BÀI 3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Định lý 1 Cho hàm số liên tục, không âm trên Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ,[.]
BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a; b Định lý 1: Cho hàm số y f ( x) liên tục, không âm Khi diện tích S hình thang b cong giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục hoành đường thẳng x a, x b là: S f ( x)dx a Bài toán liên quan a; b Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) liên tục đoạn , trục b S f ( x) dx hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: a y y f (x) O a c1 c3 c2 y f (x) y 0 (H ) x a x b b x b S f (x) dx a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục đoạn b a; b hai đường thẳng x a , x b xác định: y S f ( x ) g ( x ) dx a (C1 ) : y f1 ( x ) (C ) : y f2 ( x ) (H ) x a x b (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 b x S f1(x) f2(x) dx a Chú ý: b - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b f ( x) dx f ( x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g ( y ) , x h( y ) hai đường thẳng d y c , y d xác định: S g ( y ) h( y ) dy c 111 xn Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C2 ) : f ( x) là: Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình S f ( x) g ( x) dx x1 f ( x) g ( x) II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) O b x a b x V S(x)dx a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y f (x) O a b (C ) : y f ( x ) b (Ox ) : y 0 Vx f ( x ) dx x x a a x b Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g ( y) , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: 112 y d O c (C ) : x g( y ) (Oy ) : x 0 y c y d x d V y g ( y ) dy c Bài toán 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b y f ( x ) , y g ( x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: V f ( x) g ( x) dx a B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi Đồ Thị Câu 1: x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y 3 , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? A Câu 2: 2 S 3x dx S 32 x dx S 3x dx B f x Cho hàm số y f x Câu 3: b S f x dx a f x đồ thị hàm số B f x Câu 4: D tính theo cơng thức b S f x dx a C b S f x dx a D S f x dx a , đường thẳng x a, x b trục Ox b a a;b liên tục không âm đoạn , diện tích hình phẳng giới hạn b f x dx x a, x b a b , trục hoành hai đường thẳng Cho hàm số A C liên tục , diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số b A S 32 x dx B f x dx a b C f x dx a b D f x dx a y f x Ký hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành, đường x a, x b Khẳng định sau đúng? b A S f x dx a c B b S f x dx f x dx a c 113 c C c b S f x dx f x dx a c D b S f x dx f x dx a Câu 5: f x Cho hàm số liên tục đoạn tích hình phẳng hình vẽ bên A m.n Câu 6: a ; b Cho hàm số y f x f x dx f x dx y f x C Câu 7: D n m trục B S f x dx 1 Ox 1 Diện 2 S f x dx có đồ thị hình 1 , a C m n Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số A S b f x dx m f x dx n thỏa mãn B m n c D S f x dx 1 f x dx C Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x , trục a, b hoành, trục tung đường thẳng x 1 Biết S a b Tính a b A Câu 8: a b Cho hàm số B y f x a b C a b D a b 0 C liên tục có đồ thị đường cong hình bên 114 C Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị , trục hoành hai đường thẳng x 0 , x 2 A f x dx f x dx 1 C Câu 9: B f x dx f x dx f x dx D f x dx Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, trục hoành hai đường thẳng x 0, x 2 A S f ( x)dx f ( x )dx B C S f ( x )dx S f ( x)dx f ( x)dx D S f ( x)dx Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x trục hồnh xác định theo cơng thức A S x x dx 4 B S x x dx 4 Câu 11: Cho đồ thị hàm số 2 C S x x dx y f x D S x x dx 2 hình vẽ 115 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số tính công thức A trục Ox S f x dx 3 C y f x B S f x dx 3 S f x dx 3 f x dx D S f x dx f x dx 3 Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn y x ; y 0; x 1; x 2 A B C D Dạng 2: Tính Diện Tích Giới Hạn Bởi Hai Đồ Thị Câu 1: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức sau đây? A x x x 2 1 C Câu 2: 1 x2 x 1 dx B D 1 x x 1 x x 1 dx x x dx B C D H Cho hình phẳng giới hạn đường y x ; y x ; x 5 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng A V x x dx B C Câu 4: 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x x y x A Câu 3: 1 x dx V x x dx H xung quanh trục Ox 1 V x x dx x x dx 0 D V x x dx Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc hình vẽ bên 116 A Câu 5: 3 x 2 dx dx B C y f x dx x D x dx y g x hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ Diện tích Cho hàm số bậc hai phần gạch chéo tính cơng thức sau đây? 1 A C Câu 6: x 2 S f x g x dx g x f x dx 3 1 1 Cho hàm số 1 y f x y g x B 3 1 S g x f x dx f x g x dx 3 S f x g x dx D S g x f x dx g x f x dx 3 1 có đồ thị giao hai điểm phân biệt có hồnh độ a H b Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số H Diện tích tính theo cơng thức b A S f x g x dx a b B b C Câu 7: S f x g x dx a S g x f x dx a b D S f x g x dx a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y x y x ? 