Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
SỐ PHỨC IV C H Ư Ơ N LÝ THUYẾT I = = = ĐỊNH NGHĨA I o Một số phức biểu thức dạng z = a + bi với a,b Ỵ ¡ i = - o i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu £ { } £ = a + bi / a,b Ỵ ¡ ;i = - o Chú ý: - Khi phần ảo b = Û z = a số thực - Khi phần thực a = Û z = bi Û z số ảo - Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo ìï a = c a + bi = c + di Û ïí ïï b = d ỵ o Hai số phức nhau: với a,b,c,d Ỵ ¡ z = a + bi ; z2 = - a - bi o Hai số phức gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z = a + bi với a,b Ỵ ¡ a - bi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp: b) z + z ' = z + z ' a) z = z c) z.z ' = z.z ' d) c) z - z ' = z - z ' ổz z ỗ ữ = ỗ ữ ữ ữ z ỗ ốzÂứ z l s thc z = z ; z số ảo Û z = - z BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z = a + bi với a,b Ỵ ¡ biểu diễn điểm M ( a;b) MODULE CỦA SỐ PHỨC o Môđun số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) 2 z = a + b o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức uuur OM = a2 + b2 = zz z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: o Một số tính chất môđun: · z ³ 0; z = Û z = 0; · z2 = z , - z = z , z = z · z1 + z2 £ z1 + z2 · z - z' £ z - z' £ z + z' · z1.z2 = z1 z2 · z1 z1 = z2 z2 CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức z = a + bi ; z ' = a '+ b'i với a,b,a ',b' Ỵ ¡ số k Î ¡ o Tổng hai số phức: z + z ' = a + a '+ (b + b')i o Hiệu hai số phức: z + z ' = a - a '+ (b - b')i o Số đối số phức z = a + bi - z = - a - bi r ur u o Nếu , u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z ' r ur u + u ' biểu diễn số phức z + z ' r ur u - u ' biểu diễn số phức z - z ' o Nhân hai số phức: z.z ' = ( a + bi ) ( a '+ b'i ) = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a '.b) i z- = o Số phức nghịch đảo: o Chia hai số phức: Nếu z ¹ 0thì z ' z '.z = z z z z , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z' tử mẫu thương z cho z Chú ý: i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = - 1; i 4k+3 = - i (k Î ¢) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC z ¹ ta nhân Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi thức bậc w z – z Mỗi số phức w ¹ 0 có hai bậc hai hai số phức đối o Trường hợp w số thực ( w = a Ỵ ¡ ) + Khi a w có hai bậc hai a - a + Khi a nên a = (- a)i , w có hai bậc hai Ví dụ: Hai bậc i –i - a.i - - a.i Hai bậc - a (a ¹ 0) , - o Trường hợp w = a + bi (a,b ẻ Ă ;b 0) Cách 1: Gọi z = x + yi (x, y Ỵ ¡ ) bậc w z = w , tức là: (x + yi )2 = a + bi ìï x2 - y2 = a Û ïí ® x = ;y = ïï 2xy = b ïỵ x;y Mỗi cặp số thực nghiệm hệ phương trình cho bậc hai z = x + yi số phức w = a + bi Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương tổng, nghĩa w = z Từ kết luận bậc hai w z - z PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho phương trình bậc 2: Az + Bz + C = (1) A, B,C số phức A Xét