Hh10 c2 b3 cac he thuc luong trong tam giac

Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c A Ta có b c a = b + c - 2bc.cos A; b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC a B C Hệ cos A = b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 ; cosB = ; cosC = 2bc 2ca 2ab Định lí sin A Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có b c I a B C a b c = = = 2R sin A sin B sinC Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma, mb, mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có b2 + c2 a2 + c2 mb2 = a2 + b2 mc2 = ma2 = A a2 ; b2 ; c2 B b ma c mb a mc C Cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha, hb, hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB ; ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; ● r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; ● p= a + b+ c nửa chu vi tam giác; ● S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bcsin A = casin B = absinC 2 abc = 4R = pr = p( p- a) ( p- b) ( p- c) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIẢI TAM GIÁC µ Câu Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = Số đo góc A bằng: A 30° B 45° C 60° D 90° µ Câu Tam giác ABC có AB = 2, AC = A = 60° Tính độ dài cạnh BC A BC = B BC = C BC = D BC = Câu Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB · BC , cạnh AB = ACB = 60° Tính độ dài cạnh cạnh BC A BC = 3+ BC = B BC = - C BC = D 3+ 33 µ Câu Tam giác ABC có AB = 2, AC = C = 45° Tính độ dài cạnh BC A BC = B BC = 6+ C 6- BC = D BC = µ µ Câu Tam giác ABC có B = 60°, C = 45° AB = Tính độ dài cạnh AC A AC = B AC = C AC = D AC = 10 · Câu Cho hình thoi ABCD cạnh 1cm có BAD = 60° Tính độ dài cạnh AC A AC = B AC = C AC = D AC = Câu Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = Điểm M thuộc đoạn BC cho MC = 2MB Tính độ dài cạnh AM A AM = B AM = AB = Câu Tam giác ABC có đường phân giác góc độ? A 45° C AM = D AM = 6- , BC = 3, CA = 2 µA ·ADB Khi góc B 60° Gọi D chân C 75° D 90° Câu Tam giác ABC vuông A , đường cao AH = 32 cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Câu 10 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F · · · góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? cho A ME = EF = FQ 2 B ME = q + x - xq 2 C MF = q + y - yq 2 D MQ = q + m - 2qm · Câu 11 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B D C 2 · Câu 12 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: A B D C 2 Câu 13 Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức độ? A 30° b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) B 45° · Khi góc BAC C 60° D 90° Câu 14 Tam giác ABC vuông A , có AB = c, AC = b Gọi l a độ · dài đoạn phân giác góc BAC Tính l a theo b c A la= 2bc b+ c B la= 2( b+ c) bc C la= 2bc b+ c D la= 2( b+ c) bc Câu 15 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí Câu 16 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo 0 · · khoảng cách AB = 40m , CAB = 45 CBA = 70 Vậy sau đo đạc tính toán khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53 m B 30 m C 41,5 m D 41 m Câu 17 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) · Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 45 Chiều cao gần với giá trị sau đây? A 17,5m B 17m C 16,5m D 16m Câu 18 Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B · · = 630, CBD = 480 C thẳng hàng