Chuyên đề 10 hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cạnh huyền BC Cạnh góc vng AB , có hình chiếu lên cạnh huyền BH Cạnh góc vng AC , có hình chiếu lên cạnh huyền CH Đường cao AH A B H C Hệ thức: Cạnh góc vng – Cạnh huyền (Định lý Pytago) BC  AB  AC Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vng Hệ thức : Cạnh góc vng – cạnh huyền – hình chiếu cạnh góc vng AB BC.BH AC BC.CH Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh góc vng tích độ dài cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền Hệ thức : Đường cao – hình chiếu cạnh góc vng AH BH CH Trong tam giác vng, bình phương độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tích độ dài hình chiếu hai cạnh góc vng lên cạnh huyền Hệ thức Đường cao – cạnh góc vng 1  2 AH AB AC Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương độ dài đường cao tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vng Hệ thức : Đường cao – cạnh góc vuông – cạnh huyền AB AC BC AH Trong tam giác vng, tích độ dài hai cạnh góc vng tích độ dài cạnh huyền với đường cao tương ứng B CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC 3: AB  AC 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH , CH Giải: A C B H a) Theo giả thiết: AB : AC 3:  AB 3.3 9(cm) AB AC AB  AC 21    3   34  AC 3.4 12(cm) Suy Tam giác ABC vng A, theo định lý Pytago ta có: BC  AB  AC 92  122 225  BC 15cm b) Tam giác ABC vuông A, ta có : AH BC  AB AC , suy AB AC 9.12 AH   7,2  cm  BC 15 AH BH HC Đặt BH x   x   HC 15  x , ta có: 7,22 x. 15  x   x  15 x  51,84 0  x  x  5,4   9,6  x  5,4  0  x 5,4(tm)   x  5,4   x  9,6  0    x 9,6( ktm) Vậy BH 5,4cm  HC BC  BH 9,6cm Ví dụ 2:Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72 cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền cm Giải: A x B H C M Ký hiệu hình bên Đặt AM x, ta có: BC 2 x, AH x  Theo hệ thức tam giác vuông: AB  AC BC 4 x (1) AB AC BC AH 2 x  x   (2) Từ (1) (2) suy ra: AB  AC  AB AC 4 x  x  x   2   AB  AC  8 x  28 x   72  x  8 x  28 x x Đưa phương trình  65 x  1296 0   x  16   x  81 0 Nghiệm dương phương trình x 16 Từ BC 32cm, AH 9cm 32.9 : 144  cm  ABC Vậy diện tích tam giác là:   Ví dụ Cho hình thang ABCD có B C 90 , hai đường chéo vng góc với H Biết AB 3 5cm, HA 3cm Chứng minh rằng: a) HA : HB : HC : HD 1: : :8 1 1    2 HB HC b) AB CD A 3√5 B H D C a) Áp dụng hệ thức b ab ' vào tam giác vuông BAC ta được: AB 2 AB  AC AH  AC  15cm  HC 12cm AH  Áp dụng hệ thức h b ' c ' vào tam giác vuông BAC tam giác vuông CBD ta được: BH HA.HC 36  BH 6(cm) CH CH HB.HD  HD  24(cm) HB Vậy HA : HB : HC : HD 3: :12 : 24 1: : :8 1   b c vào tam giác vuông BAC CBD ta được: b) Áp dụng hệ thức h 1 1 1  2 ;  2 2 HB AB BC HC BC CD 1 1    2 HB HC Trừ vế hai đẳng thức ta được: AB CD Ví dụ 4.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB 7,5cm, AH 6cm a) Tính AC , BC b) Tính cos B,cos C A 7,5 C H B a) Tam giác ABH vuông H, theo định lý Pytago, ta có: BH  AB  AH 7,52  62 20,25  BH  20,25 4,5cm Tam giác ABC vng A có AH  BC , theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có : AB 7,52 56,25 AB BH BC  BC    12,5(cm) BH 4,5 4,5 Lại áp dụng định lý Pytago với tam giác vng ABC, ta có : AC BC  AB 12,52  7,52 156,25  56,25 100  AC  100 10(cm) Vậy AC 10cm, BC 12,5cm b) Trong tam giác vng ABC , ta có: AB 7,5 cos B   0,6 BC 12,5 AC 