117 A Câu 8: B C D Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x đường thẳng y x A Câu 9: B 13 C 11 D 2 H Cho hình phẳng giới hạn đường cong y y x 0 đường thẳng x y 0 H Tính diện tích S hình A S 6 B S 14 C 17 S D S Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x ; y 6 x trục hoành A 22 B 16 C D 23 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x ; y 2 x đường x 1 ; x xác định công thức: A S x 3x dx 3x x dx 1 B 1 C S 3x x dx 1 S x x dx x x dx D S 3x x dx 1 Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y x A B C 11 D 2 H Câu 13: Cho hình phẳng giới hạn parabol y x , cung trịn có phương trình y x2 H trục hồnh Tính diện tích tính công thức 2 A 2x x dx B 2 C ( 2 xdx x dx 2 2x x )dx D ( 2x x )dx 118 2 Câu 14: Cho đồ thị hai hàm số y x 3x x y x x hình sau Diện tích phần hình phẳng gạch sọc tính theo công thức đây? A x x x dx x x x dx 1 B x x x dx 1 C x 1 x x dx x x x dx D x x x dx 1 Câu 15: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ tính theo cơng thức đây? A x x dx 1 B x dx 1 C x dx 1 D x 1 x dx Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y ( x 2) , đường cong y x trục hoành 119 11 B A 73 12 C Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol B y x2 D x2 dx 2 2 y 6 x 3x dx C 3x dx A 12 D x2 dx 2 Câu 18: Diện tích phần tơ đậm hình bên tính theo cơng thức cơng thức sau? A x x x dx B x x x dx B x x x dx D x x x dx H Câu 19: Gọi phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ giới hạn đồ thị H hàm số y 3x , y 4 x trục hồnh Diện tích bao nhiêu? 120 A 11 B Câu 20: Diện tích miền phẳng giới hạn parabol y C 13 x2 đường trịn có tâm gốc tọa độ, D bán kính 2 thuộc khoảng sau A 5;6 B (4;5) C (7;8) D (6;7) Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ln x, y 1 đường thẳng x 1 A e2 B e C 2e D e x H Câu 22: Cho hình thang cong giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x ln Đường k ln H thẳng x k chia thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 2S2 A k ln B k ln C k ln D k ln 121 Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x , y x x trục Ox tính theo cơng thức đây? A x x x dx B x dx x 0 1 C 2 x3 dx x x dx x dx x dx x D 2 x dx x Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y e , trục tọa độ phần đường thẳng y 2 x với x 1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành e2 V 2e B V 5e 6e C Lời giải e V e e2 V 2e D Dạng 4: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Dựa Vào Định Nghĩa Câu 1: P , Q vuông Trong không gian Oxyz , cho vật thể giới hạn hai mặt phẳng a b Một mặt phẳng tùy ý vng góc với góc với trục Ox x a , x b Ox điểm có hồnh độ x , a x b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S x y S x a; b Thể tích V thể tích tính theo với hàm số liên tục cơng thức b A V S a b x dx B V π S a b x dx C V π S x dx a b D V S x dx a 122 Câu 2: Cho phần vật thể phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x 0 x 2 Cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x 2 , ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x x Tính thể tích V phần vật thể V B V C V 4 D V A Câu 3: Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x 1 x 3 , biết cắt vật x 3 thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 124 B 32 15 A Câu 4: Cho vật thể giới hạn hai mặt phẳng x 0 , 3x 124 C x D 32 15 , biết thiết diện vật thể với x x đường trịn mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ có bán kính R cos x Thể tích vật thể B A 2 Câu 5: Cho phần vật thể phần vật thể x x 2 , T T D giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x 0 x 2 Cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ , ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x x Tính thể tích V phần vật thể V C B T V C V 4 D V A Câu 6: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x x 3 3x 123 A 124π V B V 32 15 124 V C D Vπ(32 15) Câu 7: Một vật thể nằm hai mặt phẳng x 1; x 1 thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ x( x 1) hình trịn có diện tích 3π Thể tích vật thể A 3 B 6 D 2 C Dạng 5: Tính Thể Tích Vật Thể Trịn Xoay Khi Quay Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Đồ Thị Câu 1: Cho hình H H giới hạn đường y x x , trục hoành Quay hình phẳng quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: 496 15 32 B 15 4 C 16 D 15 A Câu 2: Cho hình phẳng H x2 y2 1 giới hạn elip có phương trình 25 16 Tính thể tích H quanh trục Ox khối tròn xoay thu quay hình phẳng 160 320 160 320 B C D A Câu 3: Câu 4: y f x x2 4x D Gọi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , hai đường thẳng x 1; x 3 