BÀI 1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số xác định trên ( là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của Hàm số được gọi là nguyên hàm của[.]
BÀI NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng đoạn nửa đoạn ¡ ) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lý 1: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K Định lý 2: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) có dạng F ( x ) + C , với C số Hai định lý cho thấy: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ( x ) + C , C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm f ( x ) K Kí hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Chú ý: Biểu thức f ( x ) dx vi phân nguyên hàm F ( x ) f ( x ) , dF ( x ) = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx Tính chất nguyên hàm Tính chất ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Tính chất ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , k số khác Tính chất ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm ∫ 0dx = C xα +1 ∫ x dx = α + + C ∫ xdx = ln x + C α ∫ e dx = e x x +C ∫ dx = x + C ( ax + b)α +1 ∫ (ax + b) dx = a α + + C 1 ∫ (ax + b)dx = a ln ax + b + C ax +b ax + b ∫ e dx = a e + C α 163 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C x ∫ a dx = ∫ cos x ∫ sin ∫ x aα x + β +C a ln a 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C ax +C ln a α x+β ∫ a dx = dx = tan x + C 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot x + C dx = − cot x + C dx x−a = ln + C, ( a ≠ 0) −a 2a x + a xdx = x x + C dx = x + C x ∫x ∫ ∫a ∫ ∫ dx x−a = − ln + C, ( a ≠ 0) −x 2a x + a ax + b dx = ( ax + b ) ax + b + C a 1 dx = ax + b + C a ax + b II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu ∫ f (u )du = F (u) + C u = u( x) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f [ u( x)] u '( x)dx = F [ u( x) ] + C Hệ quả: Với u = ax + b ( a ≠ ) ta có ∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K thì: ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x )v ( x ) dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định sau sai? A ∫ dx = C ∫e x B ∫ x dx = x5 +C C ∫ x dx = ln x + C D dx = e x + C Lời giải Chọn C Ta có: ∫ x dx = ln x + C ⇒ C sai 164 Câu 2: Tìm nguyên hàm F ( x ) = ∫ π dx A F ( x ) = π x + C F ( x) = B F ( x ) = 2π x + C C F ( x ) = π3 +C D π x2 +C Lời giải Chọn A 2 Ta có F ( x ) = ∫ π dx = π x + C Câu 3: Cho ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Khi với a ≠ , a , b số ta có ∫ f ( ax + b ) dx A ∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C B ∫ f ( ax + b ) dx = a + b F ( ax + b ) + C C ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C D ∫ f ( ax + b ) dx = aF ( ax + b ) + C Lời giải Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: Câu 4: ∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A x3 + C B x3 + x+C C 6x + C D x + x + C Lời giải Chọn D x Ta có ∫ ( x + 1) dx = + x + C = x3 + x + C Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + x + Câu 5: A F ( x ) = x + x + B F ( x ) = x + x + C C F ( x ) = x + x + x + C D F ( x ) = x + x + C Lời giải Chọn C Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + x + F ( x ) = x + x + x + C Câu 6: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A − x4 + x2 + +C 3x B 1 − x − x −2 − 2x + C x2 C − x4 + x2 + +C 3x D − x3 x − − +C x Lời giải 165 Chọn D 1 1 −2 x3 x 2 Ta có ∫ − x − ÷dx = ∫ x − x − ÷dx = − − − + C 3 3 x x 3 Câu 7: e Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e.x + B e x e −1 + C A 101376 C x e +1 + 4x + C e +1 D e.x e +1 + 4x + C e +1 Lời giải Chọn D Ta có Câu 8: ∫ f ( x ) dx = ∫ ( e.x e + ) dx = e.x e+1 + 4x + C e +1 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1) ? A F ( x ) ( 3x + 1) = C F ( x ) = ( B F ( x ) +8 18 x + 1) 18 ( 3x + 1) = D F ( x ) = ( 6 −2 18 x + 1) 6 Lời giải Chọn D Áp dụng ∫ ( ax + b ) α ( ax + b ) dx = a α +1 α +1 + C với α ≠ −1 C số Vậy hàm số phương án D thỏa yêu cầu đề Câu 9: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + A 20 x − 12 x + C B x − x + x + C C 20 x − 12 x3 + x + C D x4 + 2x2 − 2x + C Lời giải Chọn B Ta có ∫ ( 5x − x + 1) dx = x − x + x + C 2018 Câu 10: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x , ( x ∈ ¡ ) hàm số hàm số đây? 2018 A F ( x ) = 2017.x + C , (C ∈ ¡ ) 2019 C F ( x ) = x + C , (C ∈ ¡ ) x 2019 + C , (C ∈ ¡ ) 2019 2017 D F ( x ) = 2018.x + C , (C ∈ ¡ ) B F ( x ) = 166 Lời giải Chọn B Ta có: ∫x 2018 x 2019 dx = +C 2019 Câu 11: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + thỏa mãn F ( ) = , giá trị F ( 1) A B 13 C D 11 Lời giải Chọn B Ta có: ∫ x − x + 3dx = x3 − x + 3x + C F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) có F ( ) = ⇒ C = Vậy F ( x ) = 13 x3 − x + 3x + ⇒ F ( 1) = 3 Câu 12: Xét I = ∫ x3 ( x − 3) dx Bằng cách đặt: u = x − , khẳng định sau đúng? A I = u 5du ∫ 16 B I = u du C I = ∫ u du ∫ 12 Lời giải D I = u du 4∫ Chọn A u = x − ⇒ du = 16 x 3dx ⇒ ⇒I= Câu 13: Cho du = x 3dx 16 u 5du 16 ∫ ∫ x ( 3x − ) dx = A ( x − ) + B ( x − ) + C với A , B Ô v C Ă Giỏ trị biểu thức 12 A + B 23 241 A B 252 252 C 52 D Lời giải Chọn D Đặt t = x − ⇒ x = t+2 ⇒ dt = dx 3 167 Ta có: t+2 t8 t t d t = t +2 t d t = + + C = ( 3x − ) + ( 3x − ) + C ( ) ∫ ∫ 3 36 63 9 4 , B= , 12 + = 36 63 36 63 Suy A = Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A x + ln x − − x x C x + ln x + − x + C x 1 + − x x2 − 2x + C x D x + ln x − − x + C x Lời giải B x + ln x + Chọn D = x + ln x − − x + C x ∫ f ( x ) dx Câu 2: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln x + + C B là: x+2 ln x + + C C ln ( x + ) + C D ln ( x + ) + C Lời giải Chọn A Câu 