Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông – lư sĩ pháp

I Love Math HÌNH HỌC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG 0916620899 lsp02071980@gmail.com Trọng tâm tốn I Love Math GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG -0o0 §1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CẦN NẮM Quy ước Cho ∆ABC vng A, có đường cao AH Cạnh huyền BC = a Cạnh góc vng AB = b; AC = c Hình chiếu cạnh AB BC BH = b′ Hình chiếu cạnh AC BC CH = c′ Đường cao AH = h Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Định lí Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền  AC = BC.CH hay c = ac′ Tức là:  AB = BC.BH hay b = ab′ Định lí Py – ta – go Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Tức :  AB + AC = BC hay a = b + c 2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh hai cạnh góc vng cạnh huyền Tức là:  AH = BH HC hay h = b′.c′ Định lí Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng Tức là:  AB AC = BC AH hay b.c = a.h Định lí Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng 1 1 1 Tức là:  = + hay = + 2 2 AH AB AC h b c B BÀI TẬP Bài Tính chiều cao hình bên, biết người đo đứng cách 2,25m khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất 1,5m HD Giải Xét tam giác ACD vuông D có đường cao BD AB = 1,5m Trọng tâm toán I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Ta có: BD = AB.BC ⇔ (2, 25) = 1, 5.BC  BC = 3, 375 m Vậy chiều cao AC = AB + BC = 1,5 + 3,375 = 4,875 m Bài Cho tam giác ABC vng A , có AB = 6cm , AC = 8cm Tính độ dài cạnh huyền đường cao AH HD Giải Xét tam giác ABC vuông A , ta có A BC = AB + AC = + 82 = 100 Suy ra: BC = 10 cm 8cm 6cm AB AC AB + AC 1 = +  AH = Ta lại có: 2 AH AB AC 62.82 = 4,8 cm + 82 Bài Hãy tìm x y hình sau a) b) B Vậy AH = A y x C H d) B C H 20 e) y y x B g) H h) A C A B B x x B C y k) y x x A C H C H B A B f) B H y x 12 y x B c) A A C H H C 16 H y x H 12 A x C y A y C Bài Trong tam giác vuông với cạnh góc vng có độ dài 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà định cạnh huyền Bài Đường cao tam giác vng chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài Tính cạnh góc vng tam giác Bài Cho hình vng ABCD Gọi I điểm cố định A B Tia DI CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D vng góc với DI cắt BC L Chứng minh a) Tam giác DIL tam giác cân 1 b) Tổng không đổi I thay đổi cạnh AB + DI DK Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BH , CH , AH , AC biết: a AB = 6cm; BC = 10cm b AB = 20cm; BC = 25cm Trọng tâm toán I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp d AB = 3cm; BC = 2cm c AB = 12cm; BC = 13cm e AB = 5cm; BC = 1dm f AB = 2cm; BC = 4cm Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BC , AH , BH , CH biết: a AB = 3cm; AC = 4cm b AB = 12cm; AC = 9cm d AB = 2cm; AC = 2cm c AB = 12cm; AC = 5cm e AB = 3cm; AC = 1cm AB = 3a; AC = a (với a độ dài cho trước, a > ) Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn AH , BC , AB , AC biết: b BH = 2cm; CH = 2cm a BH = 9cm; CH = 16cm c BH = 1cm; CH = 3cm d BH = 25cm; CH = 144cm e BH = 16 a; CH = a (với a độ dài cho trước, a > ) f BH = 144 a , CH = 25a (với a độ dài cho trước, a > ) Bài Cho tam giác DEF vng D có DI đường cao Tính độ dài DI biết: a DE = 15cm, DF = 20cm b DE = 1cm, DF = 1cm c DE = cm , DF = 24cm d DE = 12cm , EF = 15cm f EI = 9cm , EF = 25cm e DF = 3cm, EF = 2cm Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy điền số thích hợp vào trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn kết đến chữ số hàng phần