1. Trang chủ
  2. » Tất cả

14 GT 12 chương 3 bài 2 full

25 4 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 25
Dung lượng 2,17 MB

Nội dung

BÀI 2 TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I TÍCH PHÂN 1 Định nghĩa Cho hàm số liên tục trên Giả sử là một nguyên hàm của hàm trên Quy ước + Nếu thì + Nếu thì 2 Tính chất Một số tính chất mở[.]

BÀI 2.TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  a ; b  Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x)  a; b  b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a) Quy ước: a + Nếu a = b ∫ f ( x ) dx = a b a + Nếu a > b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx a b b b b a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = Tính chất: b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ∈¡ ) b b b a a a ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b ∫ a c b a c f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ( a < c < b) Một số tính chất mở rộng: Nếu f ( x ) ≥ 0∀x ∈  a; b  thì: b ∫ f ( x ) dx ≥ 0∀x ∈ a; b  a b b a a Nếu: ∀x ∈  a; b : f ( x ) ≥ g ( x ) ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx b Nếu: ∀x ∈  a ; b  với hai số M, N ta ln có: M ≤ f ( x ) ≤ N thì: M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ N ( b − a ) a II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số 1.1 Phương pháp đổi biến số dạng Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] α ≤ u( x) ≤ β Giả sử viết f ( x) = g(u(x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục đoạn [α ; β ] b u( b ) a u( a ) Khi đó, ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ g(u)du b Bài toán: Tính tích phân I = ∫ g u(x) u′( x)dx a 183 Cách giải: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u′( x)dx Đổi cận:  x = a ⇒ t = u( a)   x = b ⇒ t = u(b) Khi I= u( b ) ∫ g(t )dt u( a ) Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cận Dấu hiệu chung: Nếu hàm số chứa ⇒ đặt t = Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức chứa lũy thừa bậc cao Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ f ( x) t= I=∫ f ( x) x dx Có Có (ax + b)n t = ax + b I = ∫ x( x + 1)2018 dx Có a f ( x ) t = f ( x) I = ∫4 Có π thức chứa ln x t = e x Đặt t = x + Đặt t = x + −1 t = ln x biểu dx ln x x x+1 e I=∫ Đặt t = tan x + + ln x ln x dx x I=∫ biểu thức chứa e tan x + dx cos x ln e x e x − 3.dx Có e x dx Có sin xdx t = cos x I = ∫3 Có cos xdx t = sin xdx I = ∫ sin x cos xdx ex π sin x dx cos x + π Đặt t = + ln x Đặt t = e x − Đặt t = cos x + Đặt t = sin x π 1 dx = ∫ (1 + tan x) dx cos x cos x Đặt t = tan x π Có dx cos x t = tan x Có dx sin x t = cot x I = ∫4 π I = ∫π4 π e cot x e cot x dx = ∫π4 dx − cos x sin x Đặt t = cot x 1.2 