3: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ∫ f ( x ) dx = −2 ln − x + C C ∫ f ( x ) dx = − ln − x + C − 2x B ∫ f ( x ) dx = ln − x + C D ∫ f ( x ) dx = ln − x + C Lời giải Chọn C Ta có Câu 4: 1 ∫ − x dx = − ln − x + C Tìm họ nguyên hàm hàm số y = A ∫ ( x + 1) dx = ( x + 1) +C ( 1+ x) B ∫ ( x + 1) dx = − +C x +1 168 C ∫ ( x + 1) dx = +C x +1 D ∫ ( x + 1) dx = −2 ( x + 1) +C Lời giải Chọn B ∫ ( x + 1) Câu 5: dx = ∫ ( x + 1) −2 dx = − ( x + 1) + C = −1 Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = −1 +C x +1 x x +1 ∫ f ( x ) dx = x − ln x + + C ∫ f ( x ) dx = x − ln ( x + 1) A B ∫ f ( x ) dx = ln x + + x + D x + ln ( x + 1) Lời giải Chọn A x ∫ x + dx = ∫ Vậy Câu 6: x +1−1 dx = ∫ − ÷dx = x − ln x + + C x +1 x +1 ∫ f ( x ) dx = x − ln x + + nguyên hàm f ( x ) F ( ) = F ( 1) x +1 C D Lời giải Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = A ln B + ln Chọn B dx = ln x + + C mà F ( ) = nên F ( x ) = ln x + + x +1 Do F ( 1) = + ln e −1 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = , biết F ÷ = là: 2x + F ( x) = ∫ Câu 7: A F ( x ) = ln x + − C F ( x ) = ln x + + B F ( x ) = ln x + + D F ( x ) = ln x + + Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng F ( x) = ∫ 1 dx = ln x + + C 2x +1 169 e −1 Mà F ÷ = ⇔ ln Câu 8: e −1 2 ÷+ + C = ⇔ C = Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( ) = ln − B F ( ) = ln + ; biết F ( 1) = Tính F ( ) 2x −1 C F ( ) = ln + D F ( ) = ln − Lời giải Chọn B Ta có F ( x ) = ln x − + C ; F ( 1) = ⇒ C = 2 1 ⇒ F ( x ) = ln x − + ⇒ F ( ) = ln + 2 Câu 9: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A x + +C x −1 B + ( x − 1) x2 − x + x −1 +C C x2 + ln x − + C D x + ln x − + C Lời giải: Chọn C Ta có f ( x ) = x2 − x + 1 = x+ x −1 x −1 ⇒ ∫ f ( x ) dx = x2 + ln x − + C 2x2 − x + dx x −3 A I = x − x + ln x − + C B I = x − x − ln x − + C C I = x − x + ln x − + C D I = x − x − ln x − + C Câu 10: Tính nguyên hàm I = ∫ Lời giải Chọn A Ta có: I = ∫ Câu 11: Cho biết x − x + = x − + dx = x − x + ln x − + C dx ∫ ÷ x−2 x −3 x − 13 ∫ ( x + 1)( x − 2) dx = a ln x + + b ln x − + C Mệnh đề sau đúng? 170 A a + 2b = B a + b = C 2a − b = Hướng dẫn giải D a − b = Chọn D Ta có x − 13 1 ∫ ( x + 1)( x − 2) dx = ∫ x + − x − ÷ dx = 5∫ x + dx − 3∫ x − dx = 5ln x + − 3ln x − + C a = ⇒ a −b = Vậy b = −3 Câu 12: F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + Biết 2x +1 F ( 0) = , b b F ( 1) = a + ln a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Khi c c giá trị biểu thức a + b + c A B C D 12 Lời giải Chọn A Ta có F ( x ) = ∫ 3x + ÷dx = x + ln x + + C 2x +1 Do F ( ) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = x + ln x + Vậy F ( 1) = + ln ⇒ a = 1; b = 1; c = ⇒ a + b + c = 2 1 Câu 13: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \ thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( ) = Giá trị 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 B + ln15 C + ln15 Lời giải D ln15 Chọn C Ta có f ( x) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ dx = ∫ 2x −1 d ( x − 1) = ln x − + c 2x −1 f ( ) = ⇔ c = ⇔ f ( x ) = ln x − + f ( −1) = ln + ⇔ f ( −1) + f ( 3) = + ln15 f ( 3) = ln + Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − ( 0; +∞ ) A F ( x ) = 23 x − x + B F ( x ) = x − x+ 171 C F ( x ) = x D F ( x ) = x −x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : Câu 2: ∫( ) x − dx = x − x+C 2018 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x x 2019 +C 673 A x+ C x 2019 + +C x 673 B x3 + D x x 2019 +C 2019 + 6054 x 2017 + C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ∫( Câu 3: x+x 2018 ) 2019 x x 2019 2018 = + + C = x3 + x dx = ∫ x + x ÷dx +C 2019 2019 2 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A ∫ f ( x ) dx = x C ∫ f ( x ) dx = ( x + 3) 2x + + C 2x + + C B ∫ f ( x ) dx = ( x + 3) D ∫ f ( x ) dx = 2x + + C 2x + + C Lời giải Chọn B Xét I = ∫ Đặt ( ) x + dx x + = t ⇔ t = x + ⇔ 2tdt = 2dx 1 I = ∫ t.tdt = ∫ t dt = t + C = 3 Câu 4: ( ) x + + C ⇔ ∫ f ( x ) dx = ( x + 3) x + + C Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = − x là: A − ( x − 1) − x B − 3 ( − x ) − x C ( x − 1) − x D ( 1− 2x ) 1− 2x Hướng dẫn giải 172 Chọn D Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ − x dx = − ⇔ ∫ f ( x ) dx = − Câu 5: ( 1− 2x) 1 − xd ( − x ) , với x ≤ ∫ 2 +C = − ( − 2x ) 1− 2x + C Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số y = x + ? ( x + 1) + C C F ( x ) = ( x + 1) x + + C A F ( x ) = 43 ( x + 1) + C 3 D F ( x ) = ( x + 1) + C Lời giải B F ( x ) = Chọn C Ta có: I = ∫ x + 1dx Đặt: t = x + ⇒ t = x + ⇒ 3t dt = dx 3 ⇒ I = ∫ t.3t 2dt = ∫ 3t 3dt = t + C = ( x + 1) + C = ( x + 1) x + + C 4 Vậy F ( x ) = Câu 6: ( x + 1) x + + C Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x F ( 1) = 2 A F ( x ) = x x B F ( x ) = x x + 3 1 + C F ( x ) = D F ( x ) = x x − x2 3 Lời giải Chọn B Ta có: F ( x ) = ∫ x dx Đặt t = x suy t = x dx = 2dt Khi I = ∫ t.2tdt = t + C ⇒ I = x x + C 3 Vì F ( 1) = nên C = Vậy F ( x ) = x x + 3 Câu 7: Tìm hàm số f ( x ) , biết f ′ ( x ) = x − x f ( ) = A f ( x ) = x x x 40 − − 3 B f ( x ) = −1 x 173 x x x 88 C f ( x ) = + − 3 D f ( x ) = x2 − +1 x Hướng dẫn giải Chọn A 8x x x2 Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = − +C ( ) 40 f ( ) = ⇔ 8.4 − + C = ⇔ C = − = ∫ x − x dx 3 Vậy f ( x ) = Câu 8: x x x 40 − − 3 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = x −1 x −1 B F ( x ) = x − C F ( x ) = x − D F ( x) = x −1 Lời giải Chọn B Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = dx Ta có: ∫ f ( x ) dx = ∫ 4t dx = ∫ dt h ' ( ) = − = 4t + C = x − + C x −1 t 49 Vậy nguyên hàm hàm số f ( x ) = Câu 