  FA 6   16,56 km Vậy độ dài đường giảm 9, 44 km so với đường cũ II = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC {Tìm số yếu tố tam giác cho biết yếu tố khác.} = = = I PHƯƠNG PHÁ P + Áp dụng công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ định lí cosin, định lí sin, cơng thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = AB 4, AC 6, A 1200 Tính độ dài cạnh BC CâuI Cho tam giác ABC có Lời giải BC  AB  AC  AB.AC cosA 62  42  2.6.4.cos1200 62  42  2.6.4 1 76  BC  76 2 19 A, S , h , R a Câu Cho tam giác ABC có a 7; b 8; c 5 Tính Lời giải + cos A  b  c  a 82  52    2bc 2.8.5  A 60 1 S  b.c.sin A  8.5.sin 60 10 2 + 2S 2.10 20 S  a.ha     a 7 + Ta có: CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC S + Ta có: a.b.c a.b.c 7.8.5  R   4R 4S 4.10 3 Câu Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB 2 , BC 5 , CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến MA , với M trung điểm BC Lời giải Áp dụng cơng thức tình độ dài trung tuyến ta có: AB  AC BC 2  62 52 55 MA      4 Câu Tam giác ABC vng A có AC 6 cm , BC 10 cm Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Do tam giác ABC vng A có AC 6 cm , BC 10 cm nên AB  BC  AC  102  62 8 SABC  AB AC 24 Diện tích tam giác ABC Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC cos A  Câu Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , r S ABC 2.24  AB  BC  CA   10 2 Tính độ dài đường cao tam giác ABC Lời giải A c b B H 2 C a Theo định lí hàm cos ta có a b  c  2bc cos A 49  25  2.7.5 cos A   sin A  5 Ta lại có: 1 S ABC  bc sin A  7.5 2 14 Diện tích tam giác ABC 28 2S  S ABC  a.ha  ABC  2 a Vì nên 32  a 4 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  Vậy = = = Câu 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM  Cho ABC có BC a , BAC 120 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC A a R B R a C Lời giải R a 3 D R a Chọn D Theo định lý sin tam giác ta có Câu 2: 2R  BC a a  R   sin BAC sin120  Tam giác ABC có a 8 , c 3 , B 60 Độ dài cạnh b bao nhiêu? A 49 B 97 C Lời giải D 61 Chọn C b a  c  2ac cos B 82  32  2.8.3cos 60 49  b 7 Câu 3:  Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 Tính diện tích tam giác ABC A S 10 B S 10 C S 5 Lời giải D S 5 Chọn C   4.5sin150 S  ac sin B 5 2 Diện tích tam giác ABC Câu 4: Một tam giác có ba cạnh 52 , 56 , 60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 65 A B 40 C 32, Lời giải D 65,8 Chọn C Ta có: p 52  56  60 84 Áp dụng hệ thức Hê – rơng ta có: S  84  84  52   84  56   84  60  1344 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC abc abc 52.56.60 S  R  4R 4S 4.1344 32,5 Mặt khác Câu 5: Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 60 Biết CA 200  m  CB 180  m  , Khoảng cách A 228  m  B 20 91  m  AB bao nhiêu? 112  m  C Lời giải D 168  m  Chọn B AB CA2  CB  2CA.CB.cos 60 36400  AB 20 91  m  Câu 6: Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích 12 Tính độ dài cạnh BC A D C Lời giải B Chọn C 2S 2.12 S  AB AC.sin A  sin A     A 36 5212 AB AC 5.8 Ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos A 52  82  2.5.8.cos 36 5212 25  BC 5 Câu 7: Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 trung tuyến BM 3 Tính độ dài cạnh BC A 17 B D C Lời giải Chọn B B A 6M C CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC AB  BC AC 2 BM   Ta có:  AC   BC 2  BM    AB    62  2  32    20  BC 2 4  Câu 8: Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 đường trung tuyến AM 6 Tính độ dài cạnh BC A C 22 Lời giải B D 22 Chọn D A B Ta có: AM  10 C M AC  AB BC   AC  AB   10  42   BC 4   AM  4   62   2     88  BC 2 22 Câu 9:   Tam giác ABC có A 75 , B 45 , AC 2 Tính cạnh AB A B 6 C Lời giải D Chọn B b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180  75  45 )   AB c     sin B sin B sin 45 Ta có: sin B sin C   Câu 10: Tam giác ABC có B 60 , C 45 , AB 3 Tính cạnh AC A Chọn A B C Lời giải 6 D CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC b c c.sin B AB.sin B 3.sin 60   AC b     sin C sin C sin 45 Ta có: sin B sin C AB   A  75  , B  45  Câu 11: Tam giác ABC có góc Tính tỉ số AC A B C Lời giải D 1, Chọn C b c AB c sin C sin(180  75  45 )       AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 12: Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c c A 3c B cos( A  B )  9c C Lời giải 3c D Chọn B Ta có cos C  cos( A  B)  2  1 sin C        3 Do AB AB 2c 2 R  R   sin C 2sin C AB   Câu 13: Tam giác ABC có góc A 105 , B 45 Tính tỉ số AC A B C Lời giải D Chọn A b c AB c sin C sin(180  105  45 )       