Phương pháp đổi biến số dạng Đặt x = u ( t ) b Bài tốn 1: Tính I = ∫ f(x)dx a Phương pháp: Đặt x = u ( t ) ⇒ dx = u ' ( t ) dt Đổi cận: x = a ⇒ u = α x=b⇒u=β b Suy I = ∫ f u(t ) u '(t )dt a Dấu hiệu Nếu hàm f ( x ) có chứa a − x Đặt  dx = d ( a sin t ) = a cos t dt  đặt x = a sin t →  2 2  a − x = a − a sin t = a cos t 184 Nếu hàm f ( x ) có chứa a + x đặt  adt  dx = d ( a tan t ) = cos t  x = a tan t →  a  a + x = a + a tan t =  cos t đặt  − a cos tdt  dx = sin t  → x= sin t  x − a = a cos t  sin t đặt  dx = d ( a cos 2t ) = −2a sin 2tdt  x = a cos 2t →  a + x + cos t cos t = =  − cos t sin t  a−x Nếu hàm f ( x ) có chứa x − a a+x a−x Nếu hàm f ( x ) có chứa a Bài tốn Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  a ; b  Khi ta có b ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx a Chứng minh: Đặt t = a + b − x ⇒ dx = −dt Khi b a b b a b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − t ) ( −dt ) = ∫ f ( a + b − t ) dt = ∫ f ( a + b − x ) dx a Bài toán 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục hàm số lẻ  −a ; a  Chứng minh rằng: ∫ f ( x ) dx = −a Chứng minh: a a −a Ta có: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −a Xét tích phân: J = ∫ f ( x ) dx , Đặt x = −t ⇒ dx = −dt −a Đổi cận: x = −a ⇒ t = a ; x = ⇒ t = Mặt khác f ( x ) hàm số lẻ nên f ( −t ) = − f ( t ) a a Khi đó: J = − ∫ f ( −t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx a a a 0 Thay vào ta được: I = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = Phương pháp tích phân phần b b b Công thức: ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a 185 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Tích Phân Hữu Tỉ Câu 1: Tích phân ị x +1 dx A 2ln B ln C ln D 4ln Lời giải Chọn C 2 2 ò x +1dx = ò x +1d ( x +1) = ln x +1 |0 = ln 0 Câu 2: Nguyên hàm ò A òx B òx C òx D òx 2 x +3 dx ? x + 3x + 2 x +3 dx = ln x +1 - ln x + + C + 3x + x +3 dx =- ln x +1 + ln x + + C + 3x + x +3 dx = ln x +1 + ln x + + C + 3x + x +3 dx = ln x +1 + ln x + + C + 3x + Lời giải Chọn A I =ị ỉ2 ( x + 2) - ( x +1) x +3 ÷ dx dx = ũ dx = ũỗ dx = 2ũ ữ ç ÷ ç èx +1 x + ø x + 3x + x +1 ( x +1) ( x + 2) dx ò x +2 = ln x +1 - ln x + + C Câu 3: Cho hàm f ( x ) = ( x + 2) có nguyên hàm hàm F ( x) Biết F ( 1) = Khi F ( x) có x dạng: A ln x - - 22 + x x ln x - B ln x + - 22 + C ln x + - 22 + D x x x x +12 x x2 Lời giải Chọn D ( x + 2) x2 + 4x + 4 = + + ( x ¹ 0) 3 x x x x x dx dx dx Þ F ( x ) = ị f ( x ) dx = ò + 4ò + 4ò = ln x - - + C x x x x x Ta có: f ( x ) = = 186 Mà F ( 1) = Þ C =12 Þ F ( x ) = ln x - - 22 +12 x x Câu 4: Tìm hàm số f ( x ) biết f '( x) = x2 + x +3 f ( 0) = Biết f ( x ) có dạng: x +1 f ( x ) = ax + bx + ln x +1 + c Tìm tỉ lệ a : b : c   1  : 2 :1  A a : b : c= a : b : c=   1  : 2 : 2   1  :1  :1  B a : b : c=    2 : 2 :1  C a : b : c= D Lời giải Chọn B Ta có f (x) = ∫   4x + 4x + dx = x + x + ln x + + c dx= ∫  x + + x +   2x + Mà f ( 0) = ⇒ c = ⇒ f ( x) = x + x + ln x + + Câu 5: x3dx = ln b Chọn phát biểu x4 + a A a : b = :1  B a + b = C a – b = Lời giải Chọn A Cho I = ∫ I =∫ x3dx Đặt: u = x + ⇒ du = x 3dx x4 + Đổi cận: x = ⇒ u = 1; x = ⇒ u = ⇒ I = ∫ 1 Câu 6: D Tất Một học sinh làm tích phân I = ị du 1  = ln u  = ln 4u 1 dx theo bước 1+ x2 Bước 1: Đặt x = tan t , suy p Bước 2: Đổi x = Þ t = , x = Þ t = p p p Bước 3: I = + tan t dt = dt = t = - p =- p ò1 + tan t ò 4 0 Các bước làm trên, bước bị sai A Bước B Bước sai C Bước D Khơng bước Lời giải Chọn A p I =ị p p + tan t p p = dt = dt = t - 0= ò + tan t 4 187 Câu 7: Tích phân dx ị x + dx A log B ln C ln D - 35 Lời giải Chọn B Câu 8: Tính tích phân I = ò1 A x ( x +1) B - dt = ln a + b Khi S = a + 2b bằng: D - C Lời giải Chọn C I =ò x ( x +1) dx = ò x +1- x x ( x +1) 2ỉ 1 ÷ ữ Suy I = ũ ỗ ỗ ữdx ç èx x +1ø dx = ò 2 ò ( x +1) - 2 dx x ( x +1) dx ( x +1) = ln ò ( x +1) dx x - +( x +1) = ln x +1 Þ a = , b =- Þ S = Câu 9: x + x +1 b dx = a + ln , với a, b số nguyên Tính S = a - 2b Biết ò x +1 A S =- B S = C S = D S = 10 Lời giải Chọn C 5 æ x + x +1 ö dx = x 53 + ln ( x +1) ÷ ũ x +1 dx = ũỗỗỗốx + x +1ứữ ữ 3 Câu 10: Giá trị tích phân I = ò A = + ln dx x +1 B D ln C ln Lời giải Chọn C Câu 11: Biết x- ò x + dx = a + ln b với a, b A a + b = 30 số thực Mệnh đề đúng? B ab = C ab = 81 D a + b = 24 Lời giải Chọn C Phương pháp: Chia tử cho mẫu 188 1 3 æ æ ö x- x +1- ö ữ dx = ũ dx = ũỗ dx = ỗ x - 3ln x +1 ữ ữ ữ ỗ ỗ Cỏch gii: ũ ữ ữ ỗ ỗ ố2 x +1ứ è2 ø1 2x +2 2x + 1 ìï ïï a = 1 8 = - 3ln - + 3ln = + 3ln = + ln Þ ïí Þ ab = 3 3 27 ïï 81 ïï b = 27 ỵï Câu 12: Cho òx dx = a ln + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Mệnh đề + 5x + đúng? A a + b + c = B a + b + c =- C a + b + c = Lời giải D a + b + c = Chọn C 2 ỉ1 1 x +2 ữ dx = ũỗ d x = ln Ta cú ũ ữ ỗ ữ ỗ ốx + x + ø x + 5x + x +3 1 = ln - ln = ln - ln - ln Þ a + b + c = 1   Câu 13: Cho ∫  ÷dx = a ln + b ln với a, b số nguyên Mệnh đề đúng? x + 3x +  0 A a + 2b = B a − 2b = C a + b = −2 D a + b = Lời giải Chọn A Ta có: A ( x + ) + B ( x + 1) ( A + B ) x + ( A + B ) 1 A B = = + = = x + 3x + ( x + 1) ( x + ) x + x + ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) Đồng thức ta có hệ phương trình: { { A+ B = A =1 ⇔ 2A + B = B = −1 1 ⇒ = − x + 3x + x + x + 1 1     ⇒ ∫ − ÷dx = ∫  ÷dx = ( ln x + − ln x + ) = ( ln − ln ) − ( ln1 − ln ) x + x + x + x +     0 = ln − ln ⇒ a = 2, b = −1 Vậy a + 2b = 189 Câu 14: Tích phân I = ∫ ( x − 1) x2 + dx = a ln b + c , a ; b ; c