Hàm số y =ax2 , vẽ đồ thị hàm số bậc hai y =ax2, sự tương giao của hai đồ thị, Tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng, Tìm tham số để thỏa mãn một số điều kiện cho trước, đồ thị hàm số và bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng
CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 ( ) Phần 1: Kiến thức cần nhớ Tính chất: + Với a > : - Hàm số đồng biến x > - Hàm số nghịch biến x < + Với a < : - Hàm số đồng biến x < - Hàm số nghịch biến x > Đồ thị: Là đường cong (Parabol) nhận trục tung trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ + Nằm phía trục hồnh a > + Nằm phía trục hồnh a < Sự tương giao đồ thị hàm số bậc y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P): +Nếu (d) cắt (P) hai điểm phân biệt a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P) a’x2 = ax + b có nghiệm kép + Nếu (d) (P) khơng có điểm chung a’x2 = ax+b vô nghiệm Phần 2: Bài tập Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Tìm a vẽ đồ thị hàm số b) Gọi A B hai điểm (P) có hồnh độ - Tìm tọa độ A B từ suy phương trình đường thẳng AB y=− x 2 Bài 2: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hàm số b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) y=− x đường thẳng (d): y = mx Bài 3: Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): 2m - a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A thuộc (P) y=− x 2 (P) Bài 4: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị (P) b) Trên (P) lấy hai điểm M N có hồnh độ - 2; Viết phương trình đường thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đường thẳng MN cắt (P) điểm Bài 5: Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho (P): y = ax2 (a 0) (D): y = kx + b a) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 b) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm câu a) c)Vẽ (D) (P) vừa tìm câu a) câu b) C ( 32 ;−1) có hệ số góc m d) Gọi (d) đường thẳng qua điểm +) Viết phương trình (d) +) Chứng tỏ qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với Bài : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) CMR hàm số nghịch biến (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với m b) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số qua (1; 5) Bài 7: Cho hàm số y = ax2 (P) a) Xác định a để đồ thị hàm số qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trường hợp b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 8: Cho hàm số y = 2x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ c) Tuỳ theo m, xác định số giao điểm (P) với đường thẳng (d): y = mx – d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) qua A(0; -2) Bài 9: Cho parabol y = x2 (P) a)Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 3) B(2; 6) b)Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với (P) Bài 10: Cho đường thẳng có phương trình: 2(m - 1)x + (m - 2)y = (d) a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x hai điểm phân biệt b) CMR đường thẳng cho qua điểm cố định với m Bài 11: Cho parabol y = x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm với m = -2 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) qua A (2; -1) Bài 12: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) a) Tìm giá trị m n để đường thẳng (d) qua hai điểm A (-1; 2) B (3; 4) b) Xác định m n để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - √ cắt trục hồnh điểm có hoành độ + √ Bài 13: Cho parabol y = ax2 (P) a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(-2; 8) b) Tìm giá trị a để đường thẳng y = -x + tiếp xúc với (P) GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 Bài 14: Cho parabol y = x2 – 4x + (P) a) Viết phương trình đường thẳng qua A (2; 1) có hệ số góc k b) CMR đường thẳng vừa lập cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị k Bài 15: Cho parabol y = x2 (P) đường thẳng y = mx -1 (d) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Khi tìm toạ độ tiếp điểm Bài 16: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – a) Hàm số cho đồng biến hay nghịch biến? sao? b) Chứng tỏ đồ thị hàm số cho qua điểm cố đinh với giá trị m c) Biết điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m vẽ đồ thị hàm số ứng với m vừa tìm Bài 17: Cho hàm số y = x2 y = 2x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị Bài 18: Cho hàm số y = -2x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung điểm (0; -4), cắt trục hoành điểm (2; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) Bài 19: Cho hàm số y = x2 (P) a) Với giá trị m đường thẳng y = -x + m cắt (P) hai điểm phân biệt b) Xác định toạ độ giao điểm trường hợp m = c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) qua A (1; -4) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài tập tự luyện y= x 2 Bài 20: Cho (P) đường thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Bài 21: Cho (P) y=x đường thẳng (d) y=2x+m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) (d ) x+ y=m Bài 22: Xác định m để hai đường thẳng có phương trình (d )mx+ y=1 cắt điểm (P) y=−2 x GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 Bài 23: Cho (P) y=2 x a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hồnh độ x=2 Xác định giá trị m n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB Bài 24: Cho (P) y=x a) Vẽ (P) b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ -1 Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) x x2 y=− + y= đường thẳng (d) Bài 25: Cho (P) a) Vẽ (P) (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) x2 ;1 y= đường thẳng (d) qua điểm I( ) có hệ số góc m Bài 26: Cho (P) a) Vẽ (P) viết phương trình (d) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt y=− x I(0;-2) Gọi (d) đường thẳng qua I có hệ số góc m Bài 27: Cho (P) Vẽ (P) a) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B ∀ m∈ R b) Tìm m để đọan AB ngắn y=− x Bài 28: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol (P) đường thẳng (d) y=mx−2 m−1 a) Vẽ (P) b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định Bài 29: Cho điểm A(-2;2) đường thẳng (d ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc (d ) ? Vì ? b) Tìm a để đồ thị hàm số y=a x (P) qua A c) Xác định phương trình đường thẳng (d ) qua A vng góc với (d ) d) Gọi A B giao điểm (P) (d ) ; C giao điểm (d ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 x y=− (d) y=x+m Bài 30: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điểm có tung độ -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P) Bài 31: Cho parabol y= 2x2 (p) a Tìm hồnh độ giao điểm (p) với đường thẳng y= 3x-1 b Tìm toạ độ giao điểm (p) với đường thẳng y=6x-9/2 c Tìm giá trị a,b cho đường thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) qua A(0;-2) d Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2) e Biện luận số giao điểm (p) với đường thẳng y=2m+1 f Cho đường thẳng (d): y = mx - Tìm m để + (p) khơng cắt (d) + (p) cắt (d) + (p) tiếp xúc với (d) Tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) cắt (d) hai điểm phân biệt Bài 32: Cho hàm số (p): y=x2 hai điểm A(0;1) ; B(1;3) a Viết phương trình đường thẳng AB Tìm toạ độ giao điểm AB với (P) cho b Viết phương trình đường thẳng d song song với AB tiếp xúc với (P) c Viết phương trình đường thẳng d1 vng góc với AB tiếp xúc với (P) d Chứng tỏ qua điểm A có đường thẳng cắt (P) hai điểm phân biệt C, D cho CD = Bài 33: Cho (P): y=x2 hai đường thẳng a,b có phương trình y= 2x-5; y=2x+m a Chứng tỏ đường thẳng a khơng cắt (P) b Tìm m để đường thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm hãy: + Chứng minh đường thẳng a,b song song với + Tìm toạ độ tiếp điểm A (P) với b + Lập phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc -1/2 Tìm toạ độ giao điểm (a) (d) Bài 34:Cho hàm số y=2x2 (P) y=3x+m (d) a) Khi m=1, tìm toạ độ giao điểm (P) (d) b) Tính tổng bình phương hồnh độ giao điểm (P) (d) theo m c) Tìm mối quan hệ hồnh độ giao điểm (P) (d) độc lập với m Bài 35: Cho hàm số y=-x2 (P) đường thẳng (d) qua N(-1;-2) có hệ số góc k a) Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) ln cắt đồ thị (P) hai điểm A,B Tìm k cho A,B nằm hai phía trục tung GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 b) Gọi (x1;y1); (x2;y2) toạ độ điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt GTLN Bài 36: Cho hàm số y=x2 (P) y=2mx-m2+4 (d) a) Tìm hồnh độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng y=(1- √ )2 b) Chứng minh (P) với (d) cắt điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm chúng Với giá trị m tổng tung độ chúng đạt GTNN Bài 37: Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm M(2;1); N(5;-1/2) (d) y=ax+b a) Tìm a b để đường thẳng (d) qua điểm M, N b) Xác định toạ độ giao điểm đường thẳng MN với trục Ox, Oy Bài 38: Cho hàm số y= mx-m+1 (d) a) Chứng tỏ m thay đổi đường thẳng (d) ln qua điểm cố định Tìm điểm cố định b) Tìm m để (d) cắt (P) y=x2 điểm phân biệt A B, cho AB= √ Bài 39: Cho hàm số y=x2 (P) y=3x+m2 (d) a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b) Gọi y1, y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) (P), tìm m để có biểu thức y1+ y2= 11y1.y2 Bài 40: a) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 điểm A(-1;2) b) Cho hàm số y=x2 (P) B(3;0), tìm phương trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) qua B c) Cho (P) y=x2 Lập phương trình đường thẳng qua A(1;0) tiếp xúc với (P) d) Cho (P) y=x2 Lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng y=2x tiếp xúc với (P) e) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y=-x+2 c¾ứt (P) y=x2 điểm có hồnh độ (-1) f) Viết phương trình đường thẳng vng góc với (d) y=x+1 cắt (P) y=x điểm có tung độ Bài 41: a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 b) Lấy điểm A, B, C (P), A có hồnh độ –2, B có tung độ – 8, C có hồnh độ – Tính diện tích tam giác ABC Em có nhận xét cạnh AC tam giác ABC Bài 42: a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2 b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 4) B(-2; 1) Bài 43: Cho hàm số y = x2 y = x + a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 Bài 44: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): (k tham số) parabol (P): y x a) Khi k , tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P); b) Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) hai điểm phân biệt; c) Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm k cho: y1 y y1 y y k x 4 x Bài 45: Cho hàm số : y = a) Nêu tập xác định, chiều biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Lập