Bài 4 hàm số mũ – hàm số lôgarit

BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT A KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM Hàm số mũ Định nghĩa x Hàm số y a  a  0; a 1 gọi hàm số mũ số a Tập xác định x Hàm số y a  a  0; a 1 có tập xác định  Đạo hàm x Hàm số y a  a  0; a 1 có đạo hàm x  a  ' a x ln a  a  ' a u ln a.u ' x u lim a x 0, lim a x   a  1 ; x   x   lim a x , lim a x 0   a  1 x   x   Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm  0;1 ,  1; a  nằm phía trục hồnh Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y log a x  a  0; a 1 gọi hàm số lôgarit số a 121 x x Đặc biệt:  e  ' e Tập xác định Tập xác định:  0;  Đạo hàm Hàm số y log a x  a  0; a 1 có đạo hàm x dương Đặc biệt:  ln x  '  x  log a x  '  x ln a Giới hạn đặc biệt lim log a x  , lim log a x   a  1 ; x   x  0 lim log a x , lim log a x     a  1 x   x  0 Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy qua điểm  1;0  ,  a;1 nằm bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y a x y log a x  a  0, a  1 đối xứng với qua đường thẳng y  x Ứng dụng Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn 122 lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A  nAr  A   nr  Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn S  n log  1 r   n  ;  A r% n n lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A   r  Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số A tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng r n Cơng thức tính: X  A   r   S n  n 1  r   Khi n Sn  A   r   số tiền 1  r  X n lại sau n tháng 1 r Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng 123 Sn 1  r  n  Sn r  n log  1 r    1 ;  A1  r    Sn r  n log  1 r    1 ;  A1  r   A A n Ta có S n     r   1   r  r Sn  1; A Sn r   r     r  n  1  n nên ta có S n  A   r   1  r  X n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n 0 nên 1  r  X n A1  r   n 1 r 0 n Suy lần hoàn nợ số tiền X  A   r  r 1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Lương nhận sau kn tháng S kn 1  r   An r k 1 Bài tốn tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số: X m X n 1  r  m n , m, n   , m n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % m  n Xm 1 Xn Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: n Sn  A   r  Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền thu sau n năm là: m 124 r  Sn  A    m  m.n Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m   , gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) 125 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 126 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Phương pháp giải x * Hàm số y a  a  0; a 1 có tập xác định  * Hàm số y log a x  a  0; a 1 có tập xác định  0;  * Tìm điều kiện tham số để hàm số y log a f  x  xác định  f  x  tam thức bậc hai Áp dụng tính chất  a  Tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c  x       * Tìm điều kiện tham số để hàm số y log a f  x  xác định khoảng D  Cô lập tham số m  Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Bài tập Bài tập 1: Điều kiện xác định D hàm số A x   y x log  x 1 B x   C   x   D  x  Bài tập 2: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y ln  x  2mx   xác định với x   ? A B C D Bài tập 3: Tìm m để hàm số y log   m   x   m   x  m  3 có tập xác định D  A m  B m   C m   D m  Bài tập 4: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng   10;10  để hàm số y log  x  x  m  có tập xác định D  ? A B 10 C 11 127 D Bài tập 5: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng   10;10  để hàm số y xác định khoảng  0;  ? m log x  4log x  m  3 A 13 B 11 C 12 D 10 x x Bài tập 6: Hàm số y log    m  có tập xác định D R A m  B m  D m  C m  Bài tập 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  xác định m log x  log x  m  3 khoảng  0;   Bài tập 8: Tập xác định hàm số y  A  5;   Bài tập 9: Cho hàm số y  ln  x  16  x   x  10 x  25 B   ;  là: C  D  \  5  x  m  log  x   2m  1 x  4m  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho xác định với x   1;   A m    ;  B m    1;1 C m    ;1 D m    ;1 Dạng 2: Đồ thị hàm số Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho ba số thực dương a, b, c khác Đồ thị hàm số y a x , y b x , y c x cho hình vẽ sau Mệnh đề đúng? 128 A a  b  c B a  c  b C b  c  a D c  a  b Bài tập 2: Từ đồ thị y log a x , y log b x , y log c x cho hình vẽ sau: Khẳn định sau đúng? A  