BÀI 2 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 > 0 đuợc gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng [.]
BÀI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2 > đuợc gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = với A 2+B2+C2 > Có véctơ pháp tuyến n ( A; B;C) Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n ( A; B;C) , n 0 làm vectơ pháp tuyến có dạng (P): A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Nếu (P) có cặp vectơ a (a1 ;a2 ;a3 ) b (b1 ;b2 ;b3 ) khơng phương,có giá song song nằm n a,b (P).Thì vectơ pháp tuyến (P) xác định Các trường hợp riêng mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax + By + Cz + D = 0, với A2+B2+C2 > Khi đó: D = ( ) qua gốc tọa độ A=0, B 0 , C 0 , D 0 Khi ( ) song song với trục Ox A=0, B = 0, C 0 , D 0 Khi ( ) song song mp (Oxy ) a D D D x y z , b , c ( ): 1 A B C Khi a b c A, B, C, D 0 Đặt Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho ( ): Ax+By+Cz+D=0 ( ’):A’x+B’y+C’z+D’=0 AB' A' B BC' B'C CB' C' B ( ) cắt ( ’) ( ) // ( ’) AB' A' B BC' B'C CB' C' B AD' A' D AB' A' B BC' B'C CB' C' B AD' A' D ( ) ≡ ( ’) Đặc biệt ( ) ( ’) n1 n2 0 A.A' B.B' C.C' 0 344 Góc hai mặt phẳng: 00 900 Gọi góc hai mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 Q : A' x B' y C' z D' 0 nP nQ A.A' B.B' C.C' cos = cos(nP ,nQ ) nP nQ A B2 C A'2 B'2 C' B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Phương trình tổng quát mặt phẳng a 3,1, 1 b 1, 2,1 phương , là: A x y z 16 0 qua điểm B 3, 4, 5 có cặp vectơ B x y z 16 0 D x y z 16 0 C x y z 16 0 Lời giải Chọn C n a, b 1, 4, Vectơ pháp tuyến Phương trình có dạng thay n 1, 4, x y z D 0 B 16 35 D 0 D 16 : Câu 2: x y z 16 0 Phương trình tổng quát mặt phẳng qua A x y 0 B x y 0 A 3, 1, B 4, 2, 1 C 2, 0, , , là: C x y 0 D x y 0 Lời giải Chọn A AB 1, 1, 3 , AC 1,1, ; AB, AC 3,3, : Chọn n 1,1,0 làm vectơ pháp ABC có dạng x y D 0 tuyến:phương trình Qua A D 0 D Phương trình Câu 3: ABC : x y 0 A 2, 1,3 B 3,1, Phương trình tổng quát mặt phẳng qua , song song với a 3, 1, vectơ là: A x y z 40 0 B x y z 40 0 C x y z 40 0 D x y z 40 0 Lời giải Chọn B 345 AB 1, 2, 1 ; AB, a n 9,1, n 9, 1, Chọn làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng phải tìm có dạng: x y z D 0 Qua A nên 9.2 ( 1) 7.3 D 0 D 40 Phương trình cần tìm là: x y z 40 0 Câu 4: Phương trình tổng quát mặt phẳng qua Ox là: A y z 0 A 4, 1,1 B 3,1, 1 B y z 0 , song song với trục C y z 0 D y z 0 Lời giải Chọn C AB 1, 2, : i 1, 0,0 vectơ phương trục Ox: AB, i 0, 2, n 0,1,1 :Chọn làm vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y z D 0, qua A nên: D 0 D 0 Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng pháp tuyến P qua điểm P : x y z 6 P : y z 4 C A B H 2, 2, OH nhận làm vectơ P : x y 4 D Ba câu A, B C Lời giải Chọn A OH 2; 2; suy phương trình mặt phẳng P : x y z 0 P : x y z 6 Câu 6: A 3, 2,1 B 4, 0,3 , C 1, 4, 3 , D 2,3,5 Cho tứ diện ABCD có , Phương trình tổng quát mặt phẳng