Veà kó naêng: - Áp dụng được định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải 1 số bài toán có liên quan đến tam giác.. - Biết giải[r]
(1)Tuaàn 20 + 21: Tieát 25 : Các hệ thức lượng tam giác và giải tam giác Soá tieát: 02 I Muïc tieâu: Về kiến thức: - Hiểu định lí côsin, định lí sin, công thức độ dài đường trung tuyến tam giác - Biết số công thức tính diện tích tam giác - Biết số trường hợp giải tam giác Veà kó naêng: - Áp dụng định lí côsin, định lí sin, công thức độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải số bài toán có liên quan đến tam giác - Biết giải tam giác số trường hợp đơn giản Biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi giải toán Về tư duy, thái độ: - Bieát quy laï veà quen; caån thaän, chính xaùc; - Biết toán học có ứng dụng thực tiễn II Chuaån bò phöông tieän daïy hoïc: Thực tiễn: Đã học các hệ thức lượng tam giác vuông, tích vô hướng vt, Phöông tieän: + GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết hoạt động, thước, compa, máy tính bỏ túi, SGK + HS: Xem bài trước nhà, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi III Gợi ý PPDH: Cơ dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư IV Tiến trình bài học và các hoạt động: Ổn định lớp: Kieåm tra baøi cuõ: r r * Tiết 23: Tích vô hướng vectơ, bình phương vô hướng vectơ, qt trừ, khai triển ( a - b )2 ? * Tiết 24: Viết nội dụng định lí Côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến ? Cho tam giaùc ABC coù BC = 8, AB = 3, AC = Laáy ñieåm D treân caïnh BC cho BD = Tính độ dài đoạn thẳng AD (= 19 ) * Tiết 25: Viết các công thức tính diện tích tam giác ? Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8, NP = Tính diện tích tam giác MNP, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác MNP Bài mới: Noäi dung, muïc ñích Hoạt động GV Hoạt động HS Tieát 23 * HÑ1SGK: Tam giaùc ABC * Hs phaùt bieåu: ñieàn vaøo caùc HĐ1: Ôn lại các hệ thức lượng tam vuông A có đường cao AH = vị trí có màu đỏ cột nd h vaø coù BC = a, CA = b, AB = giaùc vuoâng c Goïi BH = c', CH = b' haõy Các hệ thức lượng tam giác vuông: 2 ñieàn vaøo caùc oâ troáng caùc * a = b + c (ñònh lyù Pitago) hệ thức sau đây để các hệ * b = a.b' thức lượng tam giác * c = a.c' vuoâng * h = b'.c' * a.h = b.c * Daùn baûng phuï keát quaû * Hs ghi nhaän 1 * 2= 2+ h b c b c * sinB = cosC = , sinC = cosB = a a b c * tanB = cotC = , cotB = tanC = c b Lop10.com (2) Ñònh lyù Coâsin HĐ2: Bài toán dẫn vào định lý côsin (cm) a Bài toán: Trong tam giác ABC cho biết hai caïnh AB, AC vaø goùc A, haõy tính caïnh BC Giaûi: uuur uuur uuur uuur Ta coù BC2 = BC = BC = AC - AB uuur uuur uuur uuur = AC + AB - 2AB.AC uuur uuur uuur uuur = AC + AB - AC AB cosA ( * Gv viết đề bài toán * Để tính cạnh BC ta thực nào ? ( ttự các bài tập đã sửa tiết TC) ) Þ BC2 = AC2 + AB2 - 2AC.AB.cosA Vaäy BC = AC2 + AB2 - 2AC.AB.cosA HĐ3: Giới thiệu định lý côsin và hệ b Ñònh lyù Coâsin Trong D ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta coù: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Heä quaû: b + c2 - a cosA = 2bc a + c2 - b cosB = 2ac b + a - c2 cosC = 2ab HĐ4: Giới thiệu áp dụng định lý côsin vào cm công thức độ dài đường trung tuyến tam giaùc vaø ví duï c Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến cuûa tam giaùc vaø ví duï Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh BC = a, CA = b và AB = c Gọi ma, mb và mc là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B vaø C cuûa tam giaùc Ta coù: 2(b2 + c2 ) - a2 ma2 = 2(a + c2 ) - b2 mb2 = 2(b + a2 ) - c2 mc2 = Ví duï: (HÑ4SGK) * Tìm hiểu đề * Trả lời: Áp dụng + Bình phương vô hướng vt + Qt trừ + Khai trieån hñt + Định nghĩa tích vô hướng cuûa vt * Hs aùp duïng nhö coät nd * Thay BC = a, CA = b, AB = c, BC2 = ? Ttự cho b2, c2 ? * a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC * HÑ2SGK: Haõy phaùt bieåu ñònh * Trong moät tam giaùc, bình lý Côsin lời ? phöông moät caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia, trừ hai lần tích chúng và cosin góc xen hai cạnh đó * HÑ3SGK: Khi tam giaùc ABC * A = 900 Þ cosA = là tam giác vuông định lý Côsin Þ a2 = b2 + c2 Đl côsin trở trở thành định lý quen thuộc thaønh ñl Pitago naøo ? * Từ định lý côsin tìm cosA, * Hs trả lời phần hệ cosB, cosC ? * Gv veõ hình * Quan saùt hình veõ vaø nghe caâu hoûi * Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh * Aùp duïng ñònh lyù coâsin vaøo BC Tính AM = ma2 ? tam giaùc AMB ta coù: æa ö a 2 ÷ ma = c + çç ÷ cosB 2c ÷ çè2 ø a2 - ac.cosB a2 a + c2 - b = c2 + - ac 2ac 2 2(b + c ) - a = * Hs phaùt bieåu * Hs leân baûng 2(b2 + c2 ) - a2 ma2 = 2(64 + 36) - 49 = 200 - 49 151 = = 4 151 Vaäy ma = = c2 + * Ttự cho mb2, mc2 ? * HÑ4SGK: Cho tam giaùc ABC coù a = cm, b = cm, c = cm hãy tính độ dài đường trung tuyeán ma cuûa tam giaùc ABC * Goïi hs leân baûng * Gv nhaän xeùt Lop10.com (3) HÑ5: Vaän duïng ñònh lyù coâsin vaøo giaûi tam giác và ứng dụng vào vật lý ï d Ví duï: * VD1: Cho tam giaùc ABC coù caïnh AC = 10 µ =1100 Tính caïnh AB cm, BC = 16 cmvaø C và các góc A, B tam giác đó Giaûi: Ñaët BC = a, CA = b, AB = c + Theo ñònh lyù coâsin ta coù c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC =162 +102 -2.16.10.cos1100 » 256 +100 -320.(-0,342) » 465,44 Vaäy c » 21,6 cm + Theo heä quaû cuûa ñònh lyù coâsin ta coù b + c2 - a cosA = 2bc 10 + (21,6)2 - 162 » 2.10.21,6 » 0,7188 µ » 440 2' Vaäy A µ = 1800 - (A µ + C) µ » 250 58' + Maø B ur ur * VD2: Hai lực f1 và f2 cho trước cùng tác ur duïng leân moät vaät vaø taïo thaønh goùc nhoïn ( f1 , ur f2 ) = a Hãy lập công thức tính cường độ r hợp lực s Giaûi: uuur ur uuur ur * Ñaët AB = f1 , AD = f2 vaø veõ hbh ABCD uuur uuur uuur Khi đó AC = AB + AD (qt hbh) ur ur r = f1 + f2 = s r uuur ur ur Vaäy s = AC = f1 + f2 * Theo định lý côsin tam giác ABC ta coù: AC2 = AB2 + BC2 - 2AB.AC.cosB r ur ur ur ur hay s = f1 + f2 - f1 f2 cos(1800 - a ) ur ur ur ur = f1 + f2 + f1 f2 cos a (ct buø) * Cho vd * Gv veõ hình * Tính AB theo ct naøo ? * Tính A theo ct naøo ? * Tính B theo ct naøo ? * Goïi hs leân baûng * Hs tìm hiểu đề * Quan saùt hình veõ * Theo ñl coâsin * Theo hq cuûa ñl coâsin * A + B + C = 1800 hq ñl coâsin * Hs leân baûng giaûi nhö coät