CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 195 Cho hai đường tròn 1;10O và 2;6O cắt nhau tại hai điểm A[.]
C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 195: Cho hai đường trịn kính đường trịn D quanh trục thành O1;10 O2 ;6 cắt hai điểm A , B cho AB đường O2 ;6 Gọi D hình phẳng giới hạn hai đường tròn Quay O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo A V 36 B V 68 V C Lời giải 320 D V 320 Chọn D O O , O2C Ox , O2 A Oy Chọn hệ tọa độ Oxy với 2 Cạnh O1O2 O1 A2 O2 A2 102 62 8 O1 : x y 100 Phương trình đường trịn H1 Kí hiệu O2 : x y 36 hình phẳng giới hạn đường y 100 x , trục Ox , x 0 , x 2 Kí hiệu H2 hình phẳng giới hạn đường y 36 x , trục Ox , x 0 , x 6 V Khi thể tích V cần tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình H2 V H1 xung quanh trục Ox trừ thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN V2 r 63 144 3 Ta có 2 V1 y dx 100 x dx 112 0 Lại có V V2 V1 144 Do Câu 196: Cho hàm số 112 320 3 y f x ax bx cx d , a, b, c, d có đồ thị C Biết đồ thị C y f x tiếp xúc với đường thẳng y 4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị C trục hoành quay xung quanh trục Ox 725 A 35 729 B 35 D 35 C 6 Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta có f x 3x f x x 3x d x Ta có y 4 đường thẳng có hệ số góc nên y 4 tiếp tuyến điểm cực trị có hồnh độ âm hàm số f x f x0 4 f x Từ hình vẽ ta thấy có điểm cực trị âm x f 1 4 d 2 f x x 3x x f x 0 x 1 Xét phương trình Khi thể tích vật thể tạo xoay hình phẳng H quanh trục Ox là: V x 3x dx 2 729 35 Câu 197: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly cm chiều cao cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm3 vật thể cho Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A 12 72 C Lời giải B 12 72 D Chọn A Xét hệ trục Oxy hình vẽ P : y ax bx c Gọi qua điểm 0a 0b c 0 4a 2b c 6 4a 2b c 6 trình sau Vậy P : y O 0;0 A 2;6 B 2;6 , , , ta có hệ phương a b 0 c 0 2 x x2 y Khi khối trịn xoay tạo thành tích V y.dy 12 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 198: Cho H hình phẳng giới hạn parabol y x , cung trịn có phương trình y x trục hồnh Diện tích hình H 4 B 4 12 A 2 C 4 D Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta x 2 nên ta có x 1 2 Ta có diện tích S x dx 1 3x x x 1 3 x dx x3 x dx x dx 3 1 x 2sin t dx 2 cos tdt; x 1 t ; x 2 t Đặt: 4 S t sin 2t Câu 199: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y cos x , trục hoành đường thẳng x 0, x Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V ( 1) B V ( 1) C V Lời giải D V Chọn A Áp dụng công thức tính thể tích vật thể trịn xoay V cos x dx x sin x Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 200: Gọi H hình phẳng giới hạn parabol y x x , đường thẳng hoành Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình y 4 x 12 trục H quanh trục hoành a a (a, b b số nguyên dương b phân số tối giản) giá trị a b A 31 B C 36 D 37 Lời giải Chọn A ⬥ Xét phương trình hồnh độ giao điểm y x x , y 4 x 12 trục hoành x x 4 x 12 x 8x 16 0 x 0 x 4 x x 0 x x 12 0 x 3 ⬥ Khi cho hình phẳng H quay quanh trục hồnh ta khối trịn xoay tích 4 2 V x x dx x 12 dx 2 4 x dx x 12 dx x 2 5 x 12 12 32 16 16 15 a 16 ⬥ Suy b 15 Vậy a b 31 Câu 201: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y 0 x 4 quanh trục Ox Đường thẳng x a a cắt đồ thị hàm số y x M Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Tìm a cho V 2V1 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a A a C Lời giải B a 2 D a 3 Chọn D x 0 x 0 Ta có Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y 0 x 4 quanh trục Ox : Ta có M a; a V xdx = 8 Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hình nón có chung đáy: N1 có đỉnh O , chiều cao h1 OK a , bán kính đáy R