GT 12 chương 1 bài 2 full

BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Giả sử hàm số xác định và liên tục trên khoảng ( có thể là , có thể là ) và 1 Định lí 1 Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạ[.]

BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Giả sử hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng ( a;b) ( a - ¥ , b cú th l +Ơ ) v x0 ẻ ( a;b) Định lí Nếu tờn tại số h cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x Ỵ ( x0 - h; x0 + h) x ¹ x0 ta nói hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 Khi đó:  x0 gọi điểm cực đại hàm số f ( x)  f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f ( x)  Nếu tồn tại số h cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x Ỵ ( x0 - h; x0 + h) x ¹ x0 ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 Khi đó:  x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f ( x)  f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f ( x) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập xác định K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) Chú ý Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập xác định K mà f ( x0 ) giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a, b) Ì K ( a, b) chứa x0 ¢ Nếu f ( x) không đổi dấu tập xác định K hàm số f hàm số f khơng có cực trị Nếu x0 điểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f đạt cực trị tại ( x ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f điểm x0 điểm có tọa độ Định lý ìï f '( x0 ) = ï ¾¾ ® x0 í ïï f ''( x0 ) < î ● điểm cực đại f ( x) ìï f '( x0 ) = ï ¾¾ ® x0 í ï f ''( x0 ) > ● ïỵ điểm cực tiểu f ( x) 12 Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d y = mx + n , mx + n dư thức phép chia f ( x) cho f '( x) B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số tiểu y  f  x Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực Phương pháp Các ví dụ Câu 1: Giá trị cực đại yCD hàm số y = x - 3x + là? A yCD = B yCD = C yCD = Lời giải D yCD = - Chọn A Ta có éx = - 1Þ y = y' = 3x2 - = Û ê êx = 1Þ y = ë Do giá trị cực đại hàm số yCD = Câu 2: Tìm điểm cực trị x0 hàm số y = x - x + x +1 A x0 = - C x0 = hoặc x0 = - x0 =- 10 B x0 = D Lời giải x0 = hoặc x0 = 10 x0 = Chọn D Ta có Câu 3: éx = ê y' = 3x2 - 10x + 3; y' = Û 3x2 - 10x + = Û ê êx = ê ë Tìm điểm cực đại x0 hàm số y = x - 3x +1 A x0 = - B x0 = C x0 = Lời giải D x0 = Chọn A éx = - 1® y( - 1) = y' = 3x2 - = 3( x2 - 1) ; y' = Û ê êx = 1® y =- ( ) ê ë Ta có Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - Câu 4: Tìm điểm cực trị đờ thị hàm số y = x - 3x A ( 0;0) ( 1;- 2) B ( 0;0) ( 2;4) C ( 0;0) ( 2;- 4) D ( 0;0) ( - 2;- 4) Lời giải Chọn C 13 Ta có Câu 5: éx = ® y = y' = 3x2 - 6x = 3x( x - 2) ; y' = Û ê êx = ® y = - ë Biết hàm số y = x + 4x - 3x + đạt cực tiểu tại xCT Mệnh đề sau đúng? A xCT = B xCT = - C Lời giải xCT = - D xCT = Chọn A éx = - ê y' = 3x + 8x - 3; y' = Û ê êx = ê ë Ta có Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận Câu 6: xCT = 3 Gọi yCD , yCT giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x - 3x Mệnh đề sau đúng? A yCT = 2yCD B yCT = yCD C yCT = yCD Lời giải D yCT =- yCD Chọn D éx = 1® y( 1) =- y' = 3x2 - 3; y' = Û ê êx = - 1® y - = ( ) ê ë Ta có Do yCT =- yCD Câu 7: Gọi y1 , y2 giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x - x - x + Tính P = y1 y2 A P =- 302 B P = - 82 C P =- 207 Lời giải D P = 25 Chọn C éx = ® y( 3) =- 23 y' = 3x2 - 6x - 9; y' = Û ê êx = - 1® y - = ( ) ê ë Ta có Suy P = y1.y2 = 9.