Bài 4 hàm số mũ – hàm số LÔGARIT

BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT A KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM Hàm số mũ Định nghĩa x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) gọi hàm số mũ số a Tập xác định x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định ¡ Đạo hàm Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x x (a )'=a x ln a (a )'=a u ln a.u ' x u x x Đặc biệt: ( e ) ' = e lim a x = 0, lim a x = +∞ ( a > 1) ; x →−∞ x →+∞ lim a x = +∞, lim a x = ( < a < 1) x →−∞ x →+∞ Sự biến thiên • Khi a > hàm số ln đồng biến • Khi < a < hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm ( 0;1) , ( 1; a ) nằm phía trục hồnh Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) gọi hàm số lôgarit số a Trang 19 Tập xác định Tập xác định: ( 0;+∞ ) Đạo hàm Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x dương Đặc biệt: ( ln x ) ' = ( log a x ) ' = x x ln a Giới hạn đặc biệt lim log a x = −∞, lim log a x = +∞ ( a > 1) ; x → 0+ x →+∞ lim log a x = +∞, lim log a x = −∞ ( < a < 1) x →+∞ x → 0+ Sự biến thiên • Khi a > hàm số đồng biến • Khi < a < hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy qua điểm ( 1;0 ) , ( a;1) nằm bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y = a x y = log a x ( a > 0, a > 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Ứng dụng Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn Trang 20 lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A + nAr = A ( + nr ) Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn S  n = log ( 1+ r )  n ÷;  A r% = lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A ( + r ) n Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số A= tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ ¥ * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Sn − 1; A Sn (1+ r) n  S n r  n = log ( 1+ r )  + 1÷;  A( + r ) ÷    S n r  n = log ( 1+ r )  + 1÷;  A( + r ) ÷   A= A n Ta có S n = ( + r ) − 1 ( + r ) r n S n r ( + r ) ( + r ) n − 1  Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng r n Cơng thức tính: X =  A ( + r ) − Sn  n (1+ r) −1 Khi Sn = A ( + r ) n số tiền (1+ r) −X n lại sau n tháng −1 r Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Công thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng Trang 21 nên ta có S n = A ( + r ) n (1+ r) −X n −1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n = nên A( + r ) n (1+ r) −X n −1 r =0 A ( + r ) r n Suy lần hoàn nợ số tiền X = (1+ r) n −1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Lương nhận sau kn tháng S kn (1+ r) = An r k −1 Bài tốn tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số: Xm = Xn (1+ r) m−n , m, n ∈ ¢ + , m ≥ n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % = m − n Xm −1 Xn Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm ( n ∈ ¥ * ) là: Sn = A ( + r ) n Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền thu sau n năm là: m Trang 22 m n r  S n = A 1 + ÷  m Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m → +∞ , gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S = Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) Trang 23 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang 24 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Phương pháp giải x * Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định ¡ * Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định ( 0;+∞ ) * Tìm điều kiện tham số để hàm số y = log a f ( x ) xác định ¡ f ( x ) tam thức bậc hai Áp dụng tính chất a > Tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c > ∀x ∈ ¡  ∆ < • * Tìm điều kiện tham số để hàm số y = log a f ( x ) xác định khoảng D • Cơ lập tham số m • Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Bài tập Bài tập 1: Điều kiện xác định D hàm số A x < −3 B x > −1 y= x log − x +1 C −3 < x < −1 D < x < Hướng dẫn giải Chọn C 2x  2x  log > > 92  x + 2x  x + ⇔ ⇔ >3 Hàm số xác định ⇔  x x + x   >0 >0  x +  x + ⇔ x+3 < ⇔ −3 < x < −1 x +1 Bài tập 2: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = ln ( x − 2mx + ) xác định với x ∈ ¡ ? A B C D Hướng dẫn giải Trang 25 Chọn D Hàm số xác định ∀x ∈ ¡ ⇔ x − 2mx + > 0, ∀x ∈ ¡ 1 > a > ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m < ∆ < 4m − 16 < Do m ∈ ¢ nên m ∈ { −1;0;1} Bài tập 3: Tìm m để hàm số y = log ( m + ) x + ( m + ) x + m + 3 có tập xác định D = ¡ A m ≤ −2 B m > −2 C m < −2 D m ≥ −2 Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số xác định ¡ ⇔ ( m + ) x + ( m + ) x + m + > 0, ∀x ∈ ¡ (*) Trường hợp 1: a ≠ m + > a >  m > −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m > −2 (*)   ∆ < −m − < 4 ( m + ) − ( m + ) ( m + 3) < Trường hợp 2: a = ⇔ m = −2 , ta có (*) ⇔ > 0, ∀x ∈ ¡ (đúng), nhận m = −2 Vậy m ≥ −2 Bài tập 4: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng ( −10;10 ) để hàm số y = log ( x − x + m ) có tập xác định D = ¡ ? A B 10 C 11 D Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số có tập xác định D = ¡ x − x + m > ∀x ∈ ¡ (1) Đặt t = x , t > 2 Khi (1) trở thành t − t + m > ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m > −t + t ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m > max f ( t ) = ( 0; +∞ ) với f ( t ) = −t + t Trang 26 Do m ∈ ¢ m ∈ ( −10;10 ) nên m ∈ { 1;2;3; ;8;9} Bài tập 5: Có tất giá trị nguyên tham số m nằm khoảng ( −10;10 ) để hàm số y= xác định khoảng ( 0;+∞ ) ? m log x − 4log x + m + 3 A 13 B 11 C 12 D 10 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m log x − 4log x + m + ≠ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) (*) Đặt t = log x, t ∈ ¡ (*) ⇔ mt − 4t + m + = vô nghiệm Trường hợp 1: m = Phương trình có nghiệm (loại m = ) Trường hợp 2: m ≠ Phương trình vơ nghiệm ∆ ' < ⇔ − m ( m + 3) < ⇔ m < −4 m > Do m ∈ ¢ m ∈ ( −10;10 ) nên m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5;2;3; 8;9} Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn x x Bài tập 6: Hàm số y = log ( − + m ) có tập xác định D = R A m ≥ B m > D m < C m > Hướng dẫn giải Chọn B x x Hàm số y = log ( − + m ) có tập xác định ¡ x − x + m > ∀x ∈ ¡ ⇔ m > x − x ∀x ∈ ¡ ⇔ m > max ( x − x ) = Bài tập 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = xác định m log x − log x + m + 3 khoảng ( 0; +∞ ) Hướng dẫn giải Đặt t = log x , x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ t ∈ ¡ Trang 27 y= 1 trở thành y = m log x − log x + m + mt − 4t + m + 3 Hàm số y = số y = xác định khoảng ( 0; +∞ ) hàm m log x − log x + m + 3 xác định ¡ mt − 4t + m + ⇔ f (t ) = mt − 4t + m + vô nghiệm ⇔ ∆′ = − m − 3m < ⇔ m < −4; m > Bài tập 8: Tập xác định hàm số y = A ( 5; + ∞ ) ln ( x − 16 ) x − + x − 10 x + 25 B ( −∞; ) là: D ¡ \ { 5} C ¡ Hướng dẫn giải Chọn A Viết lại y = ln ( x − 16 ) x − + x − 10 x + 25 = ln ( x − 16 ) x −5+ ( x − 5) = ln ( x − 16 ) x −5+ x −5 ln ( x − 16 )  x − 16 > Biểu thức có nghĩa  x −5+ x −5  x − + x − ≠  x > 16  x > ⇔ ⇔ ⇔ x >5 5 − x <  x − ≠ − x Suy hàm số có tập xác định ( 5; +∞ ) Bài tập 9: Cho hàm số y = ( x − m ) log  x − ( 2m − 1) x + 4m  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho xác định với x ∈ ( 1; +∞ ) A m ∈ ( −∞; ) B m ∈ ( −1;1] C m ∈ ( −∞;1) Hướng dẫn giải D m ∈ ( −∞;1] Chọn D Hàm số y = ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ( x − m ) log  x − ( 2m − 1) x + 4m  xác định với x − m ≠  2  x − ( 2m − 1) x + 4m > ( lđ ) với ∀x ∈ ( 1; +∞ )  2  x − ( 2m − 1) x + 4m ≠ ( lđ ) Trang 28 Chọn D 1   1 Vợi x ∈  ; 1÷ ta có x − x + =  x − ÷ ≥ ⇒ x ≥ x − 4   2 1  Lấy logarit vế, ta logt x ≤ log t  x − ÷ (với t ∈ ( 0;1) (*) 4  Áp dụng BĐT (*) ta được: 1  log a  b − ÷ ≥ log a b = log a b 4  1  log b  c − ÷ ≥ log b c = log b c 4  1  log c  a − ÷ ≥ log c a = log c a 4  Suy P ≥ [ log a b + log b c + log c a ] ≥ 2.3 log a b.log b c.log c a = = Pmin Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( log a b thỏa mãn ) 2  +  log   b a b ÷ với a, b số thực a÷  b > a >1 A 30 B 40 C 60 D 50 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ( log a b log b a ) = ( log a b ) Đặt log a b = t   1 b b 1 1 = log b =  log b b − log b a ÷ =  − 2 a a a a a   log b log b  b a a a   ÷ ÷ ÷ ÷    ÷ 1   2log a b − + 4log b a  1 1 2 − =  − 1 ÷ ÷=  ÷  − log a log b − ÷  − 2log b a log a b −   log a b + 4log b a −  b a 2  2t − + 1 ( t − 3t + ) ( t − 1) ( t − ) t − t = = = = 2 t + − t − 4t + t−2 ( t − 2) t  t −1  ÷ t −2 Ta P = 4t +  Trang 41 Với b > a > ⇒ b > a ( *) Lấy log số a > hai vế ( *) ta log a b > nên t >  t −1  ÷ , t ∈ D = ( 2; +∞ ) t −2 *) Xét hàm số f ( t ) = 4t +  Ta  t =  12(t − 1) 1+ 3 f ' ( t ) = 8t − = ⇒ 8t ( t − 4t + ) − 12 ( t − 1) = ⇔ 8t − 32t + 20t + 12 = ⇔ t = 2 ( t − 2)   1− t = Do t > nên f ' ( t ) = có nghiệm t = f ( t ) = +∞; f ( ) = 60;lim f ( t ) = +∞ nên hàm số đạt giá trị nhỏ 60 Ta có lim t →+∞ t →2 + y +1 Bài tập Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log ( x + 1) ( y + 1)  = − ( x − 1) ( y + 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y A Pmin = 11 B Pmin = 27 C Pmin = −5 + D Pmin = −3 + Hướng dẫn giải Chọn D Ta có log ( x + 1) ( y + 1)  y +1 = − ( x − 1) ( y + 1) ⇔ log ( x + 1) + x + = Xét hàm số f ( t ) = log t + t , t > ; f ' ( t ) = 9 + log y +1 y +1 + > , ∀t > t ln 8− y   8− y y2 + y + ⇔ x + = ⇔ x = ⇒ P = + y = Suy f ( x + 1) = f  ÷ y +1 y +1 y +1 y +1  y +1 Bảng biến thiên hàm số P = y2 + y + , y >1 y +1 Vậy Pmin = −3 + Trang 42 Bài tập Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + y (2 x + y ) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = x + y bằng: A B C D Hướng dẫn giải Chọn D 2  x + y > ( I ), Bất PT ⇔ log x2 + y2 (2 x + y ) ≥ ⇔  2  x + y ≥ x + y 2 0 < x + y < ( II )  2 0 < x + y ≤ x + y Xét T= 2x + y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) < T = x + y ≤ x + y < 2 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x + y ≤ x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − x + y = 2( x − 1) + Suy : max T = 2 )2 ≤ Khi 1  2 9 9 ( 2y − ) + ≤ (2 + ) ( x − 1) + ( y − ) + ≤ + =  2 2 2  ⇔ ( x; y) = (2; ) 2 Bài tập Cho hai số thực a, b thỏa mãn > a ≥ b > Tính giá trị nhỏ Tmin biểu thức sau T = log 2a b + log a.b a 36 A Tmin = 16 B Tmin = 13 C Tmin không tồn D Tmin = 19 Hướng dẫn giải Chọn A T = log 2a b + log a.b a 36 = log 2a b + Đặt 36 36 = log 2a b + log a ab + log a b t = log a b , > a ≥ b > ⇒ log a b ≥ log b b ⇒ t ≥ Xét f (t ) = t + 36 36 ⇒ f '(t ) = 2t − Cho f '(t ) = ⇒ t = 1+ t (1 + t )2  f (1) = 19  ⇒ Min f (t ) = 16 ⇒ MinT = 16 Hàm số f (t ) liên tục [1; +∞) có  f (2) = 16 [1;+∞ ) [1;+∞ )  lim f (t ) = +∞  t →+∞ Trang 43 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a ≥ b > Biết biểu thức P = a + log a đạt log ab a b giá trị lớn b = a k Khẳng định sau đúng? 3  A k ∈  ; ÷ 2   3 C k ∈  0; ÷  2 B k ∈ ( 2;3) D k ∈ ( −1; ) Hướng dẫn giải Chọn C Ta có P = a + log a = log a ab + − log a b = + log a b + − log a b log ab a b Khi b = a k ⇒ P = + k + − k Đặt t = − k Với k ≤ 9 ⇒ P = −t + t + = −  t − ÷ + ≤  2 4 ⇒ Max P =  3 Đẳng thức xảy ⇔ t = ⇒ k = ∈  0; ÷  2 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P = log 2a ( a ) + 3log b  ÷ b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có  a a  a  a P = log ( a ) + 3log b  ÷ =  log a a  + 3logb  ÷ = log a  b ÷ + 3log b  ÷ a b b  a = 1 + log a b  + 3log b  ÷ b  b   b  b  b  b  b 3 2 Đặt t = log a b > (vì a > b > ), ta có P = 4(1 + t ) + = 4t + 8t + + = f (t ) b t t Ta có f ′(t ) = 8t + − 8t + 8t − (2t − 1)(4t + 6t + 3) = = t2 t2 t2 Vậy f ′(t ) = ⇔ t = 1 Khảo sát hàm số, ta có Pmin = f  ÷ = 15 2 Bài tập 10 Cho số thực a, b, c không âm thoả mãn 2a + 4b + 8c = Gọi M , m giá Trang 44 trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = a + 2b + 3c Giá trị biểu thức 4M + log M m A 2809 500 B 281 50 C 4096 729 D 14 25 Hướng dẫn giải Chọn C a + b + 8c = ⇔ a + 2 b + c =  x = 2a  x + y + z = 2b Đặt  y = ⇒   x, y , z ≥  z = 23 c  S = a + 2b + 3c = log x + log y + log z = log ( xyz ) 3  x + y + z    ⇒ S ≤ 3log Ta có xyz ≤  ÷ = ÷ 3   3 Dấu xảy x = y = z = Do M = 3log 4 ⇔ a = 2b = 3c = log 3 Mặt khác xyz = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) + ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1) ( z − 1) + ( z − 1) ( x − 1) + ( x + y + z ) − = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) + ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1) ( z − 1) + ( z − 1) ( x − 1) + ≥  x = 1; y = 1; z =  Dấu xảy  x = 1; y = 2; z =  x = 2; y = 1; z = Suy m = 4096 4 Vậy + log M m =  ÷ = 729 3 M 1 1 + b + c + d = Gọi m giá trị nhỏ a 16 log m S = a + b + c + d biểu thức Giá trị biểu thức Bài tập 11 Cho số thực a, b, c, d thoả mãn A B C D Trang 45 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 + b + c + d = ⇔ − a + − b + −3 c + − d = a 16 4  x = 2− a   −2 b y = x + y + z + t = ⇒ Đặt  −3c z =   x, y , z , t > t = 2−4 d  S = a + 2b + 3c + 4d = − ( log x + log y + log z + log t ) = − log ( xyzt )  x+ y+ z +t  −16 Ta có xyzt ≤  ÷ = = ⇒ S ≥ 16 16   Dấu xảy x = y = z = t = 16 a = b =  Do m = 16 ⇔  c =   d = Bài tập 12 Cho a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức: P= log bc a + log ac b A Pmin = 20 + 3log ab c B Pmin = 10 C Pmin = 18 D Pmin = 12 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: P= + + = log a bc + log b ac + log c ab log bc a log b log ab c ac = log a b + log a c + logb a + log b c + 8log c a + 8log c b = ( log a b + 2log b a ) + ( log a c + 8log c a ) + ( log b c + 8log c b ) Vì a, b, c số thực lớn nên: log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b > Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Trang 46 P ≥ 2 log a b.2 log b a + 2 log a c.8log c a + 2 log b c.8log c b = + + = 20 a = b log a b = log b a   Dấu “=” xảy log a c = log c a ⇔ c = a ⇔ a = b = c > log c = log b   b c c = b Vậy Pmin = 20 Dạng 5: Bài toán lãi suất Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất Ghi nhớ: 6,9% năm Biết