CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình[.]
C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số 127 A 40 y f x y f x , có diện tích 107 B 87 C 40 127 D 10 Lời giải Chọn B Ta thấy đồ thị hàm số nên hàm số có dạng Mà đồ thị hàm số f x y f x tiếp xúc với trục hồnh hai điểm có hồnh độ f x a x y f x x 1 1 2 A 0;1 4a 1 a f x x x 1 4 qua điểm x x 1 x 1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm y f x y f x : Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x x 1 1 2 x x 1 x x 1 x 1 x x 4 Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x , y f x có diện tích S 2 Câu 2: 1 2 x x 1 x x 1 x 1 107 Cho hình thang cong x k k H chia hình giới hạn đường y x , y 0, x 0, x 4 Đường thẳng H thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ Để S1 4 S giá trị k thuộc khoảng sau đây? A 3,1;3,3 B 3, 7;3,9 3,3;3,5 C Lời giải D 3,5;3, Chọn C k S1 x dx x S1 4S Suy k k S x dx 3 k x 3 k 3 k 2 2 k 4 k k 3.447 3 3 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 3: C Cho hàm số y ln x có đồ thị hình vẽ Đường trịn tâm A có điểm y (C) B C A O x C C 0;1 chung B với Biết , diện tích hình thang ABCO gần với số sau A 3,01 B 2,91 C 3, 09 D 2,98 Lời giải Chọn B y d (C) C B A O e e+ x e Đường thẳng qua C 0;1 song song với trục hoành cắt đồ thị (C ) B(e;1) x y ( d ) B ( e ;1) ( d ) ( C ) e Gọi tiếp tuyến phương trình (C ) tiếp xúc với đường trịn tâm A B(e;1) (d ) tiếp tuyến chung (C ) đường AB (d ) A(e ;0) e tròn tâm A OA e ; CB e; OC 1 e Hình thang ABCO có: S ABCO (OA CB)OC e 2,91 2e Vậy Câu 4: y f x ax bx x c y g x Cho đồ thị hàm số bậc ba đường thẳng có đồ thị hình vẽ sau: Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y f x Biết AB 5 , diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x 1 , x 2 17 A 11 19 B 12 C 12 Lời giải D 11 Chọn B Gọi g x mx m Ta có A 1; m ; B 2; 2m m tm AB 9m 5 m l Khi Ta có f x g x ax bx x c 0 ax bx x c a x 1 x ax3 bx x c ax3 2ax ax 2a Mặt khác , y f x x3 x x Đồng hệ số ta đươc a 1 , b , c 2 Vậy Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng 19 S x3 x x dx 12 x 1 , x 2 1 Câu 5: f x x ax bx cx dx 36 y f x , y f x Biết đồ thị hàm số Ox giao hai điểm phân biệt có hồnh độ 2, Diện tích hình phẳng giới hạn Cho hàm số đồ thị hàm số A 846 y f x m * Ox n phân số tối giản với m, n Tổng m n B 845 C 848 D 847 Lời giải Chọn D Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x 0, f x 0 f x x 2 Do 2,3 nghiệm phương trình nên f 36 m Ta có f x x Vậy 2 x 3 x 1 x 3 x 1 1 Câu 6: x 3 x m Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số S x y f x Ox 832 m n 847 15 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x x đường thẳng y (m 1) x có giá trị nhỏ 16 48 64 32 A B C D Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm là: x x (m 1) x x (1 m) x 0 Gọi hai nghiệm phương trình a b ( a b) Theo Vi-et, có a b m 1, ab Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: b x (1 m) S x (1 m) x dx x 4x a b 1 m b a3 b a2 b a b a a 1 m b ba a a b a b 1 m 4ab a b ab a b 3 2 m 1 m 1 16 m 1 3 2 m 1 m 1 16 32 S 4 S 3 Đẳng thức xảy m 1 32 S Vậy Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Giả sử diện tích phần kẻ dọc hình vẽ có diện tích a Tính theo a giá trị tích phân I x 1 f x dx 3 A I 50 2a ? B I 50 a C I 30 2a Lời giải D I 30 2a Chọn A Từ đồ thị suy S f x dx a 3 Ta có f 3 8; f 2 2 I x 1 f x dx x 1 d f x x 1 f x f x dx 3 3 3 5 f f 3 2S 5.2 5.8 2a 50 2a Vậy I 50 2a Câu 8: Cho hàm số f x x bx cx d g x f x f x f x y với b , c , d số thự C Biết hàm số có hai giá trị cực trị 42 Tính diện tích hình phẳng f x f x f x g x 18 giới hạn đường A ln B ln y 1 C ln D ln Lời giải Chọn A Hàm số f x 3f g x g x hàm số bậc nên hàm số bậc suy hàm số bậc hai 3 x 3.3! 