chứa AC song song với BD là: A 12 x 10 y 21z 35 0 C 12 x 10 y 21z 35 0 B 12 x 10 y 21z 35 0 D 12 x 10 y 21z 35 0 Lời giải Chọn C AC 2, 6, ; BD 6,3, ; AC , BD 24, 20, 42 n 12, 10, 21 Có thể chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng Phương trình mặt phẳng có dạng 12 x 10 y 21z D 0 Điểm A thuộc mặt phẳng nên: 12.3 10( 2) 21.1 D 0 D 35 Phương trình cần tìm: 12 x 10 y 21z 35 0 , 346 Câu 7: A 4,3, , B 1, 2,1 , C 2, 2, 1 Cho vectơ phương điểm Phương trình tổng qt mặt phẳng qua A vng góc với BC là: A x y z 0 B x y z 0 C x y z 0 D x y z 0 Lời giải Chọn C BC 1, 4, Chọn n 1, 4, làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng chứa A vng góc với BC có dạng x y z D 0 Chứa A nên 4.3 2.2 D 0 D 4 Vậy: x y z 0 Câu 8: A 1, 4, , B 3, 2, Cho hai mặt phẳng điểm trung trực đoạn AB là: A x y z 0 Phương trình tổng quát mặt phẳng B x y z 0 D x y z 0 C x y z 0 Lời giải Chọn D I 2, 1,5 Gọi I trung điểm AB: AB 2, 6, n 1,3,1 Chọn làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB có dạng x y z D 0 I thuộc mặt phẳng này: 3( 1) D 0 D 4 Phương trình cần tìm: x y z 0 Câu 9: Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm phẳng x y z 0 x y z 0 là: A x y z 0 C x y z 0 M 3, 0, 1 vng góc với hai mặt B x y z 0 D x y z 0 Lời giải Chọn A a 1, 2, 1 ; b 2, 1,1 hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng cho trước n a, b 1, 3, Chọn làm vectơ pháp tuyến,ta có mặt phẳng có dạng x y z D 0 Qua M nên: 3.0 5.( 1) D 0 D Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x y z 0 347 Câu 10: Phương trình tổng quát mặt phẳng qua hai điểm góc với mặt phẳng x y z 0 là: A x y z 0 C x y z 0 A 2, 1,1 B 2,1, 1 , vuông B x y z 0 D x y z 0 Lời giải Chọn C AB 4, 2, ; n vectơ pháp tuyến mặt phẳng 3x y z 0 : n 3, 2, 1 ; AB, n n 2, 10, 14 b 1, 5, chọn làm vectơ pháp tuyến.có mặt phẳng x y z D 0 A thuộc mặt phẳng này: 5.9 1) 7.1 D 0 D 0 Vậy x y z 0 mặt phẳng cần tìm Câu 11: Cho hai mặt phẳng : x 5y z 0, : x y z 0 giá trị cos là: Gọi góc nhọn tạo A B C D Lời giải Chọn B có vectơ pháp tuyến a 1, 5, b 2, 1,1 có vectơ pháp tuyến 1.2 1 cos 2 2 2 1 Câu 12: Ba mặt phẳng x y z 0, x y z 13 0,3 x y 3z 16 0 cắt điểm A Tọa độ A là: A A 1, 2,3 B A 1, 2,3 C A 1, 2,3 D A 1, 2, 3 Lời giải Chọn D Tọa độ giao điểm ba mặt phẳng nghiệm hệ phương trình: x y z 0 1 x y z 13 0 3 x y 3z 16 0 3 Giải (1),(2) tính x,y theo z x z 4; y z Thế vào phương trình (3) z 3, từ có x 1, y 2 Vậy A 1, 2, 3 348 a 2, 3, 1 A 1, 4,5 , B 2,3, Câu 13: Cho hai điểm vectơ Mặt phẳng điểm A, B song song với vectơ a có phương trình: A 34 x 21y z 25 0 B 34 x 21y z 25 0 C 34 x 21y z 25 0 chứa hai D 34 x 21y z 25 0 Lời giải Chọn C A 1, 4,5 ; B 2,3, AB 3, 7, ; a 2, 3, 1 AB a cặp vectơ phương AB, a 34, 21, n 34, 21,5 Chọn làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng Điểm A có dạng 34 x 21y z D 0 34 84 25 D 0 D 25 Phương trình : 34 x 21y z 25 0 C 1, 4, D 2, 5,1 Câu 14: Cho hai điểm với Oz có phương trình: A 3x y 0 , Mặt phẳng chứa