9: F ( x ) = x − x −1 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + m − thỏa mãn F ( ) = x +1 F ( 3) = Khi đó, giá trị tham số m A −2 B C −3 D Hướng dẫn giải Chọn B + m − 1÷dx = x + + ( m − 1) x + C Ta có F ( x ) = ∫ x +1 F ( ) = C + = C = −1 ⇒ ⇔ Theo giả thiết, ta có C + 3m = m = F ( 3) = 174 Vậy F ( x ) = x + + x − Câu 10: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x3 A (4+ x ) ( 4+ x ) 3 3 +C B + x + C C ( 4+ x ) 3 +C D +C Lời giải Chọn A ∫ x + x dx = Ta có = ( 4+ x ) 3 1 3 3 + x d + x → + x d + x = + x +C ( ) ( ) ( ) ( ) 3∫ 3∫ 3 +C Chú ý: Trong lời giải viết dấu “ → ” thay cho dấu “ = ” + x ≠ ( + x3 ) ta mượn tạm công thức nguyên hàm ( + x ) để tính ngun hàm Câu 11: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A C ∫ 2x +1 2x +1 + C B ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx = 2 x + + C D ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) ∫ f ( x ) dx = + x3 2x + + C 2x +1 +C Hướng dẫn giải Chọn A Đặt x + = t ⇒ x + = t ⇒ dx = tdt 1 tdt 1 = = ∫ dt = t + C = x + 1dx = ∫ 2x +1 + C Khi ta có ∫ 2 t 2 e ln x dx trở thành Câu 12: Với cách đổi biến u = + 3ln x tích phân ∫ x + 3ln x 2 2 A ∫ ( u − 1) du 31 2 B ∫ ( u − 1) du 91 2 C ∫ ( u − 1) du 2 u2 −1 du D ∫ 91 u Lời giải Chọn B u = + 3ln x ⇒ u = + 3ln x ⇒ ln x = e ln x dx Khi ∫ = ∫ x + 3ln x Câu 13: Khi tính nguyên hàm ∫ dx 2u u −1 ⇒ = du x 3 u2 −1 2 u = u − 1) du du ∫ ( u x −3 dx , cách đặt u = x + ta nguyên hàm nào? x +1 175 A ∫ 2u ( u − ) du B ∫( u − ) du C ∫ ( u − ) du D ∫( u − ) du Lời giải Chọn C dx = 2u du Đặt u = x + , u ≥ nên u = x + ⇒ x = u −1 ∫ Khi x −3 dx = u − − 2u du = ∫ ( u − ) du ∫ u x +1 Câu 14: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( ) = 2x −1 A F ( x ) = 2 x − B F ( x ) = 2 x − + C F ( x ) = x − + D F ( x ) = x − − 10 Lời giải Chọn B Ta có ∫ d ( x − 1) dx = 2∫ = 2x −1 + C ; 2x −1 2x −1 Do F ( ) = nên + C = ⇒ C = Câu 1: Câu 2: Dạng Nguyên hàm hàm số lượng giác Khẳng định sau x x A ∫ tan xdx = − ln cos x + C B ∫ sin dx = cos + C 2 x x C ∫ cot xdx = − ln sin x + C D ∫ cos dx = −2 sin + C 2 Lời giải Chọn A ( cos x ) ' sin x Xét ( − ln cos x + C ) ' = − = = tan x Suy khẳng định A cos x cos x π Tính tích phân I = cos xdx ∫ A I = π +2 B I = π +2 C I = D I = Lời giải Chọn A Cách π π π 4 giải: I = ∫ cos xdx = ∫ ( + cos x ) dx = x + sin x ÷ = π + 20 2 0 176 Câu 3: − sin x Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin x ∫ C ∫ f (x)dx = − cot x − cos x + C ∫ D ∫ f (x)dx = − tan x − cos x + C A f (x)dx = − cot x + cos x + C B f (x)dx = − tan x + cos x + C Lời giải Chọn A − sin x ∫ sin x dx = ∫ sin x dx − ∫ sin xdx = − cot x + cosx+C Câu 4: Cho hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số π I = F ÷− F ( ) 2 π A I = B I = C I = f ( x ) = sin x cos x Tính 3π D I = Lời giải Chọn B π Ta có I = sin x cos