a  b   c B  c   a  b C  c  a   b D  c   b  a Bài tập 3: Cho hàm số y a x , y log b x , y log c x có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề đúng? A b  c  a B a  c  b C c  b  a D c  a  b Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y 3 f  x  f  x 129 A B C D Bài tập 5: Cho hàm số f  x   x ln x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đồ thị hàm số y  f  x  Tìm đồ thị đó? A B C D Dạng 3: Xét tính đơn điệu, cực trị, GTLN GTNN hàm số mũ, logarit Phương pháp Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm đạo hàm f  x  Tìm điểm xi làm cho f  x  0 không xác định Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập BBT Bước 4: Kết luận Ngoài cần ý tính chất hàm số mũ hàm số logarit: +) Hàm số y a x hàm số y log a x đồng biến TXĐ  a  130 +) Hàm số y a x hàm số y log a x nghịch biến TXĐ   a  Bài tập Bài tập Gọi a , b số điểm cực đại số điểm cực tiểu hàm số y  x  x  1 e  x Tính 2a  b A B D C 1  Bài tập Tìm giá trị nhỏ hàm số y x ln x đoạn  ;e  e  A y  1   e ;e    e2 B y  e 1   e ;e    C y  1   e ;e    e D y  Bài tập Cho  x  64 Tìm giá trị lớn biểu thức P log x  12 log x.log A 82 B 96 C 64 1   e ;e    2e x D 81 3 x  Bài tập Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y   x nghịch biến m   1;1 A m  B m3 C m  D m  y ln  x  1  2mx  m Bài tập Tìm tất giá trị tham số để hàm số đồng biến  A Không tồn m B m  C m  D  1 m 2 2x x Bài tập Có giá trị m để giá trị nhỏ hàm số f  x   e  4e  m  0;ln 4 A B C D 40 x Bài tập Giá trị nhỏ hàm số y  20 x  20 x  1283 e tập hợp số tự nhiên là: A  1283 B  163.e 280 C 157.e320 D  8.e300 Bài tập Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y 4 x  x 2  mx  đồng biến khoảng   1;1   A   ;  ln    B   ;0 C   ;  ln 2   D   ;  ln    131 ex  m  Bài tập Giá trị nhỏ tham số m ðể hàm số y  x ðồng biến khoảng e  m2    ln ;0  gần với số sau ðây:   A 0, 03 C  0, 45 B  Bài tập 10 Cho hàm số y    2017  e 3x   m -1  e x +1 D  1, 01 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  1;  A m  3e  B 3e  m 3e3  C 3e3  m  3e  D m 3e  Dạng 4: Tìm GTLN GTNN hàm số mũ, logarit nhiều biến Phương pháp PP1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển như: Côsi, Bunhiacôpski số BĐT quen thuộc khác PP2: Sử dụng phương pháp dồn biến: +) Biến đổi biểu thức cho theo biểu thức chung mà ta đặt biến t +) Biểu diễn biểu thức cho theo t ta hàm f  t  Tìm điều kiện cho t +) Lập bảng biến thiên f  t  Suy kết Bài tập Bài tập Cho số dương a b thỏa mãn log  a  1  log  b  1 6 Giá trị nhỏ S a  b A S 8 B S 14 C S 12 D S 16 Bài tập Cho số thực m, n thỏa mãn m  n  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức m P log 2m  m   3log n   n n A Pmin 13 B Pmin 15 C Pmin 16 D Pmin 14 1  Bài tập Cho ba số thực a , b , c   ;1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 4  1 1 1    P log a  b    log b  c    log c  a   4 4 4    A Pmin 1 B Pmin 3 Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log a b thỏa mãn D Pmin 6 C Pmin 3 b  a 1 132 2     log   b a b  với a, b số thực a  A 30 B 40 C 60 D 50 y 1 Bài tập Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log   x  1  y  1  9   x  1  y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 11 A Pmin  B Pmin  27 C Pmin   D Pmin   Bài tập Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 2 y (2 x  y ) 1 Giá trị lớn biểu thức T 2 x  y bằng: A B C Bài tập Cho hai số thực a, b thỏa mãn  a b  Tính giá trị nhỏ D Tmin biểu thức sau T log 2a b  log a.b a 36 A Tmin 16 B Tmin 13 C Tmin không tồn D Tmin 19 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a b  Biết biểu thức P  a  log a đạt log ab a b giá trị lớn b a k Khẳng định sau đúng? 3  A k   ;  2  B k   2;3  3 C k   0;   2 D k    1;0  Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log 2a  a   3log b   b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 Bài tập 10 Cho số thực a, b, c không âm thoả mãn 2a  4b  8c 4 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S a  2b  3c Giá trị biểu thức 4M  log M m A 2809 500 B 281 50 C 4096 729 D 14 25 1 1  b  c  d  Gọi m giá trị nhỏ a 16 biểu thức S a  2b  3c  4d Giá trị biểu thức log m Bài tập 11 Cho số thực a, b, c, d thoả mãn A B C D Bài tập 12 Cho a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức: 133 P log bc a  log ac b  A Pmin 20 3log ab c B Pmin 10 C Pmin 18 D Pmin 12 Dạng 5: Bài toán lãi suất Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất Ghi nhớ: 6,9% năm Biết tiền lãi hàng năm cộng vào tiền gốc, hỏi Khách hàng gửi vào ngân sau năm người rút tiền gốc lẫn tiền lãi gần với số hàng A đồng với lãi kép r (% / sau đây? kì hạn) số tiền khách hàng A 105370000 đồng B 111680000 đồng nhận vốn lẫn lãi sau C 107667000 đồng D 116570000 đồng n kì hạn  n   * là: Sn  A   r  n Bài tập 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào ngân hàng theo Từ công thức lãi kép hình thức lãi kép ổn định tháng lĩnh 61758000 đồng Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng bao nhiêu? Biết lãi suất không thay đổi thời gian gửi A 0.8% B 0,6% n S n  A   r  , ta có r n C 0,7% D 0,5% Sn  A Bài tập 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo Bài tốn vay vốn trả góp: phương thức trả góp với lãi suất 0,85% tháng Nếu sau tháng, Vay ngân hàng số tiền A kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 đồng với lãi suất r (% / triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết phương thức trả lãi tháng) Sau tháng kể gốc không thay đổi suốt trình anh An trả nợ Hỏi sau bao từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng? A 65 B 66 hai lần hoàn nợ cách C 67 D 68 Bài tập 5: Bác An có 400 triệu đồng mang gửi tiết kiệm hai kì hạn khác theo hình thức lãi kép Bác gửi 200 triệu đồng tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% quý; 200 triệu cịn lại bác gửi Cách tính số tiền cịn lại sau n theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% tháng Sau gửi tháng là: 134 năm, bác rút tất số tiền loại kì hạn theo quý gửi theo tháng Hỏi sau năm kể từ gửi tiền lần đầu, bác An thu tất tiền lãi? (kết làm trịn đến hàng phần nghìn) n Sn  A   r   1  r  X n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ A 75,304 triệu đồng B 75,303 triệu đồng n C 470,656 triệu đồng A1  r   D 475,304 triệu đồng 1  r  X n 1 r 0 Bài tập 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, tháng Suy trả góp triệu đồng lãi suất cho số tiền chưa trả 0,79% tháng  X  Kì trả cuối tháng thứ Hỏi số tiền phải trả kì cuối n log  1 r     X  Ar  để người hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn) A 2921000 đồng B 7084000 đồng C 2944000 đồng D 7140000 đồng Bài tập 7: Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau năm kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách năm, số tiền hoàn lần trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ơng A hồn nợ A m  36  1,12   1,12  4 1 (triệu đồng) B m 36  1,12  (triệu đồng) C m  36  1,12    1,12  (triệu đồng) D m  300  1,12   1,12  4 1 ( triệu đồng) Bài tập 8: Một người đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với Bài toán tiền gửi ngân hàng: lãi suất kép 0,6% tháng Biết cuối tháng thứ 15 số tiền gốc lẫn Đầu tháng, khách hàng lãi thu 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số gửi vào ngân hàng số tiền A số sau đây? đồng với lãi kép r (% / tháng) A 535000 đồng B 635000 đồng C 613000 đồng D 643000 đồng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng  n   * (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng 135 tính lãi) A n S n     r   1   r   r Bài tập 9: Một huyện A có 100 000 dân Với mức tăng dân số bình Cơng thức tính tăng trưởng qn 1,8% năm sau năm dân số vượt 150 dân số: 000 dân A 22 B 23 C 27 D 28 Bài tập 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam trì mức 1,05% Theo số liệu Tổng cục Thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 90728900 người Với tốc độ tăng dân số vào năm 2030, dân số Việt Nam là: B 198049810 người C 107232574 người D 108358516 người Bài tập 11: Trong vật lý, phân rã chất phóng xạ biểu T diễn cơng thức: m  t  m0   , m0 khối lượng ban đầu  2 chất phóng xạ (tại thời điểm t 0 ); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng cịn gam? C m  t  100    2  100t 5730 m n  m, n   , m n   Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số A 106118331 người 5730 A m  t  100.   2 X m X n 1  r  B m  t  100.e  t ln 5730  100 t 5730 D m  t  100.e Bài tập 12: Cường độ ánh sáng qua mơi trường khác khơng khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) giảm dần tùy thuộc độ dày môi trường số  gọi khả hấp thu môi trường, tùy thuộc  x môi trường khả hấp thu tính theo cơng thức I I 0e với x độ dày môi trường tính đơn vị mét Biết nước biển có  1, Hãy tính cường độ ánh sáng giảm từ 136 năm n độ sâu 2m xuống đến 20m? A e 25,2 B e 22,5 C e32,5 D e52,5 137