CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Vecto trong không gian 1 Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng[.]
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Vecto không gian: Định nghĩa Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép tốn vecto khơng gian xác định tương tự mặt phẳng Vecto đồng phẳng a , b , c a Định nghĩa: Ba vecto khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Chú ý: n vecto khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo b Điều kiện để ba vecto khác đồng phẳng: Định lý 1: a , b , c đồng phẳng m , n R : a mb nc c Phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng: e , e , e a Định lý 2: Cho ba vecto không đồng phẳng Bất kỳ vecto không gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa có ba số thực a x1 e1 x2 e x3 e a, b, c x ,x , x3 cho: Chú ý: Cho ba vecto khác : m , n, p a, b, c đồng phẳng có ba số thực không đồng thời cho: 328 ma nb pc 0 a, b, c ma nb pc 0 m n p 0 không đồng phẳng từ II Tọa độ vecto: Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vuông i 1; ; , góc với mặt phẳng Oxyz O Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy , Oz j ; ; 1 , k ; ; 1 Nếu a a1 i a2 j a3 k a a1 ; a2 ; a3 M(x M ; y M ; z M ) OM x M i y M j z M k 3.Cho A xA ; y A ; zA B xB ; y B ; z B AB (xB xA ; yB y A ; zB z A ) tacó: AB (xB x A )2 ( yB y A )2 (zB z A ) x A xB y A y B z A z B ; ; 2 M trung điểm AB M III Tọa độ véctơ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz a (a1 ; a2 ; a3 ) Cho a a1 i a2 j a3 k a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ;b2 ;b3 ) ta có a b 1 a b a2 b2 a b a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) k.a (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a.b a b cos(a;b) a1b1 a2 b2 a3b3 a a12 a22 a32 cos cos(a,b) a1 b1 a2 b2 a3 b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 329 a.b 0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 0 a b vng góc a kb1 k R : a kb a2 kb2 a kb a b cùngphương III Tích có hướng hai vectơ ứng dụng: Tích có hướng a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ;b2 ;b3 ) là: aa aa aa a,b ; ; (a b a b ; a b a b ; a b a b ) 3 1 2 bb bb bb 3 1 Tính chất: a,b a a,b b , a,b a b sin(a,b) a,b 0 a b phương a,b c 0 a , b , c đồng phẳng Các ứng dụng tích có hướng: SABC [ AB, AC] Diện tích tam giác: [ AB, AC].AD Thểtích tứ diệnVABCD= Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD].AA' IV Phương trình mặt cầu Mặt cầu (S) tâm I a;b;c bán kính R có phưong trình là: 2 x a y b z c R2 2 2 2 Phương trình: x y z 2ax 2by 2cz d 0 với a b c d phương trình mặt cầu tâm I a;b;c 2 , bán kính R A B C D 330 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Các dạng toán mở đầu hệ tọa độ oxyz Câu 1: Câu 2: a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4;0; Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba vecto Tọa độ vecto d a b 2c d 7;0; d 7; 0; d 7; 0; d 7;0; A B C D Lời giải Chọn B d a b 2c 2.4; 2.0;3 2.