CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định K ( K khoảng đoạn nửa đoạn ) Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x K F ' x f x với x K Định lý 1: Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K với số C, hàm số G x F x C nguyên hàm f x K Định lý 2: Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K nguyên hàm f x có dạng F x C , với C số Hai định lý cho thấy: Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K F x C , C họ tất nguyên hàm f x K Kí hiệu f x dx F x C Chú ý: Biểu thức f x dx vi phân nguyên hàm F x f x , dF x F ' x dx f x dx Tính chất nguyên hàm Tính chất f ' x dx f x C Tính chất kf x dx k f x dx , k số khác Tính chất f x g x dx f x dx g x dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm 0dx C x 1 x dx C 1 xdx ln x C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 dx x C (ax b) 1 C a 1 1 (ax b)dx a ln ax b C (ax b) dx 89 x e dx e x dx eax b C a cos ax b dx a sin ax b C sin ax b dx a cos ax b C a x x a dx C a ln a 1 cos2 ax b dx a tan ax b C C e cos xdx sin x C sin xdx cos x C ax x a dx C ln a cos2 x dx tan x C sin x 1 sin ax b dx a cot x C dx cot x C dx x a ln C , a 0 a 2a x a xdx x x C x dx 2 x C x ax b a dx x a ln C , a 0 x 2a x a ax b dx ax b ax b C a 1 dx 2 ax b C a ax b II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu f (u )du F (u ) C u u ( x) có đạo hàm liên tục thì: f u ( x) u '( x)dx F u ( x) C Hệ quả: Với u ax b a 0 ta có f ax b dx a F ax b C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u u x v v x có đạo hàm liên tục K thì: u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định sau sai? A 0 dx C e Câu 2: x x5 B x dx C C x dx ln x C D dx e x C Tìm nguyên hàm F x dx LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 90 A F x x C F x Câu 3: Câu 4: Cho B F x 2 x C Câu 6: 3 C D x2 C f x dx F x C Khi với a 0 , a , b số ta có f ax b dx A f ax b dx a F ax b C B f ax b dx a b F ax b C C f ax b dx F ax b C D f ax b dx aF ax b C Họ nguyên hàm hàm số f x 3 x A x3 C Câu 5: C F x B x3 x C C 6x C D x x C Họ nguyên hàm hàm số f x 3 x x A F x x x B F x x x C C F x x x x C D F x x x C Họ nguyên hàm hàm số f x A x4 x2 C 3x B 1 x x 2 2x C x2 C x4 x2 C 3x D x3 x C x Câu 7: e Họ nguyên hàm hàm số f x e.x A 101376 B e x e C C x e 1 4x C e 1 D e.x e 1 4x C e 1 Câu 8: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x) x 1 ? A F x 3x 1 C F x Câu 9: 8 18 B F x x 1 18 3x 1 D F x 18 x 1 Họ nguyên hàm hàm số f x 5 x x A 20 x 12 x C B x x x C C 20 x 12 x3 x C D x4 2x2 2x C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 91 2018 Câu 10: Nguyên hàm hàm số f x x , ( x ) hàm số hàm số đây? x 2019 C , (C ) 2019 2017 D F x 2018.x C , (C ) 2018 A F x 2017.x C , (C ) B F x 2019 C F x x C , (C ) Câu 11: Cho F x nguyên hàm hàm số f x x x thỏa mãn F 2 , giá trị F 1 A B 13 C D 11 Câu 12: Xét I x3 x 3 dx Bằng cách đặt: u 4 x , khẳng định sau đúng? A I u du 16 Câu 13: Cho 2 x 3x 2 B I u du 12 C I u du D I u du 4 dx A x B 3x C với A , B C Giá trị biểu thức 12 A B 23 241 A B 252 252 C 52 D Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Câu 2: 1 Họ nguyên hàm hàm số f x 7 x x x 1 7 A x ln x x B x ln x x C x x 1 7 C x ln x x C D x ln x x C x x Nguyên hàm hàm số f x A ln x C B là: x2 ln x C C ln x C D ln x C Câu 3: Câu 4: Nguyên hàm hàm số f x 1 2x A f x dx ln x C C f x dx ln x C Tìm họ nguyên hàm hàm số y A x 1 dx x 1 C LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 1 x B f x dx 2 ln x C D f x dx ln x C B x 1 dx C x 1 92 C Câu 5: x 1 dx C x 1 D Một nguyên hàm hàm số f x x 1 dx 2 x 1 C x x 1 B f x dx ln x x f x dx x ln x 1 1 C f x dx x ln x 1 D x ln x 1 Vậy f x dx x ln x nguyên hàm f x A Câu 6: Biết F x nguyên hàm f x A ln Câu 7: B ln Nguyên hàm F x hàm số f x e 1 , biết F là: x 1 B F x 2 ln x C F x ln x D F x ln x A F x 2 ln x Câu 8: F 2 F 1 x 1 C D Cho F x nguyên hàm hàm số f x A F ln B F ln ; biết F 1 2 Tính F 2x C F ln D F 2 ln Câu 9: Tìm họ nguyên hàm hàm số f x A x C x B x 1 x2 x 1 x C C x2 ln x C D x ln x C 2x2 x Câu 10: Tính nguyên hàm I dx x A I x x ln x C C I 2 x x ln x C Câu 11: Cho biết B I x x ln x C D I 2 x x ln x C x 13 ( x 1)( x 2) dx a ln x 1 b ln x C Mệnh đề sau đúng? A a 2b 8 B a b 8 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C 2a b 8 D a b 8 93 Câu 12: F x Biết x 1 f x 3x nguyên hàm hàm số F 0 , b b F 1 a ln a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Khi c c giá trị biểu thức a b c A B C D 12 1 Câu 13: Cho hàm số f x xác định \ thỏa mãn f x f 1 Giá trị 2x 2 biểu thức f 1 f 3 A ln15 B ln15 C ln15 D ln15 Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nguyên hàm hàm số f x x 0; 23 x x 1 C F x x x x2 x D F x x A F x Câu 2: Câu 3: Câu 4: 2018 Họ nguyên hàm hàm số f x 3 x x A x 2019 x C 673 B x C x 2019 C x 673 D A f x dx x C f x dx x 3 x 6054 x 2017 C 2x C 2x C B f x dx 3 x 3 D f x dx 2x C 2x C Một nguyên hàm hàm số f x x là: x 1 x B 3 x x C x 1 x D 1 2x 2x Hàm số F x nguyên hàm hàm số y x ? x 1 C C F x x 1 x C A F x Câu 6: x 2019 C 2019 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x A Câu 5: B F x 43 x 1 C 3 D F x x 1 C B F x Tìm hàm số F x biết F x nguyên hàm hàm số f x x F 1 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 94 A F x x x 1 C F x x2 Câu 7: Câu 8: B F x x x 3 D F x x x 3 Tìm hàm số f x , biết f x 4 x x f 0 A f x x x x 40 3 B f x x C f x x x x 88 3 D f x x2 1 x Tìm nguyên hàm hàm số f x A F x x x B F x 4 x C F x 2 x D F x x Câu 9: Biết F x nguyên hàm hàm số f x m thỏa mãn F 0 x 1 F 3 7 Khi đó, giá trị tham số m B A C D Câu 10: Họ nguyên hàm hàm số f x x x A 4x 3 4x 3 C B x C C 3 4x C D C Câu 11: Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 1 2 x 1 A f x dx 2 x 1 C B f x dx C f x dx 2 x 1 C D f x dx x 1 e Câu 12: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân x 2 2 A u 1 du 31 Câu 