số nguyên Tính giá trị biểu thức a + b + c A B C Lời giải D Chọn A ( x − 1) I =∫ x2 + 1 dx = ∫ 1 x2 + − 2x 2x   dx = ∫ 1 − d ( x + 1) ÷dx = ∫ dx − ∫ 2 x +1 x +1  x +1 0 0 = − ln x + =1 − ln a = −1 , b = , c = nên a + b + c = Câu 15: Giả sử tích phân x ∫ ( x + 1) dx = a + b ln + c ln a , b , c số hữu tỉ Tính tổng S = a + b + c 77 A 36 B 73 36 C 67 36 D 64 Lời giải Chọn B 2 2 x x +1 1 dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx Ta có ∫ 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 1 1 = ln x + 2 + = − + ln − ln x +1 Suy a = − ; b = ; c = −1 73  1 Vậy S = a + b + c =  − ÷ + 12 + ( −1) = 36  6 Dạng Tích phân vơ tỉ Câu 1: Mệnh đề sau đúng? dx dx = x + C B ò = + C A ò x x x ò2 x C dx ò x +1 = ln x + C D dx = x + C Lời giải Chọn A Ta có ∫ dx dx = 2∫ = x + C nên A x x 190 Câu 2: 3x3 ò 1- x2 dx bằng: A - ( x + 2) - x + C B ( x +1) - x + C C - ( x - 1) - x + C D ( x + 2) - x + C Lời giải Chọn A t = - x Þ dt = - 3x3 ò ( Câu 3: 1- x ) 1- x2 1- x dx; x = - t dx = ò- 3( - t ) dt = ò( 3t - 3) dt = t - 3t + C - - x = - x ( - x - 3) = - ( x + 2) - x Cho hàm số F ( x ) = ò x x +1dx Biết F ( 0) = , F 2 85 A B C 19 D 10 Lời giải Chọn D ( 2 2 ò x +1d ( x +1) = Û F 2 - F ( 0) = 26 Û F 2 = 10 ò x x +1dx = ( Câu 4: x ) ( ( x +1) 2 = ) 26 ) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + + C ( + x3 ) B ( + x3 ) ( + x3 ) + C C +C D +C Lời giải Chọn B òx + x dx = 1(4+x + x d ( x + 4) = ò 3 Câu 5: Tính tích phân I =ò S = a + ab + 3b A dx x x +1 B 3 ) +C = ta kết C Lời giải ( + x3 ) +C I = a ln + b ln Giá trị D Chọn D 191 ïì x = ® t = 2 Đặt t = 3x +1 Þ t = x +1 ị 2tdt = 3dx, ùớ ùùợ x = ® t = Suy 4 ỉ1 dt t- ÷ I = 2ị = ũỗ dt = ln ữ ỗ ữ ỗ ốt - t +1ø t +1 t - 2 = ln - ln = ln - ln Þ Câu 6: Cho ò 3x + A - 26 27 x 9x2 - ïìï a = Þ S =5 í ïïỵ b = - dx = a + b 2, B với a, b số hữu tỉ Khi giá trị a 26 27 C - 27 26 D - 25 27 Lời giải Chọn B Ta có: ò 3x + x 9x - dx = ò ( x 3x ) dx = x2 - x - x +1 æ3 = ò 3x dx x - 1d ( x - 1) =ỗ x ỗ ũ ỗ è 18 18 1 ) - x x - dx 3 Suy a = 26 - 16 ;b = 27 27 Tích phân ị A 26 16 = ( x - 1) ø÷ ÷ ÷1 27 - 27 2 Câu 7: ò( 3x 3 dx x +1 dx B C D Lời giải Chọn B Đặt 3x +1 = t Þ t = x +1 Þ 2tdt = 3dx ìï x = Þ t = ị i cn: ùớ ùùợ x = Þ t = ị dx 2 2t 2 = ò dt ò dt = t = t 3 3 x +1 1 Câu 8: Cho I = x + xdx u = x +1 Mệnh đề sai? 2ò A I = x ( x - 1) dx ò 1ỉ u5 u3 ÷ ÷ C I = ỗ ỗ ữ ữ 2ỗ ố ø 2 B I = ò u ( u - 1) du 2 D I = ò u ( u - 1) du Lời giải Chọn B 192 u= 2x+1 Þ u du=x dx Đổi cận ta có: ( u - 1) I = òu 2 1 ỉu u ÷ ÷ du= ç ç ÷ ÷1 2ç 3ø è5 Câu 9: Cho tích phân ị u=1 x=0 u=3 x=4 x3 dx 1+ x A = m m , với phân số tối giản Tính m - 7n n n C Lời giải B D 91 Chọn B Đặt t = + x Û t = + x Û xdx = 3t dt Û xdx = 7 ò Vậy x dx + x2 Câu 