AC b sin B sin 45 Ta có: sin B sin C Câu 14: Tam giác ABC có AB 4 , AC 5 , BC 6 Tính cos( B  C ) A Chọn C B  C –0,125 Lời giải D 0, 75 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  1 BC  AB  AC  ABAC cos1200  a  a  2a.a    a  2  BM  2a  2a  2a 3 a AM  AB  BM  AB.BM cos 30  a      2a 5   2 DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC = = = I PHƯƠNG PHÁ P Áp dụng cơng thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ định lí cosin, định lí sin, cơng thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = sin A 2 cos C CâuI Cho tam giác ABC thỏa sin B Tam giác ABC tam giác gì? Lời giải 2 a b  c sin A a 2 cos C  2 cos C  a 2b.cos C  a 2b 2ab b Ta có: sin B 2 2  a a  b  c  b c Tam giác ABC cân A h 2 R.sin B.sin C Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: a Lời giải b 2 R  R.sin B b Áp dụng định lí sin tam giác ta có: sin B Do đó: 2 R.sin B.sin C  b.sin C ( đúng) S R.r  sin A  sin B  sin C  Câu Cho tam giác ABC Chứng minh Lời giải b c   a  a b c  VP R.r     r   r p S  2R 2R 2R    Ta có : ( đpcm)  b3  c  a a   b c  a  Câu Cho tam giác ABC thỏa a 2b.cos C Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  b  c   b  bc  c  a  0 b3  c  a a 2b  a c  a  b3  c  a a       b c  a a2  b2  c a2  b2  c2 a  b a   a 2b.cos C  2ab  a  Ta có:    A 60 cos A  2   b c b c  Vì tam giác ABC cân có góc 60 nên tam giác ABC tam giác Câu Chứng minh tam giác ABC ta có: sin B.cos C  sin C.cos B sin A Lời giải  bc  2bc.cosA 0   b c b a  b  c c a  c  b a  b  c a  c  b 2a a VT       sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR R = = Câu= 1: I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM Cho tam giác ABC , chọn công thức đáp án sau: b2  c2 a2 a  c b2  ma2   4 A B 2c  2b  a a  b2 c 2 ma  ma   4 C .D ma2  Lời giải Chọn C Theo công thức đường trung tuyến ta có Câu 2: ma2  b  c a 2b2  2c  a   4 Trong tam giác ABC , câu sau đúng? 2 A a b  c  2bc.cos A a b  c  bc.cos A C 2 B a b  c  2bc.cos A 2 D a b  c  bc.cos A Lời giải Chọn B 2 Áp dụng định lí hàm số cos đỉnh A ta có: a b  c  2bc.cos A Câu 3: 2 Nếu tam giác ABC có a  b  c thì:  A A góc tù   B A góc vng C A góc nhọn Lời giải  D A góc nhỏ Chọn C Ta có a b  c  2bc cos A  cos A  b2  c  a 2 2 2bc a  b  c nên cos A  CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 4:  a  b  c   a  b  c  3ab Khi số đo Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện C A 120 B 30 C 45 Lời giải D 60 Chọn D  a  b  c   a  b  c  3ab   a  b  Ta có:  c 3ab  a  b  c ab a  b  c ab   cos C     C 60 ab ab Theo hệ định lí hàm cosin: Câu 5: Cho tam giác ABC Khẳng định sau đúng? ma2  mb2  mc2  A 2 2 a b c  ma2  mb2  mc2   a  b  c  C B ma2  mb2  mc2  2 a b c  ma2  mb2  mc2  2 a b c  D Lời giải Sử dụng công thức trung tuyến, ta có: 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c 2 m m m     a b c  4 4 a Câu 6: b c Cho tam giác ABC thỏa mãn c a.cos B Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC tam giác cân C Tam giác ABC tam giác vuông B Tam giác ABC tam giác nhọn D Tam giác ABC tam giác tù Lời giải a  c  b2 a2  c  b2  c a  c c a.cos B ac 2c  c  b a Ta có: Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông A Câu 7: Diện tích S tam giác thỏa mãn hệ thức hai hệ thức sau đây? I S  p  p  a  p  b  p  c 16S  a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c  II A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II Lời giải Chọn C Ta có: I cơng thức Hê-rơng tính diện tích tam giác D Khơng có CHUN ĐỀ III – TỐN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC a b c a b  c a  b c  a b c S2  2 2 Khi đó:  16S  a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c  Câu 8: , hb , hc Cho tam giác ABC , đường cao a, b, c   A a b c B 3a 2b  c Do II thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb  hc Tìm hệ thức C 3a 2b  c Lời giải   D a b c Chọn D Kí hiệu S SABC 3h 2hb  hc  Ta có: a Câu 9: 3.2S 2.2S 2S      a b c a b c Trong tam giác ABC , hệ thức sau sai? a A b.sin A sin B B sin C  c.sin A a C a 2 R.sin A D b R.tan B Lời giải Chọn D a b c   2 R Theo định lí hàm số sin ta có: sin A sinB sinC Suy ra: a b b.sin A   a sin B + sin A sinB a c c.sin A   sin C  a + sin A sinC a 2 R  a 2 R.sin A + sin A b b b 2 R  R sin B  R tan B 2cosB + sinB Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b  c 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A cos B  cos C 2cos A sin B  sin C  sin A C B sin B  sin C 2sin A D sin B  cos C 2sin A Lời giải Chọn B a b c   2 R  sin A sin B sin C Ta có a 2 R sin A  b 2 R sin B c 2 R sin C 