BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Phương trình ttham số của đường thẳng đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương , Nếu a1, a2, a3 đều khác không Phương trình đường[.]
BÀI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa: Phương trình ttham số đường thẳng qua điểm M0 có vectơ phương a (a1 ;a2 ; a3 ) a 0 , x x0 a1t y y0 a2 t (t R) z z a t Nếu a1, a2, a3 khác khơng.Phương trình đường thẳng viết dạng tắc sau: x x0 y y z z a1 a2 a3 Vị Trí tương đối hai đường thẳng: Chương trình 1)Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng Chương trình nâng cao 1)Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng x x'o a'1t' d' : y y'o a'2 t' ' ' z zo a3t' u' qua Movà d’có vtcp qua Mo’ u , u' phương u ku' M d' d // d’ u ku' M d' d ≡ d’ u , u' Không phương x xo a1t d : y y o a2t z z a t x xo a1t d : y yo a2 t z z a t vtcp u xo a1t x'o a'1t' ' ' yo a2 t yo a2 t' z a3tza'o t' '3 x x'o a'1t' d' : y y'o a'2t' ' ' z zo a3 t' u' Movà d’có vtcp qua Mo’ [u,u']=0 M d' / / o [u,u']=0 M0 d' vtcp u qua ≡ u,u' 0 u,u' M o M'0 0 cắt u,u' M M' 0 0 chéo d chéo d’Hệ Ptrình vơ nghiệm d cắt d’ Hệ Ptrình có nghiệm Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Trong Kg Oxyz cho : Ax By Cz D 0 Phương pháp Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 356 x xo a1t d : y y o a2 t z z a t d qua M có vtcp A x0 a1t B y0 a2 t C z0 a3t D 0 P.trình vơ nghiệm d // P.trình có nghiệm d cắt P trình cóvơsốnghiệm thìd thuộc Đặc biệt : ( d ) ( ) Phương trình a,n a (a1 ; a2 ; a3 ) : Ax By Cz D 0 có vtpt n ( A; B;C) cắt a.n 0 a.n 0 M ( ) // a.n 0 M ( ) nằm mp phưong Khoảng cách : Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0 cho côngthức d( M , ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 1: Lập ptmp( ) qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp( ) d d =MH Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 2: Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 1: Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 2: d qua M; cóvtcp d qua M; cóvtcp a (a1 ; a2 ; a3 ) a' (a'1 ; a'2 ; a'3 ) d’qua M’; vtcp Lập ptmp( ) chứa d song song với d’ d= d) [M0 M ,u] d( M , ) u a (a1 ;a2 ; a3 ) a' (a'1 ; a'2 ; a'3 ) d’qua M’; vtcp [a,a'].MM' Vhop d( , ') Sday [a,a'] Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng qua M có VTCP qua M’ có VTCP a (a1 ; a2 ; a3 ) a' (a'1 ; a'2 ; a'3 ) a.a' a1 a'1 a2 a'2 a3 a'3 cos cos(a,a') a a' a12 a22 a32 a'12 a'22 a'32 357 Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng mặt phẳng n a qua M0 có VTCP , mp có VTPT ( A; B;C) Gọi j góc hợp mp sin cos(a,n) Aa1 +Ba2 +Ca3 A B2 C a12 a22 a32 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho E (- 1;0;2) F (2;1;- 5) Phương trình đường thẳng EF x y z 2 x 1 y z 7 7 A B x y z 2 3 C x 1 y z D Lời giải Chọn B Ta có: EF (3;1; 7) Đường thẳng EF qua điểm E ( 1;0; 2) có VTCP x 1 y z u EF (3;1; 7) có phương trình: 7 Câu 2: M 2;0; 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng qua điểm có vectơ a 4; 6; phương Phương trình tham số A x 4t y 6t z 1 2t B Chọn B a 4; 6; 2 2; 3;1 x 2 2t y 3t z t C Lời giải \ Do đường thẳng có vectơ phương số qua Câu 3: M 2;0; 1 x 4 2t y z 2 t u 2; 3;1 có vectơ phương Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm trình đường thẳng qua hai điểm M , N D x 2t y 3t z 1 t Vậy phương trình tham u 2; 3;1 M 1; 2; 1 , là: x 2 2t y 3t z t N 0; 1; 3 Phương 358 x 1 y z 1 A x y z C x 1 y z 2 B x y z 2 D Lời giải Chọn C MN 1; 3; Đường thẳng MN qua N nhận MN 1; 3; làm vectơ phương có phương trình x y z 1 Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz x 0 x t x 0 y t y 0 y 0 z 0 z 0 z t A z 0 B C D Lời giải Chọn D Trục Oz qua gốc tọa độ O 0;0;0 phương nên có phương trình tham số Câu 5: nhận vectơ đơn vị x 0 y 0 z t r k 0;0;1 làm vectơ M 2;0; 1 Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm a 2; 3;1 có véctơ phương x 4 2t x 2t x 4t x 2 2t y y 3t y 6t y 3t z 2 t z 1 t z 1 2t z t A B C D Lời giải Chọn D Theo lý thuyết dường thẳng khơng gian Oxyz, ta có phương trình tham số M x0 ; y0 ; z0 a a1; a2 ; a3 đường thẳng qua điểm có véctơ phương x x0 a1t y y0 a t , z z a t t 359 Do đó, đáp án D Câu 6: A 1; 2;3 , B 3; 4;1 , C 5; 2; Trong không gian Oxyz , cho ba điểm Đường thẳng di qua A song song với đường thẳng BC có phương trình x y z 2 5 A x y z 2 5 C x y z 2 5 B x y z 2 5 D Lời giải Chọn A BC 8; 2; vectơ phương đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC Câu 7: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số Khi đó, phương trình tắc d x y z 3 x y z 3 3 A B C x y z x 2 2t y 3t ; t z 5t D x y z Lời giải Chọn A Ta có phương trình đường thẳng d: x 2 2t y 3t z 5t qua điểm A(2; 0; 3) có vectơ x y z 3 3 phương u (2; 3;5) nên có phương trình tắc Câu 8: I 1; 2;3 Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm nhận u 4; 5;6 vectơ phương có phương trình tham số x 4t y 2 5t z 6t A B x 4 t y 5 2t z 6 3t C Lời giải x 4 t y 2t z 6 3t D x 1 4t y 5t z 3 6t Chọn D 360 Đường thẳng d qua điểm phương trình tham số Câu 9: I 1; 2;3 x 1 4t y 5t z 3 6t nhận u 4; 5;6 vectơ phương có d: Trong hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng x y z 2 2 Phương trình sau phương phương trình tham số d ? x 1 x 1 t y 2 t y 2 2t z 3t z 1 3t A B C Lời giải x 1 t y 2 2t z 3t x 1 y 2 t z 1 t D Chọn C Đường thẳng d có VTCP r u 1; 2;3 qua Vậy đường thẳng d có phương trình tham số Câu 10: M 1; 2; x 1 t y 2 2t z 3t Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm x y z 2 A A 1; 2;5 B 3;1;1 x y 2 z 4 C ? x y 2 z 2 B x 1 y z 4 D Lời giải Chọn C AB 2;3; + Ta có vectơ phương đường thẳng AB , từ đáp án ta loại đáp án A đáp án B + Đáp án C thỏa mãn qua điểm + Thay tọa độ điểm A 1; 2;5 A 1; 2;5 nên đáp án C đáp án 1 nên loại đáp án vào đáp án D: Câu 11: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm đường thẳng MN với E 2, 4, D song song với M 3, 2, ; N 1, 1, 361 A x 3 m y 2 3m ; m z 5 3m C x 2 2n y 3n ; n z 3 3n B x 1 2t y 3t ; z 2 3t D Hai câu A B Lời giải Chọn C d : MN 2, 3, 2, 3, Một vectơ phương x 2 2n d y 3n ; n z 3 3n Câu 12: Phương trình tham số đường thẳng qua A x t ;t y 5 z 2 B I 1, 5, x m y 5m ; m z 2 m C Lời giải Chọn A D / / x ' Ox song song với trục x ' Ox x 2t y 10t ; z 4t D Cả A C D : e 1,0,0 Vectơ phương x t D y 5 ; t z 2 qua E 2, 1, D : x 3 y z 2 ; D : 2x y3 2 z Câu 13: Viết phương trình tham số đường thẳng đường thẳng D A x 2 t y t ; z 3 10t C x 2 8t y 7t ; z 3 10t B D Lời giải Chọn D D Hai vectơ phương vng