01 03 01 01 gt12 ciii b1 nguyên hàm tu luan hdg chi tiet

C H Ư Ơ N I = = = I NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI NGUYÊN HÀM LÝ THUYẾT Kí hiệu K khoảng, hay đoạn hay nửa khoảng f  x F  x 1) Định nghĩa: Cho hàm số xác định K Hàm số gọi nguyên hàm hàm số 2) Định lý f  x a Nếu F  x   f  x  K với x thuộc K F  x nguyên hàm nguyên hàm b Đảo lại cho f  x f  x F  x  C K C  R hàm số K F  x ,G  x hai nguyên hàm f  x K tồn số C F  x  G  x   C f  x  F  x   C f  x Họ tất nguyên hàm hàm số ký hiệu  Chú ý: Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có ngun hàm K ” 3) Tính chất nguyên hàm a Nếu f , g hai hàm số liên tục K b  f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx kf ( x)dx k f ( x)dx với số thực k khác  k f ( x)  l.g ( x) dx k f ( x)dx  l g ( x)dx Suy   f ( x )dx   f ( x)   c 4) Công thức nguyên hàm phần udv uv  vdu 5) Công thức đổi biến số f [u  x  ]u x  dx F [u  x  ]  C 6) Bảng nguyên hàm vi phân hàm số thường gặp Hàm sơ cấp 1) dx  x  C u u  x  Hàm số hợp 1) du u  C x 1 u  1 2) x dx   C    1 2) u du   C    1  1  1 3) dx x ln x  C  x 0  du 3) u ln u  C  u  x  0  4) cos xdx sin x  C 4) cos udu sin u  C 5) sin xdx  cos x  C 5) sin udu  cos u  C 6)  dx tan x  C cos x  x   k Với 7)  dx  cot x  C sin x Với x k 6)  du tan u  C cos u  u  x    k Với 7)  du  cot u  C sin u u  x  k  Với Thường gặp d  ax  b   dx a 1) Vi phân 1  2)  a x  b  dx   (ax  b) 1  C a  1 3) dx ax  b  a ln ax  b  C  a 0  4) cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C a 5) sin( ax  b)dx  cos(ax  b)  C a dx 6)   tan  ax  b   C cos  ax  b  a dx 1 7)   cot  ax  b   C sin  ax  b  a 8) e ax b dx  e ax b  C a x u a a px  q a px q  C   a 1 9) a x dx   C   a 1 9) a u du   C   a 1 9) a dx  p.ln a ln a ln a 8) e x dx e x  C II = = = I = = = I 8) eu du eu  C HỆ THỐNG BÀI T ẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LÝ THUYẾT Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: a) Nếu: f ( x) F ( x)  C với b) Nếu hàm số f(x) liên tục đặt u  x  hàm số có đạo hàm thì: x   t  hàm số liên tục ) ta được: Trong   t f (u)du F (u )  C với đạo hàm (  ' t  f ( x)dx f    t    '  t  dt g (t )dt G (t )  C Từ ta trình bày hai dạng toán phương pháp đổi biến số sau: Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng để tính nguyên hàm: I f ( x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Chọn t = Bước 1: Chọn t =   x Trong  Bước 1: Chọn t = Bước 2: Tính vi phân hai vế:  Bước 1: Chọn t = Bước 3: Biểu thị:  Bước 1: Chọn t = Bước 4: Khi đó:   x hàm số mà ta chọn thích hợp dt  '  x  dx f ( x)dx g    x    '  x  dx g (t )dt I f ( x) dx g (t )dt G (t )  C * Chú ý: Ta có số dấu hiệu để đổi biến thường gặp: STT Dạng nguyên hàm f  x  Cách đặt Đặc điểm