Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Trần Sĩ Tùng Giải tích 12 Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Tiết dạy: 42 Bài 1: NGUYÊN HÀM I MỤC TIÊU: Kiến thức: − Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số − Biết tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số − Các phương pháp tính nguyên hàm Kĩ năng: − Tìm nguyên hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm hàm số đơn giản Thái độ: − Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lôgic hệ thống II CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án Bảng công thức đạo hàm nguyên hàm Học sinh: SGK, ghi Ôn tập công thức đạo hàm III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ: (3') H Nhắc lại công thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, logarit? Đ Giảng mới: TL Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung 10' Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm nguyên hàm • GV dẫn dắt từ VD sau để giới • Các nhóm thảo luận trình I NGUN HÀM VÀ TÍNH CHẤT thiệu khái niệm nguyên hàm bày Nguyên hàm hàm số VD: Tìm hàm số F(x) cho: a) F(x) = x3 ; x3 + 3; x3 – 2; Cho hàm số f(x) xác định tren K ⊂ R Hàm số F(x) đgl F′ (x) = f(x) b) F(x) = tanx; tanx – 5; … nguyên hàm f(x) K nếu: a) f(x) = 3x với x ∈ R nếu, với ∀x ∈ K ta có: b) f(x) = ′ cos x  π π vớ i x∈  − ; ÷  2 H1 Tìm nguyên hàm ? F (x) = f (x) VD1: Tìm nguyên hàm Đ1 hàm số sau: a) F(x) = x2 ; x2 + 2; x2 – 5, a) f(x) = 2x R b) F(x) = lnx; lnx + 1; lnx – 3, b) f(x) = (0; +∞ ) x H2 Nêu nhận xét nguyên hàm hàm số ? Đ2 Các nguyên hàm Định lí 1: hàm số sai khác tham số Nếu F(x) nguyên hàm cộng f(x) K với số C, G(x) = F(x) + C G′ (x) = f (x) nguyên hàm f(x) K • GV cho HS nhận xét phát Định lí 2: biểu Giải tích 12 Trần Sĩ Tùng [ F (x) − G(x)] ′ = ⇒ F(x) – G(x) = C • GV giới thiệu kí hiệu họ nguyên hàm hàm số H3 Tìm nguyên hàm ? 10' Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Nhận xét: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K F(x) + C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu: ∫ f (x)dx = F (x) + C Đ3 a) ∫ 2xdx=x2 + C VD2: Tìm họ nguyên hàm: b) ∫ ds = ln s + C s c) ∫ costdt = sint + C c) f(t) = cost a) f(x) = 2x b) f(s) = s Hoạt động 2: Tìm hiểu tính chất ngun hàm • GV hướng dẫn HS nhận xét Tính chất ngun hàm chứng minh tính chất • ∫ f ′(x)dx=f(x)+C • GV nêu số VD minh hoạ • • ∫ kf (x)dx=k∫ f (x)dx (k ≠ 0) tính chất (cosx)′dx=cosx+C ∫ x x x ∫ 3e dx=3∫ e dx=3e + C   f (x) ± g(x)dx=∫ f (x)dx • ∫ ± ∫ g(x)dx 2 ∫  3sin x + x ÷dx=-3cosx+2lnx+C H1 Tìm ngun hàm ? Đ1 x2 + 2sinx + C a) ∫ f (x)dx= b) ∫ f (x)dx=x − 5ex + C c) ∫ f (x)dx= x3 + cosx + C d) ∫ f (x)dx= x3 − sin2x + C 3' VD3: Tìm nguyên hàm: a) f (x) = x + 2cosx b) f (x) = 3x2 − 5ex c) f (x) = x2 − sinx d) f (x) = x − cos2x Hoạt động 3: Củng cố Nhấn mạnh: – Mối liên hệ đạo hàm nguyên hàm – Các tính chất nguyên hàm BÀI TẬP VỀ NHÀ: − Bài SGK − Đọc tiếp "Nguyên hàm" IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: Trần Sĩ Tùng Tiết dạy: 43 Giải tích 12 Bài 1: NGUYÊN HÀM (tt) I MỤC TIÊU: Kiến thức: − Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số − Biết tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số − Các phương pháp tính ngun hàm Kĩ năng: − Tìm nguyên hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm số đơn giản Thái độ: − Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề toán học cách lôgic hệ thống II CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án Bảng công thức đạo hàm nguyên hàm Học sinh: SGK, ghi Ơn tập cơng thức đạo hàm III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ: (3') H Nêu định nghĩa tính chất nguyên hàm? Đ Giảng mới: TL 10' Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu tồn nguyên hàm • GV nêu định lí Sự tồn nguyên hàm Định lí 3: Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K H1 Xét tính liên tục hàm số tập xác định nó? Đ1 a) f (x) = x3 (0; +∞) b) liên tục khoảng ∫ 3 x dx= x a) +C f (x) = VD1: Chứng tỏ hàm số sau có nguyên hàm: f (x) = x3 b) f (x) = sin2 x liên tục c) f (x) = 2x sin2 x khoảng (kπ ;(k + 1)π ) ∫ dx=− cot x + C sin2 x c) f (x) = 2x liên tục R 15' 2x x dx= +C ∫ ln2 Hoạt động 2: Tìm hiểu bảng ngun hàm • GV cho HS tính điền vào • Các nhóm thảo luận trình Bảng nguyên hàm số hàm số bảng bày ax x a dx= + C (a > 0,a ≠ 1) ∫ ∫ 0dx=C lna Giải tích 12 Trần Sĩ Tùng ∫ dx=x+C α ∫x α +1 dx= x + C (α ≠ −1) α +1 ∫ xdx=ln x + C x x ∫ e dx=e • GV nêu ý 10' • Cho HS tính H1 Nêu cách tìm ? +C ∫ cosxdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cosx + C ∫ dx = tan x + C cos2 x ∫ dx = − cot x + C sin x Chú ý: Tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Hoạt động 3: Áp dụng bảng ngun hàm • Các nhóm tính trình bày VD2: Tính:  2  A = x3 + 33 x + C dx A = ∫  2x + ÷ ÷ x   x−1 B = 3sin x − + C B = ∫ (3cosx − 3x−1)dx ln3 C = tan x − cot x + C dx C= ∫ sin x.cos2 x D = ln x + + C x x−1 D = ∫ dx x Đ1 Tìm họ nguyên hàm F(x) VD3: Tìm nguyên hàm hàm số, sau sử dụng giả thiết hàm số, biết: để tìm tham số C a) f (x) = x3 − 4x + 5; F (1) = x a) F (x) = − 2x + 5x + C b) f (x) = 3− 5cosx; F (π ) = c) f (x) = 3− 5x ; F (e) = F(1) = ⇒ C = − x b) F(x) = 3x – 5sinx + C d) f (x) = x + 1; F (1) = F(π) = ⇒ C = – 3π x 2 x c) F (x) = 3ln x − +C 2 F(e) = ⇒ C = + 5e 2 d) F (x) = x + ln x + C F(1) = ⇒C = Hoạt động 4: 3' Nhấn mạnh: – Bảng nguyên hàm BÀI TẬP VỀ NHÀ: − Bài SGK − Đọc tiếp "Nguyên hàm" IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: Trần Sĩ Tùng Tiết dạy: 44 Giải tích 12 Bài 1: NGUYÊN HÀM (tt) I MỤC TIÊU: Kiến thức: − Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số − Biết tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số − Các phương pháp tính ngun hàm Kĩ năng: − Tìm ngun hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm số đơn giản Thái độ: − Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lơgic hệ thống II CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án Bảng công thức đạo hàm nguyên hàm Học sinh: SGK, ghi Ơn tập cơng thức đạo hàm III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ: (3') H Nêu số cơng thức tính ngun hàm? Đ Giảng mới: TL Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung 10' Hoạt động 1: Tìm hiểu phương pháp đổi biến số • GV cho HS xét VD, từ • Các nhóm thảo luận trình II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM giới thiệu định lí bày Phương pháp đổi biến số VD: a) u = x – ⇒ du = dx 10 Định lí: ⇒ ( x − 1)10 dx = u10 du a) Cho ∫ ( x − 1) dx Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C dx Đặt u = x –1 b) t = lnx ⇒ dt = hàm số u = u(x) có đạo hàm x Hãy viết ( x − 1)10 dx theo u, du liên tục thì: ln x ln x ⇒ = tdt dx Đặt t = lnx b) Cho ∫ x x ∫ f (u(u ( x)).u′ ( x)dx = F (u ( x)) + C ln x Hãy viết theo t, dt Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ x ′ 0) • GV hướng dẫn HS chứng • [ F (u ( x))] = f (u ( x)).u′ ( x ) ta có: minh định lí ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Chú ý: Nêu tính nguyên hàm theo biến u sau tính ngun hàm phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) 25' Hoạt động 2: Áp dụng phương pháp đổi biến số • Hướng dẫn HS cách đổi biến • Các nhóm thảo luận trình VD1: Tính bày A = ∫ sin(3x − 1)dx a) t = 3x – Giải tích 12 Trần Sĩ Tùng ⇒A = − cos(3x − 1) + C b) t = x + 1  1 − ÷+ C ⇒B =  ( x + 1)  4( x + 1)  c) t = – 2x +C ⇒C = 8(3 − x) d) t = cosx ⇒ D = − ln cos x + C H1 Nêu cách đổi biến ? Nhấn mạnh: – Cách sử dụng phương pháp đổi biến để tìm ngun hàm • Câu hỏi: Lập bảng ngun hàm hàm số hợp? ∫ ( x + 1) C= ∫ (3 − x) dx dx D = ∫ tan xdx VD2: Tính: x +1 E = ∫ x.e dx Đ1 e) t = x + 5' x B= ∫ e x e x +1 ⇒E = +C f) t = x ⇒ F = 2e x + C g) t = tan x ⇒ G = e tan x h) t = ln x ln x ⇒H = +C Hoạt động 3: F= ∫ u'(x)dx = u(x) + C α +1 α ( u(x)) ′ ( ) ∫ u(x) u (x)dx= α + + C ∫ cosu(x).u′ (x)dx = sinu(x) + C ∫ sinu(x).u′ (x)dx = − cosu(x) + C (α ≠ –1) ∫ u′ (x) dx = ln u(x) + C u(x) u( x) ∫e u′ (x)dx = e u( x) +C dx x e tan x G= ∫ dx cos x ln x H= ∫ dx x ∫ ∫ u′ (x) cos2 u(x) u′ (x) sin2 u(x) dx = tanu(x) + C dx = − cot u(x) + C au(x) u(x) ′ a u ( x ) dx = +C ∫ lna (a > 0, a ≠ 1) BÀI TẬP VỀ NHÀ: − Bài SGK − Bài tập ơn Học kì IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: Trần Sĩ Tùng Tiết dạy: 49 Giải tích 12 Bài 1: NGUYÊN HÀM (tt) I MỤC TIÊU: Kiến thức: − Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số − Biết tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số − Các phương pháp tính nguyên hàm Kĩ năng: − Tìm nguyên hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm hàm số đơn giản Thái độ: − Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lôgic hệ thống II CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án Bảng công thức đạo hàm nguyên hàm Học sinh: SGK, ghi Ơn tập cơng thức đạo hàm III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ: (3') H Nêu số công thức tính nguyên hàm? Đ Giảng mới: TL Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung 10' Hoạt động 1: Tìm hiểu phương pháp tính nguyên hàm phần • Dẫn dắt từ VD, GV giới thiệu Phương pháp tính nguyên hàm phần phương pháp tính ngun hàm • Định lí: Nếu hai hàm số u = phần (x cos x)′ = cosx – xsinx u(x) v = v(x) có đạo hàm VD: Tính (x cos x)′ ; ′ ( x cos x ) dx = xcosx + C liên tục K thì: ∫ ′ cos xdx ∫ (xcosx) dx ; ∫ ∫ udv = uv− ∫ vdu cos xdx = sinx + C Từ tính ∫ xsin xdx ∫ ⇒ ∫ xsin xdx =–xcosx+sinx +C • GV nêu định lí hướng dẫn • (uv)′ = u′v + uv′ HS chứng minh ⇒ uv′ = (uv)′ − u′v 25' Hoạt động 2: Áp dụng phương pháp tính ngun hàm phần • GV hướng dẫn HS cách phân • HS theo dõi thực hành VD1: Tính: tích u = x A = ∫ xexdx a) Đặt  x  dv = e dx B = ∫ x cos xdx x x A = xe − e + C C = ∫ ln xdx u = x b) Đặt  D = ∫ xsin xdx  dv = cos xdx B = xsin x + cos x + C u = ln x c) Đặt   dv = dx Giải tích 12 Trần Sĩ Tùng ⇒ C = x ln x − x + C u = x d) Đặt   dv = sin xdx D = − x cos x + sin x + C Đ1 H1 Nêu cách phân tích ? u = x2 + e) Đặt   dv = sin xdx VD2: Tính: ⇒E= − (x2 + 3)cosx + 2xsinx + C E = ∫ (x2 + 5)sin xdx u = x2 + 2x + f) Đặt   dv = cos xdx F = ∫ (x2 + 2x + 3)cos xdx G = ∫ ln(x2 + 1)dx ⇒F= (x + 1) sin x + 2xcos x + C 2 H = ∫ x3ex dx u = ln2 x g) Đặt   dv = dx ⇒G= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C h) Đặt t = x2 1 ⇒H= ∫ tetdt = (tet − et ) + C 2 2 = ( x2ex − ex ) + C 5' Hoạt động 3: Củng cố Nhấn mạnh: – Phương pháp tính nguyên hàm phần • Câu hỏi: Nêu cách phân tích số dạng thường gặp? ∫ P(x)sin xdx ∫ P (x)cosxdx ∫ P(x)e dx ∫ P(x)ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv sinxdx cosxdx exdx P(x)dx x BÀI TẬP VỀ NHÀ: − Bài SGK IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: Trần Sĩ Tùng Tiết dạy: 50 Giải tích 12 Bài 1: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM I MỤC TIÊU: Kiến thức: Củng cố: − Khái niệm nguyên hàm hàm số − Các tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số − Các phương pháp tính nguyên hàm Kĩ năng: − Tìm nguyên hàm số hàm số đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần − Sử dụng phương pháp tính ngun hàm để tìm ngun hàm hàm số đơn giản Thái độ: − Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lôgic hệ thống II CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án Bảng công thức đạo hàm nguyên hàm Học sinh: SGK, ghi Ơn tập cơng thức đạo hàm III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ: (Lồng vào trình luyện tập) H Đ Giảng mới: TL Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung 10' Hoạt động 1: Củng cố khái niệm nguyên hàm H1 Nhắc lại định nghĩa Đ1 F′ (x) = f(x) Trong cặp hàm số sau, nguyên hàm hàm số? a) Cả nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số lại: b) sin x nguyên hàm a) e − x − e − x sin2x b) sin x sin x  4 x 2 x c) 1 − ÷e nguyên hàm  c)  − ÷ e  − ÷e x  x  x  x 2 x   − ÷ e  x H2 Nhắc lại bảng nguyên Đ2 hàm? a) x + x + x + C x + ln − +C b) x e (ln − 1) 11  c) −  cos8 x + cos x ÷+ C 3  1+ x +C d) ln 1− 2x 1  • Hướng dẫn cách phân tích • (1 + x)(1 − x) =  + x + − x ÷   phân thức 15' Tìm ngun hàm hàm số sau: x + x +1 a) f ( x ) = x x −1 b) f ( x) = x e c) f ( x ) = sin x.cos x d) f ( x) = (1 + x)(1 − x) Hoạt động 2: Luyện tập phương pháp đổi biến số Giải tích 12 H1 Nêu cơng thức đổi biến ? Trần Sĩ Tùng Đ1 (1 − x)10 − +C 10 a) t = – x ⇒A = b) t = + x2 ⇒ 5 2 B = (1 + x ) + C c) t = cosx ⇒ C = − cos x + C d) t = ex + ⇒ D = − 15' Sử dụng phương pháp đổi biến, tính: a) ∫ (1 − x) dx +C + ex b) ∫ x(1 + x ) dx c) ∫ cos x sin xdx d) ∫e x dx + e− x + Hoạt động 3: Luyện tập phương pháp nguyên hàm phần H1 Nêu cách phân tích? Đ1 Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, u = ln(1 + x) a)  dv = xdx tính:  a) ∫ x ln(1 + x)dx 1 x A = ( x − 1) ln(1 + x) − x + + C x b) ∫ ( x + x − 1)e dx u = x + x − x  dv = e dx c) ∫ x sin(2 x + 1)dx b)  d) ∫ (1 − x) cos xdx B = e x ( x − 1) + C u = x c)  dv = sin(2 x + 1)dx  x u = − x   dv = cos xdx C = − cos(2 x + 1) + sin(2 x + 1) + C d) D = (1 − x) sin x − cos x + C 3' Hoạt động 4: Củng cố Nhấn mạnh: – Bảng nguyên hàm – Các sử dụng phương pháp tính nguyên hàm BÀI TẬP VỀ NHÀ: − Bài tập thêm − Đọc trước "Tích phân" IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: 10