13: Khi tính nguyên hàm A 2u u du 2 B u 1 du 91 x 1 C x 1 C ln x dx trở thành 3ln x 2 C u 1 du 2 u2 du D 91 u x dx , cách đặt u x ta nguyên hàm nào? x 1 B u du Câu 14: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C 2 u du D u du thỏa mãn F 5 7 2x 95 Câu 1: Câu 2: A F x 2 x B F x 2 x C F x x D F x x 10 Dạng Nguyên hàm hàm số lượng giác Khẳng định sau x x A tan xdx ln cos x C B sin dx 2 cos C 2 x x C cot xdx ln sin x C D cos dx sin C 2 Tính tích phân I cos xdx A I Câu 3: 2 B I 2 B f (x)dx tan x cos x C D f (x)dx tan x cos x C Cho hàm số F x nguyên hàm hàm số I F F 2 A I Câu 6: D I sin x sin x C f (x)dx cot x cos x C Câu 5: Tìm nguyên hàm hàm số f (x) A f (x)dx cot x cos x C Câu 4: C I B I C I f x sin x cos x Tính 3 D I Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) (sin x cos x) A f ( x)dx x cos x C C f ( x)dx cos x C 1 B f ( x)dx cos x C D f ( x)dx x cos x C Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? 2 A f x sin x g x cos x B f x tan x g x 2 cos x x x C f x e g x e D f x sin x g x sin x Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: 2x Tìm nguyên hàm hàm số f x e 2x A e dx 2x e C 2x 2x C e dx 2e C Câu 2: 2x 2x B e dx e C 2x 2x D e dx 2e C Tìm ngun hàm hàm số y 1212x LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 96 Câu 3: 2x 12 4x ln12 C A 12 dx 12 2x 12x B 12 dx 12 ln12 C 12x C 122x dx 12 C ln12 12x D 122x dx 12 C ln12 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) B I e A I e Câu 4: Câu 5: C I D I 1 2016 x Biết F làm nguyên hàm hàm số f x 2016e F 2018 Giá trị F A F 1 2016 2016 B F 1 2016e C F 1 2016e 2016 D F 1 e 2016 2017 x ln x 1 Tìm nguyên hàm I x2 dx A I ln x 1 C B I ln x 1 C 2 D I ln x 1 C C I ln x 1 C Câu 6: ln x Tính F (e) F (1) x Kí hiệu F x nguyên hàm hàm số f x , biết F ln Tìm tập e 1 x x nghiệm S phương trình F x ln e 1 3 A S 3;3 B S 3 D S 3 C S Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần Câu 1: Câu 2: x x Biết F x ax b e nguyên hàm hàm số y x 3 e Khi a b A B C D Cho tích phân I x 1 sin xdx Tìm đẳng thức A I x 1 cos x cos xdx C I x 1 cos x cos xdx Câu 3: 20 B I x 1 cos x cos xdx D I x 1 cos x cos xdx 20 2x 2x Biết e cos 3xdx e a cos 3x bsin 3x c , a, b, c số, tổng a + b có giá trị A 13 B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 13 C 13 D 13 97 Câu 4: Tính nguyên hàm I x 2 sin 3xdx Chọn đáp án đúng: A B 14 x 2 cos3x bsin 3x C Tính M a C 34 a 27b D 22 Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) x sin x 1 1 A F ( x) x cos x sin x C B F ( x) x cos x sin x C 4 C F ( x) x cos x sin x C D F ( x) x cos x sin x C Câu 6: x Cho F x nguyên hàm hàm số f x x 1 e F 3 Tính F 1 A F 1 11e Câu 7: Tìm B F 1 e D F 1 e x cos 2xdx 1 x.sin 2x cos2x C 1 C x.sin 2x cos2x C 2 B x.sin 2x cos2x C A Câu 8: C F 1 e x sin 3xdx A 14 D x m cos 3x sin 3x C n B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 p 1 x.sin 2x cos2x C Tính giá trị m n p C D 10 98