03.4_B1-Ứng Dụng Tích Phân-Vd-Vdc_Hdg.docx

Huỳnh Văn Ánh CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 125 Cho hai hàm số 3 2 3 ( ) 2 f x ax bx cx    và[.]

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 125: Cho hai hàm số f ( x) ax  bx  cx  3 g  x  mx  nx  Biết rằng đồ thị của các hàm y  f  x y g  x  số cắt tại ba điểm có hồnh đợ lần lượt  2;1;3 Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng 253 235 253 125 A 48 B 48 C 24 D 24 Lời giải Chọn C Huỳnh Văn     Ánh Ta có phương trình hồnh đợ giao điểm ax  bx  cx  3 mx  nx  2  ax  b  m x  c  n x  0  1 Ta có phương trình  1 có ba nghiệm x  2; x 1; x 3  8a   b  m    c  n   0 Với x  thay vào ta có a   b  m    c  n   0 Với x 1 thay vào ta có 27 a   b  m    c  n   0 Với x 3 thay vào ta có   a 2  8a   b  m    c  n     b  m       a   b  m   c  n c  n   27a   b  m    c  n    Do đó ta có hệ  f ( x)  g ( x)  x  x  x  2 Suy Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 3 S   f ( x)  g ( x ) dx   x  x  x  dx 2 2 2 Vậy 5   x  x  x  dx   x  x  x  dx  63   253 2 2 24 2 f  x  2 x  mx  nx  2021 Câu 126: Cho hàm số g  x   f  x   f  x   f  x  y với m , n các số thực Biết hàm số 2022 có hai giá trị cực trị e  12 e  12 Diện tích hình phẳng f  x g  x   12 giới hạn bởi các đường A 2019 B 2020 y 1 bằng C 2021 D 2022 Lời giải Chọn C f 3 Ta có f  x  6 x  2mx  n Suy g  x  2 x   m   x   n  2m  12  x  2021  n  2m , f  x  12 x  2m g  x  0  x   m   x  n  2m  12 0 Vì hàm số g  x  x  12 có hai giá trị cực trị nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 Ta có bảng biến thiên của hàm số Từ suy , g  x1  e 2022  12 g  x sau: g  x2  e  12  g  x   f  x   f  x   f  x   g  x   f  x   f  x   f  3  x   f  x   f  x   12 Mặt khác   g  x   g  x   f  x   12  g  x  g  x   f  x   12 Xét phương trình hồnh đợ giao điểm: 1  g  x   f  x   12 0  g  x  0 f  x  x x1    g  x   12  g  x   12  g  x   12  x x2 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường f  x g  x   12 y 1 bằng x2 x2 x2 f  x g  x   f  x   12 g  x  dx S  1  dx   dx    ln g  x   12 g  x   12 g  x   12 g  x   12 x1 x1 x1  ln g  x2   12  ln g  x1   12   2022 2021 Câu 127: Cho hàm số f  x  x  ax  bx  cx  d g  x   f  x   f  x   f  x  y bởi đường f  x  g  x   24 x1 với a, b, c, d các số thự C Biết hàm số có giá trị cực trị Diện tích hình phẳng giới hạn y 1 bằng B ln A ln x2 C 3ln Lời giải D ln Chọn D f  x  4 x  3ax  2bx  c, f  x  12 x  6ax  2b, f  x  24 x  6a, f  4  x  24  g  x   f  x   f  x   f  4  x     g  x   f  x   f  x   24 g  x   f  x   24  g  x   f  x   f  x   f  x  g  x  f  f  x   g  x   g  x   24   1 g  x   24 g  x   24 y Phương trình hoành độ giao điểm f  x  g  x   24 y 1 : f  x  1  g  x  0  g  x   24 Với g  x   f  x   f  x   f  x  Giả sử hàm g  x  x m  x n  hàm bậc ba với hồnh đợ cực trị x m, x n có giá trị cực trị tương ứng y Khi đó diện tích hình phẳng bởi đường g  m  0, g  n  4 f  x  g  x   24 y 1 là: n n n f  x  g  x   g  x   24 g  x  S   dx   dx  dx ln g  x   24 g  x   24 g  x   24 g  x   24 m m m n m ln Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN f  x  x3  ax  bx  c Câu 128: Cho hàm số g  x   f  x   f  x   f  x  y bởi các đường A ln với a, b, c các số thực Biết