tiền lãi hàng năm cộng vào tiền gốc, hỏi Khách hàng gửi vào ngân sau năm người rút tiền gốc lẫn tiền lãi gần với số hàng A đồng với lãi kép r (% / sau đây? kì hạn) số tiền khách hàng A 105370000 đồng B 111680000 đồng nhận vốn lẫn lãi sau C 107667000 đồng D 116570000 đồng n kì hạn ( n ∈ ¥ *) là: Hướng dẫn giải Sn = A ( + r ) n Chọn B Gọi A số tiền gửi ban đầu, r lãi suất hàng năm Số tiền gốc lãi sau năm thứ S1 = A + A.r = A ( + r ) Số tiền gốc lãi sau năm thứ hai S = S1 + S1.r = A ( + r ) … Số tiền gốc lãi người rút sau năm S5 = A.( + r ) = 80000000 ( + 6,9% ) ≈ 111680799 (đồng) 5 Bài tập 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% Từ công thức lãi kép tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? A 45 tháng B 46 tháng C 47 tháng D 44 tháng S n = A ( + r ) , ta suy n S  n = log ( 1+ r )  n ÷  A Hướng dẫn giải Chọn A Trang 47 Sau n tháng, tổng số tiền gốc lãi là: 100 ( + 0,5% ) n Theo đề bài: 100 ( + 0,5% ) > 125 ⇔ n > log ( 1+ 0,5%) n 125 ≈ 44,74 100 Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu Bài tập 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào ngân hàng theo Từ công thức lãi kép hình thức lãi kép ổn định tháng lĩnh 61758000 đồng Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng bao nhiêu? Biết lãi suất không thay đổi thời gian gửi A 0.8% B 0,6% S n = A ( + r ) , ta có n r= C 0,7% D 0,5% n Sn −1 A Hướng dẫn giải Chọn C Gọi r lãi suất tiền gửi ngân hàng theo tháng A, S n số tiền gửi ban đầu số tiền sau n = tháng Áp dụng cơng thức lãi kép ta có S n = A ( + r ) ⇔ 61758000 = 58000000 ( + r ) n ⇔r= 9 61758000 − ≈ 7.10−3 = 0, 7% 58000000 Vậy lãi suất ngân hàng hàng tháng 0,7% Bài tập 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo Bài toán vay vốn trả góp: phương thức trả góp với lãi suất 0,85% tháng Nếu sau tháng, Vay ngân hàng số tiền A kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 đồng với lãi suất r (% / triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết phương thức trả lãi tháng) Sau tháng kể gốc khơng thay đổi suốt q trình anh An trả nợ Hỏi sau bao từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng? A 65 B 66 Hướng dẫn giải Chọn B C 67 hai lần hoàn nợ cách D 68 tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cách tính số tiền cịn lại sau n Đặt A = 500 triệu số tiền vay, X = 10 triệu số tiền trả tháng là: Trang 48 tháng r = 0,85% lãi suất ngân hàng, n số tháng anh An phải trả hết nợ Sn = A ( + r ) n (1+ r) −X r nợ Cuối tháng thứ anh An nợ số tiền A + Nr − X = A ( + r ) − X A( + r ) Cuối tháng thứ hai anh An nợ số tiền n (1+ r) −X n −1 r Suy  A ( + r ) − X  +  A ( + r ) − X  r − X = A ( + r ) − X ( + r ) + 1 Cuối tháng thứ ba anh An nợ số tiền  X  n = log ( 1+ r )  ÷  X − Ar   A ( + r ) − X  ( + r ) + 1  ( + r ) − X = A ( + r ) − X  ( + r ) + ( + r ) + 1      … Cuối tháng thứ n anh An nợ số tiền A ( + r ) − X ( + r )  n n −1 + (1+ r) n−2 + + ( + r ) + 1  Để sau n tháng, anh An trả hết nợ A ( + r ) − X ( + r )  n −1 + (1+ r) ⇔ A ( + r ) = X ( + r )  n ⇔ A( + r ) = X n −1 Để sau n tháng trả hết Theo đề bài: n n (1+ r) r n n −1 −1 n−2 + (1+ r) + + ( + r ) + 1 =  n−2 ⇔ (1+ r ) = n + + ( + r ) + 1  X  X  ⇔ n = log ( 1+ r )  ÷ X − Ar  X − Ar  10   Áp dụng ta có: n = log ( 1+ 0,0085)  ÷ ⇔ n ≈ 65,38  10 − 500.0,0085  Vậy anh An phải trả vịng 66 tháng Bài tập 5: Bác An có 400 triệu đồng mang gửi tiết kiệm hai kì hạn khác theo hình thức lãi kép Bác gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% quý; 200 triệu lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% tháng Sau gửi năm, bác rút tất số tiền loại kì hạn theo quý gửi theo tháng Hỏi sau năm kể từ gửi tiền lần đầu, bác An thu tất tiền lãi? (kết làm tròn đến hàng phần nghìn) Trang 49 =0 A 75,304 triệu đồng B 75,303 triệu đồng C 470,656 triệu đồng D 475,304 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn A Công thức tính lãi kép S n = A ( + r ) n Tổng số tiền bác An thu sau năm theo kì hạn quý là: S1 = 200 ( + 2,1% ) triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm theo kì hạn tháng là: S = 200 ( + 0,73% ) 12 triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm S1 + S triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm S = ( S1 + S2 ) ( + 0,73% ) 12 = 475,304 triệu đồng Vậy tiền lãi bác An thu sau năm L = S − 400 = 75,304 triệu đồng Bài tập 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, tháng trả góp triệu đồng lãi suất cho số tiền chưa trả 0,79% tháng Kì trả cuối tháng thứ Hỏi số tiền phải trả kì cuối để người hết nợ ngân hàng? (làm trịn đến hàng nghìn) A 2921000 đồng B 7084000 đồng C 2944000 đồng D 7140000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Kì trả cuối tháng thứ nên toán vay vốn trả góp cuối kì Gọi A số tiền vay ngân hàng, B số tiền trả chu kì, d = r % lãi suất cho số tiền chưa trả chu kì, n số kì trả nợ Số tiền cịn nợ ngân hàng (tính lãi) chu kì sau: Trang 50 + Đầu kì thứ A + Cuối kì thứ A ( + d ) − B + Cuối kì thứ hai  A ( + d ) − B  ( + d ) − B = A ( + d ) − B ( + d ) + 1 + Cuối kì thứ ba  A ( + d ) − B  ( + d ) + 1  ( + d ) − B = A ( + d ) − B  ( + d ) + ( + d ) + 1      … + Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ n A( + d ) n ( n −1 n − B ( + d ) + + ( + d ) + 1 = A ( + d ) − B   1+ d ) −1 n d Vậy số tiền cịn nợ (tính lãi) sau n chu kì A( + d ) n (1+ d ) −B n d −1 Người trả hết nợ ngân hàng A ( + d ) n (1+ d ) −B d n −1 =0 1,0079n − ⇔ 350.1,0079 − = ⇔ n ≈ 53,9 0,0079 n Tức phải 54 tháng người trả hết nợ Cuối tháng thứ 53, số tiền cịn nợ (tính lãi) S53 = 350.1,007953 − 1,007953 − (triệu đồng) 0,0079 Kì trả nợ cuối tháng thứ 54, phải trả số tiền S53 lãi số tiền S53 + 0,0079.S53 = S53 1,0079 ≈ 7,139832 (triệu đồng) Bài tập 7: Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau năm kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần hồn nợ liên tiếp cách năm, số tiền hoàn lần trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ơng A Trang 51 phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất ngân hàng khơng thay đổi thời gian ơng A hồn nợ A m = 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) 4 B m = 36 ( 1,12 ) (triệu đồng) (triệu đồng) −1 36 ( 1,12 ) − C m = ( 1,12 ) (triệu đồng) D m = 300 ( 1,12 ) ( 1,12 ) 4 −1 ( triệu đồng) Hướng dẫn giải Chọn A Số tiền nợ sau năm thứ nhất: T1 = 300 ( + 12% ) − m = 300 p − m , với p = + 12% = 1,12 Số tiền nợ sau năm thứ hai: T2 = ( 300 p − m ) p − m = 300 p − mp − m Số tiền nợ sau năm thứ ba: T3 = ( 300 p − mp − m ) p − m = 300 p − mp − mp − m Trả hết nợ sau năm thứ tư: ( 300 p − mp − mp − m ) p − m = ⇔ 300 p − mp − mp − mp − m = ⇔ 300 p − m ( p + p + p + 1) = ⇔ 300 p (p − m − 1) p −1 = ⇔ 300 ( 1,12 ) 300 ( 1,12 ) ( 0,12 ) ⇔m= Vậy m = ( 1,12 ) 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) −1 ⇔m= ( 1,12 ) − 1  = m  0,12 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) 4 −1 −1 Bài tập 8: Một người đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với Bài toán tiền gửi ngân hàng: lãi suất kép 0,6% tháng Biết cuối tháng thứ 15 số tiền gốc lẫn Đầu tháng, khách hàng lãi thu 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số gửi vào ngân hàng số tiền A số sau đây? đồng với lãi kép r (% / tháng) A 535000 đồng B 635000 đồng C 613000 đồng D 643000 đồng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n Trang 52 Hướng dẫn giải ( n ∈ ¥ *) tháng (nhận tiền Chọn B cuối tháng, ngân hàng Sau tháng gửi số tiền gốc lãi thu T ( + r ) tính lãi) Sau tháng thứ hai số tiền gốc lãi thu Sn = A n ( + r ) − 1 ( + r ) r T (1+ r) + T (1+ r) … Sau tháng thứ 15, số tiền gốc lãi thu T (1+ r) + T (1+ r) n n −1 + + T ( + r ) Để số tiền gốc lẫn lãi thu 10 triệu đồng T ( + r ) + T ( + r ) + + T ( + r ) = 10000000 15 ⇔ T (1+ r) 14 (1+ r) 15 −1 r = 10000000 ⇒ T ≈ 635.000 (đồng) Bài tập 9: Một huyện A có 100 000 dân Với mức tăng dân số bình qn Cơng thức tính tăng trưởng 1,8% năm sau năm dân số vượt 150 000 dân dân số: A 22 B 23 C 27 D 28 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử sau n năm dân số vượt 150 000 dân Áp dụng công thức: X ' = X ( + r ) n 150000  X ' = 22,72796911 Suy n = log1+ r  ÷ = log1+1,8% 100000  X  Xm = Xn (1+ r) ( m, n ∈ ¢ + m−n , m ≥ n) Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Bài tập 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam trì mức 1,05% Theo số liệu Tổng cục Thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 90728900 người Với tốc độ tăng dân số vào năm 2030, dân số Việt Nam là: A 106118331 người B 198049810 người C 107232574 người D 108358516 người Hướng dẫn giải Trang 53 Chọn C Áp dụng công thức: X 2030 = X 2014 ( + r ) n Trong đó: X 2014 = 90728900; r = 1, 05; n = 16 Ta dân số đến hết năm 2030 là: X 2030 = 107232574 Bài tập 11: Trong vật lý, phân rã chất phóng xạ biểu T diễn công thức: m ( t ) = m0  ÷ , m0 khối lượng ban đầu 2 chất phóng xạ (tại thời điểm t = ); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng cịn gam? 5730 A m ( t ) = 100. ÷ 2 − B m ( t ) = 100.e − t ln 5730 − 100 t 5730 100 t 5730 C m ( t ) = 100  ÷ 2 D m ( t ) = 100.e Hướng dẫn giải Chọn A T Theo công thức: m ( t ) = m0  ÷ ta có: 2 t 5730 m ( t ) = 100 Bài tập 12: Cường độ ánh sáng qua mơi trường khác khơng khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) giảm dần tùy thuộc độ dày mơi trường số µ gọi khả hấp thu mơi trường, tùy thuộc −µ x mơi trường khả hấp thu tính theo cơng thức I = I 0e với x độ dày mơi trường tính đơn vị mét Biết nước biển có µ = 1,4 Hãy tính cường độ ánh sáng giảm từ độ sâu 2m xuống đến 20m? Trang 54 A e 25,2 B e 22,5 C e32,5 D e52,5 Hướng dẫn giải Chọn A Cường độ ánh sáng thay đổi từ độ sâu x1 đến độ sâu x2 là: I1 I 0e − µ x1 = = e µ ( x2 − x1 ) − µ x2 I I 0e Thay x1 = 2; x2 = 20, µ = 1,4 ta có I1 = e 25,2 I2 Trang 55 ... Bước 4: Kết luận Ngồi cần ý tính chất hàm số mũ hàm số logarit: +) Hàm số y = a x hàm số y = log a x đồng biến TXĐ ⇔ a > +) Hàm số y = a x hàm số y = log a x nghịch biến TXĐ ⇔ < a < Bài tập Bài. .. * Tìm điều kiện tham số để hàm số y = log a f ( x ) xác định khoảng D • Cơ lập tham số m • Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Bài tập Bài tập 1: Điều kiện xác định D hàm số A x < −3 B x > −1... (công thức tăng trưởng mũ) Trang 23 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang 24 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Phương pháp giải x * Hàm số y = a ( a > 0; a