nhận dạng t  f  x Biểu thức mẫu  f  x  dx f  e  u  x  dx  t u  x  Biểu thức phần số mũ f  u  x   u x  dx t u  x  Biểu thức dấu ngoặc f  u  x   u x  dx t n u  x  Căn thức f  ln x  dx x t ln x dx x kèm biểu thức theo ln x f  sin x  cos x dx t sin x cos x dx kèm biểu thức theo sin x f  cos x  sin x dx t cos x sin x dx kèm biểu thức theo cos x f  tan x  t tan x dx cos x kèm biểu thức theo tan x t cot x dx sin x kèm biểu thức theo cot x t e ax e ax dx kèm biểu thức theo eax 10 u x n dx cos x dx f  cot x  sin f  e  e ax ax x dx Đôi thay cách đặt t t  x  t m.t  x   n ta biến đổi dễ dàng Các dạng đặc biệt Dấu hiệu f  x  Hàm Cách chọn a.s inx + b.cosx c.s inx + d.cosx + e f  x  Hàm x  x  t tan ;  cos 0    + Với: x + a > x + b > 0, Đặt:  x  a  x  b t  x a  x b + Với x + a < x + b < 0, đặt: t  x a   x b BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Câu= 1: Tìm họ nguyên hàm sau I x a)   x dx b) x dx x 1 x c)  Lời giải x a) Xét   x dx 4 3 Đặt t   x  t 1  x , suy 4t dt  xdx   2t dt xdx   x2  1 x2 2t C x  x dx  2t.t dt   C  Khi b) Xét x dx x 1  2tdt dx  2 Đặt t  x   t  x  Suy  x t  Khi x 2t   dx  dt  dt    dt t 1 x 1  t  t 1   t  1 t ln c) Xét x t1  C ln t 1 x  dx x x  9.xdx tdt xdx  2 2 t  x   t  x  Đặt Suy  x t  x 1  C x 1 1 x  dx x Khi t5  x  9.xdx  t   t.tdt  t  9t  dt  3t  C 2 x x  dx  Như  x2   3   x2   C Câu 2:Tìm họ nguyên hàm sau x ln  x  1 ln x   x ln x a) dx  b) x 1 ln x dx c) x   ln x  Lời giải ln x   x ln x dx a) Xét dt  dx x Đặt t ln x, suy ln x  t2  t2 ln x  1  x ln x dx  t dt  t  t  dt   ln t  C   ln ln x  C Khi x ln  x  1 b) Xét Đặt  x2 1 t ln  x  1 dx , suy x ln  x  1  Khi dx  x 1 ln x c) Xét x   dt  ln x   2x x dx  dt  dx x 1 x 1 1 tdt  t  C  ln  x  1  C  4 dx Đặt t 1   ln x   t  1 1  ln x  ln x t  2t dx  2t   dt suy x t ln x Khi x   ln x   dx   2t  t  2t   dt 16 2  t  5t  8t  4t  dt  t  t  t  4t  C ln x Như x   16 dx  t  t  t  4t  C ln x   với t 1  ln x   dx Câu 3:Tìm nguyên hàm: a) I ( x 1)  xdx b) J 3 xdx 2x  c) K  xdx x   5x  Lời giải a Đặt t 3  2x  x   I   t3  dx  t dt 2   t3   1 t.t dt  (5t  t )dt      5t t   (3  x)7 (3  x)     C    4   b Đặt t 3 2x   x    C   t3   dx  t dt 2 t3  t dt  3  t5 J  2  (t  2t )dt    t   C t 4  Suy  (2 x  2)5      (2 x  2)   C   x( x   x  3)dx I   ( x   5x   x  c Ta có: 11   (5 x  3)3  65 Câu 4: Tìm nguyên hàm: a) x  3)dx  ( x  3)3   C  cos xdx J  (sin x  cos x)3 b) I sin x.cos5 xdx Lời giải a Đặt t cos x  dt  sin xdx Ta có: I (1  cos x) cos x sin xdx  (1  t )t dt t8 t6 sin x sin x (t  t ) dt    C   C 8 cos xdx dx I   cos x(tan x  2) cos x (tan x  2)3 b Đặt t tan x  dt  Câu 5:Tìm nguyên hàm: 1 J  C dx (tan x  2) cos x Do đó: e2 x J  dx x  e  2) dx I  x e  2e  x  1) 3) K  ex  dx 4e x  Lời giải e x