BÀI 2 TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa Cho hàm số liên tục trên Giả sử là một nguyên hàm của hàm trên Quy ước + Nếu thì + Nếu thì 2 Tính chất Một số tính chất mở[.]
BÀI 2.TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục a ; b Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x) a; b b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a) Quy ước: a + Nếu a = b ∫ f ( x ) dx = a b a + Nếu a > b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx a b b b b a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = Tính chất: b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ∈¡ ) b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b ∫ a c b a c f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ( a < c < b) Một số tính chất mở rộng: Nếu f ( x ) ≥ 0∀x ∈ a; b thì: b ∫ f ( x ) dx ≥ 0∀x ∈ a; b a b b a a Nếu: ∀x ∈ a; b : f ( x ) ≥ g ( x ) ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx b Nếu: ∀x ∈ a ; b với hai số M, N ta ln có: M ≤ f ( x ) ≤ N thì: M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ N ( b − a ) a II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số 1.1 Phương pháp đổi biến số dạng Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] α ≤ u( x) ≤ β Giả sử viết f ( x) = g(u(x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục đoạn [α ; β ] b u( b ) a u( a ) Khi đó, ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ g(u)du b Bài toán: Tính tích phân I = ∫ g u(x) u′( x)dx a 183 Cách giải: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u′( x)dx Đổi cận: x = a ⇒ t = u( a) x = b ⇒ t = u(b) Khi I= u( b ) ∫ g(t )dt u( a ) Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cận Dấu hiệu chung: Nếu hàm số chứa ⇒ đặt t = Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức chứa lũy thừa bậc cao Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ f ( x) t= I=∫ f ( x) x dx Có Có (ax + b)n t = ax + b I = ∫ x( x + 1)2018 dx Có a f ( x ) t = f ( x) I = ∫4 Có π thức chứa ln x t = e x Đặt t = x + Đặt t = x + −1 t = ln x biểu dx ln x x x+1 e I=∫ Đặt t = tan x + + ln x ln x dx x I=∫ biểu thức chứa e tan x + dx cos x ln e x e x − 3.dx Có e x dx Có sin xdx t = cos x I = ∫3 Có cos xdx t = sin xdx I = ∫ sin x cos xdx ex π sin x dx cos x + π Đặt t = + ln x Đặt t = e x − Đặt t = cos x + Đặt t = sin x π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x Đặt t = tan x π Có dx cos x t = tan x Có dx sin x t = cot x I = ∫4 π I = ∫π4 π e cot x e cot x dx = ∫π4 dx − cos x sin x Đặt t = cot x 1.2 Phương pháp đổi biến số dạng Đặt x = u ( t ) b Bài tốn 1: Tính I = ∫ f(x)dx a Phương pháp: Đặt x = u ( t ) ⇒ dx = u ' ( t ) dt