Ta đo AB = 24 m , CAD Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Câu 19 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B 0 chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? A 12m B 19m C 24m D 29m Câu 20 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao giác kế AOC = 1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế · số đo góc AOB = 60 Chiều cao tháp gần với giá trị sau đây: 60° B A 40m B 114m O 1m D 60m C C 105m D 110m Câu 21 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22 Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm BC = 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Câu 23 Tam giác ABC vuông A có AB = AC = a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho A BM = 1,5a B BM = a C BM = a D BM = a Câu 24 Tam giác ABC có AB = cm, AC = 12 cm BC = 15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho A AM = 15 cm B AM = 10 cm C AM = cm D AM = 13 cm 15 cm Câu 25 Tam giác ABC cân C , có AB = 9cm Gọi D C AD điểm đối xứng B qua Tính độ dài cạnh AC = A AD = cm B AD = cm C AD = 12 cm D AD = 12 cm Câu 26 Tam giác ABC có AB = 3, BC = Gọi M trung điểm BC Biết · cos AMB = 13 26 AM > Tính độ dài cạnh AC A AC = 13 B AC = C AC = 13 D AC = Câu 27* Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM = , · CN = BGC = 1200 Tính độ dài cạnh AB A AB = 11 B AB = 13 C AB = 11 D AB = 13 Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: B 24 A 24 C 72 D 72 Câu 29* Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Nếu a, b, c 2 có liên hệ b + c = 2a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: A a B a 3 C 2a D 3a Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m AC = n Trong biểu thức sau, biểu thức đúng: A m2 + n2 = 3( a2 + b2 ) m2 + n2 ) = a2 + b2 C ( B m2 + n2 = 2( a2 + b2 ) m2 + n2 ) = a2 + b2 D ( Câu 31** Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên 2 hệ với đẳng thức a + b = 5c Góc hai trung tuyến AM BN góc nào? A 30 B 45 C 60 D 90 Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma, mb, mc thỏa 2 mãn 5ma = mb + mc Khi tam giác tam giác gì? A Tam giác cân C Tam giác vng B Tam giác D Tam giác vuông cân Câu 33** Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi ma, mb, mc độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau: 2 2 2 ( I ) ma + mb + mc = ( a + b + c ) 2 2 2 ( II ) GA +GB +GC = 3( a + b + c ) Trong khẳng định cho có A ( I ) B Chỉ ( II ) sai D Cả hai C Cả hai Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP O µ Câu 34 Tam giác ABC có BC = 10 A = 30 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 10 C R= 10 D R = 10 µ Câu 35 Tam giác ABC có AB = 3, AC = A = 60° Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 3 C R = D R = Câu 36 Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R= 85 cm R = cm B C R= 85 cm R = cm D Câu 37 Tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R Khi bán kính R bằng: A R= a B R= a C R= a 3 D R= a 12 AH = cm ABC Câu 38 Tam giác vng A có đường cao AB = AC Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = 2,5cm B R = 1,5cm C R = 2cm D R = 3,5cm Câu 39 Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = CA = Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD A R= B R = C R = 3 D R= Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' đường cao · kẻ từ B CBB ' = a Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b a là: A C R= a2 + b2 - 2abcosa 2sin a R= a2 + b2 + 2abcosa 2cosa B D R= a2 + b2 + 2abcosa 2sin a R= a2 + b2 - 2abcosa 2cosa Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC · Câu 41 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính diện tích tam giác ABC A SD ABC = B SD ABC = C SDABC = D SD ABC = · · Câu 42 Tam giác ABC có AC = 4, BAC = 30°, ACB = 75° Tính diện tích tam giác ABC A SDABC = B SDABC = C SDABC = D SDABC = Câu 43 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A SDABC = 16 B SDABC = 48 C SDABC = 24 D SDABC = 84 · Câu 44 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính độ dài đường cao tam giác A = 3 B = C = D = · Câu 45 Tam giác ABC có AC = 4, ACB = 60° Tính độ dài đường cao 10 · AC = AB2 + BC - 2.AB.BC.cos ABC = 12 +12 - 2.1.1.cos120°= Þ AC = Chọn A Câu Theo cosB = định lí hàm ( ) 2 AB2 + BC - AC + - = 2.AB.BC 2.4.6 cosin, ta có : = MC = 2MB ¾¾ ® BM = BC = Do A Theo định lí hàm cosin, ta có µ AM = AB2 + BM - 2.AB.BM cosB = 42 + 22 - 2.4.2 = 12 Þ AM = B C M Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có: A AB2 + AC - BC · cosBAC = =2.AB.AC · · Þ BAC = 120°Þ BAD = 60° · cos ABC = AB2 + BC - AC 2 · = Þ ABC = 45° 2.AB.BC B D C · · · Trong D ABD có BAD = 60°, ABD = 45°Þ ADB = 75° Chọn C Câu Do tam giác ABC vuông A , có tỉ lệ cạnh góc vng AB : AC 3: nên AB cạnh nhỏ tam giác AB = Þ AC = AB Ta có AC Trong D ABC có AH đường cao 14 Þ 1 1 1 = + = + Û = + Þ AB = 40 2 AH AB2 AC AB2 ỉ 32 AB 16 AB 2ữ ỗ AB ữ ỗ ữ ç è3 ø Chọn B Câu 10 Ta có · MPQ · · · · · MPE = EPF = FPQ = = 30°Þ MPF = EPQ = 60° Theo định lí hàm cosin, ta có P · ME = AM + AE - 2.AM AE cosMAE = q2 + x2 - 2qx.cos30°= q2 + x2 - qx · MF = AM + AF - 2AM AF cos MAF M E Q F = q2 + y2 - 2qy.cos60°= q2 + y2 - qy MQ2 = MP + PQ2 = q2 + m2 Chọn C Câu 11 Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn y B · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = O x A Chọn D Câu 12 Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30° sinOAB sin AOB sin AOB B Do đó, độ dài OB lớn · · sinOAB = Û OAB = 90° y O x A Khi OB = 2 2 Tam giác OAB vuông A Þ OA = OB - AB = - = 15 Chọn B Câu 13 Theo định lí AB2 + AC - BC c2 + b2 - a2 · cosBAC = = 2.AB.AC 2bc hàm cosin, ta có b b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) Û b3 - a2b = a2c- c3 Û - a2 ( b+ c) + ( b3 + c3 ) = Mà ( Û ( b+ c) ( b2 + c2 - a2 - bc) = Û b2 + c2 - a2 - bc = (do b> 0, c > ) Û b2 + c2 - a2 = bc Khi đó, · cosBAC = b2 + c2 - a2 · = Þ BAC = 60° 2bc Chọn C Câu 14 2 2 Ta có BC = AB + AC = b + c Do AD phân giác Þ BD = A · BAC AB c c c b2 + c2 DC = DC = BC = AC b b+ c b+ c B C D Theo định lí hàm cosin, ta có · BD = AB + AD - 2.AB.AD.cos ABD Û 2 c2 ( b2 + c2 ) ( b+ c) = c2 + AD - 2c.AD.cos45° ỉ c2 ( b2 + c2 ) ữ ỗ2 2bc3 ữ ị AD - c 2.AD +ỗ c ữ = AD c AD + =0 ỗ ữ ỗ ữ ữ ç ( b+ c) ø ( b+ c) è Þ AD = 2bc b+ c hay la= 2bc b+ c Chọn A Câu 15 Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí µ Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 A = 60 Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900 +1600- 1200 = 1300 Vậy BC = 1300 » 36 (hải lí) 16 Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B AC AB = ABC , sin B sin C Câu 16 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có AC = Vì sinC = sin( a + b) nên Câu 