đường thẳng CD song song B x y 0 C x y 0 D x y 0 Lời giải Chọn B C 1, 4, ; D 2, 5,1 CD 3, 9,3 a 1, 3,1 phương với vectơ k 0, 0,1 Trục Oz có vectơ phương a, k 3, 1, n 3,1, phương với vectơ n 3,1, Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa CD song song với trục Oz Phương trình mặt phẳng có dạng: 3x y D 0 Mặt phẳng qua C D 0 D Phương trình mặt phẳng cần tìm: x y 0 Câu 15: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng D đường thẳng qua hai điểm A x y z 11 C x y z 25 P qua M 2, 3, vng góc với A 3, 4, ; B 1, 2, B x y z 11 D x y z 25 349 Lời giải Chọn D P : AB 4,6,1 Pháp vecto P : x y z 1 0 x y z 25 0 Câu 16: Viết phương trình tổng quát P phẳng qua a 2, 3, A( 2, 3, 5); B 4, 2, có vectơ phương A x y z B x y z C 13x y z 72 mặt hai điểm D 13x y z 72 Lời giải Chọn C AB 2, 5, n a, AB 2 13, 2, Pháp vecto (P): P : x 13 y z 0 13 x y z 72 0 Câu 17: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng P qua Q : x 5y 3z phẳng A x y 3z M 2, 1, song song với mặt B x y z D x y z C x y z 18 Lời giải Chọn D P : x 5y 3z D 0 qua M 2,1, 3 D 8 P : x y 3z 0 Câu 18: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng song song với trục y ' Oy A x y z x z 0 P qua hai điểm E 3, 2, ; F 1, B x z 3, C x y z D Lời giải Chọn B e2 0,1,0 là: EF 2, 5, n e2 , EF 2 1,0,1 Vecto phương thứ hai P / / y ' Oy P ecto phương P : x y z x z 0 Câu 19: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng x ' Ox P qua M 3, 5, vng góc với 350 A x C x y B x D x y Lời giải Chọn B P x ' Ox A 3,0,0 n e 1,0,0 A 3,0,0 P P : x y.0 z.0 0 x 0 A 5,1,3 , B 1, 6, , C 5, 0, , D 4, 0,6 Câu 20: Cho tứ diện ABCD có Mặt phẳng chứa BC song song với AD có phương trình: A x y z 60 0 B x y z 60 0 C x y z 60 0 D x y z 60 0 Lời giải Chọn B A 5,1,3 , B 1,6, , C 5, 0, , D 4, 0,6 BC 4, 6, ; AD 1, 1,3 BC , AD 16, 14, 10 n 8, 7,5 phương với Chọn n làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC song song với AD Phương trình Điểm có dạng: x y z D 0 B P 42 10 D 0 D 60 Phương trình Câu 21: Viết P P : x y z 60 0 phương trình tổng quát mặt phẳng P qua hai điểm M 2, 4, ; N 3, 2, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 0 A 16 x 13 y z 82 B 16 x 13 y z 82 C 16 x 13 y z 82 D 16 x 13 y z 82 Lời giải Chọn C P : MN 1, 2, ; n Cặp vecto phương Q 3, 4, P : n MN , nQ 16, 13, Pháp vecto P : x 16 y 13 z 1 0 16 x 13 y z 82 0 P qua E 4, 1, vng góc với hai Câu 22: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng mặt phẳng (Q): x y z 0; (R): x y z A 14 x y 11z 43 B 14 x y 11z 43 351 C 14 x y 11z 43 D 14 x y 11z 43 Lời giải Chọn D P : a 2, 3, ; b 1,4,2 Cặp vecto phương P : n a, b 14,9,11 Pháp vecto P : x 14 y 1 z 11 0 14 x y 11z 43 0 A 0,1, 1 ; B 1,1, ; C 1, 1,0 ; 0,0,1 Câu 23: Cho tứ giác ABCD có Gọi H , I , K hình chiếu vng góc B, C , D ba trục Ox, Oy, Oz Viết phương trình tổng HIK quát mặt phẳng A x y z 0 B x y z 0 D x y z 0 C x y z 0 Lời giải Chọn B H 1, 0, ; I 0, 1,0 ; K 0,0,1 HIK : x y z 1 x y z 0 1 Câu 24: Cho mặt