biệt thức D = B - 4AC o Nếu D ¹ 0thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt: z1 = - B +s ; 2A z2 = -B- s 2A Trong s bậc D o Nếu D = 0thì phương trình (1) có nghiệm kép: CHÚ Ý: z1 = z2 = -B 2A A zn + A1zn- + + An- 1z + An = o Mọi phương trình bậc n: ln có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) o Hệ thức Vi-ét phương trình bậc số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc : Az + Bz +C = (A, B,C ẻ Ă ;A 0) có nghiệm phân ìï ïï S = z + z = - B ïí A ïï C ï P = z1z2 = A biệt (thực phức) Ta có: ïïỵ II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT = z = a + bi ( a,b Ỵ I o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm ¡ ) o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến môđun, biểu z, z, z , thức có chứa ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm Câu Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : b) z = ( - 4i ) ( + 2i ) + a) z = ( + 4i ) + 2i ( 1- 3i ) - 5i 2+ i Giải: a) z = ( + 4i ) + 2i ( 1- 3i ) = + 4i + 2i - 6i = + 6i + = + 6i Þ Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z = - 6i Môđun z = 82 + 62 = 10 b) z = ( - 4i ) ( + 2i ) + ( - 5i ) ( - i ) - 5i = 10 + 4i- 20i- 8i2+ 2+ i 22 + 12 - 14i - 93 94 = 18 - 16i + = i 5 93 94 93 94 z= + i Þ Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: 5 Mơđun 2 ỉ ỉ 93ư 94ử 17485 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ z = ç +ç = ÷ ÷ ç ç ÷ è5 ø ÷ è5 ø w = zi + z ( + 2i ) Câu Cho số phức z = + 2i Tìm mơđun số phức Giải: w = zi + z ( + 2i ) = (3 + 2i )i + (3 - 2i )(1+ 2i ) = 3i - + + 6i - 2i + = + 7i Vậy w = 52 + 72 = 74 Câu Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: Giải: P = + ( + i ) + ( + i ) + + ( 1+ i ) 20 20 = ( 1+ i ) i 21 - é ù = ê( + i ) ú ( 1+ i ) = ( 2i ) ( 1+ i ) = - 210 ( 1+ i ) ê ú ë û 10 - ( 1+ i ) - Þ P = = - 210 + 210 + i i ( 1+ i ) 21 10 ( + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) ) 20 10 10 Vậy phần thực - phần ảo + 2017 Câu Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i Giải: Cách 1: S = 1009 + i + 2i + 3i + 4i + + 2017i 2017 ( + ( 2i ) ( ) = 1009 + 4i + 8i + + 2016i 2016 + i + 5i + 9i + + 2017i 2017 + 10 + 6i + 10i + + 2014i 504 505 n=1 n=1 = 1009 + å ( 4n) + i å ( 4n - 3) - 2014 ) + ( 3i + 7i + 11i + + 2015i 2015 504 504 n=1 n=1 11 ) å ( 4n - 2) - i å ( 4n - 1) = 1009 + 509040 + 509545i - 508032 - 508536i = 2017 + 1009i Cách 2: Đặt f ( x) = + x + x2 + x3 + + x2017 ị f Â( x) = + 2x + 3x2 + + 2017x2016 Þ xf ¢( x) = x + 2x2 + 3x3 + + 2017x2017 ( 1) Mặt khác: f ( x) = + x + x + x + + x 2017 ( x - 1) - ( x - 1) ( x - 1) 2018x ( x - 1) - ( x - 1) xf ¢( x) = x ( 2) ( x - 1) 2017 2018x x2018 - = ị f Â( x) = x- 2018 2017 Þ 2018 ( 1) ( 2) ta được: (1) S 1009; (1)=(2) , nên: Thay x = i vào S = 1009 + i Câu Cho số phức ( ) = 1009 + i - 2018 - 2018i 2017 ( i - 1) - i 2018 - ( i - 1) z =- ( 2018i + = 2017 + 1009i - 2i ) 1+ i w = ( + z) ( + z2) ( + z3) ( + z2017 ) Tính Giải: ìï z2 + z + = ù + i ắắđ ïï z = ïỵ ( z =- Ta có ) ìï z3k = ïï ï z3k+1 = z í ïï 3k+2 ïï z = z2 Do ú vi mi k ẻ Ơ , ta cú ỵ Vì từ đến 2017 có: 673 số chia d 1, ( )( ) ( ắắđ + z3k = ắắđ + z3k+1 = + z = - z2 ắắđ + z3k+2 = + z2 = - z 672 số chia dư 2, 672 số chia hết ) w = ( 1+ z) 1+ z2 1+ z3 1+ z2017 = 2672.