Bài 4 hàm số mũ – hàm số lôgarit

BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT A KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM Hàm số mũ Định nghĩa x Hàm số y a  a  0; a 1 gọi hàm số mũ số a Tập xác định x Hàm số y a  a  0; a 1 có tập xác định  Đạo hàm x Hàm số y a  a  0; a 1 có đạo hàm x  a  ' a x ln a  a  ' a u ln a.u ' x u x x Đặc biệt:  e  ' e lim a x 0, lim a x   a  1 ; x   x   lim a x , lim a x 0   a  1 x   x   Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm  0;1 ,  1; a  nằm phía trục hồnh Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y log a x  a  0; a 1 gọi hàm số lôgarit số a Trang 275 Tập xác định Tập xác định:  0;  Đạo hàm Hàm số y log a x  a  0; a 1 có đạo hàm x dương Đặc biệt:  ln x  '  x  log a x  '  x ln a Giới hạn đặc biệt lim log a x  , lim log a x   a  1 ; x   x  0 lim log a x , lim log a x     a  1 x   x  0 Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy qua điểm  1;0  ,  a;1 nằm bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y a x y log a x  a  0, a  1 đối xứng với qua đường thẳng y  x Ứng dụng Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn Trang 276 lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A  nAr  A   nr  Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn S  n log  1 r   n  ;  A r% n n lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A   r  Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số A tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Sn 1  r  n  Sn r  n log  1 r    1 ;  A1  r    Sn r  n log  1 r    1 ;  A1  r   A A n Ta có S n     r   1   r  r Sn  1; A Sn r   r     r  n  1  Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng r n Cơng thức tính: X  A   r   S n  n 1  r   Khi n Sn  A   r   số tiền 1  r  X n lại sau n tháng 1 r Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng Trang 277 n nên ta có S n  A   r   1  r  X n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n 0 nên 1  r  X n A1  r   n 1 r 0 n Suy lần hoàn nợ số tiền X  A   r  r 1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Lương nhận sau kn tháng S kn 1  r   An r k 1 Bài tốn tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số: X m X n 1  r  m n , m, n   , m n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % m  n Xm 1 Xn Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: n Sn  A   r  Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền thu sau n năm là: m Trang 278 r  Sn  A    m  m.n Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m   , gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) Trang 279 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang 280 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Phương pháp giải x * Hàm số y a  a  0; a 1 có tập xác định  * Hàm số y log a x  a  0; a 1 có tập xác định  0;  * Tìm điều kiện tham số để hàm số y log a f  x  xác định  f  x  tam thức bậc hai Áp dụng tính chất a  Tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c  x        * Tìm điều kiện tham số để hàm số y log a f  x  xác định khoảng D  Cô lập tham số m  Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Bài tập Bài tập 1: Điều kiện xác định D hàm số A x   B x   y x log  x 1 C   x   D  x  Hướng dẫn giải Chọn C 2x  2x  log   92  x  2x  x    3 Hàm số xác định   x x  x   0 0  x   x   x 3 0 3 x 1 x 1 Bài tập 2: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y ln  x  2mx   xác định với x   ? A B C D Hướng dẫn giải Trang 281 Chọn D Hàm số xác định x    x  2mx   0, x   1  a     2m2     4m  16  Do m   nên m    1;0;1 Bài tập 3: Tìm m để hàm số y log   m   x   m   x  m  3 có tập xác định D  A m  B m   C m   D m  Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số xác định    m   x   m   x  m   0, x   (*) Trường hợp 1: a 0 a   (*)      m   m     m    m   4  m     m    m  3  Trường hợp 2: a 0  m  , ta có (*)   0, x   (đúng), nhận m  Vậy m  Bài tập 4: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng   10;10  để hàm số y log  x  x  m  có tập xác định D  ? A B 10 C 11 D Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số có tập xác định D  x  x  m  x   (1) Đặt t 2 x , t  2 Khi (1) trở thành t  t  m  t   0;    m   t  t t   0;    m  max f  t    0;  với f  t   t  t Trang 282 Do m   m    10;10  nên m   1;2;3; ;8;9 Bài tập 5: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng   10;10  để hàm số y xác định khoảng  0;  ? m log x  4log x  m  3 A 13 B 11 C 12 D 10 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định x   0;    m log x  4log x  m  0, x   0;   (*) Đặt t log x, t   (*)  mt  4t  m  0 vô nghiệm Trường hợp 1: m 0 Phương trình có nghiệm (loại m 0 ) Trường hợp 2: m 0 Phương trình vơ nghiệm  '    m  m  3   m   m  Do m   m    10;10  nên m    9;  8;  7;  6;  5;2;3; 8;9 Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn x x Bài tập 6: Hàm số y log    m  có tập xác định D R A m  B m  D m  C m  Hướng dẫn giải Chọn B x x Hàm số y log    m  có tập xác định  x  x  m  x    m  x  x x    m  max  x  x   Bài tập 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  xác định m log x  log x  m  3 khoảng  0;   Hướng dẫn giải Đặt t log x , x   0;    t   Trang 283 y 1 trở thành y  m log x  log x  m  mt  4t  m  3 Hàm số y  số y  xác định khoảng  0;   hàm m log x  log x  m  3 xác định  mt  4t  m   f (t ) mt  4t  m  vô nghiệm   4  m  3m   m   4; m  Bài tập 8: Tập xác định hàm số y  A  5;   ln  x  16  B   ;  là: x   x  10 x  25 C  D  \  5 Hướng dẫn giải Chọn A Viết lại y  ln  x  16  x   x  10 x  25 ln  x  16   x  5  x  5  ln  x  16  x  5 x  x  16  Biểu thức có nghĩa  x  5 x   x   x  0 ln  x  16   x  16    x  5  x  x   x 5  5  x  Suy hàm số có tập xác định  5;   Bài tập 9: Cho hàm số y   x  m  log  x   2m  1 x  4m  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho xác định với x   1;   A m    ;  B m    1;1 C m    ;1 D m    ;1 Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số y  x   1;   x  m  log  x   2m  1 x  4m  xác định với Trang 284