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hoành 16 16 4 15 B 15 C D A trục hoành D quanh trục 3 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y x 3x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x 2 Quay ( H ) xung quanh trục hoành ta khối nói trịn xoay tích là: A C V x x dx V x x dx B V x 3x dx D V x 3x dx 124 Câu 5: Cho hình phẳng D giới hạn đường x 0 , x 1 , y 0 y x D xung quanh trục Ox tính Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay theo công thức? A V x 1dx B V x 1 dx C V x 1 dx D V x 1dx Câu 6: Cho hình phẳng H giới hạn đường y x , x 0 , x 1 trục hồnh Tính H quay quanh trục Ox thể tích V khối trịn xoay sinh hình π π B C π D π A Câu 7: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y tan x , trục hoành đường thẳng x 0 , A Câu 8: V π B V π ln 2 C π quanh trục hoành V π2 D V π y f x liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo cơng thức y Cho hàm số O A V f x dx V C f x x V f x dx 31 B Câu 9: x dx D V f x dx x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y xe , y 0 , x 0 , x 1 xung quanh trục Ox A V x e2 x dx B V xe x dx C V x e x dx D V x e x dx 125 Câu 10: Cho hình phẳng D giới hạn đường x 0 , x , y 0 y sin x D xung quanh trục Ox tính Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay theo công thức A V sin x dx B V sin xdx V sin x dx C H Câu 11: Cho hình phẳng D V sin xdx giới hạn đồ thị hàm số y x.ln x , trục hồnh hai đường H quay quanh trục hoành thẳng x 1 ; x 2 Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới tích V xác định 2 V x.ln x dx A B V x.ln x dx D V x.ln x dx B 2 V x.ln x dx Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 3x x trục hoành, quanh trục hoành 81 10 85 B 10 41 C 8 D A Câu 13: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y cos x , trục hoành đường x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích thẳng x 0 , V bao nhiêu? A V B V C V 1 D V 1 Câu 14: Gọi V thể tích khối tròn xoay thu quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường A a π π y B x , y 0 , x 1 , x a , a 1 Tìm a để V = a π π2 C a π2 π D a π 126 , y 0, x 0, x cos x Thể tích Câu 15: Kí hiệu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số V khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox y A V B V 2 C V D V Câu 16: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hoành elip có x2 y2 1 phương trình 25 16 V có giá trị gần với giá trị sau đây? A 550 B 400 C 670 D 335 Câu 17: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y 1 x , y 0 quanh trục Ox V aπ b với a , b số nguyên Khi a b A 11 B 17 C 31 D 25 Dạng 6: Ứng Dụng Tích Phân Trong Vật Lý Câu 1: Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ v( t ) = - 5t + 10 chuyển động chậm dần với vận tốc , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét? A 0,2m Câu 2: B 2m C 10m D 20m Một vật chuyển động với vận tốc v phụ thuộc thời gian t có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị ( ) I 2; phần đường parabol có đỉnh với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 26,5 B s = 24 C s = 28,5 D s = 27 127 Câu 3: v( km/ h) t ( h) Một vật chuyển động với vận tốc phụ thuộc thời gian có đồ I ( 2;9) thị phần đường parabol có đỉnh trục đối xứng song song với trục s tung hình bên Tính qng đường mà vật di chuyển s = 26,75( km) A B s = 25,25( km) C s = 24,25( km) D s = 24,75( km) Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v(km / h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật chuyển động s = 15,50(km) A s = 21,58(km) Câu 5: B s = 23,25(km) C s = 13,83(km) D Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị ỉ ữ Iỗ ; 8ữ ỗ ữ ỗ ữ ø è phần parabol với đỉnh trục đối xứng song song với trục tung hình s bên Tính quảng đường người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ chạy? 128 B s = 2,3 A s = Câu 6: C s = 4,5 D s = 5,3 Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 13 v t t t m/s 100 30 gian quy luật , t khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a m/s Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A Câu 7: 25 m/s B m/s C 42 m/s D 15 m/s Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 58 t + t ( m / s) 120 45 gian quy luật , t khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc v( t ) = ( a m / s2 ) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25( m / s) B 36( m / s) C 30( m / s) D 21( m / s) 129 ... x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x x ? ?3? ?? 3x 1 23 A 124 π V B V ? ?32 15 124 V C D Vπ (32 15) Câu... Câu 3: Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x 1 x ? ?3 , biết cắt vật x ? ?3? ?? thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 124 B 32 ... diện tích hình phẳng giới hạn đường y ? ?3 , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? A Câu 2: 2 S 3x dx S ? ?32 x dx S 3x dx B f x Cho hàm số y f x Câu 3: b S f x dx a f x đồ