hàm số có hai giá trị cực trị  Diện tích hình phẳng giới hạn f  x g  x  y 1 bằng B ln C 3ln Lời giải D ln10 Chọn C Xét hàm số Ta có g  x   f  x   f  x   f  x  g  x   f  x   f  x   f  x   f  x   f  x    g  m    g  n  2 g  x  0 m , n Theo giả thiết ta có phương trình có hai nghiệm  Xét phương trình f  x 1  g  x   g  x    f  x  0  f  x   f  x   0  x m      g  x   0  g  x   0  x n Diện tích hình phẳng cần tính là: n n n n  f  x  g  x   f  x f  x   f  x   g  x  S    dx   dx   dx  dx   g  x   g  x  g  x  g  x  m m m m  ln g  x   n m  ln g  n    ln g  m    ln 3ln f ( x ) g ( x) liên tục  hàm số f '( x) ax3  bx  cx  d , g '( x) qx  nx  p với a, q 0 có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f '( x) y g '( x) bằng 10 f (2) g (2) Tính diện tích hình phẳng Câu 129: Cho hai hàm số giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x ) y  g ( x ) A B 15 16 C 16 D Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn C Đặt h( x)  f ( x)  g ( x )  h '( x )  f '( x )  g '( x ) Xét phương trình hoành độ giao điểm f  x   g  x   f  x   g  x  0 Vì hai đồ thị y  f '( x) y g '( x) cắt tại các điểm có hồnh đợ lần lượt bằng 0; 1; nên phương trình có các nghiệm x 0; x 1 x 2 Do đó, ta có h '( x)  f '( x)  g '( x) kx( x  1)( x  2)  k 0  Ta có diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f '( x) y  g '( x ) : 2 S  f '( x )  g '( x )dx k x  x  1  x   dx  k x  x  1  x   dx  k 0 Theo đề: S 10 Do đó: k 20  h '( x) 20 x ( x  1)( x  2)  x4  h ( x ) 20 x( x  1)( x  2)dx 20  x  3x  x dx 20   x  x   C    Vì f (2) g (2)  h (2)  f (2)  g (2) 0  C 0 Do đó: h( x) 5 x  20 x  20 x Xét phương trình hồnh đợ giao điểm: f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x ) 0  h( x ) 0  x  20 x  20 x 0  x 0    x 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là:  2 16 S  f ( x )  g ( x )dx h ( x )dx 5x  20 x  20 x dx  0 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 130: Cho hàm số f ( x) 2 x  bx  cx  d với b , c , d các số thực Biết hàm số g ( x )  f ( x )  f ( x)  f ( x) có hai giá trị cực trị  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y các đường thẳng A 2ln f ( x) g ( x ) 12 y 1 bằng C  ln Lời giải B ln162 D ln2 Chọn D 2 Ta có f ( x ) 2 x  bx  cx  d  f ( x ) 6 x  2bx  c  f ( x ) 12 x  2b  f ( x) 12 Xét hàm số g ( x )  f ( x)  f ( x)  f ( x) Ta có g ( x )  f ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)  12 Theo giả thiết g ( x )  f ( x )  f ( x)  f ( x) có cực trị -3  g (m)    g ( x) 0 có hai nghiệm phân biệt m , n  g (n) 6 f ( x) 1 g ( x )  12 Xét phương trình  x m  g ( x)  12  f ( x)  g ( x)  12  f ( x) 0  f ( x)  f ( x)  12 0    x n Diện tích hình phẳng cần tính là: n n   g ( x) 12  f ( x )  f ( x)  S     dx    dx g ( x)  12  g ( x)  12  m m n  f ( x)  f ( x)  f ( x) 12  f ( x)     dx g ( x)  12  m n n  f ( x)  f ( x)  12   g ( x )     dx    dx g ( x)  12 g ( x)  12   m m  ln g ( x)  12 n  ln g (n)  12  ln g (m)  12 m  ln18  ln ln Câu 131: Cho hàm số f  x   0, x   1;   f  x thỏa f  e  y  xf  x  , y 0, x e, x e A S B mãn  xf  x  ln x  f  x  2 x f  x  , x   1;   , e Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị S C S D S 2 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Chọn