trăm) AB AC 12 24 40 BC 20 29 60 61 84 85 AH BH CH 16 3,2 1,8 1,96 23,04 Bài Giả sử tam giác ABC khơng có góc tù Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông biết: a AB = 6cm, AC = 8cm , BC = 10cm b AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12cm c AH = 12cm, BH = 16cm , CH = 9cm d AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25cm e AB = 2cm , BH = 1cm , BC = 4cm f AC = 24cm , BH = 1,96cm, BC = 25cm Trọng tâm toán I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp §2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A KIẾN THỨC CẦN NẮM Khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn a Mở đầu Cho tam giác ABC vuông A Xét góc nhọn B Cạnh AB gọi cạnh kề góc B Cạnh AC gọi cạnh đối góc B b Định nghĩa Tỉ số cạnh đối cạnh huyền gọi sin góc α , kí hiệu sin α Tỉ số cạnh kề cạnh huyền gọi cosin góc α , kí hiệu cos α Tỉ số cạnh đối cạnh kề gọi tang góc α , kí hiệu tan α sin α = cạnh đối cạnh huyền cạnh kề cos α = cạnh kề cạnh huyền α tan α = A cạnh đối B cạnh huyền cạnh đối cạnh kề cạnh kề cot gα = cạnh đối C Tỉ số cạnh kề cạnh đối gọi cơtang góc α , kí hiệu cot gα (cot α ) Tỉ số lượng giác hai góc phụ a Định lí: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc A α Cho tam giác ABC vng A Ta có: α , β hai góc phụ sin α = cos β cos α = sin β tan α = cot β β cot gα = tan β C B b Bảng giá trị lượng giác đặc biệt α 00 TSLG sin α cosα 300 π 450 π 600 π 2 2 2 3 tan α cot α || 3 900 π || c Tỉ số lượng giác góc nhọn: < sin α < 1;0 < cos α < Ta có: tan α = sin α cos α tan α cot α = Trọng tâm toán cot α = cos α sin α + tan α = sin α + cos α = 1 cos α + cot α = sin α I Love Math _0916620899 Trọng tâm tốn I Love Math Bài Tìm tỉ số lượng giác góc B GV Lư Sĩ Pháp B BÀI TẬP Ta có: sin B = sin 450 = AC a = = BC a 2 AB a = = BC a 2 AC a tan B = tan 450 = = =1 AB a AB a cot gB = cot g 450 = = =1 AC a Ta có: cos B = cos 450 = HD Giải Bài Tìm tỉ số lượng giác góc B AC a 3 = = BC 2a AB a cos B = cos 60 = = = BC a sin B = sin 60 = tan B = tan 60 = AC a = = AB a cot gB = cot g 60 = HD Giải Bài Trong hình tìm y AB a = = AC a 3 HD Giải Ta có: cos30 = Bài Dựng góc nhọn α biết tan α = y 17  y = 17.cos 30 = ≈ 14,7 17 2 HD Giải Dựng góc vng xOy Trên tia Ox, lấy điểm A cho OA = Trên tia Oy , lấy điểm B cho OB = Suy góc OBA = α Thật vậy, ta có: OA tan α = tan BOA = = OB Bài Dựng góc nhọn β biết sin β = HD Giải Dựng góc vng xOy Trên tia Oy , lấy điểm M cho OM = Trên tia Ox, lấy điểm N cho MN = Suy góc MNO = β Thật vậy, ta có: OM = MN Bài Vẽ tam giác vng có góc nhọn 34 viết tỉ số lượng giác góc 34 Bài Cho tam giác ABC vng C , AC = 0,9 m, BC = 1, m Tính tỉ số lượng giác sin β = sin MNO = Trọng tâm toán I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài Dựng góc nhọn α , biết 3 b) cos α = 0,6 c) tan α = d) cot α = a) sin α = Bài Cho tam giác ABC vuông A Biết cos B = 0,8 , tính tỉ số lượng giác góc C Bài 10 Cho tam giác vng có góc 60 cạnh huyền có độ dài Hãy tính độ dài cạnh đối diện với góc 60 Bài 11 Tìm x hình bên Bài 12 Tìm x; y hình sau: Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Tính sin B sin C trường hợp sau: a) AB = 13; BH = b) BH = 3; CH = Bài 14 Cho hình vẽ Biết AB = 9cm; AC = 6, 4cm; AN = 36cm ; AND = 900 DAN = 340 Hãy tính: Độ dài đoạn CN ; AD ; Góc ABN CAN Bài 15 Cho hình vẽ bên Biết AB = BC = CD = DE = 2cm Hãy tính: a) Độ dài đoạn AD BE b) Góc DAC BXD Bài 16 Cho tam giác ABC vng A , có AB = 6cm , AC = 8cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C Trọng tâm toán I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 