17 · tan ABH = Trong AB.sin b 40.sin700 = » 41,47 m sin( a + b) sin1150 tam AHB , giác Chọn C ta cú AH à = = ắắ đ ABH » 11019' BH 20 0 · · Suy ABC = 90 - ABH = 78 41' Suy ( ) · · · ACB = 1800 - BAC + ABC = 56019' Áp dụng định lý sin tam giác ABC , ta c à AB CB AB.sin BAC = ắắ đ CB = » 17m · · · sin ACB sin BAC sin ACB Chọn B Câu 18 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có AD AB = sin b sin D 0 µ µ Ta có a = D + b nên D = a - b = 63 - 48 = 15 AD = Do AB.sin b 24.sin480 = » 68,91 m sin( a - b) sin150 Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sin a » 61,4 m Chọn D · Câu 19 Từ hình vẽ, suy BAC = 10 ( ) · · · ABD = 1800 - BAD + ADB = 1800 - ( 500 + 900 ) = 400 Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta cú à BC AC BC.sin ABC 5.sin400 = ắắ đ AC = = » 18,5 m · · · sin100 sin BAC sin ABC sin BAC Trong tam giác vng ADC , ta có 17 CD · · sinCAD = ắắ đ CD = AC.sinCAD = 11,9 m AC Vậy CH = CD + DH = 11,9+ = 18,9 m Chọn B Câu 20 Tam OAB giác vuông ( ) tam giác B, có AB · tan AOB = Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB Vậy chiếu cao tháp Câu 21 Từ giả · · CAB = 600, ABC = 105030¢ Khi thiết, ta h = AB +OC = 60 +1 m suy Chọn C ABC có c= 70 ( ) µ +B µ +C µ = 1800 Û C µ = 1800 - A µ +B µ = 1800 - 165030¢= 14030¢ A b c b 70 = = 0 Theo định lí sin, ta có sin B sinC hay sin105 30¢ sin14 30¢ Do AC = b = 70.sin105030¢ » 269,4 m sin14030¢ Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh CH đối diện với góc 30 nên CH = AC 269,4 = = 134,7 m 2 Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Câu 22 A b2 + c2 a2 m = ta được: Áp dụng công thức đường trung tuyến a ma2 = AC + AB2 BC 82 + 62 102 = = 25 4 B C M Þ ma = Chọn D Câu 23 M trung điểm AC Þ AM = AC a = 2 B Tam giác D BAM vuông A A C M 18 Þ BM = AB2 + AM = a2 + a2 a = Chọn D Câu 24 ma2 = Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 a2 A ta được: AC + AB2 BC 122 + 92 152 225 = = 4 Þ ma = B C M 15 Chọn A Câu 25 Ta có: D điểm đối xứng B qua C Þ C trung điểm BD Þ D AC trung tuyến tam giác D DAB C BD = 2BC = 2AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: AC = A B AB2 + AD BD BD Þ AD = 2AC + - AB2 2 ổ 15ử 152 ữ ỗ + - 92 = 144 ị AD = 12 ữ ỗ ữ ố2 ứ ị AD = ỗ Chọn C Câu 26 Ta có: M trung điểm BC Trong tam giác ABM ta có: Þ BM = · cos AMB = BC = AM + BM - AB2 2AM BM · Û AM - 2AM BM cos AMB + BM - AB2 = 20 13 Û AM AM + = Û 13 éAM = 13 > (thoả mãn) ê ê 13 ê < (loại) êAM = ê 13 ë A Þ AM = 13 19 B M C · · Ta có: AMB AMC hai góc kề bù · · Þ cos AMC = - cos AMB =- 13 26 Trong tam giác D AMC ta có: · AC = AM +CM - 2AM CM cos AMC ổ 13ử ữ ữ ỗ = 13+16- 13.4.ỗ ữ= 49 ị AC = ỗ ữ ỗ ố 26 ø Chọn D Câu 27* 0 · · · · Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC = 120 Þ BGN = 120 G trọng tâm tam giác D ABC A ìï ïï BG = BM = ï Þ ïí ïï ïï GN = CN = 3 ỵï N Trong tam giác D BGN ta có: M G B C · BN = GN + BG - 2GN BG.cosBGN Þ BN = 9+16- 2.3.4 = 13 Þ BN = 13 N trung điểm AB Þ AB = 2BN = 13 Chọn D Câu 28** Ta có: Ta có: cos A = ìï b2 + c2 ïï m = ïï a ïï 2 ïí m2 = a + c ïï b ïï 2 ïï m2 = a + b ïï c ïỵ a2 = 81 b2 = 144 Û c2 = 225 ïìï a2 = 292 ïï ìï a = 73 í b = 208 ïï ïï ïï c2 = 100 Þ ïïí b = 13 ỵ ïï ïï c = 10 ïỵ b2 + c2 - a2 208+100- 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 ỉ1 18 13 ÷ ÷ sin A = 1- cos2 A = 1- ỗ = ỗ ữ ỗ ữ 65 ố5 13ứ Chn C 20