HH10 2 bài tập các hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và GIẢI TAM GIÁC

Hình học lớp 10 | 1 | GV Nguyễn Hồng 0947103130 BÀI 2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A – LÝ THUYẾT 1 Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A , ,AB c BC.

Hình học lớp 10 | BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A – LÝ THUYẾT 1/ Hệ thức lượng giác tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A: AB  c , BC  a , AC  b ; đường cao AH  h Ta có: a  b2  c2 b2  a.b ' c  a.c' h2  b '.c' 1 a.h  b.c   h b c 2/ Định lý côsin a  b2  c  2bc.cos A b2  a  c  2ac.cosB c2  a  b2  2ab.cosC Hệ quả: a  c  b2 a  b  c2 b2  c  a cos B  cos C  2ac 2ab 2bc 3/ Công thức tính độ dài đường trung tuyến cos A  b2  c2 a 2 a  c2 b2 a  b2 c2  mb   mc   4 4/ Định lý sin Trong tam giác ABC , R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, ta có a b c    2R sinA sinB sin C 5/ Các cơng thức tính diện tích tam giác 1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 S  ab sin C  bc sin A  acsinB 2 abc ( R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) S 4R S  pr ( r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác) ma2  S p  p  a  p  b  p  c  (công thức Hê rông) IV HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GĨC, CHIỀU CAO, DIỆN TÍCH… Câu 1: Cho tam giác ABC có AB  , BC  độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài AC , chu vi diện tích ABC Câu 2: Cho tam giác ABC có AB  c , BC  a , AC  b biết: a) A  50 , B  45 , b  Tính cạnh a c b) C  30 , c  Tính R Câu 4: Cho tam giác ABC có AB  a , AC  2a góc A  120 Tính độ dài cạnh BC diện tích S tam giác Cho tam giác ABC với ba cạnh a  13, b  14, c  15 Tính đường cao hc Câu 5: Cho tam giác ABC có AB  9cm, BC  12cm góc B  60 Tính độ dài đoạn AC Câu 6: Cho tam giác ABC có AB  , BC  diện tích S  3 Tính cạnh AC Câu 7: Cho ABC có A  1200 , c  5, b  Câu 3: a) Tính a, B, C b) Tính diện tích tam giác ABC Câu 8: Tam giác ABC có B  60 , C  45 AB  Tính độ dài cạnh AC  Hãy tính cạnh cịn lại tam giác ABC tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB Câu 10: Cho ABC cân A có C  30, BC  5cm Tính diện tích ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Câu 9: Cho tam giác ABC có AB  , AC  cos A  Câu 11: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN hợp với góc 120 , biết BM 12 , CN 15 Tính độ dài cạnh tam giác Câu 12: Cho tam giác ABC biết BC 10 thỏa sin A sin B sin C   Tính độ dài cạnh số đo góc tam giác? Câu 13: Cho ABC có b  6, c  8, A  60 Tính độ dài cạnh a số đo góc tam giác ABC Câu 14: Cho tam giác ABC có cạnh AB  14 , góc Cˆ  120, tổng hai cạnh lại 16 Tính độ dài hai cạnh cịn lại Câu 15: Cho tam giác ABC có AB  , AC  , cos B  , cos C  Tính cạnh BC Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A , AB  a , AC  a Phân giác góc A cắt BC M Tính AM Câu 17: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn  O; R  Tìm a để tam giác ABC có diện tích lớn nhất, với AB  a ? Câu 18: Cho hình thang ABCD có AB  DC, AC  8, BD  , góc tạo hai vectơ AC BD 120 Tính AD  BC GV: Nguyễn Hồng-0947103130 |2 Hình học lớp 10 | Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD  Giả sử E trung điểm AB thỏa mãn sin BDE  Tính độ dài cạnh AB Câu 20: Cho tam giác ABC có cạnh AB  c ; BC  a ; AC  b Tính góc BCA tam giác ABC biết a  b a  a  c   b  b  c  Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân A , M điểm nằm tam giác ABC cho MB : MA : MC  1: : góc AMB bao nhiêu? Câu 22: Cho tam giác ABC cạnh a Một điểm M thuộc miền tam giác ABC Tính tổng khoảng cách từ điểm M đến ba cạnh tam giác? DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC cos A cos B cos C a    a b c bc sin A sin B sin C Câu 24: Cho tam giác ABC thỏa Chứng minh tam giác ABC   ma mb mc Câu 23: Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn: Câu 25: Cho ABC có AB  c ; BC  a ; AC  b a) Chứng minh rằng: Nếu cos  A  C   3cos B  B  60 b) Chứng