góc với hai x 2 7t y t ; z 3 10t x 2 m y 7 m ; m z 10m D : a 3,1, ; b 2, 4, 1 362 D : c a , b 9,7,10 Một vectơ phương D : x 2 9t ; y 7 tz 1; t 10 1; Câu 14: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM: A x 1 3t y 2 t ; z 15t A 1, 2, ; B 2, 1, ; C 3, 2, B x 1 cos t y 2 cos t ; z 15cos t C Viết phương trình tham số x 1 3m y 2 m ; m z 15m D Hai câu A Lời giải B Chọn A 9 M , , 2 2 Trung điểm M BC: 15 AM , , 3, 7,15 2 2 Một vecto phương AM: AM : x 1 3t ; y 2 tz; t 15 3; A 1, 2, ; B 2, 1, ; C 3, 2, Câu 15: Cho tam giác ABC có Viết phương trình tắc cạnh AB y z3 y 1 z x 1 x 3 3 A B 2 y z3 x 1 C D Ba câu A, B C Lời giải Chọn D Một vecto phương AB: AB 1, 3,7 y z3 y 1 z hay x 3 3 2 y z3 hay x AB : x Câu 16: Hai đường thẳng A Song Song y z4 B Trùng C Chéo D Cắt Lời giải D : x 2 y z 3 ; d : x 3 Chọn C A 1, 3, D D có vecto phương a 2,1, 363 B 2,1, d b 3, 2, d có vecto phương AB 3, 4, a , b AB 2,1,1 3, 4, 4 0 D d chéo Câu 17: Hai dường thẳng D : x 2t 3; y tz 1; t 3 A Song song 2; d x B Chéo : t 4 y 1; tz2 t 5; 6 1; C Cắt Lời giải D Trùng Chọn A a 2,1, qua có vecto phương b d M 1, 5,1 qua có vecto phương 4, 2,6 2 2,1, a b phương D d phương MN 4, 6, a D / / d không phương với D M 3,1, D : x 2 1 y z 3 Câu 18: Đường thẳng A Song song Chọn C D P : x y 4z 23 0 : mặt phẳng B Vng góc C Cắt D chứa Lời giải a 2, 1, có vecto phương n P có pháp vecto: 1, 2, a.n 2.1 1.2 12 0 D P cắt Chú ý: địi hỏi hính tọa độ giao điểm viết phương trình tham số d : x 2t 1; y 1 tzt; 3 Tọa độ giao điểm 2 M 1, 2, P ta có t Thay x , y , z vào phương trình Câu 19: Với giá trị m hai đường thẳng sau song song? y y 1 D : x 2 m mz 12 ; d : x z 2 A B C m 0, m 2 D Lời giải Chọn D a 2, m, m ; m 0 có vecto phương m 2 d qua B 3, 1, có vecto phương b 1,3, D / / d m3 m 2 A d m 6 D 1, 3,1 qua 364 x 3 4t D : y 1 4t z t t Câu 20: Với giá trị m n đường thẳng P : m 1 x y z n 0 ? phẳng m 4; n 14 m 4; n 10 m 3; n 11 A B C m 4; n 14 song song với mặt D Lời giải Chọn D D qua A 3,1, có vecto phương P : m 1, 2, Vecto pháp tuyến a.n 0 m 4 D P 3m n A P m 4 n 14 D : x 2 Câu 21: Với giá trị m đường thẳng phẳng A a 4, 4,1 y z m m vng góc với mặt P : x 3y 2z 2 B Chọn C C Lời giải D D : a 2, m, m Vecto phương P : n 1,3, Vecto pháp tuyến D P a m m 2 m 6 n phương: Câu 22: Tính góc hai đường thẳng D : x 2 d : x 3 2t; y 2tz 4; t 2 A 75 Chọn D D d y3 z2 4 C 30 Lời giải B 60 D 45 a 2, 4, ; b 2, 2,0 có vec-tơ phương 2.2 4.2 4.0 cos 450 6.2 Câu 23: Hai đương thẳng (d1 ) : x 2t y 3t z 4t x 5 t ' y 4t ' z 20 t ' (d ) : cắt C 365 Tọa độ điểm C là: A C (3, 7,18) B C (3,7,18) C C (3, 7, 18) Lời giải D C ( 3,7,18) Chọn B 2t 5 t ' 3t 4t ' 4t 20 t ' Hệ phương trình Từ có C (3, 7,18) d1 : có nghiệm t 3, t ' x y z x y z d2 : 1 Câu 24: Cho hai đường thẳng: Chọn câu trả lời đúng: d d A cắt d d C trùng B D Lời giải d1 d2 vuông góc d1 d2 chéo Chọn D Phương trình a 1, 2, 1 d1 d1 cho A 7,3, vectơ phương d1 : d B 3,1,1 d d Phương trình cho vectơ phương : b 7, 2,3 a, b 8, 4,16 AB 4, 2, ; a, b AB 32 128 0 d d chéo Câu 25: Cho điểm A 3, 2,1 đương thẳng d : x y z Mặt phẳng chứa điểm A d có phương trình tổng qt là: A 14 x 15 y z 24 0 C 14 x y z 24 0 B 14 x y z 24 0 D 14 x y z 24 0 Lời giải Chọn D d B 0, 0, 3 d d Phương trình cho vectơ phương : a 2, 4,1 AB 3, 2, AB, a 14, 5, ; M x, y, z BM x, y, z 3 Gọi , AB, a BM 0 14 x y 8z 24 0 phương trình 366 Câu 26: Cho đường thẳng x 1 2t d : y 2 t z 3t điểm I 2, 1,3 Điểm K đối xứng với điểm I qua d đường thẳng có tọa độ: K 4, 3, 3 K 4,3, K 4, 3,3 K 4,3,3 A B C D Lời giải Chọn D d có vectơ phương a 2, 1,3 Xét mặt phẳng : x y 3z D 0 I nên D 14 : x y 3z 14 0 Thế x, y, z theo t vào phương trình t 1 d cắt M 3,1,3 K 4,3,3 M trung điểm IK nên A 1, 2,3 , B 2,1,1 , C 5, 0, Câu 27: Cho ba điểm Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tọa độ điểm H là: 7 4 5 7 H , , H , , A 3 B 3 4 5 7 H , , C 3 4 7 H , , D 3 Lời giải Chọn D Đương thẳng AB có phương trình tham số x t y 2 t z 2t Gọi mặt phẳng chứa C vng góc với AB Phương trình có dạng: x y z D 0 C D Phương trình : x y z 0 Thế x, y , z theo t từ phương trình tham số AB t H có tọa độ: 4 7 H , , 3 3 367 Câu 28: Cho điểm A qua A 2, 3,5 mặt phẳng P : x y z 17 0 Gọi A’ điểm đối xứng P Tọa độ điểm A’ là: 12 18 34 A ' , , A 7 12 18 34 A' , , 7 C 12 18 34 A' , , 7 B 12 18 34 A ' , , 7 D Lời giải Chọn A x 2 2t y 3 3t d P z 5 t Phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với : Thế t x, y , z theo t vào phương trình P 14 14 vào phương trình d guao điểm I d P : Thế 26 39 69 I , , 14 14 14 t I trung điểm AA’ nên: 12 18 34 A ' , , 7 Câu 29: Cho ba điểm A 13 A 4, 4, , B 2, 0, , C 1, 2, 1 B 17 Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB C 26 D 19 Lời giải Chọn A CA 5, 2,1 CB 1, 2,5 AB 6, 4, ; ; CA, CB 36 169 16 13 AB Khoảng cách cần tìm bằng: (d1 ) : x y z x y z , (d ) : 7 1 Câu 30: Cho hai đường thẳng: mặt phẳng ( ) : x y z 0 Hình chiếu (d ) theo phương ( d1 ) lên mặt phẳng ( ) có phương trình tổng qt: 2 x y z 53 0 x y z A 2 x y z 53 0 x y z C 2 x y z 53 0 x y z B 2 x y z 53 0 x y z D Lời giải 368 Chọn C Vectơ phương (d1 ) : a ( 7, 2,3) (d ) : b (1, 2, 1) Vectơ phương Phương trình mặt phẳng chứa (d ) có phương (d1 ) có dạng: x y z D 0 Điểm A(7,3, 9) thuộc mặt phẳng D 53 Giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng ( ) hình chiếu (d ) theo phương 2 x y z 53 0 ( ) : x y z 0 ( d1 ) lên Câu 31: Hai đường thẳng Tọa độ A là: A 3, 2,1 A d1 : x y z x y 2 z d2 : 14 5 cắt tạiA B A 3, 2,1 C Lời giải A 3, 2, 1 D A 3, 2,1 Chọn B d1 x 5 2t y 1 3t z 7 6t x 3 14t ' y 5t ' z 1 2t ' d có dạng tham số: ; có dạng tham số: 5 2t 3 14t ' 1 3t 5t ' 7 6t 1 2t ' Hệ phương trình: có nghiệm t , t ' 0 d1 d A 3, 2,1 cắt x y z x y z (d ) : d2 14 cắt tạiA Câu 32: Cho hai đường thẳng Tọa độ A là: A A(3, 2,1) B A(3, 2,1) C A(3, 2, 1) D A( 3, 2,1) Lời giải Chọn C d // d Dễ thấy A 1, 2, d1 B 2, 2, d ; a 1, 2, d1 AB 1, 0, vectơ phương ; AB, a (0, 2, 2) n 0,1,1 Phương trình mặt phẳng chứa D Vậy y z 0 d1 d2 có dạng y z D 0 ,cho qua A 369 ... song với M 3, 2, ; N 1, 1, 36 1 A x ? ?3 m y 2 3m ; m z 5 3m C x 2 2n y 3n ; n z ? ?3 3n B x 1 2t y 3t ; z 2 3t D Hai... M’ có VTCP a (a1 ; a2 ; a3 ) a'' (a''1 ; a''2 ; a ''3 ) a.a'' a1 a''1 a2 a''2 a3 a ''3 cos cos(a,a'') a a'' a12 a22 a32 a ''12 a''22 a ''32 35 7 Góc đường thẳng mặt phẳng:... cạnh AB y z? ?3 y 1 z x 1 x ? ?3 ? ?3 A B 2 y z? ?3 x 1 C D Ba câu A, B C Lời giải Chọn D Một vecto phương AB: AB 1, 3, 7 y z? ?3 y 1 z hay x ? ?3 ? ?3 2 y z? ?3 hay x