18 ; Ta có g x f x f x 18 g x1 42 g x2 có hai nghiệm x1 , x2 , Xét phương trình tìm cận tích phân để tính diện tích: f x f x f x f x f x 18 1 0 g x 18 g x 18 x x1 f x f x 18 0 g x 0 x x2 Suy Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN x2 Diện tích hình phẳng S x1 x2 x2 f x f x f x g x g x dx dx dx g x 18 g x 18 g x 18 x1 x1 x x1 t1 g x1 18 x x2 t2 g x2 18 t g x 18 dt g x dx Đặt Đổi cận 12 Do Câu 9: dt 12 12 S ln t 60 ln12 ln 60 ln ln ln t 60 60 Cho hai hàm số y f ( x) y g ( x) , biết hàm số f ( x ) ax bx cx d g ( x) qx nx p với a, q 0 có đồ thị hình vẽ diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f ( x ) g ( x) 10 f (2) g (2) Diện tích hình phẳng giới hạn a hai đồ thị hàm số y f ( x) y g ( x) b Tính P a b A P = 11 B P = 19 C P = 24 Lời giải D P = 21 Chọn B Ta có: f ¢(x) - g¢( x) = ax3 + ( b - q) x2 + ( c - n) x + d - p = ax ( x - 1) ( x - 2) ¢ ¢ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f (x) g (x) 10 nên: S f x g x dx g x f x dx 10 1 S ax x 1 x dx ax x 1 x dx 10 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a a S a x x 1 x dx a x x 1 x dx 10 10 a 20 4 f ¢(x) - g¢( x) = 20x ( x - 1) ( x - 2) Khi đó: ù ù Þ f ( x) - g( x) = ò é dx = ò é dx = 5x4 - 20x3 + 20x2 + C êf ¢(x) - g¢( x) û ú ê20x ( x - 1) ( x - 2) ú ë ë û Mà f ( 2) - g( 2) = nên: 5.24 - 20.23 + 20.22 + C = Þ C = Þ f ( x) - g( x) = 5x - 20x + 20x Câu 10: Suy thị 16 S 5 x 20 x3 20 x dx C y f x Do P = 19 Cho hàm số bậc bốn có đồ hình vẽ Đường thẳng d : y kx BC AB C A , B , C có ba điểm chung với Biết 24 diện tích hình phẳng S Giá trị 321 A B 160 f x dx 2 161 C 80 D 159 160 Lời giải Chọn C Phương trình giao điểm C f x g x a x x 1 Theo giả thiết, ta có: S d là: x 5 24 24 a x x 1 x dx a 5 24 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f x g x 1 2 x x 1 x kx x x 1 x 24 24 A 2; 2k , B 1; k , C 5; 5k * Gọi BC AB 42 4k 32 3k k k Đường thẳng nằm góc phần tư thứ thứ ba nên hệ số góc dương nên ta chọn k 1 f x x x x 1 x 4 24 Vậy 321 f x dx 160 Và 2 P : y x P Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol hai tiếp tuyến điểm A, B có hồnh độ 1 A B C D Lời giải Chọn D y y = x2 + 4 y = 2x + y = 2x + O x Xét hàm số y x y 2 x Ta có A 1;5 , B 1;5 hai điểm thuộc Tiếp tuyến P A 1;5 Tiếp tuyến P B 1;5 là: là: P y x 1 y x y 2 x 1 y 2 x Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y 2 x 3, y x nghiệm phương trình: x x x 0 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN P Khi diện tích hình phẳng giới hạn hai tiếp tuyến P A, B là: 1 1 S x x 3 dx x x 3 dx x3 x x x x x 3 1 0 1 2 y 2 x , y Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số log e log e log e A B C Lời giải x 1, y x log e D Chọn A y y= y = 2x x+1 2 x y = 2x + Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số trình: y x 1, y x nghiệm phương x x x 2 Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số x y 2 x , y x 1 nghiệm phương trình: 1 x x x 0 x 0 2 x Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y 2 , y x nghiệm phương trình: x x x x 0 x 1 Khi diện tích hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số là: 1 2 2x 1 x S x 1 dx x x 1 dx x x x 4x x x 2 1 ln 0 0 1 log e Page 10