Chuyên đề 3 hệ thức lượng trong tam giác vuông

TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN MỨC ĐỘ CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG MỤC LỤC Chủ đề Hệ thức lượng tam giác vuông .1 Vấn đề Hệ thức cạnh đường cao .2 Vấn đề Hệ thức cạnh đường cao .5 Vấn đề Luyện tập hệ thức cạnh đường cao .7 Vấn đề Tỉ số lượng giác góc nhọn (phần i) Vấn đề Tỉ số lượng giác góc nhọn (phần ii) 12 Vấn đề Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông (phần i) .16 Vấn đề Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông (phần ii) .19 Ôn tập chủ đề 22 Đáp án 26 Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG (PHẦN I) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: A 2  AB BH.BC hay c ac ' 2  AC CH.BC hay b ab ' c  AB.AC BC.AH hay cb ah B 2  HA HB.HC hay h c 'b ' 1 1 1  2  2 2 2  AH AB AC hay h c b b h c' H C b' a 2  BC AB  AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC ta tính ln bốn đoạn lại  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Tính x, y trường hợp sau: A A B 12 x H y A C B y x H C B 20 Hình Hình x C H y Hình Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN a) Cho biết AB 3cm, AC 4 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, BC b) Cho biết BH 9 cm, CH 16 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, AH Bài Cho tam giác ABC vuông A, AH  BC  H  BC  Cho biết AB : AC 3 : BC 15cm Tính độ dài đoạn thẳng BH HC Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC 3 : AH 6 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Tính x, y trường hợp sau: A A B 13 y x H C B A x y C H B H x C y Hình Hình Hình Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Cho biết AB 3cm, AC 5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, A C b) Cho biết AH 60 cm, CH 144 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, BH c) Cho biết AC 12 cm, AH  60 cm 13 Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC, BH, CH AB  Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AC BC 122 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC 3 : AH 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH C BÀI TẬP VỀ NHÀ Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB 4 cm, AC 7,5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH HC Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Cho biết AH 6 cm, BH 4,5cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, HC b) Cho biết AB 6 cm, BH 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AH, AC, CH Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH 12 cm, BH 9 cm Bài 12 Cho tam giác ABC , biết BC 7,5cm, CA 4,5cm, AB 6 cm a) Tính đường cao AH tam giác ABC b) Tính độ dài BH, CH Bài 13 Cho tam giác vng với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà đường cao chia cạnh huyền AB  Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AC AH 15cm Tính độ dài đoạn thẳng HB HC Bài 15 Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD  BC Biết AD 12 cm, DC 25cm Tính độ dài AB, BC BD Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG (PHẦN II) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Nhắc lại lí thuyết Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: A 2  AB BH.BC hay c ac ' 2  AC CH.BC hay b ab '  AB.AC BC.AH hay cb ah 2  HA HB.HC hay h c 'b ' 1 1 1  2  2 2 2  AH AB AC hay h c b c B b h c' H b' C a 2  BC AB  AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lí theo hướng: Bước 1: Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Bước 2: Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Bước 3: Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu H lên CD, CE Chứng minh: a) CD.CM CE.CN b) CMN CED Bài Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D , vng góc với DI , cắt đường thẳng BC L Chứng minh: Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN a) Tam giác DIL tam giác cân; 1  2 b) Tổng DI DK không đổi I thay đổi cạnh AB  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AH đường cao 2 2 a) Chứng minh AB  CH AC  BH ; b) Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu H lên AB, AC Chứng minh: AM.AB AN.AC Bài Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O tới 1   2 h, AC  m, BD  n cạnh hình thoi Chứng minh: m n 4h C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm, B C 15cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD ; b) Vẽ AH  BD H Tính độ dài đoạn thẳng AH ; c) Đường thẳng AH cắt BC DC I K Chứng minh: AH HI.HK Bài Cho hình thang ABCD vng A D Cho biết AB 15cm, AD 20 cm, đường chéo AC BD vng góc với O Tính: a) Độ dài đoạn thẳng OB, O D b) Độ dài đoạn thẳng AC ; c) Diện tích hình thang ABCD Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , kẻ HE, HF vng góc với AB, AC Chứng minh: EB  AB    FC  AC  a) 3 b) BC.BE.CF AH Bài Cho tam giác ABC cân A có AH BK hai đường cao Kẻ đường thẳng vng góc với BC B cắt tia CA D Chứng minh: Liên hệ WORD: NHÓM Toán chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN a) BD 2AH 1  2 2 b) BK BC 4HA Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VẤN ĐỀ LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Nhắc lại lí thuyết Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: A 2  AB BH.BC hay c ac ' 2  AC CH.BC hay b ab ' c  AB.AC BC.AH hay cb ah 2  HA HB.HC hay h c 'b ' 1 1 1  2  2 2 2  AH AB AC hay h c b B b h c' H b' C a 2  BC AB  AC (Định lí Pytago) B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết BH 4 cm, CH 9 cm Gọi D, E hình chiếu H lên cạnh AB, AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE b) Các đường thẳng vng góc với DE D, E cắt BC M, N Chứng minh MN  BC c) Tính diện tích tứ giác DENM Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H lên cạnh AB, AC Chứng minh: AC2 HB  ; a) AC HC AC3 BD  ; b) AC EC c) DE BD.CE.BC; 3 2 d) BC  BD  CE  Học sinh tự luyện tập sau lớp: Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Cho biết AB 6 cm, AC 8cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, BC b) Cho biết AB 6 cm, BC 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH, AC Bài Tìm độ dài cạnh tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài 48cm hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền theo tỉ lệ :16 Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD 15 cm, CD 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC Bài Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB 26 cm cạnh bên AD 10 cm Cho biết đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Nếu BH 2 cm, CH 8cm Tính độ dài đoạn AB, AC, BC, AH b) Nếu AH 5cm, CH 16 cm Tính độ dài đoạn AB, AC, BC, BH Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC 3 : AH 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD 15 cm, CD 20 cm Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC Bài 10 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết HB  AH 14 cm , HC Bài 11 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH 12 cm, BH 9cm Bài 12 Cho tam giác ABC vuông C , đường cao CK a) Cho biết AB 10 cm, A C 8cm Tính BC, CK, BK, AK b) Gọi H I theo thứ tự hình chiếu K lên BC AC Chứng minh: CB.CH CA.CI Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768 TUYỂN TẬP CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 1   2 c) Gọi M chân đường vng góc kẻ từ K xuống IH Chứng minh KM CH CI AI AC3  d) Chứng minh: BH BC VẤN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT  Cho góc nhọn   00    900   Dựng tam giác ABC vuông A cho  ABC Từ ta có: AB AC AC AB ;sin   ; tan   ;cot   BC BC AB AC Với góc nhọn  bất kì, ta ln có: B cos    sin   1;  cos  sin  cos tan   ;cot   ; tan .cot  1; cos sin  1 sin   cos 2 1;  tan   ;  cot   cos  sin  A C  Nếu hai góc phụ sin góc cosin góc kia, tang góc cotang góc  Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt: 300 450 600 sin  2 cos 2 2 tan  3 cot  3 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Liên hệ WORD: NHĨM Tốn chuẩn – Zalo 084.251.7768