10: Tích phân ị A = x2 t - 3t 141 =ò xdx = ò dt = ò( t - t ) dt = Khi ị 3 t 2 20 + x2 + x2 0 x dx ìï x = Þ t = 3t dt ïí ïï x = ị t = 2 ợ ỡùù m = 141 ® m = n = 141 - 7.20 = í ïïỵ n = 20 m Þ n 2x +1 dx B C D Lời giải Chọn C Ta có ị 2x +1 dx = 2x +1 = Câu 11: Biết I = ò x x +1 + x + T = a + b A T = - 10 dx = a +b , với a, b số thực Tính tổng B T = - C T = 15 Lời giải D T = Chọn D Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa tính tích phân Lời giải: Ta có I = ị ị x ( x +1 - x x + + x +1 )= x +1 x +1 - x - dx = ò ò( x +1 - ) ( 3x +1) - ( x +1) x ( x +1 + x + 2 dx ) x +1 dx 193 ỉ ư1 3 ÷ ç ÷ ç x + x + ( ) ( ) ỉ2 ÷ 1 3ử ỗ ữ ữ ỗ ỗ =ỗ - = ỗ ( x +1) - ( x +1) ữ ữ ữ ữ ỗ 3 ỗ ố9 ứ0 ữ 3 ỗ ữ ữ ỗ ữ ố ứ 2 ìï a = 17 1é 17 - 3 3ù = ê2 ( x +1) - ( x +1) ú = 16 - +1 = ị ùớ ỳ0 ùùợ b = - 9ë û Vậy T = a + b = 17 - = ( Câu 12: Biết dx ò x +1 + x = A T = ( ) ) a - b với a, b số nguyên dương Tính T = a + b B T = 10 C T = Lời giải D T = Chọn B Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa tìm nguyên hàm hàm chứa thức Ta có ị dx x +1 + x mặt khác ( =ò x +1 - ( ) x ) ( x) 2 ( x +1 - a- b = ( ) 2- = dx = ò ( x +1 - 2é x dx = ê ( x +1) ê 3ë ) ù x3 ú = ú û0 ìï a = 8 - ị ùớ ùùợ b = ) Vậy T = a + b = + = 10 Câu 13: Biết ò xdx 5x2 + = a a với a, b số nguyên dương phân thức tối giản Tính b b giá trị biểu T = a + b A T = 13 B T = 26 C T = 29 Lời giải D T = 34 Chọn B Dùng máy tính bỏ túi tính ị Câu 14: Tích phân ị A 2x +1 xdx 5x2 + = Þ T = 12 + 52 = 26 dx B C Lời giải D Chọn C Ta có ị Câu 15: Biết ∫x A − 2x +1 dx = 2x +1 = x + dx = a − với a , b số tự nhiên Giá trị a − b b B C Lời giải D Chọn A 194 ( ) 2- 1 1 1 2 2 −1 2 Cách 1: ∫ x x + dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) x + = 20 3 0 ⇒ a = , b = Vậy a − b = −5 2 x + = t ⇒ x + = t ⇒ x dx = t dt Cách 2: Đặt Ta có x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 t3 2 −1 ⇒ a = 2, b = Khi đó: ∫ x x + dx = ∫ t dt = = 31 2 Cách 3: dùng MTCT Bước 1: Tính tích phân lưu lại A Bước 2: Rút b = a −1 A Bước 3: MODE nhập f ( x ) = x − với Start: , End: 18 , Step: A Được cặp số x = , f ( x ) = thỏa mãn Suy a = , b = Dạng 3: Tích Phân Lượng Giác Câu 1: p Tính tích phân I = cos xdx ò A I = p+2 B I = p+2 C I = Lời giải D I = Chọn A Phương pháp: Biểu thức tích phân hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng công thức biến đổi lượng giác hạ bậc tính tích phân p p p ö4 p + Cách giải: I = cos xdx = ( + cos x ) dx = æ ữ ỗ x + sin x = ữ ỗ ũ ữ ố ứ0 2ũ 2ỗ 0 p Câu 2: cos x dx = ap + b với a, b Ỵ Q Giá tri P = - a - b cos x Cho tích phân ị p B P = - 29 A P = C P = - Lời giải D P = - 27 Chọn C p p p 2 é ù cos x cos x - +1 dx = òp - cos x òp - cos x dx =òp êêë1 - cos x - ( + cos x) úúûdx