( 4) 7;0; Ta có: A 1;1; 1 B 2;3; Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Vectơ AB có tọa độ 1; 2; 3 A B 1; 2; 3 C Lời giải 3;5;1 D 3; 4;1 Chọn A AB xB x A ; yB y A ; z B z A 1; 2;3 Câu 3: A 3; B 5;6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A 1;5 B 4;1 C Lời giải 5;1 D 8; 2 Chọn A x A xB x 1 I 2 y y A yB 5 I 2 Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Khi ta có: I 1;5 Câu 4: Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; vectơ Trong không gian với hệ tọa độ b 1;0;2 Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b c 2;6; c 4;6; 1 A B c 4; 6; c 2; 6; 1 C D Lời giải Chọn D Áp dụng cơng thức tính tích có hướng hệ trục tọa độ Oxyz ta được: 331 c a, b 2; 6; 1 Vậy chọn đáp án D Câu 5: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a là: a 1; 2; a 2; 3; 1 a 3; 2; 1 a 2; 1; 3 A B C D Lời giải Chọn A +) Ta có Câu 6: a xi y j zk a x; y; z nên a 1; 2; 3 Do Chọn A A 2; 4;3 B 2; 2;9 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Trung điểm đoạn AB có tọa độ 3 0; ; 0;3;3 4; 2;12 2; 1;6 A B C D 2 Lời giải Chọn C Câu 7: x A xB xI 2 y A yB yI 2 z A zB z I 6 I 2; 1;6 Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có a (2;1;3), b (4; 3;5), c ( 2;4;6) Tọa độ vectơ u a 2b c Cho A (10;9;6) B (12; 9;7) C (10; 9;6) D (12; 9;6) Lời giải Chọn B u a 2b c 2;1 4;3 10 12; 9;7 Ta có: Câu 8: A 2;1; 3 B 1;0; Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Độ dài đoạn thẳng AB A 3 B 11 C 11 D 27 Lời giải Chọn C AB AB 3 2 1 12 11 332 Câu 9: a 1; 2; 3 b 2; 4;6 Oxyz Trong không gian , cho , Khẳng định sau đúng? a A 2b b a B a b C b D 2a Lời giải Chọn B 2.1; 2.2;6 3 Ta có suy b 2a A 0; 2; 1 , B 5; 4; , C 1; 0;5 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: 1;1;1 6;6; A B C Lời giải 3;3;3 D 2; 2; Chọn D 0 5 xG 240 G ( 2; 2; 2) yG 1 5 zG Ta có tọa độ trọng tâm tam giác ABC a 3; 2;1 b 2;0;1 Oxyz Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ , Độ dài vectơ a b A B C Lời giải D Chọn D a b 3 a b 1; 2; Ta có A 1;2; 1 B AB 1;3;1 Oxyz Câu 12: Trong không gian hệ tọa độ , cho hai điểm , vectơ Xác định tọa độ B A B 2;5;0 B B 0; 1; 2 C Lời giải B 0;1;2 D B 2; 5;0 Chọn A A 2;1; 3 Câu 13: Trong không gian Oxyz cho điểm Hình chiếu vng góc A lên trục Ox có tọa độ là: 0;1; 2; 0; 0;0;3 0;1;3 A B C D Lờigiải Chọn B 333 Chiếu vng góc điểm lên trục Ox giữ ngun hồnh độ cịn tung độ cao độ 2;0; Vậy hình chiếu vng góc A lên trục Ox có tọa độ là: Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tìm tọa độ a 2; 1; 3 3; 2; 1 2; 3; 1 1; 2; 3 A B C D Lời giải Chọn D r a i j 3k a 1; 2; 3 M ; ; 1 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm Hình chiếu vng góc điểm M lên trục Oz điểm: A M ; ; 0 B M ; ; 0 C Lời giải M ; ; 1 D M ; ; 0 Chọn C Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 13 B A 1; 2; 1 B 1; 4;3 Độ dài đoạn thẳng AB D C Lời giải Chọn A 2 AB 0;6; Ta có: Suy AB 2 13 A 0;1; B 2;3; Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , Vectơ AB có tọa độ 2; 2;3 3; 4;1 1; 2;3 3;5;1 A B C D Lời giải Chọn A Hai điểm A 0;1; 1 B 2;3; 2; 2;3 , Vectơ AB có tọa độ A( - 1; 2; - 3) , B ( 1; 0; 2) , C ( x; y; - 2) Câu 18: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm thẳng hàng Khi x + y A x + y = B x + y =17 C Lời giải x + y =- 11 D x+y = 11 Chọn A AB = ( 2; - 2;5) , AC = ( x +1; y - 2;1) Có 334 A, B, C thẳng hàng Û AB, AC phương ìï ïï x =x +1 y - ï Û = = Û í Þ x + y =1 - ïï ïï y = ỵï a 1; 2;1 Câu 19: Tìm tọa độ véctơ u biết u a 0 u 3; 8;2 u 1; 2;8 A B u 1;2; 1 u 6; 4; C D Lời giải Chọn C u a 0 u a 1;2; 1 Ta có Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho vectơ Tìm m để ba vectơ a , b , c đồng phẳng m B A m a m;1;0 , b 2; m 1;1 C m Lời giải , D c 1; m 1;1 m Chọn D a; b 1; m; m m a; b c 2m Ta có: m a,b, c a; b c 0 2m 0 Ba véctơ a , b , đồng phẳng a 2; m 1;3 b 1; 2; 2n Oxyz Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ , Tìm m, n để vectơ a , b hướng n A m 7 ; B m 1 ; n 0 C m 7 ; n D m 4 ; n Lời giải Chọn A 335 2 k m 3k 3 2k.n Hai vectơ a , b hướng a , b phương a kb k 2 m 7 n M 1; 2; , Oxy điểm Câu 22: Cho điểm hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng M ' 1; 2;0 M ' 1;0; 3 M ' 0; 2; 3 M ' 1; 2;3 A B C D Lời giải Chọn A M 1; 2; 3 Oxy có dạng Tọa độ hình chiếu vng góc M ' lên mặt phẳng M ' 1; 2;0 M 1; 3; Câu 23: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , hình chiếu điểm mặt Oyz có toạ độ phẳng 0; 3;5 0; 3; A B C 1; 3;0 D 0; 3; 5 Lời giải Chọn D Oyz Gọi H hình chiếu vng góc M Oyz có phương trình: x 0 M 1; 3; Oyz có phương trình: Đường thẳng d qua vng góc với Ta có Oyz d H H 0; 3; nên toạ độ H thoả mãn hệ: x 1 t y z x 1 t y y z z x 0 x 0 336 Oxyz ABC không gian cho tam giác A 2, 4, ; AB 3, 1,1 ; AC 2, 6,6 Tìm tọa độ vector trung tuyến AM Câu 24: Trong A 1,7, B 1, 7,7 1 7 , , C biết 7 , , D Lời giải Chọn D 1 7 AM AB AC AM , , 2 2 Oxyz ABC : không gian cho tam giác A 2, 4, ; AB 3, 1,1 ; AC 2, 6,6 Tìm tọa độ vector trung tuyến AM Câu 25: Trong 5 2 , , A 5 2 , , B 7 2 , , C biết 8 1, 3, D Lời giải Chọn B x x A x x A 2 AB y y A B 1; 3; ; AC y y A C 4; 2; z z 1 z z 6 A A x G y 2 3 2 z 3 Oxyz ABC không gian cho tam giác biết A 2, 4, ; AB 3, 1,1 ; AC 2, 6,6 Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Câu 26: Trong A 7,1, B 1, 3, C ,1, D 1, 3, Lời giải Chọn C AD BC AC AB ABCD hình bình hành x x A 2 y y A D 7; 1; z z 6 A 337 Câu 27: Cho ba điểm giác đều: A 3,1,0 ; B 2,1, 1 ; C x , y , 1 3, 2, 1 3, 2,1 ; 3, 0, 1 C Tìm tọa độ C để ABC tam 3,0, 1 3, 2, 1 ; 3, 0, 1 D A B Lời giải Chọn D Tam giác ABC x y x y 0 1 AC AB 2 2 BC AB x y x y 0 1 : 2x 0 x 3 y y 0 y 2 y 0 Hai điểm C 3; 2; 1 ; C ' 3; 0; 1 A 3,1,0 ; B 2,1, 1 ; C x, y , 1 Câu 28: Cho ba điểm Tìm tọa độ C để tam giác