Đổi cận: x = a ⇒ u = α x=b⇒u=β b Suy I = ∫ f u(t ) u '(t )dt a Dấu hiệu Nếu hàm f ( x ) có chứa a − x Đặt dx = d ( a sin t ) = a cos t dt đặt x = a sin t → 2 2 a − x = a − a sin t = a cos t 184 Nếu hàm f ( x ) có chứa a + x đặt adt dx = d ( a tan t ) = cos t x = a tan t → a a + x = a + a tan t = cos t đặt − a cos tdt dx = sin t → x= sin t x − a = a cos t sin t đặt dx = d ( a cos 2t ) = −2a sin 2tdt x = a cos 2t → a + x + cos t cos t = = − cos t sin t a−x Nếu hàm f ( x ) có chứa x − a a+x a−x Nếu hàm f ( x ) có chứa a Bài tốn Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn a ; b Khi ta có b ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx a Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒ dx = −dt Khi b a b b a b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − t ) ( −dt ) = ∫ f ( a + b − t ) dt = ∫ f ( a + b − x ) dx a Bài toán 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục hàm số lẻ −a ; a Chứng minh rằng: ∫ f ( x ) dx = −a Chứng minh: a a −a Ta có: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −a Xét tích phân: J = ∫ f ( x ) dx , Đặt x = −t ⇒ dx = −dt −a Đổi cận: x = −a ⇒ t = a ; x = ⇒ t = Mặt khác f ( x ) hàm số lẻ nên f ( −t ) = − f ( t ) a a Khi đó: J = − ∫ f ( −t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx a a a 0 Thay vào ta được: I = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = Phương pháp tích phân phần b b b Công thức: ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a 185 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ Câu 1: Tích phân ị x +1 dx A 2ln B ln C ln D 4ln Lời giải Chọn C 2 2 ò x +1dx = ò x +1d ( x +1) = ln x +1 |0 = ln 0 Câu 2: Nguyên hàm ò A òx B òx C òx D òx 2 x +3 dx ? x + 3x + 2 x +3 dx = ln x +1 - ln x + + C + 3x + x +3 dx =- ln x +1 + ln x + + C + 3x + x +3 dx = ln x +1 + ln x + + C + 3x + x +3 dx = ln x +1 + ln x + + C + 3x + Lời giải Chọn A I =ị ỉ2 ( x + 2) - ( x +1) x +3 ÷ dx dx = ũ dx = ũỗ dx = 2ũ ữ ç ÷ ç èx +1 x + ø x + 3x + x +1 ( x +1) ( x + 2) dx ò x +2 = ln x +1 - ln x + + C Câu 3: Cho hàm f ( x ) = ( x + 2) có nguyên hàm hàm F ( x) Biết F ( 1) = Khi F ( x) có x dạng: A ln x - - 22 + x x ln x - B ln x + - 22 + C ln x + - 22 + D x x x x +12 x x2 Lời giải Chọn D ( x + 2) x2 + 4x + 4 = + + ( x ¹ 0) 3 x x x x x dx dx dx Þ F ( x ) = ị f ( x ) dx = ò + 4ò + 4ò = ln x - - + C x x x x x Ta có: f ( x ) = = 186 Mà F ( 1) = Þ C =12 Þ F ( x ) = ln x - - 22 +12 x x Câu 4: Tìm hàm số f ( x ) biết f '( x) = x2 + x +3 f ( 0) = Biết f ( x ) có dạng: x +1 f ( x ) = ax + bx + ln x +1 + c Tìm tỉ lệ a : b : c 1 : 2 :1 A a : b : c= a : b : c= 1 : 2 : 2 1 :1 :1 B a : b : c= 2 : 2 :1 C a : b : c= D Lời giải Chọn B Ta có f (x) = ∫ 4x + 4x + dx = x + x + ln x + + c dx= ∫ x + + x + 2x + Mà f ( 0) = ⇒ c = ⇒ f ( x) = x + x + ln x + + Câu 5: x3dx = ln b Chọn phát biểu x4 + a A a : b = :1 B a + b = C a – b = Lời giải Chọn A Cho I = ∫ I =∫ x3dx Đặt: u = x + ⇒ du = x 3dx x4 + Đổi cận: x = ⇒ u = 1; x = ⇒ u = ⇒ I = ∫ 1 Câu 6: D Tất Một học sinh làm tích phân I = ị du 1 = ln u = ln 4u 1 dx theo bước 1+ x2 Bước 1: Đặt x = tan t , suy p Bước 2: Đổi x = Þ t = , x = Þ t = p p p Bước 3: I = + tan t dt = dt = t = - p =- p ò1 + tan t ò 4 0 Các bước làm trên, bước bị sai A Bước B Bước sai C Bước D Khơng bước Lời giải Chọn A p I =ị p p + tan t p p = dt = dt = t - 0= ò + tan t 4 187 Câu 7: Tích phân dx ị x + dx A log B ln C ln D - 35 Lời giải Chọn B Câu 8: Tính tích phân I = ò1 A x ( x +1) B - dt = ln a + b Khi S = a + 2b bằng: D - C Lời giải Chọn C I =ò x ( x +1) dx = ò x +1- x x ( x +1) 2ỉ 1 ÷ ữ Suy I = ũ ỗ ỗ ữdx ç èx x +1ø dx = ò 2 ò ( x +1) - 2 dx x ( x +1) dx ( x +1) = ln ò ( x +1) dx x - +( x +1) = ln x +1 Þ a = , b =- Þ S = Câu 9: x + x +1 b dx = a + ln , với a, b số nguyên Tính S = a - 2b Biết ò x +1 A S =- B S = C S = D S = 10 Lời giải Chọn C 5 æ x + x +1 ö dx = x 53 + ln ( x +1) ÷ ũ x +1 dx = ũỗỗỗốx + x +1ứữ ữ 3 Câu 10: Giá trị tích phân I = ò A = + ln dx x +1 B D ln C ln Lời giải Chọn C Câu 11: Biết x- ò x + dx = a + ln b với a, b A a + b = 30 số thực Mệnh đề đúng? B ab = C ab = 81 D a + b = 24 Lời giải Chọn C Phương pháp: Chia tử cho mẫu 188 1 3 æ æ ö x- x +1- ö ữ dx = ũ dx = ũỗ dx = ỗ x - 3ln x +1 ữ ữ ữ ỗ ỗ Cỏch gii: ũ ữ ữ ỗ ỗ ố2 x +1ứ è2 ø1 2x +2 2x + 1 ìï ïï a = 1 8 = - 3ln - + 3ln = + 3ln = + ln Þ ïí Þ ab = 3 3 27 ïï 81 ïï b = 27 ỵï Câu 12: Cho òx dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Mệnh đề + 5x + đúng? A a + b + c = B a + b + c =- C a + b + c = Lời giải D a + b + c = Chọn C 2 ỉ1 1 x +2 ữ dx = ũỗ d x = ln Ta cú ũ ữ ỗ ữ ỗ ốx + x + ø x + 5x + x +3 1 = ln - ln = ln - ln - ln Þ a + b + c = 1 Câu 13: Cho ∫ ÷dx = a ln + b ln với a, b số nguyên Mệnh đề đúng? x + 3x + 0 A a + 2b = B a − 2b = C a + b = −2 D a + b = Lời giải Chọn A Ta có: A ( x + ) + B ( x + 1) ( A + B ) x + ( A + B ) 1 A B = = + = = x + 3x + ( x + 1) ( x + ) x + x + ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) Đồng thức ta có hệ phương trình: { { A+ B = A =1 ⇔ 2A + B = B = −1 1 ⇒ = − x + 3x + x + x + 1 1 ⇒ ∫ − ÷dx = ∫ ÷dx = ( ln x + − ln x + ) = ( ln − ln ) − ( ln1 − ln ) x + x + x + x + 0 = ln − ln ⇒ a = 2, b = −1 Vậy a + 2b = 189 Câu 14: Tích phân I = ∫ ( x − 1) x2 + dx = a ln b + c , a ; b ; c số nguyên Tính giá trị biểu thức a + b + c A B C Lời giải D Chọn A ( x − 1) I =∫ x2 + 