MK a Hình nón N có đỉnh H , chiều cao h2 HK 4 a , bán kính đáy R MK a Hình nón 2 1 1 V1 R h1 R h2 a a a a a 3 3 V 2V1 8 2 a a 3 Theo đề Câu 202: Gọi V thể tích khối trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số y x a y a a x, a A a 1 , quay quanh trục Ox Giá trị a để V đạt giá trị lớn 3 a a a 2 B C D Lời giải Chọn B Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình : 2 a V x 0 a a x x a x 2 a 2 a ax a a x dx ax a a x dx a x 2 a V x3 a a | a a , a 2 3 Xét hàm số f (a ) a a , a Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f (a ) a a 2 l 4a 0 a Bảng biến thiên Hàm số có cực trị đạt Vậy a Câu 203: Cho hàm số f 1 0 a , a điểm cực đại Do giá trị lớn hàm số 2 V đạt giá trị lớn y f x f 1 1 1;3 ; đồng thời có đạo hàm khác liên tục đến cấp hai đoạn f ( x) f x xf x e f x , x 1;3 y Tính thể tích vật thể tròn x f x ln ln x 1 xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục hoành 26 3 A B 26 C 26 , y 0, x 1, x 3 D 3 Lời giải Chọn A f x xf x f x e f x f ( x ) e f x Ta có: f x xf x f x x f x e f x x x f x f x e dx C dx e f x f x Do f (1) 0, f (1) 1 C 0 e f x x f x x f x f x e f x e f x x2 f x e C1 dx xdx Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Do f (1) 0 nên C1 x2 1 x2 1 e f x f x ln 2 Thể tích vật thể trịn xoay cần tính x f x ln 3 x 26 dx x dx V ln x 1 3 = = y f x ax bx c miền giới hạn hai đường cong S 9 y g x x mx n y g x I 0; Biết D đồ thị hàm số có đỉnh Khi cho miền giới hạn hai đường cong hai đường thẳng x 1; x 2 quay quanh Câu 204: Gọi D trục Ox , ta nhận vật thể trịn xoay tích V a b , a, b số nguyên dương Giá trị biểu thức P a b y y=f(x) O 1 x y=g(x) A P 2101 B P 1342 C P 2021 Lời giải D P 63706 Chọn D Parabol y g x có đỉnh I 0; suy Phương trình hồnh độ giao điểm m 0; n 2 y g x x y f x y g x : ax bx c x a 1 x bx c 0 1 Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình hồnh độ giao điểm dạng Ta có a 1 x 1 x 0 a 1 x S D 9 a 1 x 1 y f x y g x có x 0 x dx 9 a 1 9 a 2 a 1 b 2 x bx c 2 x x 1 ta suy ra: c Với a 1 , từ Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vì hai đường y f x x x đối xứng đồ thị hàm số y g x x y f x x x y x x x x nằm khác phía trục Ox nên ta lấy qua trục Ox ta đồ thị hàm số 2 x x x 0, x 1;0 x x x x 2 0 x x x 2, x 0; 2 Xét 2 Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: 2 V x dx x x dx 1 259 a 259; b 15 15 Vậy P 259 15 63706 Câu 205: Cho hàm số bậc ba y f ( x) ax bx cx d có đồ thị y g ( x) mx nx p có đồ thị P C Biết C P hàm số bậc hai qua điểm (1; 2), (3;1), (5;3) , đồng thời phần hình phẳng giới hạn C P có diện tích Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh Hỏi V gần giá trị giá trị sau? A 14 Do B 16 C Lời giải P : y g ( x) mx nx p qua điểm (1; 2), (3;1), (5;3) nên ta có hệ: m n p 2 9m 3n p 1 25m 5n p 3 P : y g ( x ) 8 x Vậy 2x D m 8 n 29 p 29 (3 x 16 x 29) 8 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C Vì P cắt ba điểm (1; 2), (3;1), (5;3) nên f ( x ) g ( x) a ( x 1)( x 3)( x 5) a ( x x 23x 15) Mà 5 f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx ( f ( x) g ( x))dx ( f ( x) g ( x))dx 3 a( x x 23 x 15)dx a( x x 23 x 15)dx 8a 1 1 1 a f ( x) ( x3 x 23x 15) (3x 16 x 29) ( x x x 14) 8 8 Nên Vậy thể tích khối trịn xoay 2 V ( f ( x) g ( x)) dx ( g ( x) f ( x)) dx 3 9, 424 Câu 206: Cho khối V giới hạn hình chữ nhật OABC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt cong hai đáy song song Biết phương trình đường cong mặt phẳng Oxy y x x , chiều cao OC 3 Tính thể tích V A 6 B 4 C 5 Lời giải D 3 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y x x trục Ox là: x 0 x x 0 x 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x trục Ox 4 S x x dx x dx 0 t ; Đặt x 2sin t ( 2 ) suy dx 2 cos t.dt Page 10