phương trình đường thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số gúc a tiếp xúc với đồ thị hàm số y x2 y = - x – Bài 46: Cho hàm số : a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – cắt y x2 điểm có tung độ đồ thị hàm số Bài 47: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 3(2m + 3) – 2mx Parapol (P) có phương trình y = x2 a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn đồng biến b) Biện luận theo m số giao điểm (d) (P) c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ dấu Bài 48: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) đường thẳng (d1): y = –2x +3 a) Vẽ (d1) Điểm A có thuộc (d1) khơng ? Tại ? b) Lập phương trình đường thẳng (d2) qua điểm A song song với đường (d 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) Bài 49: Cho đường thẳng có phương trình sau: (d 1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – (d3): y = (3 – m)2 x + m – (với m ≠ 3) a) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) b) Tìm giá trị m để đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy c) Gọi B giao điểm đường thẳng (d1) với trục hoành, C giao điểm đường thẳng (d2) với trục hồnh Tính đoạn BC Bài 50: Cho hàm số: y = 2x2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Bằng đồ thị tìm Max, Min P −2 ≤ x ≤ Bài 51: Cho hàm số: y = - x2 (P) a) Vẽ (P) GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 b) Tìm (P) điểm cách hai trục tọa độ c) Tìm (P) mhững điểm mà khoảng cách từ tới Oy gấp hai lần khoảng cách từ tới Ox d) Vẽ (d) có phương trình y = 2x+1 xác định giao điểm (P) (d) Bài 52: Cho y = x2 (P) a) Xác định giao y = với (P) tính độ dài đoạn thẳng y = bị chắn (P) b) Cmr y = 2x +3 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ trung điểm AB c) Khơng tính giá trị hàm số, giải thich (P) điểm có hồnh độ thấp điểm có hồnh độ -6? Bài 53: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): (d): Tìm m để (d) (P) có điểm chung Bài 54: Cho hàm số y = 2x2 (P) a) Tìm m để đồ thị hàm số y = x – 2m +2 cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để xA + 2xB = c) Tìm m để hiệu hai tung độ A, B ½ Bài 55: Cho hàm số y = 3x2 (P) đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + 3m -1 a) Tìm m để (P) cắt (d) điểm (trong t/hợp ta nói d tiếp tuyến (P)) b) Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm phân biệt A, B nửa mặt phẳng bờ Oy Khi A, B nằm góc phần tư mp tọa độ? Bài 56: Cho hàm số y = 2x2 (P) (d) có phương trình y = 2mx +3 a) Cmr (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A, B b) Hạ AH¿ Ox, BG¿ Ox Cmr OH.OG không phụ thuộc vào m c) Hạ AQ¿ Oy, BP¿ Oy Cmr OQ.OP không phụ thuộc vào m d) Khi m = ½ , tính diện tích hình AHGB Bài 57: Cho hàm số y = x2 (P) Viết phương trình đường thẳng d biết rằng: a) d song song với y = 2x -4 cắt (P) điểm Xác định giao điểm b) d qua (2,0) cắt (P) điểm c) d tạo với Ox góc 450 cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 58: Cho hàm số y = 4x2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm (P) điểm cách (0; 2) khoảng đơn vị c) Xác định điểm A B (P) cho xA= -1 xB = d) Tìm cung AB (P) điểm M cho diện tích tam giác AMB nhỏ Bài 59: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ cho: a) Từ kẻ hai đường thẳng mà đường thẳng cắt (P) điểm hai đường thẳng vng góc với GV: Page CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 b*) Từ kẻ đường thẳng mà đường thẳng cắt (P) điểm Bài 60: Cho parabol (P): đường thẳng (d): (m tham số) a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm b) Tìm m để (d) qua điểm A thuộc (P) có hồnh độ -2 Khi tìm giao điểm thứ hai B (d) (P) Bài 61: Cho parabol (P): đường thẳng (d): (m tham số) a) Chứng minh với m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b) Gọi xA; xB hoành độ giao điểm (d) (P), xác định giá trị m cho Bài 62: Cho parabol (P): hai đường thẳng (d1): y = x + 2m - 1, (d2): y = 2x – Tìm m để (d1), (d2), (P) qua điểm Bài 63: Cho parabol (P): đường thẳng (d): y = 2(a+1)x - 2a + a) Khi a = vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ tìm giao điểm (P) (d) b) Chứng minh với a (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt c) Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị a, hồnh độ giao điểm (P) (d) Bài 64: Cho parabol (P): đường thẳng (d): Tìm giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ cho Bài 65: Cho parabol (P): (dm): a) Xác định vị trí tương đối P dm m = 3,5 b) Tìm m để đường thẳng dm cắt P hai điểm phân biệt c) Trong trường hợp dm cắt P hai điểm phân biệt gọi x1; x2 hồnh độ giao điểm Tìm giá trị m để Bài 66: Cho parabol (P): đường thẳng (d): Tìm m để đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt A(x1;y1); B(x2;y2) thỏa mãn điều kiện Bài 67: Cho parabol (P): đường thẳng d có hệ số góc I(0;1) a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Gọi x1; x2 hoành độ điểm A B Chứng minh GV: Page qua điểm CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax2 Bài 68: Cho parabol (P): đường thẳng (d): Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt A(x1;y1); B(x2;y2) thỏa mãn điều kiện Bài 69: Cho parabol (P): đường thẳng (d): (m tham số) a) Chứng minh với m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn GV: Page 10