p =ò p dx 2sin x - ( x + sin x ) p p ổử xữ dỗ ữ p ỗ ỗ ố2 ữ ứ x =ò - p + = - cot - p + = - p x 2p p sin 2 2 p 195 Do a = - 1; b = Þ P = - ( - 1) - 32 = - Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x - sin2 x A x2 + cos2 x + C B x2 + cos2x + C C x + cos2x + C D 2 x2 - cos2x + C 2 Lời giải Chọn B x2 Ta có ị( x - sin x )dx = + cos2x + C 2 Câu 4: ổ ổ pử pữ ữ ỗ = F Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x F ỗ ữ Tớnh ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ è4 ø è6 ÷ ø ỉ ỉ ỉ ỉ p÷ p÷ p÷ p÷ ç ç ç = F = F = F = A F ỗ ữ B ữ C ữ D ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ç ç è6 ÷ ø è6 ÷ ø è6 ÷ ø è6 ÷ ø Lời giải Chọn D p p ỉ ỉp ỉp 1 pử ữ ữ ữ ỗ ỗ ç sin xdx = cos x = = F F ị F = 1- = ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ũp ữ ữ ữ ỗ ỗ ç p è4 ø è6 ø è6 ø 4 6 p Câu 5: Biết ò cos xdx = a + b 3, với a, b số hữu tỉ Tính T = 2a + 6b p A T = B T = - C T = - Lời giải p p p p ïìï a = ï Þ T = - í ïï b = - ïỵ D T = Chọn B Ta có Câu 6: ị cos xdx = s inx = 13Þ p Tính tích phân I = tan x dx ò A I = - p B I = C I = ln D I = p 12 Lời giải Chọn A p p Ta có I = tan xdx = ổ ũ ũỗỗỗốcos2 x 1ữ ÷ ÷dx = ( tanx-x ) ø p =1- p 196 Câu 7: Kết tích phân p ò( x - - sin x) dx c vit dng ổ p 1ử pỗ - ữ ữ ỗ ữ- Khng nh ỗ ốa b ø sau sai? A a + 2b = B a + b = C 2a - 3b = Lời giải D a - b = Chọn B p ò( x - - sin x )dx = ( x - x + cos x) p ỉ p2 p p 1ư = - - = pỗ - ữ ữ ỗ ữ- ç è4 ø Þ a = 4; b = Þ a + b = Þ khẳng định B sai Câu 8: p ö p Tớnh tớch phõn I = sin ổ ữ ũ ỗỗỗố4 - xø÷ ÷dx A I = - C I = B I = D I = p Lời giải Chọn C Phương pháp: òsin ( a x + b) dx = p cos ( a x + b) + C a p ỉ ư2 p p ÷ Cách gii: I = sin ổ ữ ỗ ỗ x dx = c os x = ữ ữ ỗ ũ ỗỗố4 ữ ữ ỗ ứ ố4 ứ0 2 =0 p Câu 9: Cho f hàm số liên tục thỏa ò f ( x) dx = Tính I = ị cos x f ( sin x)dx A B C Lời giải D Chọn D ìï x = Þ t = ï Đặt t = sin x Û dt = cos xdx ïí ïï t = p Þ t = ỵï p 1 0 Khi I = cos x f ( sin x ) dx = f ( t ) dt = f ( x ) dx = ò ò ò Dạng 4: Tích Phân Từng Phần Câu 1: Giá trị ∫ x.e x dx bằng: A e +1 2 B e2 − C e2 + D e2 − Lời giải: Chọn C 197 Đặt Câu 2:  du = dx  u=x  ⇒   e2x 2x dv = e dx  v =  xe x 1 e2x e2 e2 x e2 + Do I = − ∫ dx = − = π Giá trị ∫ x cos xdx bằng: π A + B π −1 C π +1 D π −1 Lời giải: Chọn B Đặt  u=x  du = dx ⇒  dv = cos xdx  v = sin x Câu 3: Giá trị ∫( x ) − ln xdx A ln + π π π π π Do I = x sin x − ∫ sin xdx = + cos x = − 0 bằng: B ln + C ln − D ln − Lời giải: Chọn B Đặt   dx du =  u = ln x  x ⇒  dv = x − dx x − 3x  v =   ( ) (x Do I = e Câu 4: Biết ∫ ) − 3x ln x 2 x −  2 ln 2 ln  x + −∫ dx = −  − x÷ = 1 3  1 ln x dx = − a + b.e −1 x2 , với a , b ∈ ¢ Chọn khẳng định khẳng định sau: A a + b = C a + b = Lời giải B a + b = −3 D a + b = −6 Chọn D Đặt  e e du = dx u = ln x e e  ln x 1       2 x ⇒ ⇒ ∫ dx =  − ln x ÷ + ∫ dx =  − ln x − ÷ = 1 − ÷  x x x  x 1  x  e 1 dv = x dx v = − 1 x  Sau nhân thêm ta a = −2, b = −4 ⇒ a + b = −6 e Câu 5: Giá trị ∫ ln xdx bằng: A B C Lời giải: D Chọn A Đặt  dx u = ln x  du = ⇒ x   dv = dx  v = x  e e e Do I = x ln x − ∫ dx = e − x = 1 198 e Câu 6: 1    Tích phân I = ∫  + x ÷ln xdx có giá trị là: x A I = e +1 B I = e2 + C I = e2 + D I = e2 + Lời giải: Chọn C Ta có: e e e e e  x2  1 e2   e2 + 1  I = ∫  + x ÷ln xdx = ∫ ln xdx + ∫ x ln xdx = ∫ d ( ln x ) +  ln x ÷ − ∫ xdx = + −  x ÷ = x x  1   1 1 1 e u = x  dv = cos xdx π Câu 7: Tính tích phân I = ∫ x cos xdx cách đặt Mệnh đề đúng? π B I = x 2πsin x − ∫ x sin xdx π π 2π A I = x sin x − ∫ x sin xdx 2π C I = x sin 2x + ∫ x sin 2xdx 0 π D I = x 2πsin x + ∫ x sin xdx Lời giải Chọn A Ta có: du = xdx u = x  ⇒   d v = cos x d x   v = sin x π π Khi đó: I = ∫ x2 cos xdx = x 2πsin x − ∫ x sin xdx Câu 8: π Tính tích phân I = ∫ x cos x dx π A − B π +1 C D π Lời giải Chọn A u = x  du = dx Đặt:  dv = cos x dx ⇒ v = sin x   π π I = x sin x − ∫ sin x dx = ( x sin x + cos x ) π = π −1 e Câu 9: Tính I = ∫ x ln xdx 1 A I = B I = e −2 ( ) C I = D I = e +1 ( ) Lời giải Chọn D Đặt  du = x dx u = ln x ⇒  dv = xdx v = x  199 e e Khi e  x2  x e2 x2 I = ∫ x ln xdx =  ln x ÷ − ∫ dx = −  1 e = 1 Câu 10: Cho biết tích phân I = ∫ ( x + ) ln ( x + 1) dx = a ln + e2 + −7 b a , b số nguyên dương Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A a = b B a < b C a > b Lời giải Chọn A D a = b +  du = dx u = ln ( x + 1)  x + ⇒  dv = ( x + ) dx  v = x + x  Đặt 1  x     x2 + 4x dx I =  + x ÷ln ( x + 1)  − ∫ dx = ln − ∫  x + − 2 x +1÷ 2 x +  0    =   x2 −7 ln −  + 3x − ln ( x + 1)  = ln + 2 0 Suy a = , b = Vậy a = b Câu 11: Tích phân π x ∫ + cos x dx = aπ + b ln , với a , b số thực Tính 16 a − 8b A B C D Lời giải Chọn A u = x  du = dx   ⇒ dx dv = + cos x  v = tan x Đặt  Ta có π π 1 π4 π π 1 π 1 I = x tan x − ∫ tan xdx = + ln cos x = + ln = − ln ⇒ a = , b = − 2 8 8 0 Do đó, 16 a − 8b = Câu 12: Biết a I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ln − c , b b a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Tính S = a + b + c A S = 60 B S = 70 c C S = 72 D S = 68 Lời giải Chọn B Ta có I = ∫ x ln ( x + 1) dx Đặt  du = dx u = ln ( x + 1)  2x + ⇒  dv = xdx v = x  200 I = ∫ x ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) 4 −∫ 0 x2 dx 2x + 4 x 1 = ln − ∫  − +  4 x + 1) ( 0   x2  63 ÷dx = 16 ln −  − x + ln x + ÷ = ln − ÷ 4  0   a = 63  a 63 ⇒ ln − c = ln − ⇒  b = ⇒ S = 70 b c =  Câu 13: Biết ∫ x ln ( x ) a , b , c số nguyên Giá trị biểu + dx = a ln + b ln + c , thức T = a + b + c A T = 10 B T = C T = Lời giải D T = 11 Chọn C Đặt  2x dx du = u = ln x + x +9  ⇔  dv = xdx  x2 + v =  ( ) ( Suy ∫ x ln ( x + ) dx = ) x2 + ln x + ( 4 0 ) − ∫ x 2+ x 2+x dx = 25 ln − ln − 2 Do a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = 1 Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn ∫ (3x + 1) f '( x) dx = 1& f(1) − (0) = 2017 Tính I = ∫ f (x)dx B I = 672 A I = −2016 C I = 2016 Hướng dẫn D I = −672 Chọn B Ta 1 có ∫ (3x + 1) f '( x) dx = ∫ (3x + 1) df ( x) = f ( x)(3x + 1) 10 − 3∫ f ( x)dx 0 1 0 = f(1) − (0) − 3∫ f ( x)dx = 2017 − 3∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ f ( x)dx = 672 Câu 15: Cho ∫ f ' ( x ) cos x.dx = A I = 2017 f( 1) cos1 − ( ) = 2018 Tính B I = 2019 I = ∫ f ( x ) sin x.dx C I = −2019 D I = −2017 Hướng dẫn giải Chọn A + Tính ∫ f ' ( x ) cos x.dx 1 = ∫ f ' ( x ) cos x.dx = cos x f ( x ) ⇔ ∫ f ( x ) sin x.dx = f( 1) cos − u = cos x  du = sin x.dx theo phần, đặt dv = f ' x dx => v = f x ( ) ( )   suy 1 − f ( x ) sin x.dx ∫0 ( ) − = 2017 201 Câu 16: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( 1) − F ( ) = ∫ F ( x ) dx =10 Tính I = ∫ ( x + 1) f ( x ) dx A B I = I = 11 C I = −9 Hướng dẫn giải D I = −11 Chọn C u = x + du = Đặt  dv = f x ⇒ v = F x ( )  ( )  1 Khi đó: I = ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = ( x + 1) F ( x ) − ∫ F ( x ) dx = 2F ( 1) − F ( ) − 10 = − 10 = −9 0 Câu 17: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) với F ( 1) = , ∫ F ( x ) dx = −1 Tính I = ∫ xf ( x ) dx A I =0 B I = −1 D I = C I = −2 Hướng dẫn giải Chọn D du = dx u = x Đặt dv = f x dx ⇒ v = F x ( ) ( )   1 0 I = xF ( x ) − ∫ F ( x ) dx = F ( 1) − ∫ F ( x ) dx = Câu 18: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f ( 1) = ∫ x f ( x ) dx = Tích phân ∫ x f ′ ( x ) dx A C −3 B D −1 Hướng dẫn giải Chọn D 1 u = x ⇒ du = 3x dx ⇒ I = ∫ x f ′ ( x ) dx = x f ( x ) − 3∫ x f ( x ) dx Đặt  dv = f ′ ( x ) dx ⇒ v = f ( x ) 0 ⇒ I = f ( 1) − = −1 Câu 19: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 Lời giải D I = Chọn D 202 ... 27 C - 27 26 D - 25 27 Lời giải Chọn B Ta có: ị 3x + x 9x - dx = ò ( x 3x ) dx = x2 - x - x +1 ? ?3 = ị 3x dx x - 1d ( x - 1) =ỗ x ỗ ũ ỗ ố 18 18 1 ) - x x - dx 3 Suy a = 26 - 16 ;b = 27 27 Tích... xdx = 3t dt Û xdx = 7 ò Vậy x dx + x2 Câu 10: Tích phân ị A = x2 t - 3t 141 =ò xdx = ò dt = ò( t - t ) dt = Khi ị 3 t 2 20 + x2 + x2 0 x dx ìï x = Þ t = 3t dt ïí ïï x = ị t = 2 ợ ỡùù m = 141 ®... phân ị A 26 16 = ( x - 1) ø÷ ÷ ÷1 27 - 27 2 Câu 7: ò( 3x 3 dx x +1 dx B C D Lời giải Chọn B Đặt 3x +1 = t Þ t = x +1 Þ 2tdt = 3dx ìï x = Þ t = ị i cn: ùớ ùùợ x = ị t = ò dx 2 2t 2 = ò dt

Ngày đăng: 25/11/2022, 14:27

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w