Giải tích 12 chương 1 bài 2 cực trị của hàm số

TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TỐN LỚP 12 HKI NĂM 2023 BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử hàm số  xác định tập K điểm cực tiểu hàm số Ta nói: tồn khoảng hàm số  Khi  cho gọi giá trị cực tiểu điểm cực đại hàm số tồn khoảng    chứa Khi chứa cho gọi giá trị cực đại hàm số Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số  Nếu điểm cực trị hàm số điểm hàm số * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu) số tập D; nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số chứa (a;b) chứa gọi điểm cực trị đồ thị hay nói cách khác cho khoảng điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số  Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập có cực trị tập cho trước khoảng Hàm số khơng Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, có đạo hàm điểm Chú ý:  Đạo hàm điểm hàm số không đạt cực trị điểm  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số  Nếu  TỔ TỐN 12 đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số có đạo hàm điểm khoảng khoảng mợt TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TỐN LỚP 12 HKI NĂM 2023 điểm cực đại của hàm số  Nếu khoảng khoảng mợt điểm cực tiểu hàm sớ Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm điểm liên tục khơng có đạo hàm mà đạo hàm hàm số hàm số  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu hàm số đạt cực trị Định lí 3: Giả sử Nếu đổi dấu qua có đạo hàm cấp khoảng  Nếu hàm số với Khi đó: đạt cực đại  Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm nghiệm  Bước 3: Tính  Nếu phương trình tính hàm số đạt cực đại điểm  Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 5.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba 5.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tởng quát: Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: cho trước?  Đạo hàm:  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) có hai nghiệm phân biệt phương trình  TỔ TỐN 12 đổi dấu qua nghiệm có hai nghiệm phân biệt TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC  ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 Bước 3: Gọi hai nghiệm phương trình  Khi đó: Bước 4:  Biến đởi điều kiện Bước 5: về dạng tởng tích Từ giải tìm được Kết luận giá trị m thỏa mãn: * Chú ý: Hàm số bậc ba: Ta có: Điều kiện Kết luận Hàm số khơng có cực trị Hàm số có hai điểm cực trị  Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu phương trình  Hàm số có hai cực trị dấu phương trình  có hai nghiệm phân biệt dấu Hàm số có hai cực trị dấu dương phương trình  có hai nghiệm phân biệt trái dấu có hai nghiệm dương phân biệt Hàm số có hai cực trị dấu âm phương trình  TỔ TỐN 12 có hai nghiệm âm phân biệt TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TỐN LỚP 12 HKI NĂM 2023  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn:  Hai cực trị thỏa mãn  Hai cực trị thỏa mãn  Hai cực trị thỏa mãn  Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm , có nghiệm lập thành cấp số nhân có nghiệm 5.1.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: Cho điểm Nếu hai phía so với đường thẳng Nếu và đường thẳng thì hai điểm nằm về thì hai điểm nằm cùng phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt:  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy hàm số có cực trị dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy hàm số có cực trị trái dấu phương trình có hai nghiệm trái dấu  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt Đặc biệt:  TỔ TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt  Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt (áp dụng không nhẩm được nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt phương trình hồnh đợ giao điểm có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm nghiệm) 5.1.3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hoặc 5.1.4 Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc với 5.2 Cực trị hàm bậc trùng phương 5.2.1 Một số kết cần nhớ  Hàm số có cực trị  Hàm số có ba cực trị  Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu  Hàm số có cực trị cực trị cực đại  Hàm số có hai cực tiểu cực đại  Hàm số có cực tiểu hai cực đại 5.2.2 Một số cơng thức tính nhanh Giả sử hàm số tạo thành tam giác  TỔ TOÁN 12 có cực trị: thỏa mãn kiện: TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TỐN LỚP 12 HKI NĂM 2023 Đặt: y Tổng quát: A x O B Dữ kiện C Công thức thỏa mãn Tam giác vng cân Tam giác Tam giác có diện tích Tam giác có diện tích Tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp Tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Tam giác có độ dài cạnh Tam giác có độ dài Tam giác Tam giác có cực trị có góc nhọn Tam giác có trọng tâm Tam giác có trực tâm Tam giác điểm Tam giác có Tam giác tiếp Tam giác tạo thành hình thoi tâm đường trịn nội tiếp có tâm đường trịn ngoại có cạnh Trục hồnh chia tam giác thành hai phần có diện tích Tam giác có điểm cực trị cách trục hồnh  TỔ TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 Đồ thị hàm số cắt trục điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị trục hồnh có diện tích phần phần Phương trình đường trịn ngoại tiếp là: Vấn đề TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm điểm tục khơng có đạo hàm mà đạo hàm hàm số hàm số liên  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu hàm số đạt cực trị Định lí 3: Giả sử Nếu đổi dấu qua có đạo hàm cấp khoảng  Nếu hàm số với Khi đó: đạt cực đại  Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm nghiệm  Bước 3: Tính phương trình tính  Nếu hàm số đạt cực đại điểm  Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm  TỔ TOÁN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC VD1 Hàm số ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 B TOÁN MẪU có điểm cực trị? Lời giải Cách 1: Bảng biến thiên: x y'  + + 0 + y Từ bảng biến thiên suy hàm số cho có Cách 2: Hàm số hàm trùng phương có VD2 Tìm điểm cực đại A điểm cực trị hàm số B nên có điểm cực trị C D …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… VD3 Hàm số có cực trị? …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… VD4 Gọi hai điểm cực trị hàm số Giá trị ? …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… VD5 Hàm số  TỔ TỐN 12 có điểm cực đại TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC A B ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 C D …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… VD6 Tìm điểm cực trị hàm số: a) b) d) e) c) f) VD7 Tìm các điểm cực trị hàm số: a) b)  TỔ TỐN 12 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC ĐỀ CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 VD8 Tìm điểm cực trị hàm số: a) b) C) VD9 Tìm các điểm cực trị hàm số: a) b) c) d) C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  TỔ TOÁN 12 10