nd * Hd caùch tìm cos1100 baèng maùy tính * Hs thực hành * Hd caùch tìm A baèng maùy tính * Hs thực hành * Cho vd * Hs tìm hiểu đề * Gv veõ hình veõ dieãn giaûi * Hs quan saùt , nghe, hieåu uuur * AC = ? uuur uuur = AB + AD (qt hbh ) r2 * AC2 = ? Þ s = ? Lop10.com * Hs trả lời cột nd (4) r Vaäy s = ur ur ur ur f1 + f2 + f1 f2 cos a Tieát 24 Ñònh lyù sin HĐ1: Giới thiệu và cm định lý sin a Ñònh lyù sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: a b c = = = 2R sin A sin B sin C CM a = 2R Xeùt TH Ta cm hệ thức sin A * Góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD đường tròn ngoại tiếp D ABC Þ D BCD vuoâng taïi C , ta coù BC = BD.sinD hay a = 2R.sinD · · Maët khaùc: BAC (2 goùc noäi tieáp = BDC » cuøng chaén cung BC a = 2R (1) Vaäy: a = 2R.sinA hay sin A * HĐ5 sgk: Cho D ABC vuông * Tìm hiểu đề, quan sát A nội tiếp đường tròn bk R hình vaø cm a 2R vaø coù BC= a, CA = b, AB = c = = 2R a b c sin A sin 900 = = = 2R CM: b b sin A sin B sin C = = a = 2R sin B b a c c = = a = 2R sin C c a Vaäy * Giới thiệu đl sin a b c * Gợi ý hs cm = = = 2R sin A sin B sin C * Gv daùn baûng phuï hình veõ * D BCD laø tam giaùc gì ? BC = ? * Baèng * So saùnh goùc A vaø D ? * Góc A tù, ta vẽ đường kính BD đường tròn tâm O ngoại tiếp D ABC Þ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O µ = 1800 - A µ Þ D Þ sinD = sin(1800 - A) = sinA Maët khaùc: D BCD vuoâng taïi C Tứ giác ABCD ntn đtr ? Þ BC = BD.sinD hay a = 2R.sinA So saùnh sinD vaø sinA ? a = 2R (2) Vaäy: a = 2R.sinA hay sin A a = 2R sin A b c = 2R, = 2R Các đẳng thức sin B sin C cm tương tự Vậy đl sin cm HÑ2: RL kyõ vaän duïng ñl sin b Ví duï: VD1: (HÑ6) VD2: Cho tam giaùc ABC coù µ = 200 , C µ = 310 vaø caïnh b = 210 cm Tính B * Tam giaùc vuoâng Noäi tieáp ñtr O Baèng Từ (1) và (2) suy ra: * HĐ6 sgk: Cho tam giác ABC coù caïnh baèng a Haõy tính bk đtr ngt tam giác đó Lop10.com * Ta có: Tam giác ABC µ= B µ= C µ = 600 Þ A Theo ñl sin: (5) µ , các cạnh còn lại và bk R đường tròn A ngoại tiếp tam giác đó Giaûi µ = 1800 - ( B µ+ C µ) * Ta coù A = 1800 - (200 + 310) = 1290 a b = * Theo ñl sin, ta coù: sin A sin B bsin A 210.sin1290 Þ a= = sin B sin 200 210.0,7771 » » 477,2 (cm) 0,342 * Tương tự b.sin C 210.sin 310 = c= sin B sin 200 210.0,515 » » 316,2 (cm) 0,342 a 477,2 » *R= 2sin A 2.sin1290 477,2 » » 307,04 (cm) 2.0,7771 HĐ3: Giới thiệu và cm các ct tính dt tam giaùc Công thức tính diện tích tam giác * Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đường cao tam giác ABC ll vẽ từ đỉnh A, B, C và S là diện tích tam giác đó * Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi R và r ll là bk đường a+ b+ c troøn ngt, nt tam giaùc vaø p = là nửa chu vi cuûa tam giaùc * Diện tích S tam giác ABC đựơc tính theo các công thức sau: 1 1) S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 2) S = absinC = bcsinA = acsinB 2 abc 3) S = 4R 4) S = pr 5) S = p(p - a)(p - b)(p - c) (ct Heâroâng) Cm ct (2) a.ha µ Với = AH = AC.sinC = b.sinC ( kể C nhoïn, tuø hay vuoâng) Do đó: S = absinC 1 Các ct S = bcsinA, S= casinB cm 2 Ta bieát S = * Cho vd2 vaø veõ hình + Toång goùc tam giaùc laø bao nhieâu ? + Ta tính a, c, R theo ct naøo ? + Tính sin1290, sin200, sin310 ? a = 2R sin A a Þ R= = 2sin A + Baèng 1800 a = a + Theo ñl sin, hs ll phaùt bieåu sin1290 » 0,7771; sin200 » 0,342 sin310 » 0,515 * HÑ7 sgk: Haõy vieát caùc coâng thức tính dt tam giác theo cạnh và dường cao tương ứng * GV dán bảng phụ công thức vaø dieãn giaûi caùc yeáu toá ct *S= 1 a.ha = b.hb = c.hc 2 * Quan saùt, nghe, hieåu * GV veõ caùc th cuûa goùc C * Quan saùt Tính ha, Þ S ? Hs ll trả lời cột nd * HĐ8 sgk: Dựa vào ct (2) và đl sin , haõy cm ct (3) *S= Lop10.com 1 c absinC = ab 2 2R (6) ttự = HÑ4: RL kyõ naêng vaän duïng caùc ct tính dt tam giaùc VD1: Tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm a) Tính dieän tích tam giaùc ABC, b) Tính bk đường tròn nt, ngt tam giác ABC Giaûi a) * Ta coù: p = (a + b + c) = (13 + 14 + 15) = 21 * Theo ct Heâ - roâng: S = p(p - a)(p - b)(p - c) = 21(21- 13)(21- 14)(21- 15) = 21.8.7.6 = 84 (m2) b)* Ta coù: S = pr Þ r = S 84 = = p 21 abc 4R abc 13.14.15 Þ R= = = 8,125 (m) 4S 4.84 VD2: Tam giaùc ABC coù caïnh a = ,b = µ = 300 Tính caïnh c, goùc A vaø S 2, C *S= Giaûi * Theo ñl Coâsin ta coù: c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 12 + - 2.2 3 =4 Þ c=2 Þ Tam giaùc ABC caân taïi A ( vì b = c) µ= C µ = 300 Þ B µ = 1800 - (B µ + C) µ = 1200 * A 1 acsinB = = 2 Tieát 25 Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc HÑ1: RL kyõ naêng giaûi tam giaùc a) Giaûi tam giaùc *S= abc 4R * HÑ9 sgk: Cm ct (4) Gv veõ hình Hd: Phaân tích D ABC thành tam gíc nhỏ SABC = SOAB + SOBC + SOCA 1 = r.c + r.a + r.b 2 = r(a + b + c) = pr * Cho vd * Tìm hiểu đề * Để tính S ta tính gì ? * Tính p * Goïi hs tính * Hs tính * Tính r theo ct naøo ? * Hs pb nhö coät nd * Tính R theo ct naøo ? * Cho vd * Nhaän xeùt gì veà goùc vaø caïnh mà đề bài cho ? Þ Tính c theo ct naøo ? * Ta tính góc A theo đl sin khoâng ? Þ Haïn cheá tìm goùc theo ñl sin, trừ gt cho góc đó là nhọn hay tuø * Tìm hiểu đề * Góc tạo cạnh đó * Theo ñl coâsin, hs tính * Khoâng vì sinA = caùch tìm A seõ daøi * Hs tính S * Gv giới thiệu cách giải tam Lop10.com * Nghe, hieåu neân (7) * Giaûi tam giaùc laø tìm moät soá yeáu toá cuûa tam giaùc cho bieát caùc yeáu toá khaùc * Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã nêu lên định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích tam giaùc VD1: Cho tam giaùc ABC bieát a = 17,4m, µ = 44030' vaø C µ vaø caùc µ = 640 Tính goùc A B caïnh b, c Giaûi µ =1800 - ( B µ+C µ) * Ta coù A = 1800 -(44030' + 640) = 71030' a b c * Theo Ñl sin ta coù = = sin A sin B sin C asin B 17,4.sin 44 30' b= = sin 71030' sin A 17,4.0,7009 » » 12,9 (m) 0,9483 asin C 17,4.sin 640 c= = sin 71030' sin A 17,4.0,8988 » » 16,5 (m) 0,9483 VD2: Cho tam giaùc ABC coù caïnh a = 49,4 µ =47020' Tính caïnh c, cm, b = 26,4 cm vaø C µ vaø B µ A Giaûi * Theo ÑL cosin ta coù c2 = a2 + b2 -2ab.cosC » (49,4)2 + (26,4)2 - 2.49,4.26,4.0,6777 » 1369,66 Vaäy c = 1369,66 » 37 (cm) * Ta coù b + c2 - a cosA = 2bc 697 + 1370 - 2440 » -0,191 » 2.26,4.37 µ laø goùc tuø vaø A µ » 1010 Þ A µ = 