minh rằng: Nếu  cos B 2a  c ABC cân  sin B 4a  c Câu 26: Cho tam giác ABC có a  , b  , c  10 Tam giác ABC tam giác gì? Câu 27: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin B  2sin C.cosA Chứng minh tam giác ABC cân DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC Câu 28: Cho tam giác ABC có cạnh BC  a; AC  b; AB  c thỏa mãn hệ thức a  b2  c2  bc Chứng minh rằng: BAC  120 1 Câu 29: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu 2a  2b  c   hb 2hc Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến CM , ACM   , BCM   Chứng minh rằng: sin  CB sin A   sin  CA sin B Câu 31: Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b R bán kính đường tr n ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a  b2  c  R  a sin A  b sin B  c sin C  Câu 32: Cho tam giác ABC vuông A , gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đặt IA  x , IB  y , IC  z Chứng minh rằng: 1  2 2 x y z yz 2 Câu 33: Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn sin B  sin C  2sin A Chứng minh: A  60 2 Câu 34: Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn sin B  sin C  2sin A Chứng minh: A  60 | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 abc nửa chu vi tam giác; R, r bán kính đường trịn ngoại nội tiếp tam giác ABC Câu 35: Cho tam giác ABC có AB  c, AC  b, BC  a; p  r  p  Rr Chứng minh sin A.sin B  sin B.sin C  sin C.sin A  4R2 DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Câu Từ hai vị trí t a nhà, người ta quan sát đỉnh núi Biết độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc đất (như hình vẽ) Tính độ cao núi so với mặt Câu Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển đo từ hai đèn tín hiệu A B biển thể hình vẽ Nếu đèn tín hiệu cách m núi cao (tính gần sau dấu phẩy hai chữ số)? Câu Một người quan sát đứng cách tháp , nhìn thấy đỉnh tháp góc nhìn chân tháp góc so với phương nằm ngang hình vẽ Tính chiều cao tháp GV: Nguyễn Hồng-0947103130 |4 Hình học lớp 10 | Câu Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí , thẳng theo hai hướng tạo với góc Tàu chạy với tốc độ hải lí Tàu chạy với tốc độ hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Câu Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa tiếng có đường xun biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí Hịn Quạ đến vị trí Bè thay xun qua đường qua vị trí đến vị trí Nếu người chèo thuyền với vận tốc khơng đổi km/h thời gian biết km, km góc ? Câu Trong lần khảo sát đảo thuộc quần đảo Trường Sa Việt Nam, nhà khoa học phát có đảo có dạng hình tròn, tâm đảo bị che bãi đá nhỏ mà nhà khoa học tới Các nhà khoa học muốn đo bán kính đảo này, biết nhà khoa học có dụng cụ thước thẳng dài Nêu cách để nhà khoa học tính bán kính đảo? BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIẢI TAM GIÁC Câu 1: Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Số đo góc A bằng: A 30 Câu 2: C 60 D 90 Tam giác ABC có AB  2, AC  A  60 Tính độ dài cạnh BC A BC  Câu 3: B 45 B BC  C BC  D BC  Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC , cạnh AB  ACB  60 Tính độ dài cạnh cạnh BC A BC   B BC   | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 C BC  D BC   33 Câu 4: Tam giác ABC có AB  2, AC  C  45 Tính độ dài cạnh BC A BC  Câu 5: B AC  B AC  6 C AC  C AC  Tam giác ABC có AB  C AM  D AC  10 D AC  D AM  6 , BC  3, CA  Gọi D chân đường phân giác góc A Khi góc ADB độ? A 45 B 60 C 75 Câu 9: D BC  Tam giác ABC có AB  4, BC  6, AC  Điểm M thuộc đoạn BC cho MC  2MB Tính độ dài cạnh AM A AM  B AM  Câu 8: C BC  Cho hình thoi ABCD cạnh cm có BAD  60 Tính độ dài cạnh AC A AC  Câu 7: 6 Tam giác ABC có B  60, C  45 AB  Tính độ dài cạnh AC A AC  Câu 6: B BC  D 90 Tam giác ABC vuông A , đường cao AH  32 cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Câu 10: Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP  q, PQ  m, PE  x, PF  y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME  EF  FQ B ME  