C H Ư Ơ N III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I = = = I LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc Ox : Trục trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) Oy Trục : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) k Oz : Trục trục cao, có vectơ đơn vị (0;0;1) Điểm O(0;0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) a ( a ; a ; a ), b (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) ka (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a kb (k R) a b phương a1 kb1 a a a a2 kb2 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 a kb a1 b1 a b a2 b2 a b 3 a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a a12 a22 a22 a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) AB ( xB xA ; yB y A ; z B z A ) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: x xB y A y B z A z B M A ; ; 2 Cho 2 a a a12 a22 a32 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos( a , b ) a b a1 a22 a32 b12 b22 b32 A( xA ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: AB ( x x ) ( y y ) ( z z A ) B A B A B Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x x x y yB yC z A zB zC G A B C ; A ; 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu vào Ox Chiếu vaøo Oxy M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾ ¾¾ ® M1 ( xM ;0;0) M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắ ắ ắđ M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x ) ( Giữ nguyên x, y) Điểm Điểm Chiếu vào Oy Chiếu vào Oyz M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắ ắắ đ M2 (0; yM ;0) M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾ ¾ ¾® M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y ) ( Giữ nguyên y, z) Điểm Điểm Chiếu vào Oz Chiếu vào Oxz M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾ ¾¾ ® M3 (0;0; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắ ắ ắđ M ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên z ) ( Giữ nguyên x, z) Điểm Điểm Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Ox M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắắắắắắ đ M1 ( xM ;- yM ;- zM ) ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z ) Đối xứng qua Oy M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾¾¾¾¾¾ ® M (- xM ; yM ;- zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z ) Đối xứng qua Oz M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắắắắắắ đ M (- xM ;- yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y ) Đối xứng qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾¾¾¾¾¾ ® M1 ( xM ; yM ;- zM ) ( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z ) Đối xứng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắắắắắắ đ M2 ( xM ;- yM ; zM ) ( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y ) Đối xứng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾¾¾¾¾¾ ® M3 (- xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ) Tích có hướng hai vectơ: a ( a , a , a ) b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: Định nghĩa: Cho , a a3 a3 a1 a1 a2 a , b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a b sin a , b Tính chất: [ a, b ] a [ a, b ] b a , b c Điều kiện phương hai vectơ a & b Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b 0 (0;0;0) [ a , b].c 0 với Diện tích hình bình hành ABCD: Thể tích khối hộp: SABCD AB, AD VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD ] AA ' Diện tích tam giác ABC: S ABC AB, AC VABCD Thể tích tứ diện: AB, AC AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN = = DẠNG = 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ I b 0; 2; 1 c 1;7;2 Oxyz a (2; 5;3) Câu Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ: , , d a b c Tìm tọa độ vectơ Câu A 1;2;4 , B 2; 1;0 , D 2;3; 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm a/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành b/ Tìm tọa độ tâm I hình bình hành ABCD Câu A 1; 1;5 , B 3; 4;4 , C 4;6;1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cách điểm A, B, C ? Câu K 2;4;6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm , gọi K ' hình chiếu vng góc K trục Oz Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng OK ' ? Câu B 2;3;0 , C x;3; 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A( 2;2; 1) , Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu A 2;0; 3 , B 4;1; 1 , C 4; 4;1 Trong khơng gian m , cho tam giác ABC có Gọi D chân đường phân giác góc A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm D Câu Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' 1/ Chứng minh: AC ' CA ' 2C ' C 0 2/ Cho Câu A 1;0;1 , B 2;1;2 , C ' 4;5; , D 1; 1;1 Tính tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp A 5;3; 1 , B 2;3; Trong không gian m , cho tam giác ABC có điểm C nằm mặt phẳng Oxy có tung độ nhỏ 1/ Tìm tọa độ điểm C 2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD tứ diện DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Câu A 2; 1;3 , B 3;0; , C 5; 1; Trong không gian m cho tam giác ABC có Tính cos BAC Câu A 1;2;3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết , B đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O Tính diện tích tam giác ABC ? Câu A 2;0;0 B 0;3;1 C 3;6;4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có , , Gọi M điểm cạnh BC cho MC 2MB Tính độ dài đoạn thẳng AM a; b 1200 ; a 2; b 3 Oxyz a , b Câu Trong không gian với hệ toạ độ cho hai vecto thỏa mãn a 2b a x 3a 2b a) Tính b) Tính góc hai vecto B 2;3;0 , C x;3; 1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A( 2;2; 1) , Tìm giá trị x để tam giác ABC đều? Câu Trong khơng gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O , B a;0;0 D 0; a;0 , A ' 0;0; b a, b , Gọi M trung điểm cạnh CC ' Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU LÝ THUYẾT I = = I ĐỊNH NGHĨA = I Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R Kí hiệu: I R A S I ; R S I ; R M / IM R B II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng : Phương trình tắc Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c Dạng : Phương trình tổng quát (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 , bán kính R S : x a y b z c (2) Điều kiện để phương trình (2) phương R a2 b2 c d trình mặt cầu: I a; b; c (S) có tâm 2 (S) có bán kính: R a b c d III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S I; R mặt phẳng P Gọi H hình chiếu vng góc I lên P khoảng cách từ I đến mặt phẳng + Nếu d R : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung d IH P Khi : + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp P xúc mặt cầu Lúc đó: mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm P + Nếu d R : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán kính r R2 IH M1 R I I R M2 P H P H I d R r I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG S I; R Cho mặt cầu đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi : + IH R : không cắt mặt cầu + IH R : tiếp xúc với mặt cầu tiếp tuyến (S) H tiếp điểm + IH R : cắt mặt cầu hai điểm phân biệt H H I R R Δ R I I H B A * Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d I ; IH AB R IH AH IH + Lúc đó: 2 V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S : x – a y – b z – c R tâm I a; b; c bán kính R mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 o Nếu d I , P R mp P mặt cầu S khơng có điểm chung d I , P R P mặt cầu S tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp o Nếu mặt phẳng diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm o Nếu d I , P R mặt phẳng P mặt cầu S cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình : x a y b z c R Ax By Cz D 0 Trong bán kính đường tròn r R2 d( I ,( P ))2 I R I' tâm H S đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu phẳng P R' lên mặt II HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN = = I TÌM = TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Kiến I thức vận dụng 2 x a y – b z – c µ Phương trình: R phương trình mặt cầu có tâm I a; b; c , bán kính R 2 2 2 µ Phương trình x y z – ax – 2by – 2cz d 0 thỏa điều kiện a b c – d , phương trình trình mặt cầu tâm I a ; b; c 2 , bán kính R a b c d Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu x 2 y 3 a) z 5 2 b) x y z x y z 0 2 c) x y 3z x y 21 0 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm cầu a) x y z 2mx m 1 y z 0 m để phương trình sau phương trình mặt x y z m x 4mz 0 b) Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số 2 m để phương x y z m x – m z m 0 phương trình phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ 2 2 II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a ; b; c Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm Thuật tốn 2: Gọi phương trình I a ; b; c 2 x a y b z c bán kính R là: R2 (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 2 Phương trình (S) hồn tồn xác định biết a , b , c , d ( a b c d ) Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: A 4; 3; , B 2; 1; a) Có đường kính AB với b) Có tâm C 3; 3; 1 qua điểm c) Có tâm thuộc mặt phẳng d) Có tâm A 2; 4; Oxy A 5; 2;1 qua điểm A 1; 1; 1 , B 2; 1; , C 1; 0; tiếp xúc với trục Oz A 1;1; , B 1;1; 1 , C 1;0;1 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho Viết mp Oxz phương trình mặt cầu qua điểm A , B, C có tâm nằm Câu 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm b) (S) qua A 1; 2; , B 1; 3;1 , C 2; 2; , D 1; 0; A 0; 8; , B 4; 6; , C 0;12; có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) x t : y z t Câu 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng : x y z 0 : x y z 0 Câu 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A 2; 6; , B 4; 0; có tâm thuộc d: x y z5 1 Câu 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm hai điểm A, B với AB 16 Câu 7: Cho hai mặt phẳng : I 2; 3; 1 cắt đường thẳng P : 5x y z 0, Q : : x 1 y z 4 x y z 0 đường thẳng x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20 x t d : y 2t z t Câu 8: Cho mặt phẳng ( P) : x y z 0 đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính I 1; 0; d: x y 1 z 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm Câu 9: Cho điểm đường thẳng I cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I x y z x y z 0 Câu 10: Cho mặt cầu (S): điểm phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB A 4; 4; Viết phương trình mặt Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường trịn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r r R2 d I ; P bán kính (C): 2 2 (S) : x y z x 0 cắt mặt phẳng (P): x 0 theo Câu 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu giao tuyến đường trịn (C) Xác định tâm bán kính (C) II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp Các điều kiện tiếp xúc: d I ; R + Đường thẳng tiếp tuyến (S) d I ; R + Mặt phẳng ( ) tiếp diện (S) * Lưu ý dạng toán liên quan tìm tiếp điểm, tương giao x Câu 1: Cho đường thẳng số điểm chung Câu 2: Cho điểm : I 1; 2; I 1; 2; y z S và mặt cầu : S x y z x z 0 Tìm ? Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy x 1 y z Viết phương trình đường thẳng d có phương trình Câu 3: Cho điểm mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d S Câu 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm điểm A, B cho AB 16 Câu 5: Cho đường thẳng d: I 2; 3; 1 cắt đường thẳng d: x 11 y z 25 2 x 5 y z S 2 điểm I (4; 1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu có S tâm I, hai điểm A, B cho AB 6 Viết phương trình mặt cầu I 1; 0; d: x y z2 S Viết phương trình mặt cầu có Câu 6: Cho điểm đường thẳng tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB