GV Đoàn Văn Tính 0946 069 661 – Website giasutrongtin vn – Bài 4 Hàm số mũ logarit 1 I HÀM SỐ MŨ 1 Định nghĩa Cho a là số thực dương, khác 1 Hàm số
I - HÀM SỐ MŨ Định nghĩa : Cho a số thực dương, khác Hàm số 𝑦 = 𝑎 𝑥 gọi hàm số mũ số a Đạo hàm hàm số mũ (a x )' = a x ln a ( e )' = e x x mở rộng với u hợp (au ) ' = au ln a.u ' mở rộng với u hợp ( e u ) ' = e u u ' Khảo sát hàm hàm số mũ y = ax Đồ thị GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit II – HÀM SỐ LÔGARIT Định nghĩa Cho a số thực dương, khác Hàm số y = loga x gọi hàm số lôgarit số a Đạo hàm cùa hàm số logarit y = loga x ( ĐK: a 0, a 1, x ) 1 mở rộng với u hàm hợp ( log a u ) ' = u ' x.ln a u.ln a 1 ( ln x ) ' = mở rộng với u hàm hợp ( ln u ) ' = u ' x u ( log a x ) ' = Chú ý: + Hàm số y = logx = lgx= log10x + Hàm số y = lnx = logex Khảo sát hàm hàm số mũ y = loga x Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax y = loga x (a > 0, a ≠ 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Tham khảo đồ thị hàm số GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit Chú ý: (n x )' = n n x n −1 mở rộng (n u )' = u' n u n −1 n III – MỘT SỐ VÍ DỤ GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit Ví dụ 1: Các biểu thức sau biểu thức hàm số mũ, hàm số lơgarit Khi cho biết số : x a ) y = , b) y = 4− x , c) y = x , d ) y = ( x ) , e) y = xx , f ) y = log3 x , g ) y = log x , h) y = log x i ) y = lnx, j) y = log x (2 x + 1) Giải ( 5) x a) y = = x Hàm số mũ số a = x b) y = −x 1 = Hàm số mũ số a = 1/4 4 c) y = x Hàm số mũ số a = d) y = ( x) Không phải hàm số mũ e) y = xx Không phải hàm số mũ f ) y = log3 x Hàm số lôgarit số a = g ) y = log x Hàm số lôgarit số a = 1/4 h) y = log x Không phải hàm số lôgarit i) y = lnx Hàm số lôgarit số a = e j ) y = log x (2 x + 1) Không phải hàm số lôgarit Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = log2 (3x − 7) GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit Giải 7 ĐK: 3x-7 > x > Vậy TXĐ: D = ( , +∞ ) 3 b) y = log ( x − x + 4) Giải x ĐK: x2 − 5x + > x c) y = log x− Vậy TXĐ: D = (−,1) (4, +) (x − 1) Giải x −1 x ĐK: x − x x − x Vậy TXĐ: D = (1, +) \ { } Tương tự tìm tập xác đinh hàm số sau a ) y = log (−2 x + 8) b) y = log ( x + 3x − 4) c) y = log x−3 (x + 2) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Tính đạo hàm hàm số a) y = log3(x2 +1) GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit Giải ( ) y ' = log3 (x + 1) ' = (x + 1)' 2x = (x + 1) ln (x + 1) ln b) y = ln(x + + x ) Giải y' = (x + + x )' x + + x2 1+ = x + x2 + x + x2 + x 1 + x2 = + x2 = = 2 x + + x2 x + + x2 + x 1+ x 1+ x + x ( ) Tương tự tính đạo hàm hàm số a) y = log5(2x3 +5x2+3) b) y = ln(x2 + sinx) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4: Tính đạo hàm hàm số sau a) y = 3x2 − ln( x2 ) + 5sin x Giải GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit y ' = ( x b) y = ) ' ( x ) + s inx − ' x ( ) ' = 3.2 x − 2x + 5cos x = x − + 5cos x x x log x x Giải ( log3 x ) '.x − ( log3 x ) ( x ) ' = y' = x2 1 x − log x − log x − ln 3.log x − ln x x.ln ln = = = 2 x x x ln x ln Tương tự tính đạo hàm hàm số b) y = x log x a) y = x3 − ln( x4 ) + 7cos x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… IV BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ( BÀI TOÁN THỰC TẾ ) 4.1 Lãi đơn 4.1.1 Định nghĩa Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền 4.1.2 Công thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: ( Sn = A + nAr = A + nr ) Chú ý: tính tốn tốn lãi suất toán liên quan, ta nhớ r% GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit r 100 4.2 Lãi kép 4.2.1 Định nghĩa Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau 4.2.2 Cơng thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: ( Sn = A + r ) n S n = log(1+r ) n A r% = A= n Sn A −1 Sn (1 + r ) n 4.3 Tiền gửi hàng tháng 4.3.1 Định nghĩa Tiền gửi hàng tháng tháng gửi số tiền vào thời gian cố định 4.3.2 Cơng thức tính Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% /tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n * ) ( nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn A Sn = + r r ( ) n ( − 1 + r ) S r n n = log(1+r ) + 1 A 1+r ( A= ) Sn r (1 + r ) (1 + r ) n − 1 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Cơng thức tính Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng bao nhiêu? (1 + r ) −X n ( Sn = A + r ) n r −1 ( X = A + r ) n r − Sn n 1+r −1 ( ) GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 4.5 Vay vốn trả góp 4.5.1 Định nghĩa Vay vốn trả góp vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng 4.5.2 Cơng thức tính Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có (1 + r ) −X n ( Sn = A + r ) n −1 r Để sau n tháng trả hết nợ Sn = nên (1 + r ) −X n ( A 1+r ) n X = −1 r ( A 1+r (1 + r ) n ) n =0 r −1 4.6 Bài toán tăng lương 4.6.1 Định nghĩa Bài toán tăng lương mô tả sau: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r% /tháng Hỏi sau kn tháng người lĩnh tất số tiền bao nhiêu? 4.6.2 Cơng thức tính (1 + r ) = Ak k Tổng số tiền nhận sau kn tháng Skn −1 r 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số ( Xm = Xn + r ) m −n ( , m, n + ,m n ) Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m X m dân số năm m Xn dân số năm n GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % = m −n Xm Xn −1 4.8 Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm (n ) là: S * n ( = A 1+r ) n Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi m n r r suất kì hạn % số tiền thu sau n năm là: Sn = A + m m Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m → + , gọi hình thức lãi kép tiên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S = Ae n r ( công thức tăng trưởng mũ) 4.9 Một số ví dụ lãi suất Ví dụ Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm Tính số tiền gốc lẫn lãi Việt nhận sau gửi ngân hàng 10 năm (gần với số nhất)? A 16,234 triệu B 16, 289 triệu C 16, 327 triệu D.16, 280 triệu Giải Số tiền gốc lẫn lãi nhận sau 10 năm với lãi kép 5%/năm Chọn B Ví dụ Bạn An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi tháng vốn lẫn lãi vượt 1300000 đồng? A 46 tháng B 44 tháng C 45 tháng D 47 tháng Giải Áp dụng cơng thức ( 3) ta có số kì hạn là: GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 10 ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 16: Tập xác định D hàm số y = log ( x − 1) − log ( − x ) − log8 ( x + 1) A D = ( −;3) B D = ( −1;3) C D = ( −1;3) \ 1 D D = −1;3 \ 1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 17: Cho hàm số y = ln x + Tập xác định hàm số là: 1 B ; + C ( 0; + ) D e ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… A e ; + ) ( ) Câu 18: Hàm số f(x) = ln x + x + có đạo hàm f’(0) là: A B C D ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 19: Cho f(x) = log ( x + 1) Đạo hàm f’(1) bằng: B + ln2 C D 4ln2 ln ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… A Câu 20: Hàm số y = eax (a 0) có đạo hàm cấp n là: A y ( n ) = e ax B y( n ) = a n eax C y( n ) = n!e ax D y( n ) = n.eax ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 16 Câu 21: Tập xác định hàm số y = A −1; + ) \ 1 x +1 là: e −1 2017x B −1; + ) \ 0 C ( −1; + ) \ 1 D ( −1; + ) \ 0 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 22: Tập xác định hàm số y = A \ 4 x +1 là: ln ( − x ) B −1;5 ) \ 4 C −1;5 D ( −1;5 ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 23: Tập xác định hàm số: y = ln ( ln x ) là: A (1; + ) C D = ( e; + ) B D = ( 0; + ) D D = ( 0;1) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 24: Tập xác định D hàm số y = log x −1 A D = (1; + ) x là: 2−x B D = ( 0;1) C D = ( 2; + ) D D = (1; ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 25: Đạo hàm hàm số y = log (x + e x ) là: A + ex ln B + ex x + ex C ( x + ex ) ln D + ex ( x + ex ) ln ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 26: Đạo hàm cấp hàm số y = ln(2x + e ) GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 17 4x 2 A y’= (2x + e ) x 2 B y’= (2x + e ) 4x + 2e 2 C y’= (2x + e ) 4x 2 D y’= (2x + e ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 27: Tìm m để hàm số y = 2x + 2017 + ln ( x − 2mx + ) có tập xác định D = m −2 C m B m A m = : ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 28 Ông A cần gửi vào ngân hàng số tiền để năm ông đủ số tiền mua xe trị giá 500 triệu đồng? A 155 riệu đồng B 143 triệu đồng C 397 triệu đồng D.404 triệu đồng ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 29: Hàm số đồng biến tập xác định nó? A y = ( 0,5 ) x 2 B y = 3 x C y = ( ) e D y = x x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 30: Hàm số nghịch biến tập xác định nó? A y = log x B y = log x C y = log e x D y = log x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 31: Trong hàm số sau,hàm số đồng biến: A y = (2016)2x B y = (0,1)2x 2015 C y = 2016 x D y = 2016 − x GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 18 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 32: Chú Nam gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm sau năm số tiền Nam nhận vốn lẫn lãi bao nhiêu? A 12,5 triệu B 12 triệu C 13 triệu D 12, triệu ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 33: Chị Hằng gửi ngân hàng 350 000 đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi suất 0,4 % nửa năm Hỏi chị rút vốn lẫn lãi 020 000 đồng? A năm B 30 tháng C năm D 24 tháng ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 34: Tính theo phương thức lãi đơn; để sau 2,5 năm rút vốn lẫn lãi số tiền 10 892 000 đồng với lãi suất 5/3 % quý bạn phải gửi tiết kiệm số tiền bao nhiêu? A 336 000 B 10 456 000 C.8 627 000 D 215 000 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 35: Cho hàm số f ( x ) = ln ( x + ) đó: 1 B f / (1) = C f / (1) = ln D f / (1) = ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… A f / (1) = Câu 36: Đạo hàm hàm số f ( x ) = log ( x + x + 1) là: A 2x + ( x + x + 1) ln B ( x + x + 1) ln C 2x + x + x +1 D Đáp án khác ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 19 Câu 37: Đạo hàm hàm y = e x A ( 2x + 1) e x +x +x là: C ( x + x ) e 2x +1 B ( 2x + 1) e x D ( 2x + 1) e 2x +1 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 38: Với điều kiện a đê hàm số y = (2a − 1) x hàm số mũ: 1 A a ;1 (1; + ) 2 1 B a ; + 2 C a D a ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 39: Với điều kiện a đê hàm số y = (a − a + 1)x đồng biến R: A a ( 0;1) B a ( −;0 ) (1; + ) C a 0;a D a tùy ý ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 40: Xác định a để hàm số y = ( 2a − ) nghịch biến R x A a3 B a3 C a D x ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Câu 41: Xác định a để hàm số y = ( a − 3a − 3) đồng biến R x A a B −1 a C a −1 D a −1 a ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 20 ... y = ln(x + + x ) Giải y'' = (x + + x )'' x + + x2 1+ = x + x2 + x + x2 + x 1 + x2 = + x2 = = 2 x + + x2 x + + x2 + x 1+ x 1+ x + x ( ) Tương tự tính đạo hàm hàm số a) y = log5(2x3 +5 x 2+3 ) b) y... (2 x + 1) Giải ( 5) x a) y = = x Hàm số mũ số a = x b) y = −x 1 = Hàm số mũ số a = 1/4 4 c) y = x Hàm số mũ số a = d) y = ( x) Không phải hàm số mũ e) y = xx Không phải hàm số mũ f... Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn – Bài 4: Hàm số mũ - logarit 19 Câu 37: Đạo hàm hàm y = e x A ( 2x + 1) e x +x +x là: C ( x + x ) e 2x +1 B ( 2x + 1) e x D ( 2x + 1) e 2x +1 ………………………………………………………………………………………………………………