BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1 Khái niệm tiệm cận Cho hàm số có đồ thị Điểm , là khoảng cách từ đến đường thẳng Đường thẳng gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu k[.]
BÀI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm tiệm cận Cho hàm số y = f ( x) C M Ỵ ( C ) MH có đồ thị ( ) Điểm , khoảng cách từ M n ng thng d x đ +Ơ ng thng d gọi tiệm cận đồ thị hàm số khoảng cách MH dần x ® x0 Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ), tiệm cận ngang (TCN) a Tiệm cận ngang y = f ( x) a;+¥ ) , ( - ¥ ;b) Cho hàm số xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ( - ¥ ;+¥ ) ) Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) y = f ( x) đồ thị hàm số điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x ) = y0 ; x đ+Ơ lim f ( x ) = y0 x đ- Ơ Chú ý : Nếu lim f ( x) = lim f ( x) = l xđ+Ơ xđ- Ơ thỡ ta viết chung lim f ( x) = l xđƠ a;+Ơ ) , ( - Ơ ;b) - ¥ ;+¥ ) Hàm số có TXĐ khơng phải dạng sau: ( ( đồ thị khơng có tiệm cận ngang b Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x ) =+Ơ ; x đ x0- lim f ( x ) =+Ơ ; x đ x0+ lim f ( x ) =- Ơ ; x đ x0- lim f ( x ) =- Ơ x đ x0+ 39 Chú ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng tiệm cận đứng x =- y= ax + b ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0) cx + d ln có tiệm cận ngang y= a c d c B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dựa vào định nghĩa tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Câu 1: lim f ( x) = lim f ( x) = - y = f ( x) Cho hàm s cú xđ+Ơ v xđ- Ơ Khng nh no sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y = - D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng x = x = - Lời giải Chọn C Theo định nghĩa tiệm cn, ta cú: lim f ( x) = 1ắắ đ y =1 xđ+Ơ Cõu 2: l TCN, lim f ( x) = - 1ắắ đ y=- xđ- Ơ l TCN lim f ( x) = lim f ( x) = +¥ y = f ( x) Cho hàm s cú xđ+Ơ v xđ- Ơ Khng nh no sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm sốnằm phía trục hồnh C Đồ thị hàm sốcó tiệm cận ngang trục hoành D Đồ thị hàm sốcó tiệm cận đứng đường thẳng y = Lời giải Chọn C Ta có lim f ( x) = ắắ đ y=0 xđ+Ơ l TCN 40 Đáp án B sai chọn hàm Câu 3: x ỡù ổử ùù ỗ1ữ ữ ;x Ê - ùù ỗ ữ ỗ ố2ứ ù y=ớ x ùù ổử 1ữ ùù - ỗ ữ ữ ;x ỗ ùùợ ỗ ố2ứ Vy ta ch cú ỏp ỏn C lim f ( x) = lim f ( x) = +¥ y = f ( x) Cho hm s cú xđ+Ơ v xđ Khng nh sau khẳng định đúng? + A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng B Trục hoành trục tung hai tiệm cận đồ thị hàm số cho C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đường thẳng y = D = ( 0, +¥ ) D Hàm số cho có tập xác định Lời giải Chọn B Theo định nghĩa tiệm cận, ta có: lim f ( x) = ắắ đ y= xđ+Ơ Cõu 4: l TCN, lim f ( x) = +Ơ ắắ đ x=0 xđ 0+ TCĐ lim f ( x) = +¥ lim f ( x) = - y = f ( x) Cho hm s cú xđ- Ơ v xđ1 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang + C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = - tiệm cận đứng x = D Đồ thị hàm số haitiệm cận ngang đường y = - y = Lời giải Chọn C Theo định nghĩa tiệm cận, ta cú: lim f ( x) = - ắắ đ y=- xđ- Ơ Cõu 5: Cho hm s õy đúng? y = f ( x) có TCN, lim f ( x) = +Ơ ắắ đ x =1 xđ 1+ lim f ( x) = xđƠ v TCĐ lim f ( x) = lim+ f ( x) = 10 x® 2- x® Khẳng định sau A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = đường thẳng x = tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = 10 D Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang có tiệm cận đứng x = Lời giải Chọn A Theo định nghĩa tiệm cận, ta có: 41 lim f ( x) = ắắ đ y=1 xđƠ l TCN lim f ( x) = lim- f ( x) = 10 ¾¾ ® x=0 x® 2+ Câu 6: x® Cho hàm số D có f ( x) khơng phải TCĐ có tập xác định D = ( - 3;3) \ { - 1;1} , liên tục khoảng tập lim+ f ( x) =- ¥ ; xđ( - 3) lim f ( x) = +Ơ ; xđ1- lim- f ( x) =- Ơ ; xđ( - 1) lim f ( x) = +Ơ ; xđ1+ lim+ f ( x) = - Ơ ; xđ( - 1) lim f ( x) = +Ơ xđ 3- Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số có hai TCĐ đường thẳng x = - x = B Đồ thị hàm số có hai TCĐ đường thẳng x =- x = C Đồ thị hàm số có bốn TCĐ đường thẳng x = ±1 x = ±3 D Đồ thị hàm số có sáu TCĐ Lời giải Chọn C Câu 7: Chọn khẳng định khẳng định sau: A Đồ thị hàm số lim f ( x) = xđ- Ơ B Nu hàm số lim f ( x) = có tiệm cn ngang y = v ch xđ+Ơ y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) không xác định x0 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0 C Đồ thị hàm số lim f ( x) = +Ơ xđ y = f ( x) có tiệm cận đứng x = v ch lim f ( x) = +Ơ xđ 2+ - D Đồ thị hàm số y = f ( x) có nhiều hai đường tiệm cận ngang Lời giải Chọn D A saivì cần hai giới hạn lim f ( x) = xđ- Ơ hoc lim f ( x) = xđ+Ơ tn ti thỡ ó suy c tim cận ngang y = lim f ( x) lim f ( x) B sai,ví dụ hàm số y = x - không xác định x = - x®( - 2) x®( - 2) không tiến đến vô nên x = - tiệm cận đứng đồ thị hàm số - + C saivì cần tồn bốn giới hạn sau: lim f ( x) = - ¥ , lim- f ( x) = +¥ , lim+ f ( x) = - ¥ , lim+ f ( x) = +Ơ xđ 2- D ỳngvỡ ch có hai giới hạn x® x® lim f ( x) , lim f ( x) xđ- Ơ xđ+Ơ x® 42 Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số tìm đường tiệm cân Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ \ { - 1} , có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = - tiệm cận ngang x = - B Đồ thị hàm số có tiệm cận C Đồ thị hàm số có ba tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =- tiệm cận ngang y = - Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta có: ỡù lim f ( x) = +Ơ ùù xđ( - 1) ùớ ắắ đ x =- ùù lim f ( x) = - Ơ ùùợ xđ( - 1) + TCĐ Câu 2: y =- ïìï xlim ïí đ- Ơ ắắ đ y=- ùù lim y =- ùợ xđ+Ơ l TCN f x Ă \ { - 1} , Cho hàm số ( ) xác định liên tục có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận C Đồ thị hàm số có hai TCN y = 2, y = TCĐ x = - D Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên, ta có: ỡù lim f ( x) = +Ơ ùù xđ ( - 1) + ùớ ắắ đ x =- ùù lim f ( x) = - Ơ ùùợ xđ ( - 1) - TCĐ 43 lim f ( x) = ắắ đ y= xđ- Ơ Cõu 3: Cho hàm số y = f ( x) TCN v lim f ( x) = ắắ đ y=2 xđ+Ơ l TCN cú bng bin thiờn nh sau: Kt luận sau đầy đủ đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x) ? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = ±1 B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = ±1 , tiệm cận đứng x =- D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1, tiệm cận đứng x = - Lời giải Chọn A Câu 4: lim f ( x) = Ơ Ta cú xđ- Ta cú xđ- Ơ nên đồ thị hàm số khơng có TCĐ lim f ( x) = - 1ắắ đ y=- l TCN; lim f ( x) = 1ắắ đ y =1 xđ+Ơ TCN y = f ( x) ¡ \ { 0} Cho hàm số xác định , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng B Hàm số đạt cực tiểu x = C Giá trị lớn hàm số D Hàm số khơng có cực trị Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau: A đúngvì lim f ( x) = lim- f ( x) = - Ơ ắắ đ x=0 xđ 0+ x® tiệm cận đứng đồ thị hàm số B saivì x = hàm số khơng xác định 44 0;+¥ ) C saivì hàm số đạt giá trị lớn khoảng ( mà không đạt giá trị lớn khoảng ( - Ơ ;0) đ x =1 D saivỡ o hàm y¢ đổi dấu từ "+ " sang "- " qua điểm x = ¾¾ điểm cực đại hàm số Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau sai? A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = D Đồ thị hàm số có tất hai đường tiệm cận Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta có: lim y = ắắ đ y= xđƠ l TCN; ùỡù lim + y = - Ơ ù xđ ( - 3) ắắ đ x =- ùù lim - y = +Ơ ùùợ xđ ( - 3) ỡù lim+ y = - Ơ ùù xđ ắắ đ x=3 ùù lim- y = +Ơ ùợ xđ TCĐ; TCĐ Vậy đồ thị hàm số có tất ba đường tiệm cận Do D sai Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận? A B C Lời giải D 45 Chọn C Từ bảng biến thiên, ta cú: lim y = ắắ đ y= xđ+Ơ lim + y = - Ơ ắắ đ x =- l TCN; xđ( - 2) lim y = +Ơ ¾¾ ® x= x® 0- TCĐ; TCĐ Vậy đồ thị hàm số cho có ba đường tiệm cận Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận? A B C Lời giải D Chọn B Từ bảng biến thiên, ta cú: lim y = +Ơ ắắ đ xđ+Ơ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang; lim + y = +Ơ ắắ đ x =- xđ ( - 2) lim y = - Ơ ắắ đ x =1 x® 1+ TCĐ; TCĐ Vậy đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận Dạng 3: Cho hàm số Câu 1: y f x Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số y= Tìm tọa độ giao điểm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số - 2;2) 2;1 - 2;- 2) - 2;1) A ( B ( ) C ( D ( x- x+2 Lời giải Chọn D TXĐ D = ¡ \ { - 2} Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: x = - TCN: y = - 2;1) Suy giao điểm hai đường tiệm cận ( 46 Câu 2: Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B y= x2 - 3x - x2 - 16 C Lời giải D Chọn D Xét phương trình x - 16 = Û x = ±4 Ta có: ( x +1) ( x - 4) x2 - 3x - x +1 = lim = lim = Ơ đ x =- xđ- x®- ( x + 4) ( x - 4) x®- x + x - 16 lim y = lim x®- ( x +1) ( x - 4) x2 - 3x - x +1 = lim = lim = ® x=4 x® x ® x ® x+ x - 16 ( x + 4) ( x - 4) TCĐ; lim y = lim x® khơng TCĐ Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Câu 3: Đồ thị hàm số A y= x- x2 - có tất đường tiệm cận? B C Lời giải D Chọn C TXĐ: D = ¡ \ { ±3} lim- y = lim- x® x® x- x- = - ¥ ; lim+ y = lim+ = +Ơ ắắ đx=3 xđ x® x - x - lim y = lim- x®- 3- Ta có: x®- TCĐ; x- x- = +¥ ; lim+ y = lim+ = - Ơ ắắ đ x =- x®- x®- x - x2 - 2 - - x x lim y = lim = 0; lim y = lim x x = ắắ đ y= xđ- Ơ xđ- Ơ xđ+Ơ xđ+Ơ 9 1- 1- x x TCĐ; TCN Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận Câu 4: Đồ thị hàm số hàm số có tiệm cận đứng? A y= x B y= x4 +1 C Lời giải y= x2 +1 D y= x2 + x +1 Chọn A Nhận thấy đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D = ¡ nên khơng có TCĐ Dùng phương pháp loại trừ A (Thật vậy; hàm số y= x có lim y = lim+ xđ 0+ xđ x = +Ơ ắắ đ x=0 TCĐ) 47 Câu 5: Đồ thị hàm số A ìï x2 +1 ïï x ³ ï x y = ïí ïï 2x ïï x < ïỵ x - B có tất đường tiệm cận? C D Lời giải Chọn A Ta có: lim y = lim- xđ1- xđ1 2x = - Ơ ắắ đ x =1 x- l TC; 2x = ắắ đ y=2 x- l TCN; lim y = lim xđ- Ơ xđ- Ơ lim y = lim xđ+Ơ xđ+Ơ x2 +1 = 1ắắ đ y=1 x l TCN Vy th hàm số có ba tiệm cận y = f ( x) = Câu 6: 3x + x +1 Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số f x A Đồ thị hàm số ( ) có tiệm cận ngang đường thẳng y = khơng có tiệm cận đứng f x B Đồ thị hàm số ( ) tiệm cận ngang có tiệm cận đứng đường thẳng x = - f x C Đồ thị hàm số ( ) có tất hai tiệm cận ngang đường thẳng y = - , y = khơng có tiệm cận đứng f x D Đồ thị hàm số ( ) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = - 1, x = Lời giải Chọn C ® TXĐ: D = ¡ ¾¾ đồ thị khơng có tiệm cận ng lim Ta cú xđ- Ơ 3x + =- ắắ đ y=- x +1 y= Cõu 7: th hm s A lim l TCN; xđ+Ơ 3x + = ắắ đ y=3 x +1 TCN x2 +1 x2 - x - có tất đường tiệm cận? B C Lời giải D Chọn D 48 lim y = lim Ta cú xđƠ xđƠ Xột phng trỡnh x2 +1 = 1ắắ đ y =1 x2 - x - TCN éx = x2 - x - = Û ê êx = - ë ìï ïï lim y = lim x +1 = +Ơ ùù xđ2+ xđ 2+ x - x - ùớ ắắ đx=2 ùù x2 +1 ùù lim- y = lim- =- Ơ xđ x - x - ùùợ xđ2 l TC; ỡù ùù lim y = lim x +1 = - ¥ ïï x®- 2+ x®- 2+ x - x - ùớ ắắ đ x =- ùù x2 +1 ùù lim- y = lim- = +Ơ xđ- x - x - ùùợ xđ- l TC Vy đồ thị hàm số cho có ba đường tiệm cận y= Câu 8: x +1 x +1 Mệnh đề sau đúng? Cho hàm số A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang, khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Lời giải Chọn C ® đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng TXĐ: D = Ă ắắ Ta cú: lim y = lim xđ+Ơ xđ+Ơ lim y = lim xđ- Ơ xđ- Ơ ổ 1ử xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ xứ ố ổ 1ử xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ xứ ố = lim = lim = ắắ đ y =1 xđ+Ơ xđ+Ơ 1 x +1 x 1+ x 1+ x x x +1 x +1 x2 +1 = lim xđ- Ơ ổ 1ử xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố xứ x 1+ x = lim xđ- Ơ ổ 1ử ữ xỗ ữ ỗ1+ ứ ỗ ố xữ - x 1+ x l TCN; = - 1ắắ đ y=- TCN Vậy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng có hai tiệm cận ngang y= Câu 9: Đồ thị hàm số A x +1 4x + 2x +1 có tất đường tiệm cận? B C Lời giải D Chọn B 49 ® Ta có 4x + 2x +1> 0, " x Ỵ ¡ ¾¾ TXĐ hàm số D = ¡ Do đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng x +1 lim Xột xđ+Ơ lim xđ- Ơ 4x + 2x +1 x +1 4x + 2x +1 =- = 1 ắắ đ y= 2 1 ắắ đ y=2 l TCN; l TCN Vy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Câu 10: Đồ thị hàm số A y= x +1 x2 - có tất đường tiệm cận? B C Lời giải D Chọn C TXĐ: D = ( - 1;1) È ( 1;+¥ ) Ta có: ìï x +1 ïï lim y = lim = lim+ = +Ơ ùù xđ1+ xđ1+ ( x +1) ( x - 1) x®1 x + x ( ) ï ¾¾ ® x =1 í ïï x +1 ïï lim y = lim = lim=- Ơ xđ1- ( x +1) ( x - 1) x®1 ïï x®1x +1( x - 1) ợ lim+ y = lim+ xđ( - 1) xđ( - 1) lim y = lim xđ+Ơ xđ+Ơ x +1 ( x +1) ( x - 1) x +1 = lim x2 - xđ+Ơ = lim+ x®( - 1) ( x - 1) x +1 l TC; =- Ơ ắắ đ x =- TCĐ; 1 + x x = ắắ đ y=0 1- x L TCN Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Dạng 4: Bài tốn tìm tham số m liên quan đến đường tiệm cận Câu 1: Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm sô qua điểm A ( y= mx - 2x + m có đường tiệm cận đứng ) M - 1; m= B m= C Lời giải m= D m= 2 Chọn A ì mü D = ¡ \ ùớ - ùý ùợù ùỵ ù TX: 50 Ta mx - ïìï y = lim = +¥ ïï lim ỉ ỉ m m ÷ 2x + m ỗ- ữ xđỗ ùù xđỗỗốỗ- ữữữứ ỗ 2ữ ố ứ m ùớ ắắ đ x =ùù mx - =- ¥ ïï lim + y = lim + ỉ ỉ m m x + m ữ ùù xđỗỗỗ- ữữữ ỗ- ữ xđỗ ỗ 2ữ ố ứ cú ùợ ố ứ Do ú ycbt Câu 2: Û - TCĐ m = - Û m= 2 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số thẳng y = làm tiệm cận ngang A m= B m= - y= C m= ±2 Lời giải 2m2 x - x + nhận đường D m= Chọn C Ta có lim y = lim xđƠ xđƠ 2m2 x - = 2m2 ắắ đ y = 2m2 x- l TCN Do ycbt Û 2m = Û m= ±2 Câu 3: Biết đồ thị hàm số y= ( m- 2n- 3) x + x - m- n nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận Tính tổng S = m + n - A S = B S = C S = - Lời giải D S = - Chọn B Ta có: lim y = lim xđƠ xđƠ ( m- 2n- 3) x + x - m- n = m- 2n- ắắ đ y = m- 2n- lim + y = +¥ ¾¾ ® x = m+ n x®( n+m) Từ giả thiết, ta có TCN; TCĐ ìïï m+ n = ị ùợù m- 2n- = ỡùù m= ắắ đ S = m2 + n2 - = í ïỵï n = - 51 ... xđ- Ơ ổ 1? ?? xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ xứ ố ổ 1? ?? xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ xứ ố = lim = lim = ắắ đ y =1 xđ+Ơ xđ+Ơ 1 x +1 x 1+ x 1+ x x x +1 x +1 x2 +1 = lim xđ- Ơ ổ 1? ?? xỗ 1+ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố xứ x 1+ x = lim xđ- Ơ ổ 1? ?? ữ xỗ... ( ) ï ¾¾ ® x =1 í ïï x +1 ïï lim y = lim = lim=- Ơ x? ?1- ( x +1) ( x - 1) x? ?1 ïï x®1x +1( x - 1) ợ lim+ y = lim+ xđ( - 1) xđ( - 1) lim y = lim xđ+Ơ xđ+Ơ x +1 ( x +1) ( x - 1) x +1 = lim x2 -... Câu 10 : Đồ thị hàm số A y= x +1 x2 - có tất đường tiệm cận? B C Lời giải D Chọn C TXĐ: D = ( - 1; 1) È ( 1; +¥ ) Ta có: ìï x +1 ïï lim y = lim = lim+ = +Ơ ùù x? ?1+ x? ?1+ ( x +1) ( x - 1) x? ?1 x