1 dx = ∫ 1 x2 + − 2x 2x dx = ∫ 1 − d ( x + 1) ÷dx = ∫ dx − ∫ 2 x +1 x +1 x +1 0 0 = − ln x + =1 − ln a = −1 , b = , c = nên a + b + c = Câu 15: Giả sử tích phân x ∫ ( x + 1) dx = a + b ln + c ln a , b , c số hữu tỉ Tính tổng S = a + b + c 77 A 36 B 73 36 C 67 36 D 64 Lời giải Chọn B 2 2 x x +1 1 dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx Ta có ∫ 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 1 1 = ln x + 2 + = − + ln − ln x +1 Suy a = − ; b = ; c = −1 73 1 Vậy S = a + b + c = − ÷ + 12 + ( −1) = 36 6 Dạng Tích phân vơ tỉ Câu 1: Mệnh đề sau đúng? dx dx = x + C B ò = + C A ò x x x ò2 x C dx ò x +1 = ln x + C D dx = x + C Lời giải Chọn A Ta có ∫ dx dx = 2∫ = x + C nên A x x 190 Câu 2: 3x3 ò 1- x2 dx bằng: A - ( x + 2) - x + C B ( x +1) - x + C C - ( x - 1) - x + C D ( x + 2) - x + C Lời giải Chọn A t = - x Þ dt = - 3x3 ò ( Câu 3: 1- x ) 1- x2 1- x dx; x = - t dx = ò- 3( - t ) dt = ò( 3t - 3) dt = t - 3t + C - - x = - x ( - x - 3) = - ( x + 2) - x Cho hàm số F ( x ) = ò x x +1dx Biết F ( 0) = , F 2 85 A B C 19 D 10 Lời giải Chọn D ( 2 2 ò x +1d ( x +1) = Û F 2 - F ( 0) = 26 Û F 2 = 10 ò x x +1dx = ( Câu 4: x ) ( ( x +1) 2 = ) 26 ) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + + C ( + x3 ) B ( + x3 ) ( + x3 ) + C C +C D +C Lời giải Chọn B òx + x dx = 1(4+x + x d ( x + 4) = ò 3 Câu 5: Tính tích phân I =ò S = a + ab + 3b A dx x x +1 B 3 ) +C = ta kết C Lời giải ( + x3 ) +C I = a ln + b ln Giá trị D Chọn D 191 ïì x = ® t = 2 Đặt t = 3x +1 Þ t = x +1 ị 2tdt = 3dx, ùớ ùùợ x = ® t = Suy 4 ỉ1 dt t- ÷ I = 2ị = ũỗ dt = ln ữ ỗ ữ ỗ ốt - t +1ø t +1 t - 2 = ln - ln = ln - ln Þ Câu 6: Cho ò 3x + A - 26 27 x 9x2 - ïìï a = Þ S =5 í ïïỵ b = - dx = a + b 2, B với a, b số hữu tỉ Khi giá trị a 26 27 C - 27 26 D - 25 27 Lời giải Chọn B Ta có: ò 3x + x 9x - dx = ò ( x 3x ) dx = x2 - x - x +1 æ3 = ò 3x dx x - 1d ( x - 1) =ỗ x ỗ ũ ỗ è 18 18 1 ) - x x - dx 3 Suy a = 26 - 16 ;b = 27 27 Tích phân ị A 26 16 = ( x - 1) ø÷ ÷ ÷1 27 - 27 2 Câu 7: ò( 3x 3 dx x +1 dx B C D Lời giải Chọn B Đặt 3x +1 = t Þ t = x +1 Þ 2tdt = 3dx ìï x = Þ t = ị i cn: ùớ ùùợ x = Þ t = ị dx 2 2t 2 = ò dt ò dt = t = t 3 3 x +1 1 Câu 8: Cho I = x + xdx u = x +1 Mệnh đề sai? 2ò A I = x ( x - 1) dx ò 1ỉ u5 u3 ÷ ÷ C I = ỗ ỗ ữ ữ 2ỗ ố ø 2 B I = ò u ( u - 1) du 2 D I = ò u ( u - 1) du Lời giải Chọn B 192 u= 2x+1 Þ u du=x dx Đổi cận ta có: ( u - 1) I = òu 2 1 ỉu u ÷ ÷ du= ç ç ÷ ÷1 2ç 3ø è5 Câu 9: Cho tích phân ị u=1 x=0 u=3 x=4 x3 dx 1+ x A = m m , với phân số tối giản Tính m - 7n n n C Lời giải B D 91 Chọn B Đặt t = + x Û t = + x Û xdx = 3t dt Û xdx = 7 ò Vậy x dx + x2 Câu 10: Tích phân ị A = x2 t - 3t 141 =ò xdx = ò dt = ò( t - t ) dt = Khi ị 3 t 2 20 + x2 + x2 0 x dx ìï x = Þ t = 3t dt ïí ïï x = ị t = 2 ợ ỡùù m = 141 ® m = n = 141 - 7.20 = í ïïỵ n = 20 m Þ n 2x +1 dx B C D Lời giải Chọn C Ta có ị 2x +1 dx = 2x +1 = Câu 11: Biết I = ò x x +1 + x + T = a + b A T = - 10 dx = a +b , với a, b số thực Tính tổng B T = - C T = 15 Lời giải D T = Chọn D Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa tính tích phân Lời giải: Ta có I = ị ị x ( x +1 - x x + + x +1 )= x +1 x +1 - x - dx = ò ò( x +1 - ) ( 3x +1) - ( x +1) x ( x +1 + x + 2 dx ) x +1 dx 193 ỉ ư1 3 ÷ ç ÷ ç x + x + ( ) ( ) ỉ2 ÷ 1 3ử ỗ ữ ữ ỗ ỗ =ỗ - = ỗ ( x +1) - ( x +1) ữ ữ ữ ữ ỗ 3 ỗ ố9 ứ0 ữ 3 ỗ ữ ữ ỗ ữ ố ứ 2 ìï a = 17 1é 17 - 3 3ù = ê2 ( x +1) - ( x +1) ú = 16 - +1 = ị ùớ ỳ0 ùùợ b = - 9ë û Vậy T = a + b = 17 - = ( Câu 12: Biết dx ò x +1 + x = A T = ( ) ) a - b với a, b số nguyên dương Tính T = a + b B T = 10 C T = Lời giải D T = Chọn B Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa tìm nguyên hàm hàm chứa thức Ta có ị dx x +1 + x mặt khác ( =ò x +1 - ( ) x ) ( x) 2 ( x +1 - a- b = ( ) 2- = dx = ò ( x +1 - 2é x dx = ê ( x +1) ê 3ë ) ù x3 ú = ú û0 ìï a = 8 - ị ùớ ùùợ b = ) Vậy T = a + b = + = 10 Câu 13: Biết ò xdx 5x2 + = a a với a, b số nguyên dương phân thức tối giản Tính b b giá trị biểu T = a + b A T = 13 B T = 26 C T = 29 Lời giải D T = 34 Chọn B Dùng máy tính bỏ túi tính ị Câu 14: Tích phân ị A 2x +1 xdx 5x2 + = Þ T = 12 + 52 = 26 dx B C Lời giải D Chọn C Ta có ị Câu 15: Biết ∫x A − 2x +1 dx = 2x +1 = x + dx = a − với a , b số tự nhiên Giá trị a − b b B C Lời giải D Chọn A 194 ( ) 2- 1 1 1 2 2 −1 2 Cách 1: ∫ x x + dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) x + = 20 3 0 ⇒ a = , b = Vậy a − b = −5 2 x + = t ⇒ x + = t ⇒ x dx = t dt Cách 2: Đặt Ta có x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 t3 2 −1 ⇒ a = 2, b = Khi đó: ∫ x x + dx = ∫ t dt = = 31 2 Cách 3: dùng MTCT Bước 1: Tính tích phân lưu lại A Bước 2: Rút b = a −1 A Bước 3: MODE nhập f ( x ) = x − với Start: , End: 18 , Step: A Được cặp số x = , f ( x ) = thỏa mãn Suy a = , b = Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác Câu 1: p Tính tích phân I = cos xdx ò A I = p+2 B I = p+2 C I = Lời giải D I = Chọn A Phương pháp: Biểu thức tích phân hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng công thức biến đổi lượng giác hạ bậc tính tích phân p p p ö4 p + Cách giải: I = cos xdx = ( + cos x ) dx = æ ữ ỗ x + sin x = ữ ỗ ũ ữ ố ứ0 2ũ 2ỗ 0 p Câu 2: cos x dx = ap + b với a, b Ỵ Q Giá tri P = - a - b cos x Cho tích phân ị p B P = - 29 A P = C P = - Lời giải D P = - 27 Chọn C p p p 2 é ù cos x cos x - +1 dx = òp - cos x òp - cos x