( - z) ổ ỗ1 = - 2672.z2 = 2672 ( 1+ z) = 2672 ỗ ỗ ç ç è2 Câu Tìm số z ÷ i÷ = 2671 1÷ ÷ ÷ ø ( cho: z + (2 + i )z = + 5i Giải: 672 ( - z2 3i ) ) 673 = - 2672.z2018 = - 2672.z3.672+2 Gọi số phức z cần tìm z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) Ta có: z + (2 + i )z = + 5i Û a + bi + (2 + i )(a - bi ) = + 5i Û a + bi + 2a - 2bi + - bi = + 5i Û 3a + b + (a - b)i = + 5i ïì 3a + b = ïìï a = Û ïí Û í Þ z = - 3i ïï a - b = ïï b = - ỵ ỵ Câu Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Giải: Gọi số phức cần tìm z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ Ta có: z.z = z = a2 + b2 = 25 (1) z.z = 25 ) Lại có: z - (2 + i ) = 10 z - (2 + i ) = 10 Û ( a - 2) + ( b - 1) = 10 Û a2 + b2 - 4a - 2b - = ( 2) Thay (1) vào (2) ta được: 25 - 4a - 2b + = 10 Û b = - 2a + 10 éa = Û 5a - 40a + 75 = Û ê êa = Û 2 2 a + b = 25 Û a + ( a + 10) = 25 ê ë Nên Vậy z = z = + 4i z Ỵ ¡ _ z z- z =2 z Câu Cho z z số phức liên hợp z Biết Tìm Giải : éb = ê êb = ê ë () Gọi z a bi Ta có : _ a,b z a bi z z a bi a bi 2bi b2 z _ z z z.z Mà Ta có: z z bi z3 a3 3a2bi 3a bi z z z z2 z3 z3 2 z z.z a3 3ab2 3a2b b3 i 2 3a b b 3a b a 1 z 2 b 3 b b Câu Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z - 2i z + 1- 2i = z + + 4i z + i số ảo Giải: Đặt z x yi (x, y) Theo ta có : 2 2 x + 1+ ( y - 2) i = x + + ( - y) i Û ( x + 1) + ( y - 2) = ( x + 3) + ( y - 4) Û y = x + w= z - 2i z +i Số phức w = x + ( y - 2) i x + ( 1- y) i = x2 - ( y - 2) ( y - 1) + x ( 2y - 3) i x2 + ( y - 1) ìï x2 - ( y - 2) ( y - 1) = ìï ïï ïï x = - 12 ïï ï Û í í x + ( y - 1) > ïï ïï 23 12 23 ïï y = x + ïï y = z = + i ïỵ 7 số ảo ïỵ Vậy Câu 10 Cho số phức z có mơđun 2018 Mơđun số phức w bằng? w 1 + = số phức thỏa mãn biểu thức z w z + w Giải: Từ giả thiết 1 z +w + = Û = 0Û z w z +w zw z +w Þ z + w + zw = Û z + zw + w2 + w2 = Û 4 2 2 ( z + w) - zw = zw( z + w) 2 ỉ ÷ ỉ ÷ ỉ i 3wư ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ z + w = w z + w = ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ 2 ữ ố ứ ố ứ ỗ è ø 2 ỉ ỉ i 3ư ổ i 3wữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ z + w = ị z = - w ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ứ 2 ữ ữ ố ỗ ỗ ố ứ ố ø Từ i ± w = w = w Þ w = 2018 2 z =- Lấy môđun hai vế, ta Câu 11 Cho số phức z, w khác cho z - w = 2z = w Phần thực số phức u= z w ? Giải : Cách : Gọi a,b u a bi ìï z ïï = ïï u = w ï z- w = 2z = w Û í Û ïï z - w z- w ïï = = u- =1 ïï w w ïỵ Ta có : Þ ( a - 1) - a2 = - 2a + = Cách 2: Gọi ìï 2 ï ïíï a + b = ïï ïïỵ ( a - 1) + b = Û a= w a bi a,b a2 b2 * z 1 z 1 w w a 2 a b Chọn Thay a vào * b 15 u 1 15 i 2 15 i Câu 12 Tính mơđun số phức z biết z¹ z z- z có phần thực Giải: ( a, b Ỵ ¡ ) Cách 1: Giả sử z = a + bi Ta có z- z = a2 + b2 - a - bi = a2 + b2 - a + bi ( 2 ) = a +b - a +b a2 + b2 - a ( Û Û z- z có phần thực nên ) a2 + b2 - 2a a2 + b2 a2 + b2 b ( =4Û = 4Û a2 + b2 = ( 2 a +b ( ) i =4 a +b - a +b a2 + b2 - a ) 2 a +b - a +b a2 + b2 - a a2 + b2 - a ( + a +b - a +b Theo giả thiết: ) 2 2 ) a +b - a =4 1 Þ z = 8 Cách 2: Nếu z = a + bi z + z = 2a Áp dụng: Û Û z- z 1 + =8 z- z z- z có phần thực Þ 2z - z - z 2z - z- z 1 + =8Û = 8Û =8 2 z- z z- z z - z ( z + z ) + z.z z - z (z +z) + z 2z - z - z 2z - z (z +z) = 8Û 2z - z - z ( z 2z - z - z Nhận xét: Trong tốn tìm thuộc tính số phức z (tất z ) ) = 8Û z z = 8Û z = thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z tốn giải phương trình bậc (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z z Còn chứa hai loại trở lên ( z , z , z ) z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) ta gọi Từ sử dụng phép tốn số phức để đưa hai số phức để giải SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI VỀ SỐ PHỨC Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2 o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b o Tính mơđun số phức bấm qc o Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Câu Tính z = + i - (3 + 2i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím sau: 1+bp(3+2b) Và ta kết là: Câu Tính z = (1 + 3i )(- + 4i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau: Câu Tính z = (- + i) 1+ 3i - 7i Hướng dẫn: Ta nhập biểu thức kết quả: z = (- + i) 1+ 3i - 7i vào máy ta thu Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần ảo : C 2ab D ab Hướng dẫn: Vì đề cho dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” toán cách chọn giá trị cho 2 A a b 2 B 2a b a,b (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt) Chọn a = 1.25 b = 2.1 ta có z = 1.25 + 2.1i Sử dụng máy tính Casio tính z + 21 Vậy phần ảo b ) d = 21 Xem đáp số có giá trị đáp án xác Ta có : Vậy 2ab = 21 Þ Đáp án C xác - Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần thực : a 2 B a + b A a + b -b 2 C a + b D a - b Hướng dẫn: Vì đề mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a = 1;b = 1.25 Với z- = z Sử dụng máy tính Casio a R + b = - 16 : 41 giá trị dương Vì ta Ta thấy phần thực số phức z chọn b > a > nên ta thấy đáp số C D sai Thử đáp số A có a + b = + 1.25 = 16 ¹ 41 đáp số A sai Þ Đáp án xác B Câu Cho số phức z = ( + i ) + ( + i ) + + ( 1+ i ) 11 A - 11 B - + Dãy số cấp số nhân với 22 Phần thực số phức 11 C - - Hướng dẫn: U = ( 1+ i ) 11 D , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn 21 : Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)= Þ Phần ảo số phức z - : 2 1- ( + i ) 1- qn z = U = ( 1+ i ) 1- q 1- ( + i ) Vậy z = - 2050 - 2048i z 2050 = - 211 - Þ Đáp số xác C z ta