phẳng P : 3x y z 0 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng P qua trục y ' Oy : đối xứng A 3x y z 0 C 3x y z 0 B 3x y z 0 D x y z 0 Lời giải Chọn D Gọi E x, y , z điểm đối xứng M xM , yM , z M P qua trục y ' Oy : xM x; y M y; z M z x y z 0 : x y z 0 Câu 25: Cho điểm đến ( P ) A M 1, 4, mặt phẳng P : x y 5z 14 0 Tính khoảng cách từ B C M D 3 Lời giải Chọn D 352 d M, P 14 25 27 3 3 P song Câu 26: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng Q : x y 4z 0 cách điểm A 2, 3, song với mặt phẳng khoảng : A x y z 14 0 B x y z 50 0 C x y z 14 0; x y z 50 0 D x y 14 0; x y z 50 0 Lời giải Chọn C P / / Q : x y z 0 P : x y z D 0 d A , P 3 12 16 D D 32 3 D 14 D 50 16 16 P : x y z 14 0; P ' : x y z 50 0 Câu 27: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng P cách mặt phẳng Q : 3x y z 0 khoảng : A x y z 23 0; x y z 33 0 B x y z 23 0; x y z 33 0 C x y z 23 0; x y z 33 0 D x y z 23 0; x y z 33 0 Lời giải Chọn A P / / Q : 3x y z 0; M x, y , z P d M , Q 4 3x y z 3 x y z 28 36 3x y z 23 0; x y z 33 0 Câu 28: Với giá trị m hai mặt phẳng sau song song: P : ( m 2)x 3my z 0; Q : ( m 1)x y (3 m)z 0 A B C D Lời giải Chọn D 353 A1 B2 A2 B1 m m 1 3m 3m m 0 m 1, m B1C2 B2C1 3m m 2.6 3m 9m 12 0 m 1, m 4 C1 A2 C1 A1 6 m 1 m m m m 0 m 1, m 0 P / / Q Với m thoả điều Câu 29: Giá trị m thỏa mãn điều kiện để hai mặt phẳng P : mx m y m z 0 ; Q : m x y m z 0 cắt nhau? A m 1 B m 1 m C m D m 4 Lời giải Chọn B m m m 0 m m m 0 2 m m m 0 (P) cắt (Q) m2 3m 0 m m 0 m 1& m m m 0 Câu 30: Với giá trị m n hai mặt phẳng sau song song: P : x my z 0; Q : x y 4nz 0 1 m ; n 2 A 1 m ; n 4 C B m 1 ; n 2 1 m ; n 2 D Lời giải Chọn D Để hai mặt phẳng song song chắn n 0 nên: P / / Q 21 m1 41n 23 m 21 ; n 21 Câu 31: Hai mặt phẳng góc bằng: P : x y 4z 0 o A 45 o B 30 Q : x y 0 o C 60 tạo với o D 90 Lời giải Chọn A 2 cos 6 45o 354 P : mx m 1 y z 0 Q : m 1 x my z 0 Với Câu 32: Cho hai mặt phẳng giá trị m P Q vng góc? A B 1 C D Lời giải Chọn C P Q m m 1 m 1 m 0 m2 m 0 m 1 P : mx m 1 y z 0 Q : m 1 x my z 0 Với Câu 33: Cho hai mặt phẳng giá trị m A -1 P Q tạo với góc 60o ? B C D -1 Lời giải Chọn D 2m2 2m o cos 60 m2 m 1 m 1 m2 1 m2 3m 2 m2 m m2 m 0 m m 2 Câu 34: Tìm tập hợp điểm A x y z 0 M x, y, z 2 A 2, 1, B 4, 3,1 cho MA MB 4 với ; B 3x y z 0 C x y z 0 D 3x y z 0 Lời giải Chọn B 2 MA MB 4 x y 1 z 2 2 x y z 1 x y z 0 Câu 35: Tìm tập hợp điểm M cách hai mặt phẳng: P : x y z 0; Q : x y z 0 A x y z 0 C x y z 0 B x y z 0 D x y z 15 0 Lời giải Chọn D 355 d M , P d M , Q 2x y 2z x y 4z x y z 15 0 356 ... Q : 3x y z 0 khoảng : A x y z 23 0; x y z 33 0 B x y z 23 0; x y z 33 0 C x y z 23 0; x y z 33 0 D x y z 23 0; x y z 33 0 ... có dạng 12 x 10 y 21 z D 0 Điểm A thuộc mặt phẳng nên: 12. 3 10( 2) 21 .1 D 0 D 35 Phương trình cần tìm: 12 x 10 y 21 z 35 0 , 34 6 Câu 7: A 4 ,3, , B 1, 2, 1 ,... 35 0 B 12 x 10 y 21 z 35 0 D 12 x 10 y 21 z 35 0 Lời giải Chọn C AC 2, 6, ; BD 6 ,3, ; AC , BD 24 , 20 , 42 n 12, 10, 21 Có thể