A  xf '  x  ln x  f  x  2 x f  x    x Ta có:  g  x  ln x   g  x  ln x  Do f  e  Suy g  x  x ln x  với 2 x x   1;    , 2 x x   1;   f  x , f  x g  x  g x ln x d x      x dx 2 xdx g  x g  x dx   dx x  C  g  x  ln x  x  C x   1;   x x ,   g  e  e  C 0 e2 g  x  ln x  x x   1;   ,  g  x  x2  0, x   1;   ln x  y xf  x   Ta có x f g  x   xg  x  ln x  g  x  2 x , x   1;   f ' x x ln x  g  x x x   1;   , e2 e2 e e S  xf  x  dx  Câu 132: Cho đường cong diện tích S1 , S Biết rằng e2 ln x dx  ln x  x 2 e (C ) : y  x3  kx  parabol P : y  x  tạo thành hai miền phẳng có hình vẽ S1  , giá trị của S2 bằng Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A B C D 12 Lời giải Chọn D Phương trình hồnh đợ giao điểm của (C ) d  x 0 x  kx   x   x  x  x  k  0    x  x  k 0 Hai đồ thị cắt tại ba điểm phân biệt nên phương trình x  x  k 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Trên đoạn k    x2   x1  k  x12  x1 khác thỏa mãn x1   x2 Do đó ta có  [ x1 ; 0] , x  kx   x   x  x  kx 0 x3  x  kx dx    x1  x x1 3 Theo ra, diện tích S1  nên x x kx   x  kx  dx        3  x1  4    3x14  x13  6kx12  32  x14  x13    x12  x1  x12  32  3x14  x13  32 0  ( x1  2)  x13  x12  x1  16  0  x1  x1   k  2, x2 1 x  x  x 0,x  [0;1] , ta có  x4 x3  S   x3  x  x  dx     x  |10  12   Với Câu 133: Cho hàm số y  3 x  x  3x  C  đường thẳng d qua gốc tọa độ tạo có đồ thị thành hai miền phẳng có diện tích Biết S1  A 143 S1 S2 hình vẽ 27 m S2  Khi đó n , giá trị của 2m  n bằng B  50 C 50 Lời giải D 142 Chọn D Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  C  d  Gọi a  hồnh đợ giao điểm của 3 a  a  3a k  a  a  a Khi đó, đường thẳng d có hệ số góc là:    d : y   a  a   x   Đường thẳng d qua gốc tọa độ nên có phương trình a   S1    x  x  3x      Ta có: 27   3     x  x  x      27  3    a  a  a      27  a  a  a 3 8      a  a   x  dx     2   a  a  x  2   a 3   a  a a 2  d:y x Do đó,  Phương trình hồnh đợ giao điểm của x  C d là: 3  3    x  x  x  0  x  x  x 0 4   Phương trình có nghiệm: x1 3 , x2 0 x3    135 1 S   x3  x  x  dx  4  128 3  Do đó: m 135 , n 128 Vậy: 2m  n 142 Page CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 134: Cho hàm số y g  x  f  x  3x  ax3  bx  cx  d  a, b, c, d    hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường A có ba điểm cực trị  2,1 Gọi  34;35 B  36;37  y  f  x y g  x  y  f  x Diện có giá trị thuộc khoảng  37;38 C Lời giải D  35;36  Chọn C Theo ra, ta có: f  x  12  x    x  1  x   12  x  x  x    f  x  3x  x3  24 x  48 x  d Khi đó f    d  112, f  1 d  23, f   d 16 Giả sử g  x  mx  nx  p Theo ra, ta có:  g    4m  2n  p d  112    g  1 m  n  p d  23   g   4 m  2n  p d  16 Do vậy, Suy  4m  2n   p  d   112    m  n   p  d  23  4m  2n   p  d  16 m  13  n 32  p  d 4  f  x   g  x  3x  x3  24 x  48x  d  13x  32 x  p 3x  x  11x  16 x   x    x 1 f  x   g  x  0    x 1   x 2 Vậy S  3x  x3  11x 16 x  dx 37,31358   37;38  2 Câu 135: Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị đường cong hình bên dưới Biết hàm số f  x f x  f  x2  0 đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1    Gọi S1 , S diện S2 S S 3 tích của hình phẳng hình bên diện tích phần tô đậm Tính tỉ số Page 10