17 Tìm sin α ,cot α , tan α biết cos α = Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A , C = 300 BC = 10cm a) Tính độ dài đoạn AB, AC b) Kẻ từ A đường thẳng AM , AN vng góc với đường phân giác ngồi góc B Chứng minh MN = AB c) Chứng minh hai tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng Bài 19 Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = 30cm , B = α , tan α = Tính cạnh BC AC 12 Bài 20 Tính sin L hình Bài 21 Tìm x hình Bài 22 Trong hình bên Hãy tính a) Độ dài cạnh BC b) góc ADC Bài 23 Trong hình bên Hãy tính a) Độ dài cạnh PT c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD b) Diện tích tam giác PQR Bài 24 Trong hình bên dưới, cho tam giác BCD tam giác cạnh 5cm góc DAB = 400 Hãy tính AD AB Bài 25 Cho tam giác ABC có BC = 12cm, B = 600 C = 400 Tính: Trọng tâm tốn I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp a) Đường cao CH cạnh AC b) Diện tích tam giác ABC Bài 26 Tính giá trị biểu thức: a) A = cos 52 0.sin 450 + sin 52 0.cos 450 b) B = tan 600.cos 47 + sin 47 0.cot 300 Bài 27 Tìm cos α , tan α ,cot α biết sin α = Bài 28 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: a) A = cos 200 + cos 300 + cos 400 + cos 500 + cos 600 + cos 700 b) B = sin 50 + sin 250 + sin 450 + sin 650 + sin 850 c) C = tan10 tan 20.tan 30 tan 40 tan 880 tan 890 Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Đặt ABC = x với 0° < x < 90° Chứng minh rằng: a sin x = cos ( 90° − x ) b cos x = sin ( 90° − x ) c tan x = cot ( 90° − x ) d cot x = tan ( 90° − x ) Bài 30 Cho tam giác ABC có cạnh 2a với a > đường cao AH a Tính BH , AH theo a b Tính tỉ số lượng giác góc 30° góc 60° Bài 31 Cho tam giác ABC vng cân A có BC = 2a với a > a Tính AB AC theo a b Tính tỉ số lượng giác góc 45° Bài 32 Cho tam giác ABC vuông A Hãy tính tỉ số lượng giác góc B góc C biết: a AB = 3cm, AC = 4cm b AB = 6cm, BC = 10cm d AB = 5cm, BC = 1dm c AC = 5cm , BC = 12cm f AB = 3cm, AC = 3cm e AC = 2cm, BC = 2cm Bài 33 Tính tỉ số lượng giác góc sau (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm trịn kết đến chữ số hàng phần nghìn) a sin1°, sin 23°, sin 45°, sin 67°, sin89° b cos1°, cos 23°, cos 45°, cos 67°, cos89° c tan1°, tan 23°, tan 45°, tan 67°, tan 89° d cot1°, cot 23°, cot 45°, cot 67°, cot 89° Bài 34 Cho tam giác ABC vng A Hãy điền số thích hợp vào trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn kết đến chữ số hàng phần trăm đổi kết đo góc sang độ, phút, giây) Góc C AC BC Góc B AB 12 2 30° 40° 20 15° 18° 54° 22°30′ 30 100 7°30′ Bài 35 Cho tam giác ABC vuông A Đặt ABC = x với 0° < x < 90° Chứng minh rằng: a sin x + cos x = b tan x = d tan x.cot x = e c cot x = = + tan x; cos x Bài 36 Tính giá trị biểu thức sau: a A = sin 23° − cos 67° Trọng tâm toán sin x ; cos x f cos x ; sin x = + cot x sin x b B = cos 34° − sin 56° I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 41 Một học sinh có tầm mắt cao 1,5 m đứng sân thượng nhà cao 15 m nhìn thấy bạn với góc nghiêng xuống 49° Hỏi cô bạn cách nhà mét? Bài 42 Một máy bay thể thao bay ngang độ cao 3000 m nhìn thấy với góc nghiêng xuống 15° Hỏi máy bay phải bay đoạn đường mét cây? Bài 43 Từ cao ốc cao 50 m người ta nhìn thấy chân đỉnh ăng-ten với góc hạn 62° 34° Tính chiều cao cột ăng-ten E 50 B 340 620 A D C Bài 44 Một diều bay độ cao 60 m Sợi dây cột diều nghiêng với mặt đất góc 60° Tính chiều dài sợi dây (làm trịn đến mét) căng thẳng (khơng có chỗ bị võng) Bài 45 Tháp Capital Gate Abu Dhabi cao 160 m nghiêng 18° Nếu khơng nghiêng tháp cao mét? Bài 