dx I  x e  3e x  Đặt t e x  dt e x dx Ta có: dt dt t ex  I   ln  C ln x C t  3t  (t  1)(t  2) t1 e 1 Suy ra: x x x Đặt t  e   e t   e dx 2tdt (t  2)2tdt  2  t  t  t  ln t    C  J  2  t  t      dt 1 t t 1  3    (e x  2)3 e x  2     t Đặt  dx  e x   ln   ex  1   C   ex  t2  30t x  e   e x dx  dt x 4e  4t  (4t  1) 30t dt (t  4)(4t  1) t dt  t 2t   K 30  2   dt  ln  ln C (t  4)(4t  1) t 2 2t   t  4t   , với t ex  4e x  Câu 6: Tìm nguyên hàm: ln x.dx ln x  J  I  dx x(1  3ln x  2) x 1) 2) ln x  ln x K  dx x 3) Lời giải Đặt t ln x  dt  dx x  t3   ln x  I (t  1)dt   t   C   ln x   C 3    Suy t2  dx t  3ln x   ln x    tdt x Đặt Suy t2  2 tdt     t3 t2 J  3   t  t   dt     t  ln(t  1)   C  1 t  t 1  9  với t  3ln x  Đặt t  ln x   ln x t   I Suy ln xdx  t dt x 3 3 t dt  t  C  (3ln x  2)  C  8 Câu 7: Tìm nguyên hàm: dx dx I  J  2sin x  3sin x  2) cos x  sin x  1) Lời giải I Ta có: dx dx   2 2  2sin x  3sin x cos x  cos x cos x(2 tan x  tan x 1) dt t tan x  dx  1 t2 Đặt I Ta được:  dt (2t  1)  2(t  1)   dt  2t  3t  (2t  1)(t  1)   t1 tan x    C  ln C   dt  ln   t  2t   2t  2 tan x  Đặt t tan Suy ra: 2t 1 t2 x 2dt sin x  , cos x   dx   t 1 t2 1 t2 cos x  sin x    t  2t  1 t2 x 3 dt (t  3)  (t  1) t 3 J  2   dt  ln  C  ln C t  2t  (t  1)(t  3) t1 tan x  tan sin x.cos3 x I  dx     tan  x   tan  x   4 4   Câu 8: Tìm nguyên hàm: Lời giải     tan x  tan x   tan  x   tan  x     4   tan x  tan x   Ta có: Suy ra: I  16sin x.cos x cos xdx Đặt t sin x  dt sin xdx nên ta có: I  16 t (1  t )3 dt 16 t (t  3t  3t  1)dt  t11 t 3t t   sin11 x sin x 3sin x sin x  16       C 16      C   11   11 (ln x  1) ln x J  dx (ln x  x  1) 2) e x dx I  x e  4e  x Câu 9: Tìm nguyên hàm: 1) Lời giải x Cách 1: với cách đặt t e e  x dx J  x e  4e  x Cách 2: Xét  e x  4e  x I  J   e x  4e x dx dx x  C1  x x  I  J  e  4e dx ln e x  4e  x  C e x  4e x Ta xét hệ :   I  x  ln e x  4e  x  C1  C2 ln x  ln xdx x2  ln x   x  1  x  J  Ta có : Đặt t 1 I  x  ln e x  4e  x  C 2 hay ln x  ln x  dt  dx x x  tdt  1 J     dt   C 3 2 ( t  1) ( t  1) ( t  1) 2( t  1) t    Suy  x2 x  C 2(ln x   x) ln x  x  x3  I  dx x( x  x  2) Câu 10: Tìm nguyên hàm: 1) dx J  x( x  1)2 2) Lời giải t  x3  I  Đặt t   Suy t1 t1 dt   dt  t (t  3t  2) t (t  1)(t  2) t (t  1)  (t  1)(t  2)  2t (t  2) 2 I  1 ln x   ln x  ln x   C t x  I  Đặt dt 1 1       dt  t (t  1)  t t  (t  1)  Suy x6 I  ln  C x 1 x 1 Câu 11: Tìm nguyên hàm: I  tan xdx sin x  Lời giải dt I   t  t2 Đặt t cos x  dt  sin xdx Suy  t 0 I   t2 dt dy   y2   y t t ) (với 1  I  ln y  y   ln   C 2 cos x cos x I  t2  t 0 dt  ln   C cos x cos x 1 t2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm nguyên hàm: I1 x x  1dx I  2010 x dx  x  3 10  x  1 dx I  2012  3x 1 Bài 