ABC tam giác vuông cân A A 4,1 ; 4,1 B 4,1 C 2,1 D 2, 1 Lời giải Chọn B AB AC AB AC 0 2 AB AC AC AB Tam giác ABC vuông cân A AB 1,0,1 1 AB2 2; AC x 3, y 1, x y 1 0 2 x y x 4 C 4;1 y 1 x 4 2 x y x y 0 A 3,1,0 ; B 2,1, 1 ; C x, y , 1 y Câu 29: Cho ba điểm Tính x để A, B, C thẳng hàng: x 2, y 1 x 2, y x 2, y x 1, y 2 A B C D Lời giải Chọn A A, B, C thẳng thàng AB phương với AC a1b2 a2 b1 0 a2 b3 a3b2 0 a b a b 0 1 y 1 x 0 0 1 1 y 1 0 x 1 1 0 x 2 y 1 338 A 3,1,0 ; B 2,1, 1 ; C x , y , 1 Câu 30: Cho ba điểm tâm tam giác ABC x 2, y 1 A B x 2, y 2 G 2, 1, x , y để trọng Tính C x 2, y D x 1, y Lời giải Chọn D x 3.2 6 1 y 3 1 0 3 3 Câu 31: Cho ba điểm B A x 1 y A 2, 1,1 ; B 3, 2, 1 ; C 1, 3, 4,0,0 B 4,0, Tìm điểm N x ' Ox cách A C 1,0,0 D 2,0,0 Lời giải Chọn A Gọi N x ,0,0 2 x ' Ox Ta có AN BN 2 2 x 1 1 x 12 x 4 N 4,0,0 A 2, 1,1 ; B 3, 2, 1 ; C 1, 3, xOy Câu 32: Cho ba điểm Tìm điểm E mặt phẳng cách A, B, C 14 26 , ,0 A 13 , ,0 B 26 14 , ,0 C 26 14 , ,0 D Lời giải Chọn D Gọi E x , y ,0 mặt phẳng xOy Ta có: EA EB EC x y 1 1 x y 12 AE2 BE2 2 2 2 x y 1 1 x 1 y AE CE 26 x x y 4 x y 10 y 14 E 26 , 14 ,0 3 Câu 33: Tính góc hai vectơ A 60 a 4, 2, ; b 2 , 2 ,0 B 135 C 30 D 120 339 Lời giải Chọn B cos a; b a; b 1350 36 16 a 2,1, 1 b 1, 2,1 V ma 2b W mb a Câu 34: Cho hai vectơ với Định m để V W vng góc A C 79 B D 79 Lời giải Chọn D W ma 2b mb a 0 V vng góc 2 2 a 6; b 6; a.b Với 1 m 1 18 m 0 m 79 Dạng 2: Các toán phương trình mặt cầu Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x y z x y 0 Tính bán kính R ( S ) A B C Lời giải D Chọn D Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 ( a b c d 0) 2 Ta có: a 2, b 1, c 0, d Bán kính R a b c d 3 Câu 2: 2 ( S ) :( x - 3) +( y +1) +( z - 1) = Tâm ( S ) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu có tọa độ ( - 3;1; - 1) ( 3; - 1;1) ( 3; - 1; - 1) ( 3;1; - 1) A B C D Lời giải Chọn B Tâm Câu 3: ( S ) có tọa độ ( 3; - 1;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình phương trình mặt cầu? 2 A x y z x z 0 2 B x z x y z 0 340 2 C x y z xy y z 0 2 D x y z x y z 0 Lời giải Chọn A Đáp án B khơng có số hạng y Đáp án C loại có số hạng 2xy Đáp án D loại a b c d 1 1 2 Đáp án A thỏa mãn a b c d 1 6 Câu 4: Oxyz , Trong khơng gian có tất giá nguyên m để x y z m x m 1 z 3m 0 phương trình mặt cầu? C D B A Lời giải Chọn D Phương trình cho phương trình mặt cầu m 2 2 m 1 3m m 2m 10 11 m 11 Theo toán Câu 5: m m 2; 1;0;1; 2;3; 4 có giá trị m nguyên thỏa mãn I 1; 2; 1 Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng P : x y z 0 x 1 x 1 C A có phương trình : 2 y z 1 3 x 1 y z 1 3 x 1 D y z 1 9 B y z 1 9 2 2 Lời giải Chọn C Khoảng cách từ tâm d (I ; P ) I 1; 2; 1 2.2 12 đến mặt phẳng P có phương trình : 3 Đây bán kính mặt cầu Vậy chọn C x 1 2 y z 1 9 341 Câu 6: A 1;2;3 , B 5;4; 1 Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm Phương trình mặt cầu đường kính AB A C x 3 