dx =òp êêë1 - cos x - ( + cos x) úúûdx p =ò p dx 2sin x - ( x + sin x ) p p ổử xữ dỗ ữ p ỗ ỗ ố2 ữ ứ x =ò - p + = - cot - p + = - p x 2p p sin 2 2 p 195 Do a = - 1; b = Þ P = - ( - 1) - 32 = - Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x - sin2 x A x2 + cos2 x + C B x2 + cos2x + C C x + cos2x + C D 2 x2 - cos2x + C 2 Lời giải Chọn B x2 Ta có ị( x - sin x )dx = + cos2x + C 2 Câu 4: ổ ổ pử pữ ữ ỗ = F Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x F ỗ ữ Tớnh ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ è4 ø è6 ÷ ø ỉ ỉ ỉ ỉ p÷ p÷ p÷ p÷ ç ç ç = F = F = F = A F ỗ ữ B ữ C ữ D ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ç ç è6 ÷ ø è6 ÷ ø è6 ÷ ø è6 ÷ ø Lời giải Chọn D p p ỉ ỉp ỉp 1 pử ữ ữ ữ ỗ ỗ ç sin xdx = cos x = = F F ị F = 1- = ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ũp ữ ữ ữ ỗ ỗ ç p è4 ø è6 ø è6 ø 4 6 p Câu 5: Biết ò cos xdx = a + b 3, với a, b số hữu tỉ Tính T = 2a + 6b p A T = B T = - C T = - Lời giải p p p p ïìï a = ï Þ T = - í ïï b = - ïỵ D T = Chọn B Ta có Câu 6: ị cos xdx = s inx = 13Þ p Tính tích phân I = tan x dx ò A I = - p B I = C I = ln D I = p 12 Lời giải Chọn A p p Ta có I = tan xdx = ổ ũ ũỗỗỗốcos2 x 1ữ ÷ ÷dx = ( tanx-x ) ø p =1- p 196 Câu 7: Kết tích phân p ò( x - - sin x) dx c vit dng ổ p 1ử pỗ - ữ ữ ỗ ữ- Khng nh ỗ ốa b ø sau sai? A a + 2b = B a + b = C 2a - 3b = Lời giải D a - b = Chọn B p ò( x - - sin x )dx = ( x - x + cos x) p ỉ p2 p p 1ư = - - = pỗ - ữ ữ ỗ ữ- ç è4 ø Þ a = 4; b = Þ a + b = Þ khẳng định B sai Câu 8: p ö p Tớnh tớch phõn I = sin ổ ữ ũ ỗỗỗố4 - xø÷ ÷dx A I = - C I = B I = D I = p Lời giải Chọn C Phương pháp: òsin ( a x + b) dx = p cos ( a x + b) + C a p ỉ ư2 p p ÷ Cách gii: I = sin ổ ữ ỗ ỗ x dx = c os x = ữ ữ ỗ ũ ỗỗố4 ữ ữ ỗ ứ ố4 ứ0 2 =0 p Câu 9: Cho f hàm số liên tục thỏa ò f ( x) dx = Tính I = ị cos x f ( sin x)dx A B C Lời giải D Chọn D ìï x = Þ t = ï Đặt t = sin x Û dt = cos xdx ïí ïï t = p Þ t = ỵï p 1 0 Khi I = cos x f ( sin x ) dx = f ( t ) dt = f ( x ) dx = ò ò ò Dạng 4: Tích Phân Từng Phần Câu 1: Giá trị ∫ x.e x dx bằng: A e +1 2 B e2 − C e2 + D e2 − Lời giải: Chọn C 197 Đặt Câu 2: du = dx u=x ⇒ e2x 2x dv = e dx v = xe x 1 e2x e2 e2 x e2 + Do I = − ∫ dx = − = π Giá trị ∫ x cos xdx bằng: π A + B π −1 C π +1 D π −1 Lời giải: Chọn B Đặt u=x du = dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x Câu 3: Giá trị ∫( x ) − ln xdx A ln + π π π π π Do I = x sin x − ∫ sin xdx = + cos x = − 0 bằng: B ln + C ln − D ln − Lời giải: Chọn B Đặt dx du = u = ln x x ⇒ dv = x − dx x − 3x v = ( ) (x Do I = e Câu 4: Biết ∫ ) − 3x ln x 2 x − 2 ln 2 ln x + −∫ dx = − − x÷ = 1 3 1 ln x dx = − a + b.e −1 x2 , với a , b ∈ ¢ Chọn khẳng định khẳng định sau: A a + b = C a + b = Lời giải B a + b = −3 D a + b = −6 Chọn D Đặt e e du = dx u = ln x e e ln x 1 2 x ⇒ ⇒ ∫ dx = − ln x ÷ + ∫ dx = − ln x − ÷ = 1 − ÷ x x x x 1 x e 1 dv = x dx v = − 1 x Sau nhân thêm ta a = −2, b = −4 ⇒ a + b = −6 e Câu 5: Giá trị ∫ ln xdx bằng: A B C Lời giải: D Chọn A Đặt dx u = ln x du = ⇒ x dv = dx v = x e e e Do I = x ln x − ∫ dx = e − x = 1 198 e Câu 6: 1 Tích phân I = ∫ + x ÷ln xdx có giá trị là: x A I = e +1 B I = e2 + C I = e2 + D I = e2 + Lời giải: Chọn C Ta có: e e e e e x2 1 e2 e2 + 1 I = ∫ + x ÷ln xdx = ∫ ln xdx + ∫ x ln xdx = ∫ d ( ln x ) + ln x ÷ − ∫ xdx = + − x ÷ = x x 1 1 1 1 e u = x dv = cos xdx π Câu 7: Tính tích phân I = ∫ x cos xdx cách đặt Mệnh đề đúng? π B I = x 2πsin x − ∫ x sin xdx π π 2π A I = x sin x − ∫ x sin xdx 2π C I = x sin 2x + ∫ x sin 2xdx 0 π D I = x 2πsin x + ∫ x sin xdx Lời giải Chọn A Ta có: du = xdx u = x ⇒ d v = cos x d x v = sin x π π Khi đó: I = ∫ x2 cos xdx = x 2πsin x − ∫ x sin xdx Câu 8: π Tính tích phân I = ∫ x cos x dx π A − B π +1 C D π Lời giải Chọn A u = x du = dx Đặt: dv = cos x dx ⇒ v = sin x π π I = x sin x − ∫ sin x dx = ( x sin x + cos x ) π = π −1 e Câu 9: Tính I = ∫ x ln xdx 1 A I = B I = e −2 ( ) C I = D I = e +1 ( ) Lời giải Chọn D Đặt du = x dx u = ln x ⇒ dv = xdx v = x 199 e e Khi e x2 x e2 x2 I = ∫ x ln xdx = ln x ÷ − ∫ dx = − 1 e = 1 Câu 10: Cho biết tích phân I = ∫ ( x + ) ln ( x + 1) dx = a ln + e2 + −7 b a , b số nguyên dương Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A a = b B a < b C a > b Lời giải Chọn A D a = b + du = dx u = ln ( x + 1) x + ⇒ dv = ( x + ) dx v = x + x Đặt 1 x x2 + 4x dx I = + x ÷ln ( x + 1) − ∫ dx = ln − ∫ x + − 2 x +1÷ 2 x + 0 = x2 −7 ln − + 3x − ln ( x + 1) = ln + 2 0 Suy a = , b = Vậy a = b Câu 11: Tích phân π x ∫ + cos x dx = aπ + b ln , với a , b số thực Tính 16 a − 8b A B C D Lời giải Chọn A u = x du = dx ⇒ dx dv = + cos x v = tan x Đặt Ta có π π 1 π4 π π 1 π 1 I = x tan x − ∫ tan xdx = + ln cos x = + ln = − ln ⇒ a = , b = − 2 8 8 0 Do đó, 16 a − 8b = Câu 12: Biết a I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ln − c , b b a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Tính S = a + b + c A S = 60 B S = 70 c C S = 72 D S = 68 Lời giải Chọn B Ta có I = ∫ x ln ( x + 1) dx Đặt du = dx u = ln ( x + 1) 2x + ⇒ dv = xdx v = x 200 I = ∫ x ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) 4 −∫ 0 x2 dx 2x + 4 x 1 = ln − ∫ − + 4 x + 1) ( 0 x2 63 ÷dx = 16 ln − − x + ln x + ÷ = ln − ÷ 4 0 a = 63 a 63 ⇒ ln − c = ln − ⇒ b = ⇒ S = 70 b c = Câu 13: Biết ∫ x ln ( x ) a , b , c số nguyên Giá trị biểu + dx = a ln + b