2: Tìm nguyên hàm: I1  x3  3x x  1 I  x  x  4.dx dx J  J1 x x  4dx x3 x2  dx  x2 I  dx, x 0 x  x2 1 J  x2 x2  dx Bài 3: Tìm nguyên hàm: I1  dx 2  x   x I x x  9dx dx I  x x2 1 I  xdx 1 x  1 x  Bài 4: Tìm nguyên hàm: I 3 x dx x 1 I  dx x2  x J1  dx  x 1 J 3 3x  x3 dx  t   dt t  8t  16  16   J     dt   t    dt   t  t t  t t   t2 8    8ln t    C 4 t  với t x  x  Bài 3: 6 Đặt t   x  t 1  x  6t dt dx I1  dx t dt    6 t  t   dt   t t t 1  1 x  1 x  2t  3t  6t  ln t   C 2  x  3  x  6  x  ln  x   C x  x  t  x  Đặt t2  t2   dx  dt 2t 2t 2  t     t    t  9  t  81 I  dt  dt    16  t  2t   2t  4t   162 6561   t4 6561  t   dt    162 ln t   C    16  t t  16  4t    x   16    x2   4  162 ln x  x 9   x 2 Đặt: t  x   t x   tdt  xdx dx xdx tdt I    2 2  t  1 t x x 1 x x 1 dt  1  1 t      C  dt   ln t   t  t 1   t   Vậy  x 1   I  ln   C  x    2 Đặt: t   x  t  x   tdt  xdx xdx   x2   x2 I     C  x2    6561 tdt dt  t 1 t 1t dt 2  t  C 2   x  C 1 t  Bài 4: Đặt t 2 x   I2  3  x  1  20 3  x  1 C  x  x2    x  t  x  x   dt   dx   dx  2   x  x      Đặt  dx x 4  dt dt  I  ln t  C ln x  x   C t t Đặt t 1  x   x   t  1  x  t  2t  dx  t  1 dt 2  t  2t   t  1 dt t 3t  J1     t  3t   dt   t C t 1  x 1    x 1       x 1  C 2 2 Đặt t  x  x   t  x  x   t  xt  x  x  t2  t   J  t  dt  x  dx  dt t   t  2t 2t t 1 1     J 2 ln t 1   ln t  C 2 t t  1 t  t t t Ta có :  Hay J 2 ln  x  x   x  t Đặt x x2 1 x   ln x  x   C 6 Đặt t  x  Đặt t 3x  x x Bài 5:   I1 tan xdx   1dx  dx  dx tan x  x  C cos x  cos x  1 I  dx   tan x  dx cos x cos x Đặt t tan x  dt  dx cos x 1 I   t  dt t  t  C tan x  tan x  C 3 Khi  x  2d    1  2 I  dx  dx   sin x  x  x cos    cos     2  2  x  x  x  tan   d     tan     C  2  2  2   J1 tan xdx tan x.tan xdx tan x   1dx  cos x  1  tan xdx  tan xdx  tan xdx  tan xdx cos x cos x A  tan xdx cos x Đặt t tan x  dt  dx cos x 1 A  tan xdx tdt  t  C1  tan x  C1 cos x 2   sin x.dx  sin x B tan xdx  dx   cos x cos x Đặt a cos x  da  sin xdx   sin x.dx   B   cos x da a  ln a  C2  ln cos x  C2 J1  A  B  tan x  ln cos x  C Vậy I2  Khi  cos x   sin x.dx  cos x  3cos x  Đặt t cos x  dt  sin xdx  t  1   t   4t  J   dt   dt t  3t   t  1  t         dt  3ln t   ln t   C  t  t 1   3ln cos x   ln cos x   C tan x sin x J  dx  dx cos x cos x Đặt t cos x  dt  sin xdx  sin xdx  dt  dt 1 I    C  C t 3.t 3.cos3 x Bài 6: I1 sin x   sin x  cos x.dx Đặt t sin x  dt cos x.dx sin x sin x  I1 t   t  dt  t  t  dt   C 2 dx I  cos x  tan x    I  dt  t  2  Đặt  t  2 t tan x  dt   C  dx cos x  tan x   C tan x   tan x  dx  tan x cos x   I   tan x  tan x Đặt t tan x   t4  I  dt   t    dt 1 t  t  t        1 1  t3 1 t   t     dt   t  ln C   1 t 1 t  1 t   tan x 1  tan x  tan x  ln C  tan x Cách : tan x tan x