46 Tính chiều cao núi, cho biết hai điểm cách 500 m , người ta nhìn thấy hai đỉnh núi với góc nâng 34° 38° Trọng tâm toán 18 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 47 Một tháp dựng bên bờ sông, từ điểm đối diện với tháp bờ bên người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60° Từ điểm khác cách điểm ban đầu 20 m, người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30° Tính chiều cao tháp Bài 48 Một tượng cao 1, m đặt bệ Tại điểm mặt đất người ta nhìn thấy tượng bệ với góc nâng 60° 45° Tính chiều cao bệ Bài 49 Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cầu tuột sân chơi Đối với trẻ tuổi, cầu tuột cao 1,5 m nghiêng với mặt đất góc 30° Đối với trẻ tuổi cầu tuột cao 1,5 m nghiêng với mặt đất góc 45° Tính chiều dài máng tuột A 2m 30° E 45° B C Bài 50 Từ chân tháp cao 50 m người ta nhìn thấy đỉnh tịa nhà với góc nâng 30° Trong từchân tịa nhà lại nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60° Tính chiều cao tịa nhà Bài 51 Hai trụ điện có chiều cao đặt cách 80 m Một người đứng xa (thẳng hàng với hai trụ điện, không đứng hai trụ điện) nhìn đỉnh hai trụ điện với góc nâng 60° 30° Tính chiều cao trụ điện khoảng cách từ người đến chân trụ điện Biết mắt người cách mặt đất 1, m Trọng tâm toán 19 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 52 Từ hải đăng cao 75 m , người ta quan sát hai lần thấy thuyền hướng phía hải đăng với góc hạ 30° 45° Hỏi thuyền mét hai lầnquan sát? Bài 53 Một thủy thủ lái thuyền biển hướng hướng đơng bắc với góc nghiêng so với phương bắc 41° Đi 2,8 km phát hết nhiên liệu nên vội quay thuyền vào bờ, 1,8 km thuyền tắt máy Hỏi lúc thuyền cách bờ bao xa? Bài 54 Từ đỉnh tòa nhà cao m , người ta nhìn thấy đỉnh tháp truyền hình với góc nâng 60° nhìn thấy chân tháp với góc hạ 45° Tính chiều cao tháp truyền hình? Bài 55 Một học sinh có khoảng cách từ mặt đến mặt đất 1, m bắt đầu quan sát trái bóng bay với góc nâng 60° Một lúc sau lại nhìn thấy bóng bay với góc nâng 30° Hỏi hai lần quan sát bóng bay mét? Cho biết độ cao bóng ln ln không đổi 88, m Bài 56 Một người tháp có chiều cao h =100 m nhìn xuống đường chạy thẳng đến chân tháp Anh ta nhìn thấy xe máy với góc hạ 30° Sáu phút sau lại nhìn thấy với góc hạ 60° Hỏi sau phút xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe máy không đổi Trọng tâm toán 20 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 57 Để đo chiều cao AB Người ta đặt gương phẳng vị trí C Người đo lùi lại (thẳng người) nhìn thấy bóng A (lúc F ) Biết khoảng cách từ gương đến gốc BC = 30 mét, khoảng cách từ gương đến chỗ đứng CD = 1,5 mét Khoảng cách từ mắt người đo E đến mặt đất ED = 1, mét Tính chiều cao cây? (biết BCA = DCE ) Bài 58 Quan sát hình vẽ Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A , B mặt đất cho ba điểm A , B C thẳng hàng Ta đo khoảng cách AB góc CAD , CBD Chẳng hạn ta đo AB = 24 m, CAD = α = 63° , CBD = β = 48° Hãy tính chiều cao h tháp Bài 59 Một hình chữ nhật có kích thước 20 cm 30 cm Người ta tăng kích thước thêm x cm Gọi y chu vi hình chữ nhật a Hãy tính y theo x b Tính giá trị y tương ứng với x = cm; x = cm Bài 60 Một đất hình chữ nhật có chiều dài 32 m 32 m chiều rộng 24 m Người ta định làm vườn cảnh có đường xung quanh, x có bề rộng x(m) (hình vẽ bên) Hỏi bề rộng x mặt đường để diện tích phần đất cịn x 24 m lại 560 m2 x Bài 61 Một phịng hình vng lát viên gạch men hình vng kích cỡ, vừa hết 441 viên (không viên bị cắt xén) Gạch gồm loại men trắng men xanh, loại men trắng nằm đường chéo nhà cịn lại loại men xanh Tính số viên gạch men xanh Trọng tâm toán 21 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 62 Bạn Nam xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) gồm đoạn lên dốc đoạn xuống dốc, A = 5° , B = 4° , đoạn lên dốc dài 325 m a Tính chiều cao dốc chiều dài quãng đường từ nhà đến trường b Biết vận tốc trung bình lên dốc km/h vận tốc trung bình xuống dốc 15 km/h Tính thời gian (phút) bạn Nam từ nhà đến trường (Lưu ý kết phép tính làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 63 Một tượng cao 1,6 m đặt bệ Tại điểm mặt đất người ta nhìn thấy tượng bệ với góc nâng 60° 45° Tính chiều cao bệ Bài 64 Một có chiều cao 14 m mọc phía sau tường cao m cách tường 12 m Hỏi người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách tường mét để nhìn thấy Bài 65 Nhà bạn An vị trí A , nhà bạn Bình vị trí B cách 1200 m Trường học vị trí C cách nhà bạn An 500m AB vng góc với AC An đến trường với vận tốc km/h, Bình xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h Lúc 30 phút, hai xuất phát đến trường Hỏi bạn đến trường trước? Bài 66 Bóng tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) mặt đất có độ dài 20 m Cùng thời điểm đó, cột sắt cao 1, 65 m cắm vng góc với mặt đất có bóng dài m Tính chiều cao tháp Bài 67 Một đê đắp chắn sóng theo hình dưới, độ dốc đê phía sơng dài m Hỏi độ dốc lại đê dài mét? Bài 68 Xem hình vẽ sau, người ta dùng giác kế để đo góc CAB = 43° CBA = 38° Hỏi tàu vị trí điểm H chạy với vận tốc km/h để sau phút đến vị trí điểm C Biết khoảng cách từ vị trí điểm A đến vị trí điểm B 300 m vị trí điểm A , H , B thẳng hàng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) C A H B Trọng tâm toán 22 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 69 Ba An muốn mua thang dùng để lên mái nhà Ba hỏi An phải mua thang dài bao nhiều mét để đảm bảo an tồn leo lên mái nhà cao 4,5 m so với mặt đất Em giúp An tính chiều dài thang cần mua, biết góc kê thang an tồn 75° so với phương ngang (làm tròn đến số thập phân thứ nhất) Bài 70 Một máy bay bay lên cao với vận tốc 520 km / h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang góc 24° Hỏi sau 90 giây máy bay lên cao km theo phương thẳng đứng? (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 71 Từ đài quan sát cao 10 m, Nam nhìn thấy thuyền góc 45° 30° so với phương ngang Hãy tính khoảng cách thuyền, làm tròn đến chữ số thập phân thứ (điều kiện lý tưởng: vị trí thuyền vị trí đài quan sát thẳng hàng) Bài 72 Hình ảnh mặt cắt đồi minh họa ∆ABC với chi tiết sau: cạnh đáy AC , BH ⊥ AC , BAC = 45° , AH = 200 m, HC = 210 m Một nhóm học sinh dã ngoại từ đỉnh A lên đỉnh B xuống dốc trở C Hãy tính quãng đường này? Bài 73 Hai thuyền A B vị trí minh họa hình vẽ Tính khoảng cách chúng (kết tròn đến mét) Bài 74 Lúc 6h45 phút sáng bạn Nam xe đạp điện từ nhà tới trường với vận tốc trung bình 15 km/h bạn theo đường từ A ֏ B ֏ C ֏ D ֏ E ֏ G ֏ H (như hình) Nếu có đường thẳng từ A ֏ H theo đường với vận tốc trung bình 15 km/h, bạn Nam tới trường lúc giờ? Trọng tâm toán 23 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Trường học H 500m E C 400m G 300m 600m D 700m 1000m A Nhà B Bài 75 Hai ngư dân đứng bên bờ sông cách 50 m nhìn thấy cù lao sơng với góc nâng 30° 40° Tính khoảng cách d từ bờ sơng đến cù lao Bài 76 Một người xe máy lên dốc có độ nghiêng 5° so với phương ngang với vận tốc trung bình lên dốc 18 km/h Hỏi người để lên tới đỉnh dốc? Biết đỉnh dốc cách mặt đất 18 m Bài 77 Từ vị trí xuất phát A , hai xe lúc thẳng theo hai hướng khác nhau, tạo góc A = 70° Xe thứ với vận tốc 40 km/h xe thứ hai với vận tốc 50 km/h Sau 30 phút, hai xe cách km? (làm tròn đến chữ số thập phân) Bài 78 Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to bánh xe trước Bánh xe sau có đường kính 124 cm bánh xe trước có đường kính 80 cm Hỏi bánh xe sau lăn 20 vịng xe di chuyển mét (làm tròn chữ số) bánh xe trước lăn vịng? Bài 79 Trong hình vẽ đây, hai địa điểm A , B cách 100 km Một xe ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc 40 km/h Cùng lúc đó, xe đạp điện khởi hành từ A đoạn đường vng góc với AB với vận tốc 20 km/h Hỏi sau 90 phút hai xe cách bao xa Bài 80 Với số liệu ghi hình (biết tứ giác EFHI hình chữ nhật A , I , H thẳng hàng) Cây hình cao mét? (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị) Bài 81 Một người quan sát đứng cách tòa nhà khoảng 25 m (điểm A ) Góc nâng từ chỗ đứng đến tịa nhà (điểm C ) 36° Trọng tâm toán 24 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp a Tính chiều cao tịa nhà (làm trịn đến 0,5 mét) b Nếu thêm m nữa, đến vị trí D nằm A B góc nâng từ D đến nhà bao nhiêu? (làm tròn đến phút) Bài 82 Một người đo chiều cao nhờ cọc chôn xuống đất,cọc cao m đặt xa 15 m Sau người lùi xa cách cọc 0,8 m nhìn thấy đầu cọc đỉnh nằm đoạn đường thẳng Hỏi cao bao nhiêu, biết khoảng cách từ chân đến mắt người 1, m? Bài 83 Cho tam giác ABC vng A ( AB < AC ) có đường cao AH đường trung tuyến AM Đặt ACB = x ( 0° < x < 90° ) Đặt BC = a, AC = b, AB = c a Tính độ dài cạnh tam giác AHM theo a, b, c b Tính tỉ số lượng giác góc x góc 2x theo a, b, c c Chứng minh: ii) tan x = i) sin x = 2sin x cos x tan x − tan x iii) cos x = cos x − = cos x − sin x = − 2sin x Bài 84: Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD Đặt BC = a, AC = b, AB = c p = a sin BAC = 2sin b S ∆ABC = c a+b+c Chứng minh rằng: BAC BAC cos 2 1 BAC AB AC.sin BAC S∆ABD = AB AD.sin 2 S ∆ABD BD c = = S ∆ABC BC b + c d AD = 2bc cos b+c A Bài 85 Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD Đặt BC = a, AC = b, AB = c, p= a+b+c Chứng minh rằng: a AD.c.cos c AD = BAC = c + AD − BD 2 p( p − a) ( b + c ) cos BAC b AD.b.cos d AD = BAC = b + AD − CD 2 bcp ( p − a ) b+c Bài 86 Cho tam giác ABC có AB = 2, BAC = 60°, ACB = 45° Kẻ đường cao AH BK tam giác ABC Tính AK , BK , CK , BC , AH Trọng tâm tốn Tính tỉ số lượng giác góc 15° góc 75° 25 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG I Hệ thức lượng tam giác: Cho ∆ABC vng A, có đường cao AH  AB + AC = BC  AB = BC BH  AC = BC.CH 1 = +  2 AH AB AC  AB = BC sin C = BC cos B  AB = AC.tan C = AC.cot B A b c B C a H Tỉ số lượng giác góc nhọn: < sin α < 1;0 < cos α < Ta có: tan α = sin α cos α cot α = tan α cot α = cos α sin α + tan α = Bảng giá trị lượng giác đặc biệt α 00 TSLG sin α cosα sin α + cos α = 1 cos α + cot α = 300 π 450 π 600 π 2 2 2 3 tan α cot α || 3 3 Các cơng thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 a+b+c abc p= S= ; S = pr ; 4R sin α 900 π || 1 S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C 2 S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) a2 a ∆ABC vuông A: S = AB AC = BC AH , đường cao AH = 2 2 S=a (a: cạnh hình vng) S = a.b (a, b: hai kích thước) ∆ABC đều, cạnh a: S = b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: S = đáy × cao = AB AD.sinBAD S = AB AD.sinBAD = AC.BD d) Hình bình hành: e) Hình thoi: f) Hình thang: S = ( a + b ) h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: Trọng tâm tốn S= AC.BD 26 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp BÀI TẬP Bài Cho tam giác có góc 450 Đường cao chia cạnh kề với góc thành phần 20cm 21cm Tính cạnh lớn hai cạnh cịn lại (lưu ý có hai trường hợp) Bài Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7, 5cm a) Chứng minh tam giác ABC vng A Tính góc B, C đường cao AH b) Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC diện tích tam giác ABC nằm đường nào? Bài Hai thuyển A B vị trí minh họa hình Tính khoảng cách chúng (làm trịn đến mét) Bài Tìm khoảng cách hai cọc để căng dây vượt qua vực, minh họa hình Bài Tính chiều cao hình Trọng tâm tốn 27 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài Cho tam ABC vuông A, đường cao AH Trong đoạn thẳng AB, AC, BC, AH, HB, HC, tính độ dài đoạn thẳng lại biết: a) AB = 6cm, AC = 9cm ; b) AB = 15cm, HB = 9cm Bài Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12 cm, B = 600 C = 400 Tính: a) Độ dài đoạn thẳng CH AC; b) Diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH AH = 12 cm, BC = 25 cm a) Tìm độ dài đoạn thẳng BH, CH, AB AC b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo AMH c) Tính diện tích tam giác AHM Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, AC = 4cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC AH b) Tính số đo B C c) Đường phân giác A cắt cạnh BC E Tính độ dài đoạn thẳng BE, CE AE Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Từ H kẻ HF vng góc với AB (F thuộc AB) kẻ HE vng góc vói AC (E thuộc AC) a) Chứng minh AFE = ACB b) Đường thẳng EF cắt BC M Chứng minh ME.MF = MBMC Bài 11 Hình thang MNEF vng M, F có EF đáy lớn Hai đường chéo ME NF vng góc với O a) Cho biết MN = 9cm MF = 12cm Hãy: i) Giải tam giác MNF; ii) Tính độ dài đoạn thẳng MO, FO ; iii) Kẻ NH vng góc với EF H Tính diện tích tam giác FNE Từ tính diện tích tam giác FOH b) Chứng minh MF = MN FE Bài 12 Khơng dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn: a) sin 24°, cos 35°,sin 54°, cos 70°,sin 78°; b) cot 24°, tan l 6°, cot 57°67’, cot 30°, tan 80° Bài 13 Khơng dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: a) sin 40°, cos 28°,sin 65°, cos 88°, cos 20°; b) tan 32°48’, cot 28°36’, tan 56°32’, cot 67°18’ Bài 14 Cho < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x + cos x = − 2sin x cos x ; − cos x sin x c) = sin x + cos x b) sin x + cos6 x = − 3sin x cos x sin x + cos x d) + = + cos x sin x sin x Bài 15 Cho tam giác DEF biết DE = cm, DF = cm EF = 10 cm a) Chứng minh DEF tam giác vuông b) Vẽ đường cao DK Hãy tính DK, FK c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác EM DEF Tính độ dài đoạn thẳng MD, MF, ME e) Tính sinE tam giác vng DFK DEF f) Từ suy ED.DF = DK.EF Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A Trọng tâm toán 28 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp a) Biết B = 60° BC = cm i) Tính độ dài cạnh AB, AC AB AC = BD CD 1 b) Đường thẳng song với phân giác CBD kẻ từ A cắt CD H Chứng minh: = + 2 AH AC AD Bài 17 Cho hình vng ABCD điểm E tùy ý cạnh BC Tia Ax vng góc với AE A cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyên AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K a) Chứng minh AE = AF ii) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh: b) Chứng minh tam giác AKF, CAF đồng dạng AF2=KF.CF; c) Cho AB = cm, BE = BC Tính diện tích tam giác AEF d) Khi E di động cạnh BC, tia AE cắt CD J Chứng minh biểu thức AE.AJ có giá trị khơng phụ thuộc vị trí E FJ Bài 18 a) Tính sin sin α , tan α , cot α biêt cos α = b) Tính cos α , tan α , cot α biết sin α = c) Cho tan α = Tính sin α , cos α , cot α d) Cho cot α = Tính sin α , cos α , tan α