ln + c , thức T = a + b + c A T = 10 B T = C T = Lời giải D T = 11 Chọn C Đặt 2x dx du = u = ln x + x +9 ⇔ dv = xdx x2 + v = ( ) ( Suy ∫ x ln ( x + ) dx = ) x2 + ln x + ( 4 0 ) − ∫ x 2+ x 2+x dx = 25 ln − ln − 2 Do a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = 1 Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn ∫ (3x + 1) f '( x) dx = 1& f(1) − (0) = 2017 Tính I = ∫ f (x)dx B I = 672 A I = −2016 C I = 2016 Hướng dẫn D I = −672 Chọn B Ta 1 có ∫ (3x + 1) f '( x) dx = ∫ (3x + 1) df ( x) = f ( x)(3x + 1) 10 − 3∫ f ( x)dx 0 1 0 = f(1) − (0) − 3∫ f ( x)dx = 2017 − 3∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ f ( x)dx = 672 Câu 15: Cho ∫ f ' ( x ) cos x.dx = A I = 2017 f( 1) cos1 − ( ) = 2018 Tính B I = 2019 I = ∫ f ( x ) sin x.dx C I = −2019 D I = −2017 Hướng dẫn giải Chọn A + Tính ∫ f ' ( x ) cos x.dx 1 = ∫ f ' ( x ) cos x.dx = cos x f ( x ) ⇔ ∫ f ( x ) sin x.dx = f( 1) cos − u = cos x du = sin x.dx theo phần, đặt dv = f ' x dx => v = f x ( ) ( ) suy 1 − f ( x ) sin x.dx ∫0 ( ) − = 2017 201 Câu 16: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( 1) − F ( ) = ∫ F ( x ) dx =10 Tính I = ∫ ( x + 1) f ( x ) dx A B I = I = 11 C I = −9 Hướng dẫn giải D I = −11 Chọn C u = x + du = Đặt dv = f x ⇒ v = F x ( ) ( ) 1 Khi đó: I = ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = ( x + 1) F ( x ) − ∫ F ( x ) dx = 2F ( 1) − F ( ) − 10 = − 10 = −9 0 Câu 17: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) với F ( 1) = , ∫ F ( x ) dx = −1 Tính I = ∫ xf ( x ) dx A I =0 B I = −1 D I = C I = −2 Hướng dẫn giải Chọn D du = dx u = x Đặt dv = f x dx ⇒ v = F x ( ) ( ) 1 0 I = xF ( x ) − ∫ F ( x ) dx = F ( 1) − ∫ F ( x ) dx = Câu 18: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f ( 1) = ∫ x f ( x ) dx = Tích phân ∫ x f ′ ( x ) dx A C −3 B D −1 Hướng dẫn giải Chọn D 1 u = x ⇒ du = 3x dx ⇒ I = ∫ x f ′ ( x ) dx = x f ( x ) − 3∫ x f ( x ) dx Đặt dv = f ′ ( x ) dx ⇒ v = f ( x ) 0 ⇒ I = f ( 1) − = −1 Câu 19: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 Lời giải D I = Chọn D 202 ... 27 C - 27 26 D - 25 27 Lời giải Chọn B Ta có: ị 3x + x 9x - dx = ò ( x 3x ) dx = x2 - x - x +1 ? ?3 = ị 3x dx x - 1d ( x - 1) =ỗ x ỗ ũ ỗ ố 18 18 1 ) - x x - dx 3 Suy a = 26 - 16 ;b = 27 27 Tích... xdx = 3t dt Û xdx = 7 ò Vậy x dx + x2 Câu 10: Tích phân ị A = x2 t - 3t 141 =ò xdx = ò dt = ò( t - t ) dt = Khi ị 3 t 2 20 + x2 + x2 0 x dx ìï x = Þ t = 3t dt ïí ïï x = ị t = 2 ợ ỡùù m = 141 ®... phân ị A 26 16 = ( x - 1) ø÷ ÷ ÷1 27 - 27 2 Câu 7: ò( 3x 3 dx x +1 dx B C D Lời giải Chọn B Đặt 3x +1 = t Þ t = x +1 Þ 2tdt = 3dx ìï x = Þ t = ị i cn: ùớ ùùợ x = ị t = ò dx 2 2t 2 = ò dt