BÀI KHÁI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI H H Khối đa diện ( ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm ( ) ln H H thuộc ( ) Khi đa diện giới hạn ( ) gọi đa diện lồi Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: Các mặt đa giác n cạnh Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh n, p Khối đa diện gọi khối đa diện loại { } Định lí Chỉ có năm khối đa diện Đó là: 3;3 Loại Loại { } : khối tứ diện 4;3 Loại Loại { } : khối lập phương 3;4 Loại Loại { } : khối bát diện LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 280 5;3 Loại Loại { } : khối 12 mặt 3;5 Loại Loại { } : khối 20 mặt Khối tứ diện Khối lập phương Khối đa diện Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện { 3;3} Khối lập phương 12 { 4;3} Bát diện 12 { 3;4} Mười hai mặt 20 30 12 { 5;3} Hai mươi mặt 12 30 20 { 3;5} Chú ý.Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại { n; p} Ta có pĐ = 2C = nM Xét tứ diện ïì n = 3, p = pĐ=2C =nM nM nM ¾¾ ¾ ¾¾ ®C = =6 & Đ = = ùùợ M = p { 3;3} đ ïí Xét khối lập phương Xét bát diện ìï n = 4, p = pĐ =2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 12 & Đ = = ïïỵ M = p { 4;3} ® ïí ïì n = 3, p = p=2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 12 & Đ = = { 3;4} « ïí ïïỵ M = p Xét khối mười hai mặt LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 281 ïì n = 5, p = p=2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 30 & Đ = = 20 ïïỵ M = 12 p { 5;3} ® ïí Xét khối hai mươi mặt ïì n = 3, p = p=2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 30 & Đ = = 12 ïïỵ M = 20 p { 3;5} ® ïí B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình khối sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện lồi A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng tính chất khối đa diện lồi ( H ) : '' Đoạn thẳng nối hai điểm ( H ) ln thuộc ( H ) '' Câu 2: Cho hình khối sau: Hình Hình Hình Hình Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi là: A B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 C D 282 Hướng dẫn giải Chọn B Có hai khối đa diện lồi là: Hình & Hình Câu 3: Tâm tất mặt hình lập phương đỉnh hình hình sau đây? A Bát diện B Tứ diện C Lục giác D Ngũ giác Hướng dẫn giải Chọn A Câu 4: Chọn khẳng định khẳng định sau: A Tâm tất mặt hình lập phương đỉnh hình lập phương B Tâm tất mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện C Tâm tất mặt hình tứ diện đỉnh hình lập phương D Tâm tất mặt hình lập phương đỉnh hình tứ diện Hướng dẫn giải Chọn B Câu 5: Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành A đỉnh hình tứ diện B đỉnh hình bát diện C đỉnh hình mười hai mặt LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 283 D đỉnh hình hai mươi mặt Hướng dẫn giải Chọn B Câu 6: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Tồn khối tứ diện khối đa diện B Tồn khối lặng trụ khối đa diện C Tồn khối hộp khối đa diện D Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện Hướng dẫn giải Chọn D Trong loại khối đa diện khơng tồn khối chóp có đáy tứ giác Câu 7: Trong khơng gian có loại khối đa diện hình vẽ Khối tứ diện Khối lập phương Mệnh đề sau đúng? Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt A Mọi khối đa diện có số mặt số chia hết cho B Khối lập phương khối bát diện có số cạnh C Khối tứ diện khối bát diện có tâm đối xứng D Khối mười hai mặt khối hai mươi mặt có số đỉnh Hướng dẫn giải Chọn B LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 284 Khối lập phương có mặt Do A sai Khối lập phương khối bát diện có số cạnh 12 Khối tứ diện khơng có tâm đối xứng Do C sai Khối 12 mặt có 20 đỉnh Khối 20 mặt có 12 đỉnh Do D sai Câu 8: Mỗi khối đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba mặt số đỉnh Đ số cạnh C khối đa diện ln thỏa mãn: A Đ = C - B Đ ³ C C 3Đ = 2C D 3C = 2Đ Hướng dẫn giải Chọn C Do đỉnh đỉnh chung ba mặt nên suy số cạnh khối đa diện 3Đ Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ = 2C Câu 9: Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại { 4;3} là: A 4p B 8p C 12p D 10p Hướng dẫn giải Chọn C Khối đa diện loại { 4;3} khối lập phương, gồm mặt hình vng nên tổng góc 6.2p = 12p Câu 10: Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại { 3;5} là: A 12p B 16p C 20p D 24p Hướng dẫn giải Chọn C Khối đa diện loại { 3;5} khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt tam giác nên tổng góc 20.p = 20p Câu 11: Tổng độ dài l tất cạnh tứ diện cạnh a A l = 4a B l = 6a C l = D l = Hướng dẫn giải Chọn B Tứ diện có tất cạnh nên có tổng độ dài cạnh 6a LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 285 Câu 12: Tổng độ dài l tất cạnh khối mười hai mặt cạnh A l = B l = 16 C l = 24 D l = 60 Hướng dẫn giải Chọn D Khối mười hai mặt có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cạnh l = 30.2 = 60 Câu 13: Cho hình đa diện loại { 4;3} cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng? A S = 4a B S = 6a C S = 8a D S = 10a2 Hướng dẫn giải Chọn B Đa diện loại { 4;3} khối lập phương nên có mặt hình vng cạnh a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất mặt Câu 14: S = 6a2 Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Mệnh đề đúng? A S = a B S = a C S = a D S = 8a2 Hướng dẫn giải Chọn C Hình bát diện hình có tám mặt mặt tam giác Gọi S0 diện tích tam giác cạnh Vậy din tớch S cn tớnh l a ắắ đ S0 = S = 8.S0 = a2 a2 = a2 Câu 15: Cho hình 20 mặt có cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng? A S = 10 C S = 20 B S = 20 D S = 10 Hướng dẫn giải Chọn B Hình 20 hình có 20 mặt mặt tam giác Gọi S0 diện tích tam giác cạnh LỚP TỐN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 ¾¾ ® S0 = 22 = 286 Vậy diện tích S cần tính S = 20.S0 = 20 LỚP TOÁN THẦY CƯ_TP HUẾ_SĐT: 0834 332 133 287