10 cos C   0,8 BC 12,5 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, có AC 15cm, B 50 Hãy tính độ dài a) AB, BC b) Phân giác CD Giải: A D B 50 độ 15 a C a) Tam giác ABC vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng, ta có: AB  AC.cot B 15.cot 50 15.0,8391 12,59(cm) AC 15 15 AC BC.sin B  BC    19,58cm sin B sin 50 0,7660 Vậy AB 12,59cm,BC 19,58cm   b) Tam giác ABC vuông A nên B  C 90  C 900  B 900  500 400 ACD  C   400 200 2 CD tia phân giác góc C , ta có : Trong tam giác vuông ACD vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc ta có : AC CD.cos ACD CD.cos 200 , suy ra: AC 15 CD   15,96cm cos 20 0,9397 Ví dụ Cho tam giác ABC , hai đường cao BH , CK Chứng minh rằng: AB  AC BH  CK A K H B C Giả sử AB  AC Trong tam giác vng AHB, ta có: BH  AB.sin A (2) Trong tam giác vuông AKC , ta có: CK  AC.sinA (1) BK AB.sin A AB   1 CK AC sin A AC Từ (1) (2) suy : (vì sin A  0, AB  AC ) BH  CK C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Bài Cho tam giác ABC có đáy BC 2a, cạnh bên b  b  a  a) Tính diện tích tam giác ABC AK b) Dựng BK  AC Tính tỉ số AC Bài Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C cà cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a, b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a 2 b) Chứng minh a  b  c 4 3S   Bài Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 45 , ACB 60 , bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Bài Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C cạnh đối diện đỉnh tương ứng a, b,c Chứng minh rằng: a) a b  c  2bc cos A b) Gọi D chân đường phân giác góc A Chứng minh:  A 2bc.cos   2 AD  bc Bài Không dùng máy tính bảng số chứng minh rằng: 6 Bài Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK, H trực tâm tam giác Gọi M điểm  CK cho AMB 90 S , S1 , S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC sin 750  ABH Chứng minh rằng: S  S1S2    Bài Cho hình thang ABCD có A D 90 , B 60 , CD 30cm, CA  CB Tính diện tich hình thang Bài Cho ABC vuông A Đường cao AH , kẻ HE , HF vng góc với AB, AC EB  AB    FC  AC  a) Chứng minh b) Chứng minh BC.BE.CF  AH Bài Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài 10 Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm Đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC Giải từ đến 10: Bài A K B H C a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pytago ta có: AH  AC  HC b  a 1  S ABC  BC AH  a b  a  AH  b  a 2 BC AH 2a 1  b  a2 BC  BK AC S ABC  BK  AC b b) Ta có : Áp dụng định lý Pytago tam giác vng AKB ta có: b  2a   4a 2 2 2 AK  AB  BK b   b  a   b b2  AK  Bài b  2a b 2 AK b  2a   AC b2 A B C C a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác ABC  B, C góc nhọn nên đường cao hạ từ A lên BC điểm H thuộc cạnh BC Ta có: BC BH  HC Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB, AHC 2 2 2 Ta có: AB  AH  HB , AC  AH  HC Trừ hai đẳng thức ta có: c  b HB  HC  HB  HC   HB  HC  a. HB  HC  a2  b2  HB  HC  a ta có: a  c2  b2 HB  HC a  BH  2a Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB  a  c  b2   a  c  b2   a  c2  b2   AH c    c  c      2a 2a 2a        a  c   b2   b2   a  c    a  b  c   a  c  b   b  a  c   b  c  a      a a 4a     Đặt p a  b  c 2 p  p  a  p  b  p  c 16 p  p  a   p  b   p  c  AH   AH  4a a S  BC AH  p  p  a   p  b   p  c  Từ tính được: