Hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của một góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, chứng minh hệ thức hình học, tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông, Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông biết độ dài hai cạnh, Tính cạnh khi biết một tỉ số lượng giác của một góc, chứng minh hệ thức lượng giác, giải tam giác vuông
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Phần 1: Kiến thức cần nhớ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH ta có b2 = a b’ c2 = a c’ b2 + c2 = a2 h2 = b’ c’ A c B a h = b c Phần 2: Bài tập h c' a H b b' C Bài 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = cm AC = 7,5 cm Tính HB, HC Bài 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH a) Biết AH = cm, BH = 4,5 cm. Tính AB, AC, BC, HC b) Biết AB = cm, BH = cm. Tính AH, AC, CH Bài 3: Cho ABC vuông A, đường cao AH. Tính diện tích ABC, biết AH = 12 cm, BH = cm Bài 4: Cho ABC, biết BC = 7,5 cm, CA = 4,5 cm, AB = cm a) ABC tam giác gì? Tính đường cao AH ABC b) Tính độ dài đoạn BH, CH Bài 5: Cho tam giác vng với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà đường cao chia cạnh huyền Bài 6: Cho tam giác vng, biết tỉ số hai cạnh góc vng , cạnh huyền 26 cm Tính độ dài cạnh góc vng hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Bài 7: Cho ABC vuông A biết , đường cao AH = 15 cm Tính HB, HC Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Biết AB = 26 cm, AD = 10 cm đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD Bài 9: Cho ABC vng A, AB = 12 cm, AC = 16 cm, phân giác AD, đường cao AH Tính độ dài đoạn HB, HD, HC Bài 10: Cho ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Biết BD = 15 cm, CD = 20 cm Tính BH, CH Bài 11: Cho ABC vng A, đường cao AH Tính chu vi ABC, biết AH = 14cm, Bài 12: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : AC = : 7, AH = 42 cm Tính BH, CH GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Bài 13: Cho hình thang vng ABCD, , AB = 15 cm, AD = 20 cm, đường chéo AC BD vng góc với O a) Tính độ dài đoạn OB, OD b) Tính độ dài đường chéo AC c) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 14: Cho ABC vng A, đường cao AH Biết BH : HC = : 16, AH = 42 cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác Bài 15: Biết tỉ số hai cạnh góc vng tam giác vng : 6, cạnh huyền 122 cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Bài 16: Một tam giác vng có cạnh huyền 6,15 cm, đường cao ứng với cạnh huyền cm Tính cạnh góc vng tam giác Bài 17: Trong tam giác vuông, tỉ số đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vng 40 : 41 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng đó, viết cạnh huyền cm Bài 18: Cho ABC vuông A, AB = 12 cm, BC = 13 cm Tính AC, đường cao AH, đoạn thẳng BH, CH diện tích tam giác Bài 19: Cho ABC vng có cạnh huyền AB, AC = 15 cm, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH HB với HB = 16 Tính diện tích tam giác vng ABC Bài 20: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AC = 20 cm, AH = 12 cm Tính diện tích tam giác ABC Bài 21: Cho ABC vuông A, đường cao AH biết HB = cm, HC =16cm. Tính AB, AC Bài 22: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = cm HC - BH = cm. Tính HB, HC Bài 23: Cho ABC vuông A, , đường cao AH = 18 cm Tính chu vi tam giác ABC Bài 24: Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu H AB AC Chứng minh rằng: a) AM.AB = AN.AC b) HB.HC = MA.MB + NA.NC c) Bài 25: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI cắt tia CB K Kẻ Dx vuông góc với DI cắt tia BC L chứng minh rằng: a) Tam giác DIL cân b) GV: không đổi I di động cạnh AB Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài tập tự luyện Bài 1: Tính x, y hình vẽ sau: Hình Hình Hình Hình Bài 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Trong đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, BH, CH tính độ dài đoạn cịn lại biết: a) AB = 15cm, BC = 25cm b) HB = 18cm, CH = 32cm c) AB = 7,2cm, CH = 9,6 cm d) AC = 25cm, AH = 7,2cm e) AH = 7,2cm, CH = 9,6cm f) BC = 25cm, AH = 12cm, AB < AC Bài 3: Cho ABC vuông A có đường cao AH = 42cm, tính BH, CH Bài 4: Cho ABC vng A có AB = 6cm, AC =8cm Các đường phân giác ngồi góc B cắt đường thẳng AC M N Tính AM, AN Bài 5: Cho ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC) Tính diện tích chu vi ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm Bài 6: Cho ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC) Chu vi ABH 30cm, ACH 40cm Tính chu vi ABC Bài 7: Cho ABC vuông A, đường cao AH, biết AB = 6cm, BH = 3cm Tính AH chu vi tam giác vuông hình vẽ Bài 8: Cho ABC vng A, đường cao AH Tính diện tích ABC, biết AH = 12cm, BH = cm Bài 9: Cho ABC biết CB = 5cm, AC =4cm, AB = 3cm a) Tính đường cao AH ABC GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG b) Tính BH, CH Bài 10: Cho ABC có góc nhọn, đường cao CH Chứng minh rằng: a) b) Vẽ trung tuyến AM ABC Chứng minh rằng: +) +) Bài 11: Hình bình hành ABCD có góc nhọn A Gọi I, K hình chiếu B, D đường chéo AC Gọi M, N hình chiếu C đường thẳng AB, AD Chứng minh rằng: a) AK = IC b) Tứ giác BIDK hình bình hành c) Bài 12: Cho ABC có đường cao AH ( H nằm B C) AH = 12cm, BH = 9cm, BC = 25cm a) Chứng minh ABC vuông A b) Kẻ Bx//AC cắt AH D Tính HD chứng minh cắt BC F Chứng minh b) Kẻ d) Chứng minh ( khơng cần tính diện tích) Bài 13: Cho ABC vng A có AB = 12cm, AC = 16cm a) Tính độ dài trung tuyến AM b) Kẻ đường cao AH Tính chu vi ABH c) Tia phân giác cắt AB, AC D E Chứng minh d) Tính Bài 13: Cho ABC vng A có AB < AC, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) AB.AD = AC.AE b) c) d) GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG e) Biết BC = 10cm, AH = 4cm Tính BH, CH CHỦ ĐỀ 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Phần 1: Kiến thức cần nhớ - Các tỉ số lượng giác góc nhọn định nghĩa sau cos = đ cạnh ối sin = tan = cot = - Với hai góc phụ ta có sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan c¹nh kỊ - Một số góc đặc biệt Phần 2: Bài tập Bài 1: Cho ABC vuông A, AB = 30 cm Biết a) Tính AC, BC b) Tính sinB, cosB, cotB : Cho ABC vuông A Chứng minh rằng: Bài Bài 3: Cho ABC nhọn, hai đường cao BD CE Hãy biểu thị cosA cách, từ chứng minh Bài 4: a) Cho ABC vuông A, AB = 8cm, AC = 15cm Tính tỉ số lượng giác góc C, từ suy tỉ số lượng giác góc B b) Cho ABC vng A, AB = 6cm, BC = 10cm Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc C GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG c) Cho ABC vng C, BC = 1,2cm, CA = 0,9cm Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài 5: Cho ABC vuông A, AC = cm Biết cotB = 2,4 a) Tính AB, BC b) Tính tỉ số lượng giác góc C Bài 6: Cho ABC vng A, AC = cm Biết cosB = 0,8 Tính tỉ số lượng giác góc C Bài 7: Hãy biến đổi tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 450 : sin570, cos53032', tan72015', cot85035' Bài 8: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để chứng minh, với góc nhọn tùy ý, ta có: a) sin < 1, cos < b) , , tan.cot = c) , Bài 9: Tìm sin, cos biết: a) , b) Bài 10: Cho Tìm cos, tan, cot Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 7,5cm, AH = 6cm a) Tính AC, BC b) Tính cosB, cosC Bài 12: Cho ABC vng A, đường cao AH Tính sinB, sinC trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4), biết rằng: a) AB = 13, BH = b) BH = 3, CH =4 Bài 13: Cho ABC có hai cạnh góc vng AB = 16mm, AC = 3cm a) Tính tỉ số lượng giác góc nhọn b) Tính Bài 14: a) Biết Tính b) Biết Tính Bài 15: Chứng minh với góc nhọn α tùy ý, biểu thức sau không phụ thuộc vào α a) b) Bài 16: Áp dụng kết 8, đơn giản biểu thức sau: GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG a) b) e) f) g) c) d) Bài 17: Áp dụng kết 8, tính: a) h) b) c) d) e) Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC), tính sinB sinC trường hợp sau: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4) a) AB = 13cm, BH = 0,5dm b) BH = 3cm, CH = 4cm Bài 2: Cho ABC vng A, AB = 6cm, Tính độ dài đường cao AH đường trung tuyến BM ABC Bài 3: Cho ABC vuông A, đường cao AH (H thuộc BC), biết BH = 4cm, CH = 1cm Giải ABC Bài 4: Cho ABC vng A có AB = 10cm, AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH vng góc với BI H Tính AH Bài 5: Cho ABC vng A, đường cao AH = 6cm, (H thuộc BC), biết Tính độ dài cạnh HB, HC, AB, AC Bài 6: Cho ABC vng A , BC = 8cm Tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) Biết Bài 7: Cạnh huyền tam giác vng có góc 60 Hãy tìm độ dài cạnh đối diện với góc 600 Bài 8: Cạnh góc vng kề với góc 600 tam giác vng Hãy tìm cạnh huyền cạnh góc vng cịn lại (sử dụng bảng lượng giác góc đặc biệt) Bài 9: Cho ABC có AB = , BC = , AC = a) Chứng minh ABC vng b) Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Bài 10: Cho ABC có AB = 5cm, a) Tính độ dài đoạn thẳng AC BC b) Chứng minh ABC vng c) Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A Bài 11: Cho MNP vuông M, đường cao MQ chia cạnh huyền NP thành đoạn NQ = 3, PQ = So sánh cotN cotP Tỉ số lớn lớn lần? Bài 12: Đường cao BD ABC nhọn 6, đoạn thẳng AD = a) Tính diện tích ABD c) Tính AC, dùng thông tin sau cần: Bài 13: Cho ABC, đường cao AH Biết HB = 20cm, HC = 21cm, Bài 14: Biết tanB = Tính Bài 15: Biết Tính AC Tính Bài 16: Cho ABC vuông A, Chứng minh Bài 17: Hãy biến đổi tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 450 : sin600, cos750, sin52030', cot820, tan800 Bài 18: Tính giá trị biểu thức sau: Bài 19: Cho ABC vuông A Tính tỉ số lượng giác góc C, biết cosB = 0,6 Bài 20: Cho ABC vng A, góc C = 300, BC = 10cm a) Tính AB, AC b) Kẻ từ A đường thẳng AM, AN vng góc với đường phân giác ngồi góc B Chứng minh MN = AB c) Chứng minh tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số dồng dạng GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Phần 1: Kiến thức cần nhớ Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos góc kề b) cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay cot góc kề b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC c = b.tanC = c.cotB Phần 2: Bài tập Bài 1: Giải tam giác vuông ABC, biết a) a = 72cm, b) b = 20cm, d) b = 21cm, c = 18cm e) c = 10cm, c) b = 15cm, f) c = 25cm, Bài 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH, HB = 25cm, HC = 64cm Tính Bài 3: Cho ABC vuông A, đường cao AH, HB = 12,5cm, HC = 32cm, Tính AB, AC Bài 4: Cho Bài 5: Cho ABC có , đường cao AH = 5cm Tính AB, AC, BC ABC hai đường cao BH, CK Chứng minh AD > AC BH > CK Bài 6: Cho ABC có cạnh dài cm, 7cm cm Tính Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có hai cạnh a b, góc nhọn tạo hai đường thẳng α diện tích tam giác bằng: Bài 8: Cho ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm GV: Page HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG a) Tính BC b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 9: Một hình bình hành có hai cạnh 15 cm 18 cm góc tạo hai cạnh 135 độ Tính diện tích hình bình hành Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có , AB = BD = 18cm a) Tính AD b) Tính diện tích ABCD Bài 11: Cho ABC vng A, AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính BC, b) Đường phân giác góc A cắt BC D Tính BD, DC c) Từ D kẻ Tứ giác AEDF hình gì? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF Bài 12: Góc đỉnh tam giác cân 780, cạnh 28,5cm Tính cạnh bên diện tích tam giác Bài 13: Cạnh bên tam giác cân dài 17,2 cm, góc 46 Tính cạnh đáy diện tích tam giác đó. Bài 14: Cho tam giác ABC Biết AB = 10, AC = 24, BC = 26 a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính sinB, sinC c) Tính chiều cao AH đoạn Mà chia cạnh BC Bài 15: Một cột đèn có bóng dài mặt đất 7,5 m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 420 Tính chiều cao cột đèn Bài 16: Một khúc sơng rộng khoảng 240 m Một đị chèo qua sơng bị dịng nước đẩy phải chèo khoảng 300m tới bờ bên Hỏi dòng nước đẩy đị góc bao nhiêu? Bài 17: (h1) Ở độ cao 920m từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A, B của hai đầu cầu góc so với đường nằm ngang mặt đất góc , Tính chiều dài AB cầu Bài 18: (h2) Một đài quan sát đài hải đăng cao 150m so với mực nước biển nhìn tàu xa với góc Hỏi khoảng cách từ đến chân hải đăng mét? Bài 19: (h3) Một người quan sát đứng cách tháp 10m, nhìn thấy tháp góc phân tích hình vẽ Tính chiều cao tháp Bài 20: (h4) Trên đồi có tháp cao 100 m Từ đỉnh B chân C tháp nhìn điểm A chân đồi góc tương ứng 60 300 Tính chiều cao h đồi? GV: Page 10 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Hình Hình Hình Hình Bài 21: Một đường lên dốc tạo với mặt phẳng nằm ngang góc α Hỏi độ cao h so với mặt đất quãng đường đường lên dốc l trường hợp sau: b) l = 3km, a) l = 1,5km, Bài 1: Một cột đèn có bóng mặt đất dài 7,5 cm tia nắng tạo với mặt đất góc xấp xỉ 420 Tính chiều cao cột đèn Bài 2: Một cột đèn điện AB cao m có bóng in mặt đất AC dài 3,5 m Tính (làm trịn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất Bài 3: Một cầu trượt cơng viên có độ dốc 28 có độ cao 2,1 cm Tính độ dài mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 4: Một khúc sông rộng khoảng 250m Một đị chèo qua sơng bị dịng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m sang bờ bên Hỏi dòng nước đẩy đò lệch góc bao nhiêu? Bài 5: Một cột đèn cao m có bóng mặt đất dài m Hãy tính góc tia sáng mặt trời tạo với mặt đất Bài 6: Anh An đặt cầu thang tiếp xúc với tường thang tạo với tường góc 30° Chân thang cách chân tường khoảng 1,5 m Tính chiều thang Bài 7: Cho chiều cao cột đèn đoạn thẳng CD, chiều cao bạn An đoạn thẳng AB = 1,6 m Bạn An đứng cách cột đèn m, cột đèn tạo với đoạn thẳng nối điểm cao cột đèn điểm cao bạn An góc 60 Tính chiều cao cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 8: Ở độ cao 920 m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C hai đầu cầu so với đường vng góc với mặt đất góc 400 300 Tính chiều dài cầu CD GV: Page 11 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Bài 9: Giơng bão gió thổi mạnh, tre gãy gập xuống làm chạm đất tạo với mặt đất góc 300 Người ta đo khoảng cách từ chỗ chạm đất đến gốc tre 8,5 m Giả sử tre mọc vng góc với mặt đất Hãy tính tre (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài 10: Một máy bay lên cao cách mặt đất 10 km khoảng thời gian 2,4 phút Tính vận tốc máy bay biết đường bay lên máy bay tạo với phương nằm ngang góc 300 Bài 11: Trong hè năm 2023 anh Phương có dịp tham quan Hà Nội, Hạ Long, Sa Pa đợt tham quan hè anh Phương đến với núi Yên Tử hùng vĩ Khi tiến gần đến chân núi anh dùng dụng cụ đo góc đo từ mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi góc 300, sau anh tiếp tục di chuyển thêm 954 m phía chân núi theo đường thẳng anh đo góc 500 Em cho biết độ cao núi Yên Tử mét? Bài 12: Từ đỉnh đèo hải đăng cao 150 m so với mực nước biển, anh Phương nhìn thấy hịn đảo góc 7015' so với đường nằm ngang chân đèn Anh dự định khám đảo với quãng đường ngắn Biết tàu cịn lại 42 lít dầu, 10 m tàu lại tiêu hao 0,4 lít dầu Hỏi thuyền có đảo với số lượng dầu hay khơng? Bài 13: Tính chiều cao núi biết hai điểm cách 600 m mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng 480 340 Bài 14: Một tượng cao m đặt bệ điểm nằm mặt đất người ta nhìn thấy tượng bệ với góc nâng 640 420 tính chiều cao bệ GV: Page 12