( - 23) = - 207 Câu 8: Cho hàm số y = - x + 2x + Mệnh đề sau đúng? A Đờ thị hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu B Đờ thị hàm số có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại C Đờ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Lời giải Chọn D éx = ê y' = - 4x + 4x = - 4x( x - 1) ; y' = Û êx = ê êx = - ë Ta có Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại 14 Cách Ta có ïìï a = - ắắ đ ab < ắắ đ í ïïỵ b = đờ thị hàm số có ba điểm cực trị Vì a=- 1< nên đờ thị có dạng chữ M Từ suy đờ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Phương pháp Các ví dụ Câu 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = - 2x3 + 3x2 +1 A y = x - B y = x +1 C y = - x +1 Lời giải D y = - x - Chọn B Ta có éx = ị y = yÂ= - 6x2 + 6x; yÂ= ờx = 1ị y = ë Suy đồ thị hàm số hai điểm cực trị A ( 0;1) B( 1;2) Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng AB có phương trình y = x +1 y 1ổ 1ử y= ỗ ữyÂ+ x +1 ỗx - ữ ữ ố 3ỗ 2ứ y' , Cách Lấy chia cho ta Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị phần dư phép chia, y = x +1 Câu 2: Cho hàm số y = x - 3x - 9x + m Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số A y = - 8x + m B y = - 8x + m- C y = - 8x + m+ D y = - 8x - m+ Lời giải Chọn B Ta có éx = - 1Þ y = 5+ m y' = 3x2 - 6x - 9; y' = Û ê êx = Þ y = - 27 + m ë Suy tọa độ hai điểm cực trị A ( - 1;5+ m) B( 3;- 27+ m) Suy đường thẳng qua hai điểm A, B có phương trình y = - 8x + m- Câu 3: Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y = ( 2m- 1) x + 3+ m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x - 3x +1 A m= - B m= C Lời giải m= D m= Chọn D éx = ® y( 0) = yÂ= 3x2 - 6x ắắ đ yÂ= ê êx = ® y =- ( ) y = x3 - 3x2 +1 ê ë Xét hàm , có 15 Suy A ( 0;1) , B( 2;- 3) hai điểm cực trị đồ thị hàm số uuu r uuu r AB = 2; ắắ đ n = ( 2;1) ( ) AB Suy đường thẳng AB có VTCP VTPT Đường thẳng Ycbt d : y = ( 2m- 1) x + 3+ m có VTCP uu r nd = ( 2m- 1;- 1) uuu r uu r Û nAB nd = Û 2.( 2m- 1) - 1= Û m= f ' x Dạng 3: Dựa vào bảng xét dấu , bảng biến thiên đồ thị hàm số điểm cực trị hàm số f  x Tìm Phương pháp Các ví dụ Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ với bảng xét dấu đạo hàm sau: Hỏi hàm số y = f ( x) có điểm cực trị? A B C Lời giải Chọn A D Nhận thấy y' đổi dấu qua x = - x = nên hàm số có điểm cực trị ( x = khơng phải điểm cực trị Câu 2: y' không đổi dấu qua x = 1) Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số có ba giá trị cực trị C Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số đạt cực đại tại điểm x = Lời giải Chọn B Dựa vào đờ thị hàm số, ta có nhận xét sau: ¢  Hàm số có ba điểm cực trị, gờm điểm x = - 1, x = 1, x = đạo hàm y đổi dấu qua điểm  Hàm số đạt cực đại tại x = , đạt cực tiểu tại x = ±1 16 (đáp án A sai hàm số có hai giá trị cực trị yCD =- yCT = - Nói đến đờ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0;- 3) , B( - 1;4) , C ( 1;- 4) Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục tại x0 có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực đại, điểm cực tiểu B Hàm số có điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu C Hàm số có điểm cực đại, hai điểm cực tiểu D Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Chọn D ● Tại x = x2 hàm số y = f ( x) không xác định nên không đạt cực trị tại điểm ● Tại x = x1 dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm ● Tại x = x0 , hàm số khơng có đạo hàm tại x0 liên tục tại x0 hàm số đạt cực trị tại x0 theo bảng biến thiên cực tiểu Vậy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ \ { x1} , có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số cho có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại B Hàm số cho khơng có cực trị C Hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu D Hàm số cho có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ¢  f ( x) đổi dấu từ "+ " sang "- " qua điểm x1 tại x1 hàm số f ( x) không xác định nên x1 điểm cực đại 17 ¢  f ( x) đổi dấu từ số Câu 5: "- " sang "+ " qua điểm x2 suy x2 điểm cực tiểu hàm Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số A y = f ( x) có điểm cực trị? B C Lời giải D Chọn B Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành tại điểm y = f ( x) đồ thị hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị suy đờ thị hàm số có điểm cực trị Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đờ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn D Dễ nhận thấy hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu tại x = Xét hàm số f ( x) khoảng ổ 1ữ ỗ ỗ- ; ữ ữ ỗ è 2ø, ta có f ( x) < f ( 0) với mọi ỉ1 ÷ ỉ 1ư ÷ xẻ ỗ ẩỗ ỗ- ;0ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ç è ø è 2ø Suy x = điểm cực đại hàm số Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 7: Hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đờ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? 