x 3 2 y 3 z 1 36 B y 3 z 1 6 D Lời giải x 3 x 3 2 2 y 3 z 1 9 y 3 z 1 9 Chọn B Tọa độ tâm mặt cầu Câu 7: I 3;3;1 , bán kính R IA 3 I 1; 4;3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm qua điểm A C x 1 x 1 A 5; 3; 2 y z 3 18 B y z 16 D Lời giải x 1 x 1 2 2 y z 3 16 y z 18 Chọn D I 1; 4;3 Mặt cầu có tâm qua điểm A 5; 3; x 1 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: Câu 8: Với giá trị m mặt phẳng S : x 2 nên có bán kính R IA 3 2 y z 18 P : 2x y z 0 tiếp xúc với mặt cầu y z mx m y mz 5m 0 ? 2 A m B m 1 m C m 1 Lời giải m m 3 D Chọn A a m; b m 2; c 2 m; d 5m Tâm I m , m 2, 2m R m2 m 4m 5m m2 m m m P d I, P 3m tiếp xúc S khi: R m m3 m m 0 m m 1 (loại) m 342 Câu 9: Với giá trị m mặt phẳng Q : x y z 0 z m 1 x 2my 2mz m 0 cắt mặt cầu S : x y2 ? m m5 D B m m 5 C m Lời giải A m Chọn D a m 1; b m; c m; d 2m Tâm I m 1, m, m R m 1 m2 m2 m2 m2 2m m m P cắt S khi: d I,P R m4 m2 2m m m P : x y 4z 0 Câu 10: Mặt phẳng A Tiếp xúc mặt cầu S : x y z x y 2z 0 B Không cắt C Cắt D Lời giải P qua tâm S Chọn C a 1; b 2; c 1; d R 3 Tâm I 1, 2, d I , P 11 R 3 P cắt S Câu 11: Xét vị trí tương đối mặt cầu S : x y z x y z 13 0 mặt phẳng Q : x y z 0 A Cắt C B Tiếp xúc Q mặt phẳng đối xứng S D Không cắt Lời giải Chọn B a 3; b 2; c 4; d 13 R 4 d I, P 12 4 R P S tiếp xúc Câu 12: Với giá trị m mặt cầu tiếp xúc trục z ' Oz A -2 I 3, 2, Tâm B S : x y z x 2my 4mz m2 3m 0 C Lời giải D Chọn D 343 S có tâm I 2, m , m , bán kính R m 3m , m m Hình chiếu A I z’Oz tiếp điểm Ta có: S A 0,0, 2m z’Oz d I , z ' Oz AI m R m 3m m2 m2 3m m Câu 13: Tính bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng cầu S : x A S có tâm P : x y 2z 0 mặt y z x y z 0 B I 2,1, C Lời giải , bán kính D R 4 d I , P 3 IH , IH P r R2 IH 16 7 r Câu 14: Viết phương trình mặt cầu 2 S tâm I 2,1, 1 A 4,3, A x y z x y z 35 0 2 C x y z x y z 35 0 qua B x y z x y z 35 0 2 D x y z x y z 35 0 Lời giải Chọn B M x , y , z S IM IA2 2 2 x y 1 z 1 1 1 x y x y z 35 0 Câu 15: Viết phương trình mặt cầu S tâm E 1, 2, 2 B x y z x y z 21 0 2 A x y z x y z 42 0 2 C x y z x y z 42 0 qua gốc O 2 D x y z x y z 0 Lời giải Chọn D M x , y , z S EM OE2 2 x 1 y z 1 16 x y z x y z 0 Câu 16: Viết phương trình mặt cầu S tâm I 1, 2, tiếp xúc với mặt phẳng P : 4x y z 0 A x2 y z x y z 31 0 2 B x y z x y z 31 0 344 C x2 y z 2x y 6z 25 0 2 D x y z x y z 25 0 Lời giải Chọn A 2 25 R d I , P S : x 1 y y Bán kính 31 x y z x y z 0 345 ... ; ka3 ) a.b a b cos(a;b) a1b1 a2 b2 a3b3 a a12 a22 a32 cos cos(a,b) a1 b1 a2 b2 a3 b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 32 9 a.b 0 a1 b1 ... điểm giác đều: A 3, 1, 0 ; B 2 ,1, 1? ?? ; C x , y , 1? ?? 3, 2, 1? ?? 3, 2 ,1? ?? ; 3, 0, 1? ?? C Tìm tọa độ C để ABC tam 3, 0, 1? ?? 3, 2, 1? ?? ; 3, 0, 1? ?? D A B Lời giải Chọn... a1b2 a2 b1 0 a2 b3 a3b2 0 a b a b 0 1 y 1? ?? x 0 0 1? ?? 1? ?? y 1? ?? 0 x 1? ?? 1? ?? 0 x 2 y ? ?1 33 8 A 3, 1, 0 ; B 2 ,1,