q  x  xq C MF  q  y  yq D MQ2  q  m2  2qm Câu 11: Cho góc xOy  30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 D Câu 12: Cho góc xOy  30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: A B C 2 D Câu 13: Tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức b  b  a   c  a  c  Khi góc BAC độ? A 30 GV: Nguyễn Hồng-0947103130 B 45 C 60 D 90 |6 Hình học lớp 10 | Câu 14: Tam giác ABC vng A , có AB  c, AC  b Gọi BAC Tính A a  a a độ dài đoạn phân giác góc theo b c 2bc bc B a  b  c  bc C a  2bc bc D a  b  c  bc Câu 15: Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí Câu 16: Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB  40m , CAB  450 CBA  700 Vậy sau đo đạc tính toán khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53 m B 30 m C 41,5 m D 41 m Câu 17: Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH  4m, HB  20m, BAC  450 Chiều cao gần với giá trị sau đây? A 17,5m B 17m C 16,5m D 16m Câu 18: Giả sử CD  h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo AB  24 m , CAD  630 , CBD  480 Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Câu 19: Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt 0 đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 A 12m B 19m C 24m D 29m Câu 20: Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD  60m , giả sử chiều cao giác kế OC  1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế A số đo góc AOB  60 Chiều cao tháp gần với giá trị sau đây: A 40m B 114m C 105m D 110m 60° B O 1m D 60m Câu 21: Từ hai vị trí A B t a nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB  70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22: Tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm BC  10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Câu 23: Tam giác ABC vng A có AB  AC  a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho A BM  1,5a B BM  a C BM  a D BM  a Câu 24: Tam giác ABC có AB  cm, AC  12 cm BC  15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho A AM  15 cm B AM  10 cm C AM  cm D AM  13 cm 15 Câu 25: Tam giác ABC cân C , có AB  9cm AC  cm Gọi D điểm đối xứng B qua C Tính độ dài cạnh AD A AD  cm B AD  cm C AD  12 cm D AD  12 cm 13 Câu 26: Tam giác ABC có AB  3, BC  Gọi M trung điểm BC Biết cos AMB  26 AM  Tính độ dài cạnh AC A AC  13 B AC  C AC  13 D AC  Câu 27* Tam giác có trọng tâm G Hai trung tuyến BM  , CN  BGC  1200 Tính độ dài cạnh AB GV: Nguyễn Hồng-0947103130 |8 C Hình học lớp 10 | A AB  11 B AB  13 C AB  11 D AB  13 Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: B 24 A 24 C 72 D 72 Câu 29* Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b Nếu a , b, c có liên hệ b  c  2a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: a C 2a D 3a Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có AB  a, BC  b, BD  m AC  n Trong biểu A a B thức sau, biểu thức đúng:   2 2 A m  n  a  b   2 2 C m  n  a  b   2 2 B m  n  a  b   2 2 D m  n  a  b Câu 31** Tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b Các cạnh a , b, c liên hệ với 2 đẳng thức a  b  5c Góc hai trung tuyến AM BN góc nào? A 30 B 45 D 90 C 60 Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma2  mb2  mc2 Khi tam giác tam giác gì? A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vng cân Câu 33** Tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b Gọi ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau:  I  ma2  mb2  mc2  a  b  c   II  GA2  GB  GC   a  b  c   Trong khẳng định cho có A  I  B Chỉ  II  C Cả hai sai D Cả hai Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP O Câu 27: Tam giác ABC có BC  10 A  30 Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A R  B R  10 C R  10 D R  10 Câu 28: Tam giác ABC có AB  3, AC  A  60 Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A R  B R  3 C R  D R  Câu 29: Tam giác ABC có BC  21cm, CA  17cm, AB  10cm Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 A R  