18 A B C Lời giải D Chọn A Dễ nhận thấy đờ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua Oy Vấn đề nằm chỗ điểm có đờ thị gấp khúc có phải điểm cực trị đờ thị hàm số hay khơng? Câu trả lời có (tương tự lời giải thích câu 25) Vậy hàm số cho có điểm cực trị, gờm điểm cực tiểu điểm cực đại Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đờ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn D Theo định nghĩa cực trị từ đờ thị ta nhận thấy hàm số có điểm cực trị Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đờ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? 19 A B C Lời giải D Chọn D Theo định nghĩa cực trị từ đờ thị ta nhận thấy hàm số có điểm cực trị Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục đoạn [- 2;2] có đờ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm đây? A x = - B x = - C x = Lời giải D x = Chọn B Theo định nghĩa điểm cực đại hàm số đạt cực đại tại x =- Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị Phương pháp Các ví dụ Câu 1: Tìm tất giá trị tham số trị A mỴ ( 0;2) m để hàm số y = x - 3mx + 6mx + m có hai điểm cực B mỴ ( - ¥ ;0) È ( 8;+¥ ) D mỴ ( 0;8) C mẻ ( - Ơ ;0) ẩ ( 2;+¥ ) Lời giải Chọn C Ta có y' = 3x2 - 6mx + 6m= 3( x2 - 2mx + 2m) Để hàm số có hai điểm cực trị ém< Û D ' = m2 - 2m> Û ê êm> ë Câu 2: có hai nghiệm phân biệt Tìm tất giá trị ca tham s A mẻ ( - Ơ ;1] C mẻ ( - Ơ ;0) ẩ ( 0;1] Û x2 - 2mx + 2m= m để hàm số y= m x + x2 + x + 2017 có cực trị B mỴ ( - ¥ ;0) È ( 0;1) D mỴ ( - ¥ ;1) Lời giải Chọn D Nếu m= y = x + x + 2017 : Hàm bậc hai ln có cực trị 20 Khi m¹ , ta có y' = mx + 2x +1 Để hàm số có cực trị phương trình mx2 + 2x +1= có hai nghiệm phân biệt ïì m¹ Û ïí Û ¹ m Û m< Dạng 5: Cho hàm số f ' x đồ thị hàm số f ' x Tìm điểm cực trị hàm số Phương pháp Các ví dụ Câu 1: f ( x) Biết hàm số có đạo hàm điểm cực trị? B A f ' ( x ) = x ( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) Hỏi hàm số f ( x) có C Lời giải D Chọn B Ta có éx = 0, x = f '( x) = Û ê êx = 2, x = ë Tuy nhiên lại xuất nghiệm kép tại x = 1(nghiệm kép y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số cho có ba điểm cực trị Câu 2: ¢ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ hàm số y = f ( x) có đờ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? 23 A Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = - B Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = C Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = - D Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = - Lời giải Chọn C ¢ Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) , ta có nhận xét sau:  f ( x) đổi dấu từ ¢ "- " sang "+ " qua điểm x = - suy x = - điểm cực trị điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) ¢  f ( x) khơng đổi dấu qua điểm x = - 1, x = suy x = - 1, x = không điểm cực trị hàm số y = f ( x) Vậy hàm số cho đạt cực tiểu tại điểm x = - Câu 3: Hàm số f  x  f  x có đạo hàm f  x  khoảng K Hình vẽ bên đờ thị hàm số f  x khoảng K Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f '( x) = có nghiệm đơn (cắt trục hoành tại điểm) hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm) nên f '( x) đổi dấu qua 24 nghiệm đơn Do suy hàm số f ( x) có cực trị Nhận xét Đây dạng tốn suy ngược đờ thị 25 ... 3m+ 2) x +( 2m2 + 3m +1) Yêu cầu tốn Û y'' = có hai nghiệm x = x = ìï 9- 3( 3m+ 2) +( 2m2 + 3m +1) = ï Û ïí Û ïï 25 - 5( 3m+ 2) +( 2m2 + 3m +1) = ỵï Câu 5: ìï 2m2 - 6m+ = ïí Û m= 2 ï ỵï 2m - 12 m +16 ... ln có hai điểm cực trị x1, x2 Theo định lí Viet, ta có ìï x1 + x2 = 2m ïí ïïỵ x1x2 = m2 - 22 Û ( x1 + x2 ) - 3x1x2 = Û 4m2 - 3( m2 - 1) = Û m2 = Û m= ? ?2 u cầu tốn Câu 10 : Tìm tất giá trị thực... giá trị tham số m 2 để x1 + x2 - x1x2 = A m= B m= ± C Lời giải m= ± D m= ? ?2 Chọn D Ta có 2 ù y'' = 3x2 - 6mx + 3( m2 - 1) = 3é êx - 2mx +( m - 1) ú ë û 2 Do D '' = m - m +1= 1> 0, " mỴ ¡ nên hàm