xdx = t 3dt = ∫ ∫ Câu 5: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = (sin x + cos x) A ∫ f ( x)d x = x + cos x + C C ∫ f ( x)dx = − cos x + C 1 B ∫ f ( x)dx = cos x + C D ∫ f ( x)dx = x − cos x + C Lời giải Chọn D ∫ ( sin x + cos x ) Câu 6: dx = ∫ ( sin x + cos x + 2sin x cos x ) dx = ∫ ( + sin x ) dx = x − cos x + C Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số ngun hàm hàm số lại? 2 A f ( x ) = sin x g ( x ) = cos x B f ( x ) = tan x g ( x ) = cos x x −x C f ( x ) = e g ( x ) = e D f ( x ) = sin x g ( x ) = sin x Lời giải Chọn D ( Vì sin x ) / = 2sin x cos x = sin x Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: 2x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e 2x 2x A ∫ e dx = − e + C 2x 2x B ∫ e dx = e + C 177 2x 2x C ∫ e dx = 2e + C 2x 2x D ∫ e dx = −2e + C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm ∫ e Câu 2: ax + b 1 dx = eax + b + C Suy ∫ e 2x dx = e2x + C a Tìm nguyên hàm hàm số y = 1212x 2x 12 − 4x ln12 + C A ∫ 12 dx = 12 2x 12x B ∫ 12 dx = 12 ln12 + C 12x −1 12x C 122x dx = 12 + C ∫ ln12 D 12 2x dx = 12 +C ∫ ln12 Lời giải Chọn D Ta có ∫ 1212x dx = Câu 3: 1212x 1212x −1 12x 12x 12 d 12x = + C = 12 dx = +C ( ) ∫ 12 ∫ 12.ln12 ln12 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = B I = e A I = e ln x Tính F (e) − F (1) x C I = D I = Lời giải Chọn C ln ( x ) F( x ) = ∫ dx = ∫ ln ( x ) d ln ( x ) = ln( x) x ⇒ F( e ) − F(1) = Câu 4: 2016 x Biết F làm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2016e F ( ) = 2018 Giá trị F A F ( 1) = 2016 2016 B F ( 1) = 2016e C F ( 1) = 2016e 2016 + D F ( 1) = e 2016 + 2017 Lời giải Chọn D F ( x ) = ∫ 2016e 2016x dx = e 2016x + C → F ( ) = + C = 2018 → C = 2017 → F ( x ) = e 2016x + 2017 → F ( 1) = e 2016 + 2017 Câu 5: Tìm nguyên hàm I = ∫ A I = ln ( x + 1) + C C I = ln ( x + 1) + C x ln ( x + 1) x2 + dx B I = ln ( x + 1) + C 2 D I = ln ( x + 1) + C Lời giải Chọn B 178 ( ) Áp dụng công thức nguyên hàm hợp d ln ( x + 1) = ⇒I= Câu 6: ( 2x dx x +1 ) 1 ln ( x + 1) d ln ( x + 1) = ln ( x + 1) + C ∫ Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x nghiệm S phương trình F ( x ) + ln ( e + 1) = A S = { −3;3} B S = { 3} , biết F ( ) = − ln Tìm tập e +1 x D S = { −3} C S = ∅ Lời giải Chọn B ex x dx = dx − ∫ e x + ∫ ∫ e x + dx = x − ln ( e + 1) + C x Vì F ( ) = − ln ⇔ C = ⇒ F ( x ) = x − ln ( e + 1) x Xét phương trình F ( x ) + ln ( e + 1) = ⇔ x = Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần Câu 1: x x Biết F ( x ) = ( ax + b ) e nguyên hàm hàm số y = ( x + 3) e Khi a + b A B C D Lời giải Chọn A y = ( x + 3) e x ⇒ F ( x ) = ∫ ( x + 3) e x dx u = x + du = 2dx ⇒ x x dv = e dx v = e F ( x ) = ∫ ( x + 3) e x dx = ( x + 3) e x − ∫ e x 2dx = ( x + 3) e x − 2e x = ( x + 1) e x Khi a + b = Câu 2: π Cho tích phân I = ( x − 1) sin xdx Tìm