85 cm B R  cm C R  85 cm D R  cm Câu 30: Tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R Khi bán kính R bằng: A R  a B R  a C R  Câu 31: Tam giác ABC vng A có đường cao AH  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R  2,5cm B R  1,5cm a D R  a 12 AB cm  Tính bán kính R AC C R  2cm D R  3,5cm Câu 32: Cho tam giác ABC có AB  3, BC  CA  Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD A R  B R  C R  3 D R  Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC  b, BC  a , BB ' đường cao kẻ từ B CBB '   Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a , b  là: a  b  2ab cos  A R  2sin  a  b  2ab cos  B R  2sin  a  b  2ab cos  C R  2cos  a  b  2ab cos  D R  2cos  Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 33: Tam giác A 1;3 , B  5; 1 có AB  3, AC  6, BAC  60 Tính diện tích tam giác ABC A SABC  B SABC  C S ABC  D S ABC  Câu 34: Tam giác ABC có AC  4, BAC  30, ACB  75 Tính diện tích tam giác ABC A SABC  B SABC  C S ABC  D SABC  Câu 35: Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Diện tích tam giác ABC bằng: A SABC  16 B SABC  48 C SABC  24 D SABC  84 Câu 36: Tam giác A 1;3 , B  5; 1 có AB  3, AC  6, BAC  60 Tính độ dài đường cao tam giác A  3 B  C  D  Câu 37: Tam giác ABC có AC  4, ACB  60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác A h  B h  C h  D h  Câu 38: Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Gọi B ' hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB ' GV: Nguyễn Hồng-0947103130 | 10 Hình học lớp 10 | A BB '  B BB '  84 C BB '  168 17 D BB '  84 17 Câu 39: Tam giác ABC có AB  cm, AC  18 cm có diện tích 64 cm Giá trị sin A ằng: A sin A  B sin A  C sin A  D sin A  Câu 40: Hình bình hành ABCD có AB  a, BC  a BAD  450 Khi hình bình hành có diện tích bằng: A 2a B a2 C a D a Câu 49* Tam giác ABC vng A có AB  AC  30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng: A 50 cm B 50 cm2 C 75 cm D 15 105 cm2 Câu 50* Tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R  cm có diện tích bằng: A 13 cm B 13 cm2 C 12 cm2 D 15 cm Câu 51* Tam giác ABC có BC  3, AC  AB độ dài đường cao AH  Tính độ dài cạnh AB B AB  A AB  21 D AB  AB  3 Câu 52* Tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ nguyên độ lớn góc C diện C AB  AB  tích tam giác tạo nên bằng: A 2S B 3S C 4S D 6S Câu 53* Tam giác ABC có BC  a CA  b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 60 B 90 C 150 D 120 Câu 54* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với có BC  , góc BAC  300 Tính diện tích tam giác ABC A SABC  3 B SABC  C SABC  D SABC  3 Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Câu 41: Tam giác ABC có AB  5, AC  BAC  600 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r  B r  C r  D r  Câu 42: Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r  16 B r  11 | GV: Nguyễn Hồng- 0947103130 C r  D r  Câu 43: Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cạnh a A r  a B r  a C r  a D r  a Câu 44: Tam giác ABC vng A có AB  cm, BC  10 cm Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r  cm B r  cm C r  cm D r  cm Câu 45: Tam giác ABC vng cân A , có AB  a Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r  a B r  a C r  a 2 D r  a Câu 46: Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỉ số A  GV: Nguyễn Hồng-0947103130 B 2 C R bằng: r 1 D 1 | 12 ... 32* * Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma2  mb2  mc2 Khi tam giác tam giác gì? A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân Câu 33** Tam giác ABC... MỘT SỐ HỆ THỨC Câu 28 : Cho tam giác ABC có cạnh BC  a; AC  b; AB  c thỏa mãn hệ thức a  b2  c2  bc Chứng minh rằng: BAC  120 1 Câu 29 : Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu 2a  2b ... cos B 2a  c ABC cân  sin B 4a  c Câu 26 : Cho tam giác ABC có a  , b  , c  10 Tam giác ABC tam giác gì? Câu 27 : Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin B  2sin C.cosA Chứng minh tam giác