e) Tính giá trị biểu thức: A = cos 20° + cos 40° + cos 50° + cos 70° f) Rút gọn biểu thức: B = sin a + cos a + 3sin a.cos a Trọng tâm toán 29 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Hãy chọn câu Sai A Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền B Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông cạnh huyền C Trong tam giác vuông, độ dài cạnh góc vng tổng độ dài cạnh huyền với cạnh góc vng cịn lại D Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Hãy chọn câu A Bình phương cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng B Cạnh góc vng có hình chiếu cạnh huyền lớn lớn C Cạnh góc vng có hình chiếu cạnh huyền lớn bé D Tỉ số hai cạnh góc vng tỉ số cạnh huyền với đường cao ứng với cạnh huyền Cho tam giác MPQ vng M Khi A MP cạnh kề góc Q C MP cạnh đối góc Q Cho hình vẽ, chọn câu 32 A x = B x = 32 18 18 C y = D x = 5 B PQ PM hai cạnh góc vng D MQ cạnh kề góc P x y x Cho hình vẽ Hãy chọn câu A x = 80 B x = 80 C x = 48 D x = 48 10 Câu 6: Cho hình vẽ Hãy chọn câu A x = B x = C x = B D D x = 2 C A Câu 7: E x Cho hình vẽ Hãy chọn câu A x = 9, y = 14 B x = 15, y = 13 C x = 15, y = D x = 9, y = 15 16 12 Câu 8: Cho hình vẽ, biết AC = 3cm , BD phân giác B Hãy chọn câu Sai A AB = 3cm B BC = 3cm C x = D x = y B AB 300 x A Trọng tâm toán 30 x D I Love Math _0916620899 C Trọng tâm toán Câu 9: I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Cho hình vẽ Hãy chọn câu A x = 32 B x = 40 C x = 30 D x = 64 A x 18 B Câu 10: Cho hình vẽ Hãy chọn câu A x = 13 B x = 14 C x = 15 D x = 12 32 H A C x 1200 B Câu 11: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 5cm; y = 4cm x y B x = 6cm; y = 5cm C x = 5cm; y = 5cm cm D x = 5cm; y = 5cm Câu 12: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 15cm cm B cm B x = 2cm C x = 18cm D x = 7cm x A 18 cm C x Câu 13: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 4cm B x = 5cm C x = 6cm D x = 7cm A 16cm 14 cm 60° B Câu 14: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 7, 2cm; y = 10cm x C 12 cm B x = 2,8cm; y = 12,8cm C x = 8cm; y = 12,8cm y x D x = 7, 2cm; y = 12,8cm 20 cm Câu 15: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 10cm; y = 25cm B x = 20cm; y = 15cm y C x = 30cm; y = 25cm cm D x = 15cm; y = 20cm Trọng tâm toán x 31 16 cm I Love Math _0916620899 C Trọng tâm toán I Love Math Câu 16: Cho hình vẽ, chọn câu A x ≈ 5cm; y ≈ 9, 6cm GV Lư Sĩ Pháp 5cm B x ≈ 6cm; y ≈ 10, 6cm 7cm x C x ≈ 4cm; y ≈ 8, 6cm D x ≈ 3cm; y ≈ 7, 6cm y Câu 17: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 3cm; y = 5cm B x = 5cm; y = 5cm y cm C x = 2cm; y = 5cm cm x D x = 4cm; y = 5cm Câu 18: Cho hình vẽ, chọn câu A a = 6cm B a = 7cm C a = 8cm D a = 9cm cm cm a Câu 19: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 5cm B x = 6cm C x = 13cm D x = 36cm x Câu 20: Cho hình vẽ, chọn câu A x = 49cm B x = 8cm C x = 9cm D x = 7cm Trọng tâm toán 9 cm cm A cm B 32 11 cm x cm D C I Love Math _0916620899 ...Trọng tâm toán I Love Math GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG -0o0 §1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CẦN NẮM Quy ước Cho ∆ABC vng... Love Math GV Lư Sĩ Pháp §3 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A KIẾN THỨC CẦN NẮM Các hệ thức Cho tam giác ABC vuông A , có BC = a, AB = c A AC = b Định lí: Trong tam giác vng, cạnh... tỉ số lư? ??ng giác góc 30° góc 60° Bài 31 Cho tam giác ABC vng cân A có BC = 2a với a > a Tính AB AC theo a b Tính tỉ số lư? ??ng giác góc 45° Bài 32 Cho tam giác ABC vng A Hãy tính tỉ số lư? ??ng giác