đẳng thức ∫ π π A I = − ( x − 1) cos x + cos xdx ∫ C I = − ( x − 1) cos x π π + ∫ cos xdx 20 π B I = − ( x − 1) cos x − cos xdx ∫ D I = − ( x − 1) cos x π π 14 − ∫ cos xdx 20 Lời giải Chọn C 179 π du = dx π u = x − 14 ⇒ Đặt ta có I = − ( x − 1) cos x + ∫ cos xdx 20 dv = sin xdx v = − cos x Câu 3: 2x 2x Biết ∫ e cos3xdx = e ( acos3x + bsin3x) + c , a, b, c số, tổng a + b có giá trị A − 13 B − 13 C 13 D 13 Lời giải Chọn C 2x Đặt f ( x) = e ( acos3x + bsin3x) + c Ta có f '( x) = 2ae2 x cos3x − 3ae2 x sin3x + 2be2 x sin3x + 3be2 x cos3x = ( 2a + 3b) e2 x cos3x + ( b − 3a) e2 x sin3x Để f nguyên hàm hàm số e2 x cos3x , điều kiện a = 13 a + b = f '( x) = e2 x cos3x ⇔ ⇔ ⇒ a+ b = 13 2b − 3a = b = 13 Câu 4: Tính nguyên hàm I = ∫ ( x − 2) sin 3xdx = − Chọn đáp án đúng: A B 14 ( x − 2) cos3x + bsin 3x + C Tính M a C 34 Lời giải = a + 27b D 22 Chọn A u = x − Ta Đặt dv = sin 3xdx du = dx cos3x v = − Do đó: I =− Câu 5: ( x − 2) cos3x + 3 ∫ cos3xdx = − ( x − 2) cos3x + sin3x + C ⇒ a = 3;b = ⇒ M 9 =6 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x sin x 1 1 A F ( x) = − x cos x + sin x + C B F ( x ) = x cos x − sin x + C 4 C F ( x) = − x cos x + sin x + C D F ( x ) = x cos x − sin x + C Lời giải Chọn A 180 Đặt u = x ⇒ u ′ = x cos x cos x x cos x sin x +∫ dx = − + +C cos x ⇒ I = − 2 v′ = sin x ⇒ v = − Câu 6: x Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e F ( ) = Tính F ( 1) A F ( 1) = 11e − B F ( 1) = e + C F ( 1) = e + D F ( 1) = e + Lời giải Chọn C I = ∫ (5 x + 1)e x dx u = x + ⇒ du = 5dx, dv = e x dx ⇒ v = e x ⇒ I = (5 x + 1)e x Câu 7: Tìm 1 − ∫ e x 5dx = (5 x + 1)e x − 5e x = e + = F (1) − F (0) ⇒ F (1) = e + ∫ x cos 2xdx 1 x.sin 2x − cos2x + C 1 C x.sin 2x + cos2x + C 2 B x.sin 2x + cos2x + C A D 1 x.sin 2x + cos2x + C Lời giải Chọn D du = dx u = x 1 ⇒ ⇒ ∫ x cos 2xdx = x sin x2x − ∫ sin 2xdx Đặt 2 dv = cos2xdx v = sin 2x = Câu 8: 1 x sin 2x + cos2x + C ∫ ( x − ) sin 3xdx = − ( x − m ) cos 3x + sin x + C A 14 n B −2 p Tính giá trị m + n + p C Lời giải D 10 Chọn A du = dx u = x − ⇒ Đặt cos 3x dv = sin xdx v = − Khi ∫ ( x − ) sin 3xdx = − ( x − ) cos 3x + sin x + C Suy m = 2, n = 3, p = Vậy m + n + p = 14 181 ... dx = 12 + C ∫ ln12 D 12 2x dx = 12 +C ∫ ln12 Lời giải Chọn D Ta có ∫ 12 1 2x dx = Câu 3: 12 1 2x 12 1 2x ? ?1 12x 12 x 12 d 12 x = + C = 12 dx = +C ( ) ∫ 12 ∫ 12 . ln12 ln12 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số... + b 1 dx = eax + b + C Suy ∫ e 2x dx = e2x + C a Tìm nguyên hàm hàm số y = 12 1 2x 2x 12 − 4x ln12 + C A ∫ 12 dx = 12 2x 12 x B ∫ 12 dx = 12 ln12 + C 12 x ? ?1 12x C 12 2 x dx = 12 + C ∫ ln12 D 12 2x... − cos x Câu 3: 2x 2x Biết ∫ e cos3xdx = e ( acos3x + bsin3x) + c , a, b, c số, tổng a + b có giá trị A − 13 B − 13 C 13 D 13 Lời giải Chọn C 2x Đặt f ( x) = e ( acos3x + bsin3x) + c Ta có