tan x I  dx  dx  cos2 x   tan x  dx cos x cos x  sin x Đặt t tan x Bài 7: 1 cos x I1  dx  dx cos x sin x   sin x  sin x Đặt t sin x  dt cos xdx t2  1 t2  dt  1 I1   dt    dt 2 2  t t  1 1 t  t 1  t  t 1 1  1  dt      dt    ln t   ln t    C t  t  t 1  t 1 t1 1 sin x    ln  C   ln C t t 1 sin x sin x 1 cos x I  dx sin x  5sin x  Đặt t sin x  dt cos x.dx  t     t  3 dt 1 I  dt  dt  t  5t   t    t  3  t    t  3  dt  t ln t  dt ln t   ln t   C t sin x   C ln C t sin x  1 t 2 ln x   dt  dx  dt  dx x x Đặt  ln x  3 ln x   C 1 t t I1  tdt  t t  C  C  2 3 Khi Bài 8: t ln x  dt  Đặt dx tdt    I1      dt t  ln t   C x t 1  t 1  ln x  ln  ln x  C ln x C  ln x 2 Đặt t 1   ln x   t  1 1  ln x  ln x t  2t dx  2t   dt Lấy vi phân hai vế ta được: x 16  I 2  t  5t  8t  4t  dt  t  t  t  4t  C Với t 1  ln x  Đặt t ln  ln x    dt  dx x ln x ln  ln x  1   I  t    dt   ln  ln x   ln ln  ln x   C t  Bài sin x cos xdx I 2   sin x Ta có: Đặt t 1  4sin x  sin x  t1  cos xdx  dt 4 t 11 dt  4 I 2    t  Suy ra:  1  dt   t  ln t   C t   4sin x  ln  sin x   C sin Ta có:    sin   x    3       x  sin  x   cos x  sin x.cos  x   3 3        cos  x     cos x 3        sin x    sin x sin  x   sin  x     3     Suy ra:   sin x I ln     sin  x    Do đó:    C    dx dx I 2 2  sin x(sin x  cos x) sin x(1  cot x) Cách khác: d (cot x )    ln cot x   C  cot x Đặt t sin x  dt cos xdx ta có dt [(1  t )  (1  t )]2   K    dt     dt 2 2 (1  t ) (1  t ) (1  t )  (t  1) (t 1)(t  1) (t 1)    1 1     dt    (t  1) t  t  (t  1)   t 1 2t  1 x  t anx    ln    C   ln tan(  )  C  t  t  1 2 cos x  Bài 10: (2sin x  3) cos xdx I    2sin x Ta có: Đặt t 1   2sin x  sin x  (t  1)3   cos xdx  (t  1) dt 2 [(t  1)  2] (t  1) dt (t  2t  3)(t  2t  1) dt  I    t t   3  t 4t t  t  t   dt    4t  8t  3ln    t  Ta có: J 3   t  C  , với 1 cot x dx 3 cot x cot x dx sin x sin x sin x dx  J  t cot x  dt  sin x Đặt  83 t tdt  t dt  t  C t 1   2sin x 4sin x  sin x 2(1  cos x)  sin x  sin x cos x tan x  cot x  cos x sin x Ta có:  sin x  2cos x   sin x sin x sin x  2cos x.sin x  2sin x 1  cos x  cos8 x  sin x  sin x  sin x 2 1 1 K  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  C 16 Bài 11: 2 Đặt t 2  x   x (t  2)  t  4t   dx (2t  4)dt  2t I  Suy ra:  8t  11 (2t  4)dt t  2t 2   6t  27t  22 ln  Đặt Và  t  C  với t  x  x2   x  x  t  2 (2t  12t  27  22 )dt t t 2  x  t2  t2   dx  dt 2t t2 t2  t2   2t 2t  t2   t2   2t  1 t t  2t   J  dt  dt t2  2  t2 2t Suy ra:   2 1 2   dt  t  2ln t      C 2  t t  2 t    x   2ln x  x   C t Đặt x 2t  6t  x  dx  dt x2 1 t (t  1)2  6t   K  dt 6   dt 2 (t  1)  t  (t  1)  1 (t  1)  (t  1)  1        t  t 1  Mà: t  (t  1)(t  1) 2 1  (t  1)  (t  1)        2  (t  1) (t  1) t 1 t   (t  1) (t  1) (t  1)