1800-( A µ+C µ) * Do đó B giaùc * Cho vd * Cạnh a nào với góc B, C ? * Tìm hiểu đề * Xen * 10 = ? phuùt * Toång goùc tam giaùc baèng baøo nhieâu ? * Tính b, c theo ct naøo ? = 60' * 1800 sin44030' sin71030' » ? » ? * Theo ñl sin Hs nhấn máy tính và trả lời » 0,7009 » 0,9483 * Ta tính c theo đl côsin khoâng ? sin640 » ? * Được * Cho vd2 * Nhaän xeùt gì veà goùc vaø caïnh mà đề bài cho ? * Tìm hiểu đề * Xen cos47020' » ? » 0,6777 µ » ? cosA » - 0,191 Þ A Hs nhấn máy tính và trả lời µ » 1010 A = 1800 -(1010 + 47020') » 31040' VD3: Cho tam giaùc ABC coù caïnh a = 24 cm, * Cho vd2 b = 13 cm vaø c = 15 cm Tính dieän tích S cuûa * Tính S theo ct naøo ? tam giác và bán kính r đường tròn nội tieáp tam giaùc Giaûi * Goïi hs tính * Nửa chu vi tam giác ABC 1 p = (a + b + c) = (24 + 13 +15) = 26 2 * Dieän tích tam giaùc ABC S = p(p - a)(p - b)(p - c) Lop10.com » 0,8988 * Tìm hiểu đề 1 * S = absinC = bcsinA 2 = acsinB ct Hê-rông * Hs tính (8) = 26(26 - 24)(26 - 13)(26 - 15) = 26.2.13.11 = 26 11 (cm2) * S = pr Þ r = S 26 11 = = 11 (cm) p 26 HĐ2: Ứng dụng giải tam giác vào đo đạc b Ứng dụng vào việc đo đạc Bài toán 1: Đo chiều cao cái tháp mà không thể đến chân tháp Giả sử CD = h là chiều cao tháp đó C là chân tháp Chọn điểm A, B trên mặt đất cho ñieåm A, B, C thaúng haøng Ta ño · · khoảng cách AB và các góc CAD,CBD Chẳng hạn ta đo AB = 24 m, · · = b = 480 Tính CAD = a = 630 , CBD chieàu cao h cuûa thaùp Giaûi * AÙp duïng ñònh lyù sin vaøo tam giaùc ABD ta AD AB coù: = sin b sin D · Ta coù: a + DAB = 1800 µ = a - b = 630-480=150 Þ D ABsin b 24sin 480 = Do đó: AD = sin(a - b ) sin150 24.0,7431 » » 68,91 0,2588 Trong tam giaùc vuoâng ACD ta coù h = CD = ADsin a » 61,4 (cm) Bài toán 2: Tính khoảng cách từ địa điểm trên bờ sông đến gốc cây trên cù lao sông Để đo khoảng cách từ điểm A trên bờ sông Đến gốc cây C trên cù lao sông, người ta chọn điểm B cùng trên bờ với A cho từ A và B có thể nhìn thấy · điểm C Ta đo khoảng cách AB, góc CAB · vaø CBA Chẳng hạn ta đo AB = 40 m, ·CAB = a = 450, CBA · = b = 700 Tính khoảng cách AC ? Giaûi * AÙp duïng ñònh lyù sin vaøo tam giaùc ABC, ta AC AB coù = sin B sin C maø C = 1800 - ( a + b ) Þ sinC = sin( a + b ) Þ AC = AB.sin b 40.sin 700 = sin(a + b ) sin1150 * Gv tóm tắt bài toán trên hình veõ * Quan saùt, nghe, hieåu * Để tính CD ta cần tìm gì ? Baèng caùch naøo ? * Tính AD theo ñl sin · * a ,DAB laø goùc gì ? * Buø sin480 » ? sin150 » ? » 0,7431 » 0,2588 * Tính CD ta xeùt tam giaùc naøo ? * Tam giaùc ACD * Gv tóm tắt bài toán trên hình veõ * Quan saùt, nghe, hieåu * Ta tính AC theo ct naøo vaø caàn tìm gì ? * Theo ñl sin, caàn tìm goùc C sin700 » ? sin1150 » ? » 0,9397 » 0,9063 Lop10.com (9) 40.0,9397 » 41,47 (m) 0,9063 Vaäy : AC » 41,47 (m) » Cuûng coá: - Các hệ thức lượng tam giác vuông ? - Định lí côsin và hq? Công thức độ dài đường trung tuyến ? - Ñònh lí sin ? - Caùc ct tính dieän tích tam giaùc ? - Giaûi tam giaùc ? - Chú ý cần hiểu các ct trên để có thể áp dụng vào tam giác bất kì Daën doø: - Học bài và làm bài tập đến 11 tr 59, 60 sgk - Đọc bài đọc thêm tr 61 sgk Lop10.com (10)